Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym

Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych
(w tym podzielność)
1. Pojęcie pierścienia.
Definicja.
Zbiór A z dwoma operacjami wewnętrznymi o symbolach + i ⋅ nazywa się pierścieniem,
jeżeli spełnione są warunki:
1) A z operacją + stanowi grupę abelową,
2) A z operacją ⋅ stanowi półgrupę,
3) zachodzą tzw. prawa rozdzielności:
dla dowolnych a, b, c w A jest
a(b + c) = ab + ac i (b + c)a = ba + ca.
Jeśli w zbiorze A istnieje nadto element jednostkowy operacji mnożenia ⋅, mówi się o
pierścieniu z jednością.
Tak więc dla pierścienia A z operacjami + i ⋅ przyjmujemy warunki:
4) dla dowolnych a, b, c w A zachodzi
(a + b) +c = a + (b + c),
5) istnieje element jednostkowy dodawania 0, tzn. taki, że dla każdego a w A zachodzi
a + 0 = 0 + a = a,
6) każdy element a w A posiada inwers względem dodawania, o symbolu – a, a więc taki, że
a + (– a) = 0 i (– a) + a = 0,
7) dla każdych a i b w A zachodzi
a + b = b + a,
8) dla każdych a, b, c w A zachodzi
a(bc) = (ab)c,
9) istnieje element jednostkowy operacji mnożenia, o symbolu 1, a więc taki, że
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a dla każdego a w A,
10) dla dowolnych a, b, c w A zachodzi
a(b + c) = ab + ac i (b + c)a = ba + ca.
Przykłady pierścieni:
1. (R, +, ⋅) – zbiór liczb rzeczywistych z operacjami dodawania i mnożenia.
2. (Z, +, ⋅) – zbiór liczb całkowitych z tymi działaniami.
3. (Q, +, ⋅) – zbiór liczb wymiernych z tymi działaniami.
4. (Z[ 2 ], +, ⋅) – zbiór liczb rzeczywistych postaci a + b 2 , gdzie a i b są liczbami
całkowitymi, z tymi działaniami.
5. Zbiór funkcji, które odwzorowują zadany zbiór A w zbiór liczb rzeczywistych,
z następującymi operacjami: przez sumę dwu funkcji f i g rozumie się funkcję f + g taką,
że(f + g)(x) = f(x) + g(x) dla każdego x w A, przez iloczyn zaś funkcję f ⋅ g taką, że
(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) dla dowolnego x w A.
2. Pierścienie całkowite.
Zażądajmy, by w pierścieniu (A, +, ⋅) zachodziły następujące dwa prawa:
1) dla dowolnych a, b w A zachodzi
a ⋅ b = b ⋅ a,
2) jeżeli dla dowolnych a, b, c w A zachodzi
a ⋅ c = b ⋅ c lub c ⋅ a = c ⋅ b oraz c≠0, to a = b.
Pierścień, który czyni zadość tym warunkom, nosi nazwę pierścienia całkowitego.
Przykłady pierścieni całkowitych.
1. Pierścień (Z, +, ⋅ ) liczb całkowitych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem.
2. Pierścień (Q, +, ⋅) liczb wymiernych z działaniami jak w przykładzie 1.
3. Pierścień (R, +, ⋅) liczb rzeczywistych z działaniami jak wyżej.
4. Pierścień liczb rzeczywistych postaci a + b 2 , gdzie a i b są całkowite, z działaniami jak
w przykładzie 1.
5. Pierścień liczb rzeczywistych postaci a + b 2 , gdzie a i b są wymierne, z działaniami jak
wyżej.
3. Pierścienie całkowite uporządkowane.
Wśród pierścieni całkowitych znajdują się pierścienie liczbowe: liczb całkowitych,
wymiernych, rzeczywistych. Wiadomo, że te zbiory liczbowe po usunięciu z nich zera
rozpadają się na podzbiory liczb dodatnich i ujemnych; pozwala to w konsekwencji określić
nierówności między liczbami: uważa się liczbę a za większą od b, jeżeli różnica a – b
znajduje się wśród liczb dodatnich. W niektórych pierścieniach całkowitych możliwe jest
podobne uporządkowanie.
Definicja.
Pierścień całkowity (A, +, ⋅) nazywa się pierścieniem całkowitym uporządkowanym,
jeżeli elementy niezerowe A podzielić można na dwa podzbiory J i J’ takie, że zachodzą
warunki:
1) J’ składa się z inwersów względem operacji + elementów J,
2) jeżeli a, b ∈ J, to a + b∈ J i a ⋅ b ∈ J,
3) J składa się z inwersów elementów J’,
4) jeżeli a, b ∈ J’, to a + b ∈ J’,
5) jeżeli a, b ∈ J’, to a ⋅ b∈ J.
Pierścienie liczb rzeczywistych, wymiernych i całkowitych są pierścieniami
uporządkowanymi.
4. Definicja pierścienia liczb całkowitych.
Definicja.
