Metody rozwiązywania obwodów elektrycznych
advertisement
Metody rozwiązywania obwodów elektrycznych Rozwiązaniem obwodu elektrycznego - określa się wyznaczenie wartości wszystkich prądów płynących w rozpatrywanym obwodzie bądź wartości wszystkich napięć panujących w nim. Proces ten wymaga skorzystania z podstawowych praw i własności obwodów elektrycznych. Zazwyczaj stosuje się: • metodę potencjałów węzłowych, • metodę prądów oczkowych, • metodę Thevenina. W zależności od typu obwodu konieczne może być także zastosowanie: • metody składowych symetrycznych - dla niesymetrycznych trójfazowych obwodów prądu przemiennego • liczb zespolonych - metody symbolicznej - dla obwodów prądu przemiennego w stanie ustalonym • transformaty Laplace'a - dla obwodów z przebiegami odkształconymi (w stanie nieustalonym). Metoda praw Kirchhoffa Jest to metoda klasyczna, która polega na ułożeniu odpowiedniej liczby równań na podstawie I i II prawa Kirchhoffa. Dla obwodu elektrycznego zawierającego w węzłów, należy ułożyć /w-1/ równań z I prawa Kirchhoffa. Ogólna liczba równań, jakie należy ułożyć dla obwodu o k gałęziach jest równa liczbie gałęzi, czyli sumie szukanych prądów. Zatem z II prawa Kirchhoffa należy ułożyć pozostałe równania, czyli k-(w-1) równań. Zastosowanie praw Kirchhoffa Obliczenie rozpływu prądu w obwodzie można wykonać z zastosowaniem I i II prawa Kirchhoffa. Załóżmy, że obwód ma n gałęzi i k węzłów. Zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia n niewiadomych prądów płynących w poszczególnych gałęziach, zwanych prądami gałęziowymi obwodu. Na schemacie obwodu oznaczmy zwroty prądów gałęziowych za pomocą strzałek, które przyjmujemy zupełnie dowolnie. Jeśli bowiem przyjmiemy niewłaściwy zwrot prądu, to okaże się po wykonaniu obliczeń, że prąd ma wartość ujemną. Metoda praw Kirchhoffa Tok obliczeń jest następujący: 1. Strzałkuje się dowolnie prądy we wszystkich gałęziach obwodu. 2. Strzałkuje się napięcia (przeciwnie do strzałki prądu) na wszystkich elementach rezystancyjnych oraz źródła napięcia. 3. Układa się (w-1) równań węzłowych według pierwszego prawa Kirchhoffa opuszczając jeden dowolny węzeł. 4. Układa się tyle równań według drugiego prawa Kirchhoffa ile dany obwód zawiera oczek. 5. Rozwiązuje się powyższy układ ze względu na nieznane prądy gałęziowe. Zaletą metody równań Kirchhoffa jest duża prostota w trakcie układania równań, natomiast wadą jest duża pracochłonność przy ich rozwiązywaniu. Rozwiązywanie obwodu metodą praw Kirchhoffa I1 I2 I3 R1=5Ω R2=10Ω E1-(I2+I3)*R1-I3*R3=0 E2+I3*R3-I2*R2=0 R3=10Ω E1=10V E2=5V I1=I2+I3 E1-I1*R1-I3*R3=0 I3*R3-I2*R2+E2=0 E1-I2*R1-I3*R1-I3*R3=0 E2-I2*R2+I3*R3=0 E1-I2*R1-I3*(R1-R3)=0 E2-I2*R2+I3*R3=0 ⇒ I2=(E2+I3*R3)/R2 E1 − E2 + I 3 ⋅ R3 ⋅ R1 − I 3 ⋅ (R1 + R3 ) = 0 R2 E1 − E2 ⋅ R1 R ⋅R − I 3 ⋅ 3 1 − I 3 ⋅ (R1 + R3 ) = 0 R2 R2 E1 − E2 ⋅ R ⋅R R1 = I 3 ⋅ 1 3 + R1 + R3 R2 R2 I3 = E1 ⋅ R2 − E2 ⋅ R1 10 ⋅10 − 5 ⋅ 5 75 = = = 0,375 A R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ R3 5 ⋅10 + 5 ⋅10 + 5 ⋅ 5 200 5 + 0,375 ⋅10 = 0,875 A 10 I1 = 