Document

61
II. ZBIÓR ZADAŃ
1.OBWODY PRĄDU STAŁEGO
Zadanie 1.1.
Napięcie na zaciskach akumulatora samochodowego w stanie jałowym wynosi
12 V a prąd płynący między zaciskami w stanie zwarcia jest równy 300 A. Obliczyć
napięcie na zaciskach i rezystancję odbiornika przy obciążeniu akumulatora prądem
25A .
Rozwiązanie.
Napięcie na zaciskach akumulatora w stanie jałowym (rys.1.1.1a) jest równe jego sile
elektromotorycznej U0= E = 12V.
IZ
E
E
I
E
U0
RW
a)
U0
IZ RW
RW
I RW
b)
R
RW
c)
Rys.1.1.1. Układ połączeń akumulatora
W stanie zwarcia (rys.1.1.1 b) siła elektromotoryczna E równoważona jest spadkiem napięcia
na rezystancji wewnętrznej akumulatora Rw powstającym wskutek przepływu prądu zwarcia
Iz :
E  I z Rw .
Zatem rezystancja wewnętrzna akumulatora wynosi:
Rw 
E
12

 0,04 .
I z 300
Przy obciążeniu akumulatora odbiornikiem o rezystancji R (rys.1.1.1c) , zgodnie z II prawem
Kirchhoffa można napisać
E  IR  IRw  0 .
Napięcie na zaciskach akumulatora U równe napięciu na odbiorniku (I R ) wynosi:
U= E - I Rw  12  25  0,04 = 11V,
zatem rezystancja odbiornika jest równa:
R
U 11

 0,44. 
I 25

Zadanie 1.2.
Dwa akumulatory połączone są równolegle z odbiornikiem o rezystancji R
(rys.1.2.1.)Obliczyć prądy płynące w poszczególnych gałęziach obwodu i napięcie na
odbiorniku. W obliczeniach przyjąć: E1=12,5V, Rw1=0,05 E2=11,5V, Rw2=0,1R =

62
I1
I2
I
I
E1
R
I1 RW1
RW1
II
E2
IR
RW2
I2 RW2

Rys.1.2.1 Schemat układu do zad.1.2.

Rozwiązanie
Przy rozwiązywaniu tego typu zadań (obwody rozgałęzione), w celu uniknięcia pomyłek,
należy:
a) zaznaczyć kierunki prądów we wszystkich gałęziach; kierunki te można przyjąć dowolnie,
b) zaznaczyć - przeciwnie do kierunku prądów - napięcia na wszystkich elementach obwodu
(rezystancjach),
c) przyjąć i oznaczyć kierunki „ obchodzenia” oczek obwodu .
W obwodzie zawierającym g gałęzi do wyznaczenia płynących przez nie prądów należy
ułożyć g niezależnych równań. Najpierw układa się proste w zapisie równania węzłowe.
Przy liczbie węzłów w można ułożyć w - 1 niezależnych równań. Pozostałe równania układa
się dla wybranych oczek obwodu.
Zadany obwód ma 3 gałęzie. Należy więc ułożyć 1 równanie węzłowe i 2 równania oczkowe.
Na podstawie I prawa Kirchhoffa, dla węzła A:
I1 + I2 - I = 0,
zaś zgodnie z II prawem Kirchhoffa , w oczku I: E1 - I R – I1 Rw1 = 0
w oczku II E2 - I R – I2 Rw2 = 0
Po uporządkowaniu, układ podanych równań można przedstawić w postaci macierzowej:
 E1   Rw1 , 0, R   I 1 
 E    0, R , R    I 
w2
 2 
  2
0   1, 1, - 1   I 
Poszczególne prądy obliczone metodą wyznaczników wynoszą:
W1
 14,52 A ,
W
W
I 2  2  2,74 A ,
W
W3
I
 11,78 A ,
W
I1 
przy czym
Rw1 , 0,
R
W  0, Rw 2 , R  - 0,155
1,
1,
-1
E1,
0,
R
W1  E2 , Rw 2 , R
0,
1,
-1
 2,25
63
Rw1 , E1 , R
W2 
Rw1 , 0,
 0,425
0, E2 , R
W3 
1, 0, - 1
E1
0, Rw 2 , E2
1,
1,
 1,825
0
Ujemna wartość prądu I2 wskazuje, że płynie on w kierunku przeciwnym do zaznaczonego na
rysunku. Zatem w podanym układzie pierwszy akumulator zasila odbiornik równocześnie
ładując drugi akumulator.
Napięcie na odbiorniku wynosi:
U  IR  11,78  1  11,78 V.
W celu sprawdzenia poprawności uzyskanych wyników można wykorzystać równania
ułożone dla obwodu.
Zadanie 1.3.
Obliczyć wartości i określić zwroty prądów w poszczególnych gałęziach obwodu pokazanego
na rysunku1.3.1. Parametry poszczególnych elementów obwodu wynoszą: U = 24 V,
R1=R6=1, R2=4 , R3=12 , R4=R5=3  .
R1
I1
I5
U
R2
A I2
I5
R3
I4
R6
RZ1
A
I3
R5
I6
R1
I1
U
R4
R5
R6
I6
B
R4
I4
C
B
a)
b)
I1
R1
I1
A
R1
I5
U
R5
I6
RZ2 U
R6
I4
RZ3
I6
R6
B
c)
d)
Rys.1.3.1. Schemat obwodu do zadania 1.3.
Rozwiązanie
W przypadku gdy w obwodzie rozgałęzionym znajdują się jedynie rezystancje, prądy
w gałęziach można obliczyć stosując metodę redukcji liczby tych elementów przez
wprowadzenie rezystancji zastępczych.
64
Poszczególne etapy takiego postępowania pokazano na rysunku, gdzie skomplikowany,
rozgałęziony obwód zredukowano do prostego obwodu nie rozgałęzionego.
Przy rysowaniu kolejnych obwodów o zmniejszonej liczbie elementów zachowuje się takie
same oznaczenia nie ulegających zmianie prądów i napięć. Ułatwia to, przez porównanie
obwodów przed i po przekształceniu, wyznaczenie prądów i napięć w zadanym obwodzie.
Poszczególne rezystancje zastępcze występujące w obwodach zastępczych są równe:
R2 R3
4  12
= 3,