Zbiór Z z operacjami wewnętrznymi + i ⋅ nazywa się zbiorem liczb całkowitych, jeżeli
1) Z jest grupą abelową względem operacji +,
2) operacja ⋅ jest asocjatywna i komutatywna,
3) w Z istnieje element jednostkowy 1 operacji mnożenia różny od 0,
4) dla dowolnych a, b, c w Z zachodzi warunek
a(b + c) = ab + ac,
5) elementy niezerowe Z rozpadają się na dwa podzbiory J i J’ takie, że J’ składa się
z inwersów operacji + elementów J,
6) dla dowolnych a, b w J jest
a + b ∈ J, a ⋅ b∈ J,
7) jeżeli U jest podzbiorem J takim, że 1 ∈ U i dla każdego a w U także a + 1 ∈ U, to
U = J.
Aksjomaty 1) – 7) wyznaczają pierścień całkowity, uporządkowany, z co najmniej dwoma
elementami, spełniający nadto warunek 7). Ten ostatni oznacza, że zbiór liczb całkowitych
dodatnich składa się z liczb 1, 1 + 1,1 + 1 + 1, itd.
Elementy zbioru J nazwiemy liczbami naturalnymi.
6. Niektóre własności zbioru liczb całkowitych.
Wskażemy tu na pewne podstawowe cechy budowy algebraicznej tego pierścienia,
którymi różni się on od innych pierścieni liczbowych. Wśród tych własności najwięcej uwagi
poświęcimy tzw. zasadzie indukcji matematycznej z racji jej licznych zastosowań oraz
konstrukcji definicji indukcyjnych.
Rozpoczniemy od twierdzeń:
Twierdzenie 1.
Jedynka pierścienia liczb całkowitych jest najmniejszym jego elementem dodatnim.
Dowód.
Utwórzmy zbiór U złożony z tych wszystkich elementów x zbioru J, dla których zachodzi
x = 1 lub x > 1. Wystarczy dowieść, że U = J. Sprawdzimy w tym celu, że zbiór U czyni
zadość założeniom aksjomatu 7). Istotnie, niech x ∈ U, wtedy x = 1 lub x > 1.Trzeba pokazać,
że x + 1∈ U. Jeżeli x = 1, to x + 1 = 1 + 1 a 1 + 1 > 1 ( bo 1 > 0 pociąga 1 + 1 > 0 + 1). Jeżeli
x > 1, to x + 1 > 1 + 1, co z przechodniości nierówności pociąga też i x + 1 > 1. W każdym
więc przypadku x + 1 > 1, więc x + 1 ∈ U. Zbiór U spełnia założenia aksjomatu 7); wynika
zeń, że U = J.
Twierdzenie 2.
Jeśli liczby całkowite a i b spełniają nierówność a < b, to a + 1 ≤ b.
Dowód.
Niech a < b, czyli b – a ∈ J. Ponieważ najmniejszą liczbą w J jest 1, więc b – a ≥ 1, co już
pociąga a + 1 ≤ b.
Twierdzenie 3.
Niech T będzie podzbiorem niepustym zbioru liczb naturalnych J. Istnieje wtedy w T
dokładnie jeden element a taki, że dla każdego elementu x zbioru T, różnego od a, jest a < x.
Taki element a, który czyni zadość warunkowi zawartemu w tezie, nazywa się
minimum zbioru T. O zbiorze, którego każdy niepusty podzbiór posiada minimum, mówi się,
że jest dobrze uporządkowany. Zatem twierdzenie nasze można sformułować krótko:
Zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany.
Dowód.
Zadajmy dowolny niepusty podzbiór T zbioru J. Może być:
1. 1 ∈ T lub 2. 1 ∉ T.
Wobec twierdzenia 1, w przypadku1. zbiór T posiada minimum, jest nim liczba 1. Zajmijmy
się wobec tego przypadkiem 2. Załóżmy dla dowodu niewprost, że T nie posiada minimum.
Tworzymy pomocniczo zbiór U złożony z tych wszystkich liczb naturalnych, które są
mniejsze od wszystkich y ze zbioru T. Ponieważ 1 ∉ T, a jest najmniejszą liczbą naturalną,
więc 1 ∈ U.
Ustalmy w U dowolne x i zbadajmy x + 1. Wobec tego, że dla dowolnie ustalonego y
w T jest x < y, zachodzi x + 1 ≤ y. Mogą zajść dwie ewentualności:
albo: (a) dla pewnego y ze zbioru T jest x + 1 = y,
albo: (b) dla każdego y ze zbioru T zachodzi x + 1 < y.
Przypadek (a) trzeba wykluczyć, oznacza on bowiem, że T posiada minimum, jest nim y.
Istotnie, weźmy z ∈ T, z ≠ y, to x + 1 ≤ z; ponieważ nie zachodzi x + 1 = z, więc x + 1 < z,
czyli y < z.
Musimy zatem przyjąć, że dla każdego x w U i dowolnego y w T zachodzi x + 1 <y. Ale to
oznacza, że x + 1 ∈ U. Wobec aksjomatu 7) zbiór U musi być całym J, stąd zaś wynika, że
w Tnie ma ani jednego elementu. Dochodzimy w ten sposób do sprzeczności z założeniem, że
T jest niepusty, co kończy dowód.
