Matura 2017R - zestaw I - Matematyka

Uwagi do materiału mogącego stanowić pomoc dla nauczycieli w przygotowaniu uczniów do
egzaminu maturalnego z matematyki z zakresu rozszerzonego.
1. Pragniemy pomóc państwu w przygotowaniu uczniów do egzaminu maturalnego
poprzez:
- podzielenie materiału powtórzeniowego na trzy etapy
- opracowanie zestawów zadań powtórzeniowych
- wskazówki metodyczne do wybranych zadań (trening twórczości)
- podanie treści zadań sprawdzianów podsumowujących każdy etap, wraz z odpowiedziami
- prezentację zadań z "najbliższego doświadczenia" (sprawdzian VI 2015, matura 2015)
2. W naszym rozumieniu propozycja ta może jedynie wzbogacać Państwa pracę i nie stanowi
zamkniętej całości, jest pewnym spojrzeniem doświadczonych nauczycieli i podpowiedzią dla
kolegów - nauczycieli jak można pracować z uczniami.
3. Zachęcamy do korzystania z konsultacji w powiatach z nauczycielami - liderami i tam pracą
nad tworzeniem i doskonaleniem własnego warsztatu nauczyciela - opiekuna ucznia
przygotowującego się do egzaminu maturalnego.
W szczególności, właśnie na takich spotkaniach można nauczyć się elementów treningu
twórczości i stosowania go w praktyce szkolnej.
4. Ważne jest, by każdy z Państwa opracował dla siebie i swoich uczniów pewną metodę
efektywnego przygotowania ucznia do egzaminu maturalnego - pomocne tutaj mogą być:
- liczne opracowania podręcznikowe , przykładowe arkusze, zbiory zadań powtórzeniowych,
- podręczniki typu - vademecum różnych wydawnictw,
- strony internetowe CKE, OKE czy
np. zadania. info (z zestawami zadań w wersji 8 - 9 tygodniowej przed samą maturą)
5. Ważną, naszym zdaniem, jest metoda "przerabiania" zestawów zadań maturalnych z
ostatnich lat - uczeń ma możliwość wyćwiczenia konkretnych umiejętności oraz opanowania
materiału podstawowego oraz wyćwiczenia go (Dobrze jak wie, jakie zadania są
najważniejsze! - wtedy chętniej skupia się na ich opanowaniu) - o tym będziemy chcieli
napisać w kolejnych materiałach.

Materiał powtarzany w I etapie
- Zestaw zadań
oraz komentarzy metodycznych, niekiedy elementów treningu:
I1. Liczby i wyrażenia
1. Liczba x z dzielenia przez 7 daje resztę 2, a liczba y z dzielenia przez 7 daje
resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia liczby xy przez 7.
2. Wiedząc, że x + y = 7 oraz x2 + y2 = 47 oblicz wartość wyrażenia x3 + y3.
 Uwaga:
(1) Można też "odwrócić" zadanie: mając dane x + y = 7 oraz x3 + y3 = 322
oblicz wartość wyrażenia x2 + y2 ,
(2) I jeszcze "ambitniej" : mając dane x2 + y2 = 47 oraz x3 + y3 = 322
oblicz wartość wyrażenia x + y
3
3
3. Uzasadnij, że liczba √2 + √5 + √2 − √5 jest liczbą całkowitą.
 Warto pokazać najpierw zadanie w którym udaje się zaprezentować dwie
3
3
metody rozwiązania: √16 + 8√5 + √16 − 8√5 - w tym przypadku
można pokusić się o odgadnięcie faktu, że 16 + 8√5 = (1 + √5)3
 Powyższa metoda "obliczenia" wartości każdego pierwiastka z osobna
przestaje być skuteczna w naszym zadaniu - tutaj trzeba uczniowi pokazać
3
3
"chwyt" √2 + √5 + √2 − √5 = x, podnieść do trzeciej potęgi i próbować
dojść do wielomianu o zmiennej x
 (Trochę pachnie tutaj metodą poszukiwania: np. postaci liczby 0,(21), czy
obliczania sumy szeregu geometrycznego, np. 1 +2x +3x2 + .... + nxn-1)
4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n5 - n jest podzielna przez 30.
5. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze różne od 2 i 5, przez które jest podzielna
każda liczba postaci 10n+3 + 10n, gdzie n jest liczbą naturalną.
6. Sprawdź, czy liczba x =
2
√7−3
+ √7 jest wymierna.