R2  R3 4  12
Rz 2  Rz1  R4  3  3  6  ,
R R
63
Rz 3  Rz 2 / / R5  z 2 5 
 2  
Rz 2  R5 6  3
Rz1  R2 / / R3 
Prąd pobierany przez cały układ wynosi
I1 = I6 =
U
24

 6 A.
R1  Rz 3  R6 1  2  1
Napięcie między punktami A i B jest równe
UAB = I5R5 = U - I1R1 - I6R6 = 24  6  1  6  1  12 V.
Zatem prąd płynący przez rezystancję R5
I5 =
U AB 12
=4A.

R5
3
Prąd I4 można obliczyć na podstawie I prawa Kirchhoffa dla węzła B
I4 = I6 - I5 = 6 - 4 = 2 A.
Prąd ten powoduje spadek napięcia między punktami C i B
UCB = I4R4 = 2 . 3 = 6 V.
Napięcie między punktami A i C obliczone na podstawie II prawa Kirchhoffa wynosi:
UAC = UAB - UCB = 12 - 6 = 6 V.
Napięcie to powoduje przepływ prądów:
U AC
6
= 1,5 A,

R2
4
U
6
I3= AC 
= 0,5 A.
R3
12
I2 =
Brak ujemnych wartości obliczonych prądów świadczy, że kierunek ich przepływu jest
zgodny z zaznaczonym na rysunku.
Zadanie 1.4.
Odbiornik o napięciu znamionowym Un= 100 V i mocy znamionowej Pn=500 W
ma być zasilany z sieci o napięciu U = 220 V. Dobrać wartość rezystancji opornika
dodatkowego, połączonego szeregowo z odbiornikiem, przy której układ załączony na
sieć będzie pobierał prąd równy prądowi znamionowemu odbiornika. Obliczyć moc
traconą w tym oporniku , moc pobieraną przez odbiornik oraz sprawność układu.
Rozwiązanie.
R
0
R
d
I
U
Rys.1.4.1. Układ połączenia odbiornik - opornik dodatkowy
65
Z danych znamionowych wynika, że prąd znamionowy odbiornika wynosi
In =
Pn
U
= 5A a jego rezystancja Ro = n = 20 
Un
In
Rezystancja układu załączanego na napięcie U = 220 V przy założeniu wartości prądu
I = In = 5 A powinna wynosić: R =
U
In
= 44 .
Zatem wartość rezystancji opornika dodatkowego wyniesie:
Rd = R - Ro = 24 
Moc tracona w tym oporniku wynosi Pd =In2Rd = 600 W a moc pobierana przez
odbiornik Po = In2Ro =500 W jest równa jego mocy znamionowej.
Moc pobieraną przez cały układ można obliczyć z zależności:
P = Po + Pd = I2R = UI =1100 W.
Sprawność układu , równa stosunkowi mocy pobieranej przez odbiornik do mocy
dostarczanej z sieci (pobieranej przez cały układ), wynosi:
=
P0
= 0,455.
P
Zadanie 1.5.
Obliczyć prądy w gałęziach oraz rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na
rys.1.5.1. Parametry poszczególnych elementów obwodu są równe: E = 26V, R1= 3 R2 =
2,5 R3 = 2 R4 =3 R5 = 5