6. Segmenty, zbiory skończone i przeliczalne, ciągi skończone i nieskończone.
Podamy teraz kilka pojęć, które ułatwią sformułowanie dalszych wypowiedzi
własnościach liczb całkowitych.
Definicja 1.
Niech n będzie liczbą naturalną. Segmentem [1, n] zbioru liczb naturalnych J nazywa
się podzbiór zbioru J wszystkich elementów x spełniających warunek x ≤ n.
Ponieważ dla każdego n jest 1 ≤ n, więc 1 ∈ [1, n]. Podobnie, n ≤ n, więc n ∈ [1, n].
Łatwo pokazać, że [1, 1] składa się tylko z liczby 1, [1, 2] z liczb 1 i 2, [1, 3] z liczb 1, 2, 3
itd.
Definicja 2.
Zbiór niepusty A nazywa się skończonym, jeżeli istnieje odwzorowanie
różnowartościowe f pewnego segmentu zbioru liczb naturalnych [1, n] na A. Liczbę n nazywa
się ilością elementów A, mówi się też, że jest n – elementowy.
Obraz liczby naturalnej i z [1, n] poprzez odwzorowanie f oznacza się zazwyczj
symbolem ai.
Zbiór pusty uważamy też za zbiór skończony. Zbiór, który nie jest skończony, nazywa
się nieskończonym.
Definicja 3.
Odwzorowanie segmentu [1, n] w pewien zbiór A nosi nazwę ciągu skończonego,
n – wyrazowego, w zbiorze A. Obraz liczby i z [1, n] poprzez ciąg oznacza się symbolem ai
i nazywa się i – tym wyrazem ciągu.
Przyjęto ciąg przedstawiać symbolem (a1, a2, a3,... , an). W szczególności,
odwzorowanie z definicji 2. jest przykładem ciągu skończonego w zbiorze skończonym.
Definicja 4.
Zbiór A nazywa się przeliczalnym, jeżeli istnieje odwzorowanie różnowartościowe
zbioru liczb naturalnych J na zbiór A.
Podobnie, jak w definicji 2., obraz liczby naturalnej i bywa oznaczany przez ai.
Definicja 5.
Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych J w pewien zbiór A nazywa się ciągiem
nieskończonym w zbiorze A.
Obraz liczby i poprzez ciąg oznacza się symbolem ai i nazywa i – tym wyrazem ciągu.
Sam ciąg oznacza się symbolem (a1, a2, a3,... ) lub krótko (an) albo an.
7. Zasada indukcji matematycznej.
Zasada indukcji matematycznej dotyczy pewnej metody dowodu twierdzeń
o sformułowaniu:
(1) „ każda liczba naturalna n posiada własność W(n)”.
Przytoczmy najpierw kilka przykładów takich twierdzeń:
1.
„ Dla każdego n naturalnego liczba n(n + 1) jest podwojoną sumą liczb należących do
segmentu[1, n]”.
Twierdzenie to można wypowiedzieć w sformułowaniu (1), jeżeli przez W(n) będzie się
rozumieć: „liczba n(n + 1) jest podwojoną sumą liczb naturalnych należących do segmentu
[1, n]”.
2.
„n różnych płaszczyzn, przechodzących przez jeden punkt przestrzeni tak, że żadne
trzy nie mają wspólnej krawędzi przecięcia, dzieli przestrzeń na n(n – 1) + 2 części”.
W sformułowaniu tym pominięto zwrot, którego się domyślamy: „ dla każdego n
naturalnego”, wypowiedź twierdzenia podaje tylko własność W(n).
Podobnie brzmi:
n +1
x
2
⋅ sin nx".
x
sin
2
sin
3. „ sinx + sin2x + sin3x +... + sinnx =
Oznaczmy zdanie „ liczba n posiada własność W(n)” symbolem Pn. Wtedy (1) brzmi:
(2) „ Dla każdego n naturalnego zdanie Pn jest prawdziwe”.
Dowód twierdzenia postaci (2) można przeprowadzić korzystając z następującej zasady:
ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ.
Jeżeli:
(a) zdanie P1 jest prawdziwe;
(b) dla dowolnego n naturalnego prawdziwość zdań P1,... , Pn pociąga prawdziwość Pn + 1,
to zdanie Pn jest prawdziwe dla każdego n.
Dowód niewprost.
Załóżmy, że dla pewnych n zdanie Pn jest fałszywe. Utwórzmy zbiór K tych wszystkich n, dla
których Pn jest fałszywe; z naszego założenia jest on niepusty. Ze względu na dobre
uporządkowanie zbioru liczb naturalnych, K posiada minimum. Oznaczmy je literą a. To
a jest większe od 1, 1 bowiem wobec (a), do K nie należy. Nierówność a >1 pociąga a – 1 > 0,
A – 1 jest więc liczbą naturalną, nie leżącą w K. Co więcej, wszystkie liczby segmentu
[1, a – 1] są poza K, więc zdania P1,... , Pa – 1 są prawdziwe. Ale wtedy, z założenia (b) Pa-1+1,
czyli Pa musi być też prawdziwe, wbrew temu, że a ∈ K.