7. Liczby dodatnie 𝑎, 𝑏, 𝑐 spełniają warunek 𝑎𝑏𝑐 = 1.
Udowodnij ,że
1
1+𝑎2 𝑏
1
+ 1+𝑏𝑐 2 =1
 Uwaga: Można podstawić: x = a2b i y = bc2 i potem skorzystać z założenia
8. Wykaż, że dla każdej liczby pierwszej p większej od 5 liczba 𝑘 = 𝑝2 − 1 jest
podzielna przez 12.
 Uwaga: Warto to zadanie zestawić w ciąg z zadaniem 4 - podpowiedzią jest
prosty, intuicyjny fakt, że w ciągu kolejnych k liczb całkowitych, któraś z
nich jest podzielna przez k
 Uwaga: Przy okazji tego zadania uczymy, że w zadaniu należy koniecznie
(najlepiej świadomie) wykorzystywać założenia - p - liczbą pierwszą jest!
9. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p aby liczba
𝑝2 +30
𝑝
była też liczba pierwszą.
 Uwaga: Warto zasygnalizować dwa fakty: po pierwsze liczba ta musi być
naturalna , po drugie liczba p musi być dzielnikiem 30
 Zadanie podobne - zadanie 8 w dziale ciągi!
10. Wykaż , że jeśli liczba naturalna nie jest podzielna przez 4,to reszta z dzielenia
kwadratu tej liczby przez 8 jest równa 1 lub 4.
11. Liczbę pierwszą 2011 zapisano w postaci a2 - b2, gdzie a i b są liczbami
naturalnymi. Oblicz a2 + b2.
12. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność:
a2+b2+4≥ 2(a+b-ab)
 Uwaga: Nierówność a2 + b2 + 4≥ 2(a + b - ab) jest równoważna kolejno
nierównościom: a2 + b2 + 2ab+4≥ 2(a + b), (a + b)2+4≥ 2(a + b),
(a + b)2 -2(a + b) +1+3 ≥ 0, czyli [(a + b) - 1 ]2 +3 ≥ 0
 Uwaga: Można też pogrupować trochę wyrażenie ze względu na jedną
niewiadomą np. podstawić a = x i wtedy otrzymujemy x2 + (2b - 2) x + b2 2b + 4 ≥ 0 i licząc wyróżnik trójmianu uzyskamy, że jest on stale ujemny!
Warto poszukać innych zadań stosujących tą metodę i ćwiczyć z uczniami.
13. Rozwiąż równanie |2𝑥 + 4| − |𝑥 − 5| = 3𝑥 + 10
I2. Funkcja kwadratowa
1. Wykaż, że nie istnieje wartość parametru m, dla której funkcja określona wzorem
f(x)= (𝑚2 + 5𝑚 − 6)𝑥 2 + (2𝑚 − 8)𝑥 + 3 jest funkcją liniową rosnącą.
2. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x2 - mx + 2m.
Funkcja g przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej m najmniejszą wartość
funkcji f w przedziale <-1;1>. Wyznacz wzór funkcji g.
 Uwaga: Trzeba do rozwiązania tego zadania "przystawić drabinę dojścia":
czyli kilka szczebli myślowych
(1) Przypomnieć jak rozwiązujemy zadanie na wyznaczanie wartości
najmniejszej i największej w przedziale, np. dla m = 1, czy m = 6
(2) Znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli - wykresu funkcji f
(3) Rozważyć położenie wierzchołka względem podanego przedziału
3. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 22x - 2x+3 +18
 Uwaga: Zadanie trochę "na wyrost" - ale myślę, że warto nauczyć ucznia
rozwiązywania zadań sprowadzalnych do funkcji kwadratowej: 2x = t
i ćwiczymy umiejętność "przetłumaczenia" warunków ze zmiennej t na
zmienną x
4. Dla jakiej wartości parametru m największa wartość funkcji
f(x) = (mx-2)(x-1) wynosi 8?
5. Dla jakich wartości parametru p dziedziną funkcji f(x) = √2𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑝
jest zbiór liczb rzeczywistych?
6. Dla jakich wartości parametru m równanie:−𝑥 2 + 3𝑥 + |𝑥 − 4| = 𝑚
ma jedno rozwiązanie ?
