podstawowe struktury algebraiczne- definicje, przykłady, podstawowe

DEF.
DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE
Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde
odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego
: × → .
Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
•
każdej parze uporządkowanej , elementów zbioru jest
przyporządkowany pewien element , należący do zbioru .
OZN.
, = Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (,∗) i
mówimy, że działanie ∗ wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ
lub, że (,∗) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF.
DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE
PRZYKŁAD:
MNOŻENIE jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze LICZB DODATNICH
bo dla , dodatnich liczba jest jednoznacznie określoną liczbą dodatnią.
KONTRPRZYKŁAD:
Mnożenie nie jest działaniem w zbiorze liczb ujemnych, bo wprawdzie potrafimy
obliczyć iloczyn dwóch liczb ujemnych, ale nie należy on do zbioru liczb
ujemnych
DEF.DZIAŁANIE
DWUARGUMENTOWE
ŁĄCZNE
Mówimy, że działanie dwuargumentowe ∗ w zbiorze jest łączne, jeśli
∗ ∗ = ∗ ∗ dla dowolnych , , ∈ DEF. DZIAŁANIE
DWUARGUMENTOWE
PRZEMIENNE
Działanie jest przemienne, jeśli
∗=∗
dla dowolnych , ∈ PRZYKŁAD
Działania dodawania i mnożenia liczb są łączne
KONTRPRZYKŁAD
ale np. odejmowanie liczb nie jest łączne, bo
2 − 5 − 1 = −4
2 − 5 − 1 = −2
DEF.
ELEMENT NEUTRALNY
Element ∈ nazywamy elementem neutralnym (lub elementem jedynkowym)
działania ∗, jeśli
∗=∗=
dla każdego ∈ PRZYKŁAD
•
•
•
Elementem neutralnym dodawania liczb jest 0: + 0 = 0 + = dla każdej liczby Elementem neutralnym mnożenia liczb jest 1, gdyż ∙ 1 = 1 ∙ = Elementem neutralnym mnożenia macierzy stopnia n jest macierz jednostkowa TW.
Jeśli dane działanie ma element neutralny to tylko jeden.
DEF. ELEMENT
SYMETRYCZNY (odwrotny, przeciwny)
Jeżeli w zbiorze istnieje element neutralny , względem działania ∗, to jeśli
∗=∗=
dla dowolnych , ∈ wówczas element
DEF. PÓŁGRUPA,
nazywamy elementem symetrycznym względem elementu .
MONOID
Półgrupą nazywamy strukturę algebraiczną (zwaną również systemem, zespołem)
( ,∗), w której działanie ∗jest łączne.
Półgrupa z elementem neutralnym nosi nazwę monoidu.
DEF. PÓŁGRUPA,
MONOID
KONTRPRZYKŁAD
Niech następująca tabelka określa działanie dwuargumentowe ∗ w zbiorze 1,2,3 :
Np. Na przecięciu wiersza odpowiadającego 3 i kolumny odpowiadającej 2 odczytujemy1, tzn.
3∗21
Widać, że X nie jest monoidem, bo nie ma elementu neutralnego
Zbiór X nie jest półgrupą, bo
3∗2 ∗11∗12
3∗ 2∗1 3∗21
PRZYKŁAD
Niech "# "$|$ ∈ # będzie zbiorem liczb całkowitych
podzielnych przez " ∈ &.
Jest jasne, że "#, , 0 jest monoidem przemiennym,
"#,∙ półgrupą bez jedynki dla " ' 1
DEF.
GRUPA
Grupą nazywamy strukturę algebraiczną ((,∗), w której działanie∗
Jest działaniem ŁĄCZNYM: ∗ ) ∗ * = ∗ ) ∗ * dla dowolnych , ), * ∈ (;
Posiada w zbiorze +ELEMENT NEUTRALNY: ∈ (: ∗ = ∗ = dla
każdego ∈ (;
Każdy element - ∈ + ma ELEMENT SYMETRYCZNY: ./ ∈ (: ∗ ./ = ./ ∗
=
DEF.
GRUPA PRZEMIENNA (ABELOWA)
Grupę 0 nazywamy przemienną lub abelową jeśli
∗ ) = ) ∗ dla wszystkich , ) ∈ 0
DODAWANIE W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH 1, +
dla dowolnych liczb , , 2 ∈ 3zachodzi, ze + + 2 = + (
+ 2), działanie łączne.
posiada element neutralny 0
dla każdego ∈ 3 element symetryczny (przeciwny) −
dla każdego , ∈ 3zachodzi, ze + = + .