Zilustrujemy korzystanie z zasady indukcji, przeprowadzając dowód twierdzenia:
„ Dla każdego n naturalnego liczba n(n + 1) jest podwojoną sumą liczb naturalnych,
należących do segmentu [1, n]”.
Dla twierdzenia tego Pn brzmi: „ liczba n posiada tę własność, że n(n + 1) jest
podwojoną sumą liczb naturalnych, należących do segmentu [1, n]”.
Należy udowodnić dwa fakty:
(c) P1 jest prawdziwe, tzn. liczba 1(1 + 1) jest podwojoną sumą liczb segmentu [1, 1];
(d) prawdziwość P1,... , Pn pociąga prawdziwość Pn+1; n jest tu dowolnie ustaloną liczbą
naturalną. Oznacza to, że z założenia: dla dowolnego i z [1, n] liczba i(i + 1) jest
podwojoną sumą liczb segmentu [1, i] – wynika teza: liczba (n + 1)(n + 2) jest podwojoną
sumą liczb segmentu [1, n + 1].
Dowód (c): W segmencie [1, 1] znajduje się tylko liczba 1, zatem podwojona suma liczb tego
segmentu, to 2 ⋅ 1 = 2. Jest to oczywiście równe 1⋅ (1 + 1) = 1 ⋅ 2.
Dowód (d): Do segmentu [1, n + 1] wchodzi poza liczbami segmentu [1, n], jeszcze tylko
liczba n + 1. Podwojona suma liczb segmentu [1, n] wynosi z założenia n(n +1), stąd
podwojona suma liczb segmentu [1, n + 1] jest n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2), co kończy
dowód.
8. Definicje indukcyjne.
Podamy z kolei schemat, według którego formułować można określenie
odwzorowania zbioru liczb naturalnych zadany zbiór A, a więc określenie ciągu w zbiorze A.
Definicje konstruowane według tego schematu noszą nazwę definicji indukcyjnych.
Są one oparte o następujące
Twierdzenie 1.
Utwórzmy dla zbioru A ciąg zbiorów X1 = A, X2 = A × A, X3 = A × A × A,.... Dla każdego
n naturalnego zadajemy odwzorowanie ϕn zbioru X n w znany zbiór A. Wtedy istnieje
dokładnie jedna funkcja f, odwzorowująca zbiór J w A taka, że
(1) f(1) jest zadanym elementem a w A;
(2) dla każdego n naturalnego zachodzi
f(n + 1) = ϕn ( f ( 1), f(2),... , f(n)).
Tak więc, chcąc określić funkcję odwzorowującą J w A, można zadać w A ciąg
funkcji ϕn, n = 1,2... , takich, że ϕn: Xn → A i wypowiedzieć definicję: ciąg f jest
odwzorowaniem J w A, które spełnia warunki (1) i (2).
Przykłady
1. Definicja ciągu arytmetycznego liczb rzeczywistych: ciąg arytmetyczny o wyrazie
pierwszym a i różnicy r jest ciągiem spełniającym warunki:
(3) a1= a,
(4) an+1= an + r.
W tej znanej z kursu szkolnego definicji warunek (3) zadaje wartość ciągu dla liczby 1,
warunek (4) zawiera regułę otrzymywania an+1, gdy znane jest an.
Definicja ta została skonstruowana zgodnie z opisanym schematem definiowania ciągów: A
jest tu zbiorem liczb rzeczywistych, a zadanym jego elementem; funkcje ϕn są określone
następująco:
ϕ1 (x1) = x1 + r, ϕ2 (x1,x2) = x2 + r, itd.,
w ogóle, dla dowolnego n jest
ϕn (x1,... , xn) = xn + r.
2.
Definicja ciągu geometrycznego liczb rzeczywistych: Ciąg geometryczny o wyrazie
pierwszym a i ilorazie q jest ciągiem spełniającym warunki:
a1 = a
an+1 = an ⋅ q
Tutaj ϕn (x1,... , xn ) = xn ⋅ q.
9. Przykład definicji indukcyjnej n!
Niech odwzorowuje zbiór liczb naturalnych w ten sam zbiór zachowując warunki
(1) f(1) = 1
(2) dla dowolnego n jest f(n+1) = f(n) ⋅ (n+1).
Podane warunki (1) i (2) tworzą definicję indukcyjną, w której przyjęto:
a = 1, ϕn (x1,... , xn) = x n(n +1). Wyznaczają one zatem funkcję f jednoznacznie. Pokażemy,
że funkcja f jest funkcją ϕ, przyporządkowuje dowolnej liczbie iloczyn wszystkich liczb
z segmentu [1; n ]. Istotnie ϕ spełnia (1) i (2), bo w segmencie [1, 1] jest tylko liczba 1,
zatem ϕ (1) = 1; w segmencie [1; n + 1] są wszystkie liczby segmentu [1, n ] oraz n + 1, stąd
ϕ (n+1) = ϕ (n(n+1) ).