 Uwaga: Ćwiczymy pożądaną postawę myślową: Sporządzamy i analizujemy
wykres funkcji zadanej wyrażeniem po lewej stronie równania a następnie
formułujemy odpowiedź, przeciwstawiając jej metodę przenoszenia parametru
m na lewą stronę równania i rozwiązywania zadania metodą algebraiczną
7. Rozwiąż nierówność √𝑥 2 − 4𝑥 + 4 − 𝑥 2 + 2𝑥 < 0 w zbiorze liczb dodatnich.
8. Liczby 𝑥1 , 𝑥2 (𝑥1 ≠ 𝑥2 ) są pierwiastkami równania 𝑥 2 + 2𝑚𝑥 + 𝑚 = 0.
Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem g(m)= 𝑥12 + 𝑥22
9. Rozwiąż równanie √𝑥 2 + 3𝑥 = √2𝑥 2 − 10
 Uwaga: Zadanie proste - pułapka! Uczymy potrzeby sprawdzania, czy
otrzymane wyniki należą do dziedziny zadania
10. Dla jakich wartości parametru m miejsca zerowe x1 i x2 funkcji f określonej
wzorem f(x) = x2 + mx + m spełniają warunek: (x1 + 2x2)(x2 + 2x1) = 1?
11. Zbadaj dla jakich wartości parametru m istnieje dokładnie jedna para liczb
−𝑥 2 + 𝑦 = 4
rzeczywistych (x, y) spełniających układ równań: { 2
.
𝑥 + 𝑦2 = 𝑚
Dla wyznaczonej wartości m podaj ilustrację graficzną układu równań.
12. Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 84,a ich największy dzielnik
wynosi 12. Oblicz możliwie największy iloczyn tych liczb.
I3. Wielomiany
1. Wykaż, że liczba √2 - 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 + x2 - 3x +1
2. W wielomianie W suma współczynników przy parzystych potęgach zmiennej x jest
równa sumie współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej x. Wykaż, że
liczba (-1) jest pierwiastkiem tego wielomianu.
 Uwaga: To jest taki rodzaj zadania, w którym uczeń może nie wiedzieć od
czego zacząć. Warto wtedy sformułować zadanie "prostsze" - spróbuj to zrobić
dla trójmianu kwadratowego, a potem dla wielomianu stopnia 3, 4;
 Można też spróbować rozpocząć rozwiązywanie zadania od wielomianu,
którego pierwiastkiem jest liczba (-1) i sprawdzić jak to wtedy będzie ze
współczynnikami - ale zwracamy uwagę na poprzednik i następnik implikacji,
którą mamy udowodnić!
3. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m funkcja f(x) = x2 + mx + m – 1 posiada
miejsce zerowe.
4. Udowodnij, że wielomian W(x) = x4 + x3 + a2x - a4 ma dokładnie dwa pierwiastki.
 Uwaga: Można spróbować "odgadnąć" pierwiastek jak w zadaniu 3 albo
pogrupować w pary i przedstawić w postaci iloczynu trójmianów
5. Oblicz sumę kwadratów wszystkich pierwiastków wielomianu W(x) = x4 - 𝜋x2 +√2
6. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność:
x4 + 2x2 + 26> 2x3 + 10x
 Uwaga: Zastosujemy rozkład 2x2 = x2 + x2 i pogrupujemy wyrazy po
przeniesieniu wyrażeń na jedną stronę.
 Nie widać jakoś innej metody - takiej, w której widzielibyśmy korzyść z
takiego zapisu wyrażeń (po obu stronach nierówności)
7. Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia wielomian W(x) = x6 - 729.
8. Wykaż, że wyrażenie W(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 można przedstawić w
postaci kwadratu trójmianu kwadratowego.
 Uwaga: Można zastosować tutaj dwie metody:
(1) typową - "przewidujemy" z dokładnością do znaku przy x2 i 1 , że
W(x) = (x2 +ax+1)2 oraz porównujemy współczynniki obu postaci
wielomianu W
(2) nietypową - stosujemy podstawienie (x2+5x) = t, gdyż czynniki x+1, x+4
oraz odpowiednio x+2, x+3 pomnożone przez siebie dadzą takie same
współczynniki przy x - [(x+1)(x+4)] = (t + 4) oraz [(x+2)(x+3)] = (t + 6), stąd
W(x)= W(t) = (t+4)(t+6)+1= t2 + 10t +25 = (t+5)2
9. Wykaż że niezależnie od p wielomian W(x)=𝑥 3 − (𝑝 + 1)𝑥 2 +(p − 3)𝑥 + 3
ma pierwiastek całkowity. Oblicz dla jakiego p pierwiastki tego wielomianu tworzą
ciąg arytmetyczny.
