Ruch drgający.

Ruch drgający
11.
11-1
Ruch drgający
Ciało jest sprężyste, jeżeli odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła.
Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy bardzo dużych wartościach działającej siły (a dokładniej: naprężenia)
odkształcenie staje się trwałe. Mówimy wtedy o plastyczności ciała.
Jeszcze większe siły (naprężenia) mogą wywołać zniszczenie ciała (np.
rozerwanie rozciąganego pręta).
Prawo Hook’a wiąże wielkość siły i odkształcenia przez nią wywołanego.
W przypadku liniowo rozciąganego pręta ma ono postać:
F = k ⋅ ( l − l0 )
Prawo Hook’a obowiązuje tylko w zakresie sprężystości (odkształceń
odwracalnych). Stała k nazywa się współczynnikiem sprężystości i ma
wymiar
N 
 m  .
Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało
o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
F = −k ⋅ (l − l0 )
Położenie ciała będziemy określali względem położenia, w którym
długość sprężyny wynosi l0, np. x = l − l0 .
Ruch drgający
11-2
Wtedy
F = −k ⋅ x
Siła harmoniczna
określa wielkość siły działającej na ciało w funkcji jego położenia.
Siłę, która w taki sposób zależy od położenia nazywamy siłą harmoniczną, a ruch jaki wykonuje ciało pod wpływem działania takiej siły nazywa
się ruchem drgającym harmonicznym albo prostym.
Położenie, w którym sprężyna nie jest napięta (F = 0) nazywa się
położeniem równowagi.
Jeżeli masę m przymocowaną do sprężyny przesuniemy do położenia x0
i następnie w chwili t = 0 zwolnimy, to będzie ona wykonywała ruch
drgający harmoniczny a położenie będzie zmieniało się w czasie
zgodnie ze wzorem:
x = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
gdzie ω =
k
.
m
Mówimy, że ciało wykonuje drgania wokół położenia równowagi.
Równanie toru ruchu harmonicznego wynika z II zasady dynamiki.
d 2 x (t )
F = m⋅a = m
dt 2
d 2 x(t )
m
= F ( x, t )
dt 2
równanie różniczkowe ruchu
Ruch drgający
11-3
W naszym przypadku równanie ruchu ma postać następującą:
d 2 x (t )
m
= − k ⋅ x (t )
dt 2
d 2 x (t )
k
= − ⋅ x(t )
2
m
dt
równanie różniczkowe II stopnia
(liniowe)
d 2 x (t )
= − x (t )
dt 2
druga pochodna jest
równa funkcji z przeciwnym znakiem
Oczywistą kandydatką na rozwiązanie takiego równania różniczkowego
jest funkcja sinus lub cosinus. Sprawdzimy czy rzeczywiście tak jest.
x(t ) = x0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
dx
= − x0 ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
dt
d 2x
= − x0 ⋅ ω 2 ⋅ cos(ω ⋅ t ) = −ω 2 ⋅ x (t )
2
dt
Czyli funkcja x (t ) = x0 ⋅ cos(
drgającego harmonicznego.
k
m
⋅ t ) jest rozwiązaniem równania ruchu
Ruch drgający
11-4
Wykres funkcji x = A ⋅ cos(ω ⋅ t )
dla ω =
1.00
2π -1
s
6
x(t)/A
0.50
0.00
-0.50
-1.00
0.0
3.0
6.0
9.0
t
12.0
15.0
18.0
W ogólnym przypadku masa m może się poruszać w chwili t = 0, wtedy
x(t ) = A ⋅ cos(
k
m
⋅ t + ϕ0 )
ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
Gdzie stałe A i ϕ0 mają wartości wynikające z warunków początkowych
ruchu, tzn. wartości położenia i prędkości w chwili początkowej:
 x (t = 0) = x0