Łatwo też pokazać, że prócz ϕ żadna inna funkcja nie może spełnić warunków (1) i (2).
Istotnie jeżeli f spełnia (1) i (2), to musi być f(n) = ϕ (n) dla każdego n. Jest bowiem f(1) = 1
i ϕ (1) = 1. Nadto, jeżeli założymy, że dla naturalnego n zachodzi f(n) =ϕ (n), to także
f(n(n+1)) = ϕ (n (n+1)), czyli f(n+1) = ϕ (n+1).
Określenie funkcji n! rozciągamy także na liczbę 0 przyjmując, że 0! = 1.
10. Potęgi o wykładnikach całkowitych i iloczyny elementów zbioru przez liczby
całkowite
Niech X będzie zbiorem z asocjatywną operacją mnożenia. Ustalamy x w X. Określamy
funkcję f odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór X następującą definicją indukcyjną:
(1) f(1) = x;
(2) dla dowolnego n naturalnego f(n+1)=f(n) ⋅ x.
Początkowe wyrazy f są:
f(1) = x, f(2)=x ⋅ x, f(3) = (x ⋅ x) ⋅ x = x ⋅ x ⋅ x, etc.
Dla n -tego wyrazu f się symbolu x n i nazywa się go potęgą elementu x o wykładniku n.
Określiliśmy w ten sposób potęgę dowolnego x w X o wykładniku naturalnym warunkami:
(3) x1 = x ,
(4) x n+1 = x n ⋅ x dla dowolnego n naturalnego.
W szczególnym przypadku, gdy X jest zbiorem liczb rzeczywistych z operacja
mnożenia, definicja nasza dotyczy potęgowania liczb wykładnikami naturalnymi.
Zbadamy kilka podstawowych własności potęgi; dowody twierdzeń, które podamy,
będą ilustracją metody dowodu opartej na zasadzie indukcji.
Twierdzenie 1.
Dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi
(5) x m+ n = x m ⋅ x n .
Dla dowodu wystarczy pokazać, że (5) zachodzi, gdy n = 1, oraz, że stąd iż (5) zachodzi dla
liczb 1,... , n, wynika, że zachodzi on także dla n+1. Gdy n=1, (5) brzmi: x m+1 = x m ⋅ x1 , czyli
x m+1 = x m ⋅ x , co wobec (4) zachodzi.
Załóżmy teraz, że dla liczb i w [1,n] jest x m+ i = x m + x i . Należy pokazać, że x m+ n+1 = x m ⋅ x n +1 .
Otóż x m+n+1 jest wobec (4), uczynionego założenia (3) i ponownie (4), równe
x m+ n ⋅ x1 = x m ⋅ x n ⋅ x = x m ⋅ x n +1 .
Twierdzenie 2.
(6) Dla dowolnych m i n naturalnych jest ( x m ) n = x m⋅n .
Dowód.
Ustalmy znowu dowolnie m i poprowadźmy dowód indukcyjny. Dla n = 1 badany
warunek brzmi: ( x m )1 = x m⋅1 . Element ( x m )1 , to x m , wystarczy bowiem odnieść warunek (3)
do elementu x m , zatem (6) zachodzi. Załóżmy, że dla i w [1,n] jest ( x m ) i = x m⋅i . Pokażmy, że
( x m ) i +1 = x m (i +1) rzeczywiście z (4) odniesionym do elementów x m , uczynionym założeniem
i twierdzeniem 1. otrzymujemy:
( x m ) i +1 = ( x m ) i ⋅ x m = x m⋅i ⋅ x m = x m⋅i + n = x m ( i +1)
Twierdzenie 3.
Dla każdego n naturalnego zachodzi (7) ( x ⋅ y ) n = x n ⋅ y n , jeżeli tylko x i y ze sobą
komutują. Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem.
Jeżeli elementy x i y komutują ze sobą, to komutują ze sobą także x i y n , gdzie n jest
dowolną liczbą naturalną. Tak więc, z założenia
(8) x ⋅ y = y ⋅ x
wynika
(9) x ⋅ y n = y n ⋅ x
Dowód prowadzimy indukcyjnie. Dla n =1 warunek (9) pokrywa się z (8) Załóżmy,
że dla i w [1,n] jest
(10) x ⋅ y i = y i ⋅ x .
Pokażemy, że x ⋅ y n +1 = x ⋅ y n ⋅ y = y n ⋅ x ⋅ y = y n +1 ⋅ x .
Wykorzystaliśmy tu kolejno: (4) w odniesieniu do y założenie (10), (8) i ponownie (4).
Teraz już łatwo przeprowadzimy dowód twierdzenia 3.