0,375 + 0,875 = 1,25 A I2 = Przykład 4 W celu otrzymania n równań, układamy k-1 równań na podstawie I prawa Kirchhoffa, a pozostałe n-k+1 równań układamy na podstawie II prawa Kirchhoffa dla wszystkich niezależnych oczek obwodu. W wyniku rozwiązania tych równań otrzymuje się n prądów gałęziowych. Rozpatrywany obwód ma k = 4 węzły i n = 6 gałęzi. Na podstawie I prawa Kirchhoffa układamy k-1 = 3 równania dla węzłów A, B, C: Na podstawie II prawa Kirchhoffa układamy n-k+1 = 3 równań dla oczek ADCA, BDCB, ADBA: Teraz pozostaje podstawić dane (najczęściej R i E) i rozwiązać układ równań. Metoda prądów oczkowych Metoda ta zwana inaczej metodą prądów cyklicznych polega na wprowadzeniu fikcyjnych (umyślonych) prądów oczkowych (cyklicznych) płynących przez wszystkie gałęzie rozpatrywanego oczka. Za zwrot obiegowy danego oczka przyjmuje się zwrot prądu cyklicznego tego oczka. Układając równanie bilansu napięć oczka należy uwzględnić spadki napięć od wszystkich prądów cyklicznych płynących przez gałęzie rozpatrywanego oczka. Prąd gałęziowy, czyli rzeczywisty prąd płynący przez daną gałąź, jest równy sumie algebraicznej prądów cyklicznych płynących przez gałąź. Metoda prądów oczkowych I1 I2 I3 R1=5Ω R2=10Ω R3=10Ω E1=10V I’1 I’2 E2=5V W rozpatrywanym obwodzie wprowadzamy prądy oczkowe, krążące jak gdyby wzdłuż poszczególnych oczek obwodu. Najwygodniej jest przyjąć, że zwroty prądów oczkowych są takie same we wszystkich oczkach, na przykład są zgodne z ruchem wskazówek zegara. Prądy w gałęziach zewnętrznych obwodu, tj. w gałęziach nie będących wspólnymi dla dwóch oczek, są równe odpowiednim prądom oczkowym. Prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch oczek równają się różnicy odpowiednich prądów oczkowych. E1 − I 1′ ⋅ (R1 + R3 ) + I 2′ ⋅ R 3 = 0 I 1′ ⋅ R 3 − I 2′ ⋅ (R3 + R 2 ) + E 2 = 0 E1 + I 2′ ⋅ R3 R1 + R3 E1 + I 2′ ⋅ R3 ⋅ R3 − I 2′ ⋅ (R3 + R2 ) + E 2 = 0 R1 + R3 I 1′ = R3 R32 ′ E1 ⋅ + I2 ⋅ − I 2′ ⋅ (R 2 + R3 ) + E 2 = 0 R1 + R3 R1 + R3 R32 R3 I 2′ ⋅ − R2 − R3 + E1 ⋅ + E2 = 0 R + R R + R 1 3 1 3 2 R3 − R1 R2 − R1 R3 − R2 R3 − R32 R3 + E1 ⋅ I 2′ ⋅ + E2 = 0 R + R R + R 1 3 1 3 E1 ⋅ R R + R1 R3 + R 2 R3 R3 + E 2 = I 2′ ⋅ 1 2 R1 + R3 R1 + R3 I 2′ = E1 R3 + E 2 (R1 + R3 ) R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 10 ⋅ 10 + 5 ⋅ (5 + 10 ) 175 = = 0,875 A 5 ⋅ 10 + 5 ⋅ 10 + 10 ⋅ 10 200 10 + 0,875 ⋅ 10 I 1′ = = 1, 25 A 5 + 10 I 1 = I 1′ = 1, 25 A I 2 = I 2′ = 0,875 A I 2′ = I 3 = I 1′ − I 2′ = 0,375 A Metoda potencjałów węzłowych Metoda analizy obwodów elektrycznych o stałych współczynnikach (liniowych), wynikająca z praw Kirchhoffa. Polega na wprowadzeniu tzw. potencjałów węzłowych, czyli napięć między węzłem odniesienia (0), a pozostałymi węzłami sieci elektrycznej. Przyjęcie potencjałów węzłowych automatycznie powoduje spełnienie napięciowego prawa Kirchhoffa w obwodzie. Pozostają więc do ułożenia równania wynikające z prądowego prawa Kirchhoffa w liczbie = ilość węzłów obwodu - 1. Metoda potencjałów węzłowych Napięcia każdej gałęzi (fragmentu obwodu między dwoma węzłami) da