R1
I1
C
R3
E
I
I5
I3
B
A
R5
I4
I2
R2
R4
D



Rys.1.5.1.Obwód rozgałęziony do zadania 1.5.
Rozwiązanie.
Obwód (rys.1.5.1) zawiera 6 gałęzi, więc obliczenie prądów wymagałoby ułożenia i
rozwiązania układu 6 równań liniowych. Dlatego korzystne jest zastosowanie przekształcenia
podanego obwodu w celu zredukowania liczby jego elementów (rezystancji). Ze względu na
połączenie trzech rezystancji R3, R4 i R5 w trójkąt przekształcenie go w równoważną gwiazdę
(rys. 1.5.2a ) powoduje zredukowanie liczby gałęzi do trzech. Kolejne kroki w
przekształcaniu obwodu, polegające na wprowadzaniu rezystancji zastępczych dla rezystancji
połączonych szeregowo lub równolegle i doprowadzające go do postaci obwodu prostego
zawierającego tylko źródło (sem E) i odbiornik w postaci rezystancji zastępczej Rz , ilustrują
rysunki 1.5.2 a, b, c, d.
66
R1
I1
E
I
RZ2
RZ1
B
A
O
D
a)
E
I
B
A
E
I
RZ 1
B
A
O
RZ3
R2
I2
RZ 4
I1
C
b)
RZ 1
I
E
O
RZ 6
c)
RZ 5
I2
RZ
d)
Rys.1.5.2. Redukcja elementów obwodu rozgałęzionego z rys. 1.5.1.
Zamiast tych przekształceń można także dla obwodu z rysunku 1.5.2a ułożyć 3 równania
posługując się prawami Kirchhoffa.
Dla podanych wartości poszczególne rezystancje zastępcze są równe:
23
R3 R4
= 0,6 ,

2  3 5
R3  R4  R5
25
R3 R5
Rz2 =
=
 1 ,
R3  R4  R5 2  3  5
3 5
R4 R5
Rz3 =
= 1,5 ,

R3  R4  R5 2  3  5
Rz1 =
Rz4 = R1+ Rz2 = 3 + 1 = 4 ,
Rz5 = R2 + Rz3 = 2,5 + 1,5 = 4 
Rz6 =
Rz 4 Rz 5
44
= 2 

44
Rz 4  Rz 5
Rz = Rz1 + Rz6 = 0,6 + 2 = 2,6 
Prądy w poszczególnych gałęziach obwodu oblicza się , korzystając z I i II prawa Kirchhoffa,
dla wybranych węzłów i oczek , cofając się od obwodu prostego do zadanego obwodu
rozgałęzionego.
Na podstawie rys.1.5.2.b prąd I wypływający ze źródła jest równy:
I=
26
E

= 10 A.
2
,6
Rz
Prąd I1, obliczony na podstawie II prawa Kirchhoffa dla górnego oczka z rysunku 1.5.2b,
wynosi
I1 =
E  IRz1
Rz 4

26  10  0,6
= 5 A.
4
Prąd I2 , obliczony na podstawie I prawa Kirchhoffa z sumy prądów w węźle A, jest równy:
I2 = I - I1 = 10 - 5 = 5 A.
67
Prąd I3 można obliczyć z równania ułożonego na podstawie II prawa Kirchhoffa dla górnego
oczka z rysunku 1.5.1.
I3 =
E  I1R1 26  5  3
= 5,5 A.

2
R3
Z sumy prądów w węźle B wynika, że
I4 = I - I3 = 10 - 5,5 = 4,5 A.
Prąd I5 można obliczyć z sumy prądów w węźle C
I5 = I3 - I1 = 5,5 - 5 = 0,5 A.
Zadanie1. 6.
Wyznaczyć rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na rysunku 1.6.1. oraz
prądy i moce pobierane przez obwód i przez poszczególne rezystory.
R1 = 1
R2 = 2
R3 = 4
U = 12 V
Rys1.6.1. Schemat układu do zadania1.6.
4
Odpowiedź: Rz=  , I=21A, P=252W, I1=12A, P1=144W, I2=6A, P2=72W, I3=3A,
7
P3=36W.
Zadanie 1.7.
Dobrać wartość opornika R tak, żeby rezystancja zastępcza obwodu z rysunku 1.7.1. była
równa 2R. Obliczyć moc traconą na tym oporniku oraz moc pobieraną ze źródła.
R1 = 10
E = 50 V
R1 = 10
R2 = 50
R
Rys.1.7.1. Schemat obwodu do zadania 1.7.
Odpowiedź: R=12,84PR=22,95W, P=97,35W.
Zadanie 1.8.
Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu pokazanego na rysunku 1.8.1. przy
otwartym i zamkniętym wyłączniku W.
68
E1 = 50 V
E3 = 50 V
R1 = 20
R4 = 3
W
R3 = 5
E2 = 50 V
R2 = 10
Rys.1.8.1. do zadania 1.8..
Odpowiedź:
Przy otwartym wyłączniku w żadnej gałęzi obwodu nie płynie prąd.
Przy zamkniętym wyłączniku I1= 1,22A, I2= 2,44A, I3= 4,88A, I4= 8,54A.
Zadanie 1.9.
Jaką wartość prądu wskazuje amperomierz w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.9.1.
R 1 = 2
R2 = 4
A
R 3 = 4
E = 5,5 V
R4 = 2
R5 = 1
Rys.1.9.1 Schemat układu do zadania 1.9.
.
Odpowiedź: I = 0,5 A