Dla n = 1 związek (7) brzmi: ( x ⋅ y )1 = x1 ⋅ y 1 , wobec (3) jest on prawdziwy. Załóżmy, że dla
i w [1,n] zachodzi
(11) ( x ⋅ y ) i = x i ⋅ y i . Pokażmy, że ( z ⋅ y ) n +1 = x n +1 ⋅ y n+1 . Istotnie
( x ⋅ y ) n +1 = ( x ⋅ y ) n ⋅ ( x ⋅ y ) = x n ⋅ y n ⋅ x ⋅ y = x n ⋅ x ⋅ y n ⋅ y = x n +1 ⋅ y n +1 . Skorzystaliśmy tu
kolejno: z (4) w odniesieniu do x ⋅ y, z założenia (11), lematu i powtórnie z (4). Założenie,
jakie czyniliśmy w odniesieniu do zbioru X, w którym określiliśmy potęgowanie, dotyczyło
jedynie asocjatywności operacji. Jeżeli uczyni się dalsze założenia o X, można będzie
rozszerzyć definicję potęgi na wykładniki całkowite, niekoniecznie naturalne. I tak, jeżeli
założymy, że w X istnieje element jednostkowy 1 operacji mnożenia, to można przyjąć
Definicję 2.
Dla dowolnego x w X symbol x0 oznacza 1:
x0 = 1
.
Jeżeli nadto przyjmiemy, że element x posiada inwers x −1 względem operacji
mnożenia, możemy sformułować
Definicję 3.
Dla dowolnego x z X, mającego inwers oraz dowolnego n naturalnego symbol
( )
x − n oznacza x −1 :
n
( )
n
x − n = x −1 .
Twierdzenia 1 – 3, zachowują swą moc dla dowolnych wykładników całkowitych,
jeżeli tylko rozważane w tych twierdzeniach potęgi elementów istnieją, jeżeli więc elementy
te mają inwersy. Dla przykłady pokażemy, że twierdzenie 2 zachodzi dla wykładników
całkowitych ujemnych. Dowód poprzedzimy
Twierdzenie 4.
Jeżeli a jest elementem X, posiadającym inwers, to dla dowolnego k naturalnego a k
posiada inwers, jest nim (a −1 ) .
k
Dowód.
Niech k=1; wtedy (a −1 ) = a −1 dla ustalonego k jest inwersem a k .
k
Należy pokazać, że (a −1 )
k +1
jest inwersem a k +1 , czyli, że a k +1 · (a −1 )
k +1
= (a −1 )
k +1
⋅ a k +1 =1
Rzeczywiście
( )
a k +1 · a −1
k +1
= a ⋅ a k ⋅ a −1 = a ⋅ 1 ⋅ a −1 = 1 .
Podobnie sprawdzić można drugą równość.
Pokażemy teraz, że:
Jeżeli x jest elementem X mającym inwers, to
( x m ) n = x mn ,
gdzie m i n są dowolnymi elementami całkowitymi ujemnymi.
Dowód.
Wyrażenia pojawiające się w tezie mają, wobec twierdzenia 4 sens, gwarantuje ono
bowiem istnienie inwersu dla x m . Oznaczamy teraz przez k i l liczby naturalne takie, że m=-k
i n=-l. Wtedy
( x m ) n = ( x − k ) −l = (( x −1 ) k ) −1 = ((( x −1 ) k ) −1 )1 = ((( x −1 ) −1 ) k )1 = ( x k )1 = x k 1 = x ( − k )( −1) = x m*n ,
Udowodniony związek zachodzi i wtedy, gdy m>0 i n<0.
Zbiór X, w którym rozważamy potęgowanie, wyposażony jest w operację o zapisie
multyplikatywnym. Nie stoi nic na przeszkodzie, by tę samą operację zapisać addytywnie,
nazywając ją dodawaniem elementów zbioru X. Definicja funkcji f, stanowiącej przedmiot
naszych rozważań, ma w zapisie addytywnym postać:
(12) f(1)=x;
(13) dla dowolnego naturalnego n (n+1)=f(n+x)
Przyjęto oznaczać f(n) nie symbolem x n , jak przy zapisie multyplikatywnym, lecz
symbolem n⋅x i nazywać iloczynem elementu x przez liczbę naturalną n.
Tak więc
1⋅x=x, 2⋅x=x+x, 3 ⋅ x=(x+x)+x=x+x+x
itd..
Mnożenie elementów x z X przez liczby naturalne określiliśmy więc warunkami:
(14) 1 ⋅ x = x
(15) (n+1)⋅x=n⋅x+x dla dowolnego n naturalnego.
Wypowiadając twierdzenia 1-3 w nomenklaturze adydytywnej, otrzymujemy
informacje o własnościach tego mnożenia:
Twierdzenie 5.
Dla dowolnego x w X i liczb naturalnych m i n zachodzi:
(m+n)⋅x=m⋅x+n⋅x
Twierdzenie 6.
Dla dowolnego x w X i liczb naturalnych m i n zachodzi:
m⋅(n⋅x)=(m⋅n)⋅x
Twierdzenie 7.
Dla dowolnego n naturalnego i x, y w X takich, że x+y =y+x, zachodzi
n(x+y)=n⋅x+n⋅y.
Definicję, mnożenia elementów X przez liczby naturalne można rozszerzyć na liczby
całkowite w sposób analogiczny do zrealizowanego dla potęg. Jeżeli mianowicie istnieje w X
element jednostkowy 0 operacji dodawania, to przyjmuje się
0⋅x=0
dla dowolnego x w X.
