Przegl¡d wa»niejszych rozkOT4l adów

Przegląd ważniejszych rozkładów
Rozkład dwupunktowy
Jeśli
(
P (X = x) =
p
dla x = a,
1 − p dla x = b,
to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1).
Rozkład ten pojawia się przy opisie doświadczeń losowych o dwu możliwych wynikach, z którymi
możemy skojarzyć wartości liczbowe.
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = pa + (1 − p)b,
D2 X = p(1 − p)(a − b)2 .
Funkcja generująca momenty:
MX (t) = pet + (1 − p), t ∈ R.
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Jeśli
!
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k , gdzie k = 0, 1, . . . , n,
k
to zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n, p (n ∈ N, 0 < p < 1), oznaczany
B(n, p).
Jest to rozkład łącznej liczby sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego, gdy szansa pojedyńczego
sukcesu wynosi p. Lub inaczej: jest to rozkład sumy X1 + . . . + Xn , gdzie zmienne losowe Xi są
niezależne i mają ten sam rozkład dwupunktowy:
(
P (Xi = x) =
p
dla x = 1,
gdzie i = 1, 2, . . . , n.
1 − p dla x = 0,
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = np,
D2 X = np(1 − p).
Funkcja generująca momenty:
MX (t) = (pet + (1 − p))n , t ∈ R.
Rozkład Poissona
Jeśli
λk −λ
e , gdzie k = 0, 1, 2, . . . ,
k!
to zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ (λ > 0), oznaczany P ois(λ).
P (X = k) =
1
Jest to rozkład graniczny dla ciągu rozkładów dwumianowych B(n, pn ), gdy n → ∞, pn → 0 i
npn → λ. W związku z tym pojawia się jako rozkład zdarzeń ”rzadkich” (liczba wypadków drogowych,
liczba pożarów, liczba wygranych w ”Lotto”, itp.).
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = λ, D2 X = λ.
Funkcja generująca momenty:
t
MX (t) = eλ(e −1) , t ∈ R.
Rozkład geometryczny
Jeśli
P (X = k) = (1 − p)k−1 p, gdzie k = 1, 2, . . . ,
to zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p (0 < p < 1), oznaczany G1 (p).
Jest to rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego, rozumianego
jako liczba doświadczeń, które należy wykonać, żeby doczekać się sukcesu.
Niekiedy rozumie się czas oczekiwania dosłownie, jako liczbę doświadczeń wykonanych przed
otrzymaniem pierwszego sukcesu. Wtedy otrzymujemy zmienną losową Y = X − 1 przyjmującą
wartości k = 0, 1, 2 . . .; wtedy P (Y = k) = (1 − p)k p. Rozkład zmiennej losowej Y także nazywamy
geometrycznym i oznaczamy G0 (p). Wtedy EY = EX − 1, D2 Y = D2 X.
Wartość oczekiwana i wariancja:
1
EX = ,
p
D2 X =
1−p
.
p2
Funkcja generująca momenty:
pet
, t < − ln (1 − p),
G1 (p) : MX (t) =
1 − (1 − p)et
G0 (p) : MY (t) =
p
, t < − ln (1 − p).
1 − (1 − p)et
Rozkład ujemny dwumianowy
Jeśli
!
α+k−1
P (X = k) =
(1 − p)k pα , gdzie k = 0, 1, 2, . . . ,
k
to zmienna losowa X ma ujemny rozkład dwumianowy z parametrami α, p (α > 0, 0 < p < 1),
oznaczany N B(α, p). Jeśli parametr α jest całkowity, to mamy do czynienia z czasem oczekiwania
na α-ty sukces w ciągu prób Bernoulliego, tzw. rozkładem Pascala. X interpretuje się jako liczbę
porażek poprzedzających α-ty sukces. Dla α = 1 otrzymujemy rozkład geometryczny.
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
α(1 − p)
,
p
D2 X =
2
α(1 − p)
.
p2
Funkcja generująca momenty:
p
MX (t) =
1 − (1 − p)et
α
, t < − ln(1 − p).
Rozkład jednostajny na A ⊂ Rn
Niech A ∈ B(Rn ) i niech 0 < λ(A) < ∞. Rozkład o gęstości
f (x) =
1
IA (x)
λ(A)
nazywamy rozkładem jednostajnym na A. Wiąże się z intuicją ”losowego” wyboru punktu ze zbioru
A.