v(t = 0) = v0
Maksymalna wartość wychylenia z położenia równowagi wynosi A i
nazywa się amplitudą drgań. Współczynnik ω nazywa się częstością
(kołową) drgań. Wyrażenie (ω ⋅ t + ϕ 0 ) nazywa się fazą drgań - ϕ 0 jest
fazą początkową drgań.
Ruch drgający
11-5
Położenie, prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym
T ⋅ ω = 2π
ω=
x(t)/A
1.0
0.0
0.0
0.5
t/T
1.0
-1.0
0.25
v(t)/ vmax
prędkość jest przesunięta w fazie o −
1.0
π
2
0.0
0.0
0.5
1.0
t/T
-1.0
a(t)/amax
0.50
przyspieszenie jest przesunięte w fazie o − π
1.0
0.0
0.0
-1.0
0.5
1.0
t/T
2π
T
Ruch drgający
11-6
Ponieważ okres funkcji sinus lub cosinus wynosi 2π, to okres drgań T
spełnia zależność:
ω ⋅ T = 2π
czyli
T=
2π
ω
albo ω =
W rozważanym przykładzie:
T = 2π
m
k
2π
T
Ruch drgający
11-7
Małe drgania wokół położenia równowagi
Wahadło matematyczne – w położeniu równowagi masa m znajduje się
pionowo pod punktem zaczepienia. Każde inne położenie nie jest trwałe.
Siła jaka zawraca masę m do położenia równowagi jest wypadkową siły
ciężkości i naprężenia nici.
Fs = m ⋅ g ⋅ sin α - siła zawracająca
Fr = m ⋅ g ⋅ cosα - równoważona
napięciem nici
Ruch drgający
11-8
Jeżeli amplituda drgań nie jest zbyt duża (αmax ≤ 0,1 (~6°)), to możemy
zapisać następujące przybliżone związki:
x = l sin α ≈ lα
| Fs |= mg sin α ≈ mgα
mg
x
l
d 2x
mg
m 2 ≅−
x
l
dt
d 2x
g
x
≅
−
dt 2
l
Fs ≅ −
 g 
x ≅ x0 cos
⋅t
l


mg
x
l
d 2x
mg
m 2 =−
x
l
dt
d 2x
g
=
−
x
dt 2
l
F =−
ω≅
g
l
T ≅ 2π
ω=
g
l
T = 2π
l
g
x = x0 cos(ω ⋅ t )
l
g
W rzeczywistości okres drgań wahadła matematycznego zależy od
amplitudy.
Ruch drgający
11-9
Energia układu drgającego
Na energię drgającego układu składa się energia potencjalna sprężyny o
współczynniku sprężystości k zależna od jej wydłużenia (skrócenia) oraz
energia kinetyczna masy m.
Jeżeli rozciągamy sprężynę, to musimy wykonać pracę przeciw sile
F = −kx , działając siłą F ' = − F = kx
∆W = k ⋅ x ⋅ ∆x
1
kx02
W = ∑ ∆W = k ⋅ x0 ⋅ x0 =
2
2
Wykonana praca zwiększa energię potencjalną układu drgającego, która
wynosi:
kx 2 1 2
= kx0 cos 2 (ωt )
EP ( x) =
2
2
Ruch drgający
11-10
Drugim składnikiem energii całkowitej jest energia kinetyczna
poruszającej się masy (przy założeniu, że sama sprężyna jest
nieważka).
mv 2 1
1
= m( − x0ω sin(ωt )) 2 = mω 2 x02 sin 2 (ωt )
EK =
2
2
2
1
1
EC = E K + E P = mω 2 x02 sin 2 (ωt ) + kx02 cos2 (ωt )
2
2
k = ω 2m
[
]
1
1
1
EC = mω 2 x02 sin 2 (ωt ) + cos2 (ωt ) = mω 2 x02 = kx02
2
2
2
W odosobnionym układzie drgającym energia całkowita nie zmienia się.
Zachodzi ciągła wzajemna przemiana energii potencjalnej w kinetyczną i
kinetycznej w potencjalną. Energia całkowita jest równa maksymalnej
energii potencjalnej w skrajnym położeniu
1
EC = E P max = kx02
2
albo maksymalnej energii kinetycznej w chwili przejścia przez położenie
równowagi
1 2
1
EC = EK max = mvmax
= mω 2 x02
2
2
E P max = E K max
Oba składniki energii całkowitej zmieniają się w taki sam sposób, są
tylko przesunięte w fazie o
T
π
(lub w czasie o ). Zatem równe są też
2
4
średnie wartości tych energii
EP = EK
co ma istotne znaczenie w teorii ciepła właściwego ciał stałych.
Uwaga! W przypadku układów drgających z tłumieniem równość
występuje tylko w warunkach rezonansu.
Ruch drgający
11-11
Dla dowolnego układu stan (położenie) równowagi odpowiada minimum
energii potencjalnej.
dE P ( x0 )
= 0 warunek minimum
dx
F =−
dE P
dx
ogólny związek między siłą a energią potencjalną
W otoczeniu minimum funkcję EP(x) rozwijamy w szereg potęgowy
E P ( x0 + ∆x ) = E0 + E P '⋅∆x + 12 E P "⋅∆x 2 + !
Siła jaka pojawia się przy niewielkiej zmianie położenia
F =−
dE P
≈ − E P "⋅∆x
dx
ma taki sam charakter jak siła harmoniczna.