Uwaga. 0 z lewej strony tego związku jest liczbą całkowitą, z prawej elementem
jednostkowym dodawania w X. Jeżeli x posiada inwers –x względem operacji dodawania, to
przyjmuje się
(-n)⋅x = n⋅(-x)
dla dowolnego n naturalnego.
Twierdzenia 5. – 7. Zachowują ważność dla dowolnych całkowitych m i n, o ile tylko
istnieją inwersy x i y.
Niech X będzie pierścieniem z operacjami +i ⋅. Wtedy w X jest określone mnożenie
elementów przez liczby całkowite, podlegające twierdzeniom 5. – 7. oraz potęgowanie
elementów X wykładnikami naturalnymi i wykładnikiem 0; dla elementów posiadających
inwersy względem mnożenia możliwe jest też potęgowanie wykładnikami ujemnymi.
Potęgowanie podlega twierdzeniu 1 i 2, jeżeli pewne elementy x i y komutują ze sobą,
obowiązuje dla nich także twierdzenie 3. W szczególności, w pierścieniu całkowitym 3. jest
ogólnie obowiązujące.
11. Podzielność w pierścieniach całkowitych.
Rozważmy pierścień całkowity D, mający więcej niż jeden element.
Definicja 1.
Niech a i b będą dowolnie ustalonymi elementami D i niech a ≠ 0. Mówi się, że a
dzieli b, jeżeli istnieje c w D taki, że ac = b.
Warunek „ a dzieli b” zapisuje się krótko symbolem: a|b. Jeżeli a|b, to a nazywa się
dzielnikiem lub podzielnikiem b; mówi się też, że b jest podzielne przez a, lub że jest
wielokrotnością a.
Przykłady.
1. W pierścieniu całkowitym D, dla elementu a ≠ 0 jest a|a. Istotnie, a ⋅ 1 = a.
2. Element 1 dzieli każdy element a, jest bowiem 1 ⋅ a = a.
3. W pierścieniu Q element a ≠ 0 dzieli każdy element b, gdyż równanie a ⋅ x = b posiada
rozwiązanie ze względu na x; jest nim b ⋅ a-1.
4. W pierścieniu liczb całkowitych Z niezerowe a dzieli b wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
wymierna b ⋅ a-1 jest liczbą całkowitą; tak jest np. dla a = 3, b = 9, lecz nie dla a = 3,
b = 10.
Elementami pierścienia całkowitego D, które dzielą 1, są elementy posiadające inwers
względem mnożenia. Rzeczywiście, a ⋅ a-1 = 1; z drugiej strony, jeżeli c spełnia a ⋅ c = 1, to
c jest inwersem a.
W pierścieniu liczb całkowitych dzielnikami 1 są tylko liczby 1 i – 1.
Dzielniki 1 są podzielne tylko przez dzielniki 1.
Elementy a, b ≠ 0, takie, że a|b i b|a, nazywa się stowarzyszonymi.
Jeżeli a i b są stowarzyszone, to c, z którym zachodzi ac = b, jest dzielnikiem 1.
Definicja 2.
Jeżeli element niezerowy a pierścienia całkowitego D jest iloczynem skończonej
liczby elementów a1,... , an należącym do D, to ciąg a1,... , an nazywamy rozkładem na
czynniki, jego elementy – czynnikami rozkładu. Tak więc a1,... , an jest rozkładem a na
czynniki, gdy a = a1 ⋅... ⋅ an.
Rozkład nazywamy właściwym, gdy zawiera co najmniej 2 czynniki i gdy nie ma
wśród czynników dzielników 1.Element nazwiemy rozkładalnym, gdy posiada on rozkład
właściwy, element nie mający takiego rozkładu nazwiemy nierozkładalnym.
Definicja 3.
Element niezerowy a pierścienia całkowitego D nazwiemy elementem pierwszym,
jeżeli dla dowolnych b i c z D, warunek a|bc pociąga a|b lub a|c.
W pierścieniu Z oprócz dzielników 1: 1 i – 1 pierwszymi są np. 2, 3, 5, 7, 11.
Definicja 4.
Element b pierścienia całkowitego D nazywa się największym wspólnym dzielnikiem
(NWD), elementów a1,... , an z D, jeżeli
(1) b dzieli każdy z elementów a1,... , an,
(2) jeżeli c z D dzieli każdy z elementów a1,... , an, to c|b.
Dla liczb 6 i 8 dzielnikami wspólnymi są ± 1, ± 2, wśród nich ± 2 są
dzielnikami podzielnymi przez wszystkie inne, zatem NWD są + 2 i – 2.
Definicja 5.
O dwu niezerowych elementach D mówi się, że są względnie pierwsze, jeżeli istnieją
dla nich NWD i jeśli wśród nich jest element 1.
Dla liczb całkowitych 5 i 8 jedynymi NWD są 1 i – 1, zatem 5 i 8 są względem siebie
pierwsze.