PRZYKŁAD
MNOŻENIE W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH (1,∙),
dla dowolnych liczb , , 2 ∈ 3zachodzi, ze ∙ ∙ 2 = ∙ (
∙ 2), działanie łączne
posiada element neutralny 1
KONTRPRZYKŁAD
element 0 nie posiada elementu odwrotnego w zbiorze liczb rzeczywistych.
DEF.
PODGRUPA
Niepusty podzbiór 5grupy 0 nazywamy podgrupą grupy (0,∗), gdy 5jest grupą ze
względu na działanie∗określone w 0.
TW.
Niepusty podzbiór 6zbioru elementów grupy 0 jest podgrupą grupy 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnych , ∈ 5 jest
∗ ∈ 5,
./ ∈ 5.
TW.
Na to, żeby niepusty podzbiór 5 był podgrupą grupy 0, potrzeba i wystarcza, żeby
dla dowolnych , ∈ 5 element ./ ∗ należał do 5
DEF.
GRUPA SKOŃCZONA, RZĄD GRUPY
Grupa 0 nazywa się skończona, jeśli zbiór 0 jest skończony.
Liczbę jej elementów nazywamy rzędem grupy 0 i oznaczamy przez 0 lub rz0
Podgrupami dowolnej grupy 7są w szczególności SAMA GRUPA 0 i PODGRUPA
JEDNOSTKOWA , składająca się tylko z jedynki.
DEF.
PIERŚCIEŃ
Pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczna ((, +,∗), która posiada następujące
własności:
((, +) jest GRUPĄ ABELOWĄ
((,∗) jest PÓŁGRUPĄ
Oba działania wiąże ze sobą PRAWO ROZDZIELNOŚCI, mianowicie mnożenie jest
rozdzielne względem dodawania:
+ ∗ = ∗ + ∗ ,
∗ + = ∗ + ∗ dla dowolnych , , ∈ 1
Grupę ((, +) nazywamy ADDYTYWNĄ grupą pierścienia 3,
a półgrupę (1,∙)- jego MULTIPLIKATYWNĄ półgrupą.
Jeżeli ponadto działanie ∗ jest przemienne, wówczas dany pierścień nazywamy
PRZEMIENNYM.
Zaś jeżeli w zbiorze istnieje element neutralny działania ∗ to taki pierścień
nazywamy PIERŚCIENIEM Z JEDNOŚCIĄ.
Natomiast PIERŚCIENIEM CAŁKOWITYM nazywamy pierścień niezerowy,
przemienny z jednością.
PRZYKŁAD
Zbiór liczb całkowitych# z działaniami dodawania (+) i mnożenia (∙) jest
pierścieniem (#, +,∙),
dodawanie w zbiorze liczb całkowitych tworzy grupę abelową,
działanie mnożenia jest przemienne i rozdzielne względem dodawania.
DEF.
DZIELNIK ZERA
Niech 89 oznacza element neutralny działania ∙ w pierścieniu ((,∙,∗), wówczas
elementy ∈ + − 89 spełniające warunek:
∗ = : lub ∗ = :,
gdzie ∈ + − 89 nazywamy dzielnikami zera.
Jeżeli istnieją dzielniki 0 w pierścieniu mówimy, że jest to pierścień z dzielnikami zera
Pierścień przemienny, z jednością i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem
całkowitym.
DEF.
CIAŁO
Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną ((,∙,∗), która posiada następujące własności:
((,∙) jest GRUPĄ ABELOWĄ
(( − : ,∗) jest GRUPĄ;
działanie (∗) jest rozdzielne względem (∙).
Jeżeli ponadto działanie (∗) jest przemienne, wówczas dane ciało nazywamy
CIAŁEM PRZEMIENNYM.
PRZYKŁAD
(1, +, ∙), ciało liczb rzeczywistych
dodawanie w zbiorze liczb całkowitych tworzy grupę abelową,
działanie mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych za wyjątkiem zera 3 − 0 tworzy grupę
działanie (∙) jest rozdzielne względem (+) .
;, +,∙ – ciało liczb zespolonych
BIBLIOGRAFIA
„Algebra liniowa”, Aleksander Romanowski, Gdańsk 2003
„Struktury algebraiczne”, mgr Zofia Makara, 28 października 2003
„Część 3 - Struktury algebraiczne”, Wykład dr Magdaleny Sękowskiej