Najczęściej spotyka się rozkład jednostajny na przedziałe [a, b]:
1
I[a,b] (x).
b−a
f (x) =
Oznaczenia: U[a, b].
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie U[a, b]:
EX =
a+b
,
2
D2 X =
(b − a)2
.
12
Funkcja generująca momenty zmiennej losowej X o rozkładzie U[a, b]:
MX (t) =
ebt − eat
, t ∈ R.
(b − a)t
Uwaga: wzór ten traci sens dla t = 0; wtedy FGM jest równa 1.
Rozkład gamma
Funkcja gamma jest zdefiniowana za pomocą całki niewłaściwej:
Γ(α) =
Z ∞
tα−1 e−t dt, gdzie α > 0.
0
Mamy:
1
Γ(α + 1) = αΓ(α), Γ(n + 1) = n!, Γ
2
!
=
√
π.
Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami α, β (α > 0, β > 0), oznaczany Γ(α, β),
jeśli jej gęstość wyraża się wzorem:
f (x) =
β α α−1 −βx
x e I(0,∞) (x).
Γ(α)
Rozkład gamma jest dobry do opisu zmiennych, które mogą mieć rozkład skośny.
Wartość oczekiwana i wariancja:
α
α
EX = , D2 X = 2 .
β
β
3
Funkcja generująca momenty:
β
MX (t) =
β−t
α
, t < β.
Rozkład wykładniczy
Szczególnym, ale bardzo istotnym przypadkiem rozkładu gamma jest rozkład Γ(1, β), czyli rozkład
wykładniczy z parametrem β (β > 0), oznaczany Exp(β), którego funkcja gęstości ma postać:
f (x) = βe−βx I(0,∞) (x).
Rozkład wykładniczy jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego.
Wartość oczekiwana i wariancja:
1
1
EX = , D2 X = 2 .
β
β
Funkcja generująca momenty:
MX (t) =
β
, t < β.
β−t
Rozkład Pareto
Zmienna losowa X ma rozkład Pareto z parametrami k, α (k > 0, α > 0), oznaczany P a(k, α),
jeżeli jej gęstość ma postać:
αk α
f (x) = α+1 I(k,∞) (x).
x
Nazwa pochodzi od nazwiska włoskiego ekonomisty Vilfredo Pareto. Jest to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, występujący m.in. w naukach społecznych, geofizyce, i aktuariacie. W ubezpieczeniach
wyraża rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego
klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy.
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX =
αk 2
αk
, określona dla α > 1, D2 X =
, określona dla α > 2.
α−1
(α − 2)(α − 1)2
Funkcja generująca momenty: nie istnieje.
Rozkład normalny (Gaussa)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ, σ (µ ∈ R, σ > 0), oznaczany N (µ, σ),
jeżeli jej gęstość wyraża się następująco:
(x−µ)2
1
f (x) = √ e− 2σ2 , gdzie x ∈ R.
σ 2π
Jest to jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych, ekonomicznych itp.
Wartość oczekiwana i wariancja:
EX = µ, D2 X = σ 2 .
4
Funkcja generująca momenty:
1 2 2
σ
MX (t) = etµ+ 2 t
, t ∈ R.
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N (µ, σ), to zmienna losowa U =
dystrybuancie:
1 Z x − u2
Φ(x) = √
e 2 du,
2π −∞
X−µ
σ
ma rozkład N (0, 1) o
której wartości są stablicowane. Ponadto: Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Rozkład logarytmiczno-normalny
Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami µ, σ (µ ∈ R, σ > 0),
oznaczany LN (µ, σ), jeżeli jej gęstość określa wzór:
f (x) =
(log x−µ)2
1
√ e− 2σ2 , gdzie x ∈ R.
σx 2π
Rozkład logarytmiczno-normalny jest często lepszym od rozkładu normalnego przybliżeniem rozkładów zmiennych losowych, w których istotne są stosunki pomiędzy wartościami, a nie różnice pomiędzy
nimi. Na przykład przybliżony rozkład logarytmiczno-normalny mają kursy akcji giełdowych, gdzie
ważniejsze jest o ile procent zmniejszyła się lub zwiększyła wartość akcji, a nie o ile złotych.
Wartość oczekiwana i wariancja:
σ2
EX = eµ+ 2 ,
2
2
D2 X = e2µ e2σ − eσ .
Funkcja generująca momenty: nie istnieje.
5