12. Pierścienie Euklidesa.
Dla pierścienia całkowitego D można określić odwzorowania, które przeprowadzają
ten pierścień w zbiór liczb całkowitych nieujemnych. Może się zdarzyć, że takie
odwzorowanie ϕ, przyporządkowujące każdemu elementowi z D pewną liczbę całkowitą
nieujemną, czyni zadość następującym trzem warunkom:
(1) ϕ(a) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0,
(2) dla dowolnych a i b z D jest ϕ(a ⋅ b) = ϕ(a) ⋅ ϕ(b),
(3) dla dowolnych a i b z D, gdzie b ≠ 0, istnieją elementy q i r w D, takie, że a = bq + r
i ϕ(r) < ϕ(b).
Definicja.
Pierścień całkowity D, dla którego istnieje funkcja ϕ, odwzorowująca D w zbiór liczb
całkowitych nieujemnych, spełniająca warunki (1) – (3), nazywa się pierścieniem Euklidesa.
Element q z warunku (3) nosi nazwę ilorazu elementów a i b; r nazywa się resztą;
przedstawienie elementu a w postaci (3), to dzielenie z resztą.
Pierścień Z liczb całkowitych jest pierścieniem Euklidesa.
13. O kongruencji.
Mówimy, że liczby całkowite do siebie przystają według modułu, jeżeli po
podzieleniu przez ten sam dzielnik, który nazywamy modułem, otrzymamy taką samą resztę,
albo inaczej, jeżeli różnica tych liczb dzieli się bez reszty przez moduł. Na przykład liczby
9 i 17 przystają do siebie według modułu 4, ponieważ zarówno9 jak i 17 dają przy dzieleniu
przez 4 tę samą resztę 1. Zapisujemy to tak
9 ≡ 17 (mod 4).
Takie przystawanie liczb nazywamy kongruencją.
Ogólnie, przystawanie liczb a i b według modułu m zapisujemy w postaci
a ≡ b (mod m).
Niektóre własności kongruencji:
1) każda liczba przystaje do siebie według dowolnego modułu, tj. a ≡ a (mod m),
2) jeżeli a ≡ c (mod m) i b ≡ c (mod m), to a ≡ b (mod m),
3) kongruencje o wspólnym module można dodawać stronami,
4) do każdej strony kongruencji można dodawać (lub odejmować) tę samą wielokrotność
modułu,
5) obie strony kongruencji można mnożyć przez tę samą liczbę lub podnosić do tej samej
potęgi.
Opierając się na przytoczonych własnościach kongruencji można udowodnić, że liczba
256
2
– 1 przy dzieleniu przez 7 daje resztę 1.
Mamy bowiem
23 ≡ 1 (mod 7)
(23)85 ≡ 185 (mod 7)
2256 ≡ 2 (mod 7)
2256 – 1 ≡ 1 (mod 7)
Z kongruencji tej wynika, że liczba 2256 – 1 przy dzieleniu przez 7 daje resztę 1.
14. Algorytm Euklidesa.
Algorytm Euklidesa to następujące postępowanie, które stosuje się do dowolnych
dwóch liczb, nazwijmy je a i b. Dzielimy z resztą a przez b i otrzymujemy wynik w1 i resztę
r1. Następnie dzielimy b przez r1, otrzymując wynik w2 i resztę r2. Z kolei r1 dzielimy przez r2,
otrzymując wynik w3 i resztę r3. I tak dalej, co oznacza, że tak długo, dopóki nie otrzymamy
reszty 0, powtarzamy tę operację, otrzymując z dzielenia rn-1 przez rn wynik wn+1 i resztę rn+1.
Gdy nie natrafimy na resztę 0, traktujemy całą operację jako ciągnącą się w nieskończoność.
Tak więc algorytm Euklidesa z pary liczb a i b produkuje skończoną lub nieskończoną liczbę
par wi i ri.
Przykład.
a = 1517, b = 1073
1517 = 1 ⋅ 1073 + 444
1073 = 2 ⋅ 444 + 185,
444 = 2 ⋅ 185 + 74
185 = 2 ⋅ 74 + 37,
74 = 2 ⋅ 37 + 0.
Stosując algorytm Euklidesa wśród liczb naturalnych mamy pewność, że algorytm się
zatrzymuje i istnieje pierwsza reszta równa zeru.
Zauważmy, że
jeśli w algorytmie Euklidesa, zastosowanym do liczb naturalnych a i b, pierwszą resztą równą
zeru jest rn, to rn-1 jest największym wspólnym dzielnikiem a i b.
Na koniec zauważmy, że zachodzi też stwierdzenie
dla dowolnych liczb naturalnych a i b istnieją takie liczby całkowite k i l, że k ⋅ a + l ⋅ b jest
równe największemu wspólnemu dzielnikowi tych liczb.
Przykład (do poprzedniego)
37 = 1 ⋅ 185 – 2 ⋅ 74 = (– 2 – 10) ⋅ r + (3 + 14) ⋅ s = – 12 ⋅ r + 17 ⋅ s.
37 = (– 12) ⋅ 1517 + 17 ⋅ 1073.
Literatura.
1. Opial Z., Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1976.
2. Grzegorczyk A., Zarys arytmetyki teoretycznej, PWN, Warszawa 1983.
3. Narkiewicz W., Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977.