się zapisać jako różnica potencjałów w węzłach na końcach gałęzi. Przyrównanie tej różnicy do napięcia gałęzi obliczonego za pomocą prądu gałęzi i jej elementów elektrycznych (źródeł, impedancji) daje wzór na prąd gałęzi w zależności od potencjałów na jej końcach. Tak przedstawione prądy gałęzi należy zsumować zgodnie z prądowym prawem Kirchhoffa, dla każdego węzła oprócz węzła (0). Powstanie wówczas układ równań w liczbie (ilość węzłów obwodu - 1) na szukane potencjały węzłowe obwodu. Rozwiązywanie obwodów metodą potencjałów węzłowych I1 A I2 I1 = I 2 + I 3 I3 R1=5Ω I1 = R2=10Ω R3=10Ω E1=10V E2=5V B Tok obliczeń prądów gałęziowych jest następujący: 1. Strzałkuje się dowolnie prądy we wszystkich gałęziach obwodu. 2. Strzałkuje się napięcia (przeciwnie do strzałki prądu) na wszystkich elementach rezystancyjnych obwodu. 3. Oznacza się potencjały węzłów, przyjmując potencjał jednego dowolnego węzła równy zeru (węzeł odniesienia). 4. Układa się równania węzłowe dla (w-1) węzłów obwodu, opuszczając węzeł odniesienia. 5. Rozwiązuje się powyższy układ równań ze względu na potencjały węzłowe. 6. Oblicza się napięcia występujące na poszczególnych gałęziach wzorem Ukl=Vk-Vl. 7. Prądy gałęziowe wyznacza się z prawa Ohma. E1 − VA R1 I2 = E2 + V A R2 E1 − V A E2 + V A VA = + R3 R1 R2 E1 V A VA E2 VA − = + + R1 R1 R2 R2 R3 E1 E2 V A VA VA − = + + R1 R2 R1 R2 R3 E1 E2 − R1 R2 VA = 1 1 1 + + R1 R2 R3 10 5 − 5 10 = 1,5 = 3,75 V VA = 1 1 1 4 + + 5 10 10 10 10 − 3,75 = 1,25 A 5 3,75 + 5 I2 = = 0,875 A 10 3,75 I1 = = 0,375 A 10 I1 = I3 = VA R3 Twierdzenie Thevenina Jednym z ważniejszych twierdzeń w teorii obwodów jest twierdzenie Thevenina. Pozwala ono zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem szeregowym jednej impedancji zastępczej oraz źródła napięciowego. Umożliwia znaczne uproszczenie struktury obwodu, a w następstwie w bardzo prosty sposób wyznaczyć prąd lub napięcie jednej wybranej gałęzi obwodu. ZAB Z UAB Z Prąd występujący w gałęzi AB obwodu oryginalnego jest równy prądowi w tej samej gałęzi obwodu uproszczonego. Napięcie występujące na rysunku reprezentuje źródło zastępcze, natomiast impedancja jest impedancją zastępczą obwodu. Przy załoŜeniu, Ŝe gałąź AB w której obliczamy prąd, reprezentowana jest przez impedancję, prąd tej gałęzi moŜna obliczyć korzystając z prawa napięciowego Kirchhoffa z którego wynika wyraŜenie na prąd gałęzi w następującej postaci Metoda Thevenina w większości przypadków znakomicie upraszcza analizę obwodu. Jest szczególnie uŜyteczna w przypadkach, w których trzeba wyznaczyć tylko jeden prąd w obwodzie, gdyŜ moŜna dokonać tego bez konieczności rozwiązywania układu równań algebraicznych lub przy znacznej redukcji liczby tych równań. Rozwiązywanie obwodu metodą Thevenina I1 A I2 Rozwieramy zaciski A i B I3 R1=5Ω R2=10Ω U AB R3=10Ω E1=10V E2=5V A Rw UAB B 10 + 5 ⋅5 = 5V 5 + 10 Likwidujemy źródła napięa R ⋅R 5 ⋅10 1 Rw = 1 2 = =3 Ω R1 + R2 5 + 10 3 U AB = 10 − B U3 E1 + E2 = E1 − I1 ⋅ R1 = E1 − ⋅ R1 R1 + R2 R3 I3 = U AB 5 15 = = = 0,375 A Rw + R3 3 1 + 10 40 3