 Uwaga: Zadanie bardzo podobne do zadania maturalnego z tego roku - warto
dyskutować potrzebę pytania o kolejność pierwiastków w ciągu.
10. Dane jest równanie 𝑥 4 − (𝑘 − 2)𝑥 2 + 𝑘 + 1 = 0 Wyznacz zbiór wszystkich
wartości parametru k , dla których równanie ma cztery różne rozwiązania.
11. Dane są dwa wielomiany w(x)=𝑥 4 − 1 i g(x)=𝑥 2 + 1.
Rozwiąż równanie |w(x)−3g(x)|=|w(x)|−3g(|x|).
I4. Ciągi
1. Dana jest funkcja f(x) = |2𝑥 − 1| − |𝑥 + 1|.
Udowodnij, że an = f(n) jest ciągiem arytmetycznym, gdzie n = 1,2,3,...
 Uwaga: Zadanie dla uczniów/nauczycieli, którzy się boją nowości "Nie taki diabeł straszny...!" W dziedzinie naturalnej moduły znikają!
2. Trzy liczby, których suma wynosi 91, tworzą rosnący ciąg geometryczny.
Jednocześnie liczby te są pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu
arytmetycznego. Wyznacz te liczby
3. Dany jest ciąg arytmetyczny o początkowych wyrazach 2015, 2011, 2007, ....
Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest większych od 100.
4. W ciągu geometrycznym o wyrazach różnych od 0 piąty wyraz jest równy sumie
wyrazów od czwartego do dwunastego włącznie. Wykaż, że iloraz tego ciągu jest
liczbą niewymierną.
5. Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie: a1 = -20 , an+1 = |𝑎𝑛 − 10|
Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu
6. Znajdź tę wartość parametru m, dla której równanie x2 + (m-3)x - 4m + 3 = 0
ma dwa różne pierwiastki a i b takie, że ciąg (a, ab, b) jest arytmetyczny.
7. Skończony ciąg arytmetyczny (an) ma nieparzystą liczbę wyrazów. Suma
wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 165, a suma wyrazów o nieparzystych
numerach jest równa 88. Z ilu wyrazów składa się ciąg (an)?
8. Zbadaj, czy wśród wyrazów ciągu (an) określonego wzorem an =
10𝑛+7
5𝑛−6
są wyrazy będące liczbami naturalnymi.
 Uwaga: Warto zbadać monotoniczność ciągu
To już jest "koniec" zestawu? Niedokładnie - teraz jest czas i miejsce dla Ciebie
kolego nauczycielu - twórz własny zestaw zadań, zachęcaj do tego swoich uczniów,
a
ciekawymi pomysłami - dziel się z Nami !!!
 Matura 2015 (maj i czerwiec)
(niektóre zadania są zmodyfikowane dla potrzeb opracowania)
1. Rozwiąż nierówność: |2𝑥 − 8| ≤ 10
2. Funkcja f jest określona wzorem:
f(x) = x-2 dla x≤0, f(x) = ||𝑥 + 3| − 4| dla x > 0.
Ile rozwiązań ma równanie f(x) = 1?
3. Oblicz
(3 - 2√3 )3
4. Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f. Oblicz
f(6)
f(12)
.
8
5. Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
x4 - x2 - 2x + 3 > 0
6. Dany jest trójmian kwadratowy f(x) = (m+1)x2 + 2(m-2)x - m + 4.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek
(x1)2- (x2)2 = (x1)4- (x2)4
7. Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu
W(x) = x3 +ax2 + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą
ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c.
Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
8. Ciąg (an) jest określony wzorem: an+1 = an + n - 6 dla każdej liczby
naturalnej n ≥1. Wyznacz drugi wyraz tego ciągu wiedząc, że trzeci wyraz
wynosi (-1).
9. Określ dziedzinę wyrażenia: √x (x 2 − 9)
10. Wyznacz największą liczbę całkowitą 𝑥 spełniającą nierówność:
|𝑥| < |𝑥 − 1025|
 Sprawdzian PCEN po drugiej klasie
1. Dla jakich wartości a funkcja f(x) = (1-2a)x + a jest rosnąca?
2. Ile miejsc zerowych ma funkcja f(x) = |9 − 𝑥 2 | − 9?
3. Zbadaj jaką liczbą niewymierną czy wymierną jest √4√3 + 7 + √7 − 4√3.
4. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x spełniającą równanie:
2|𝑥 + 57|=|9𝑥 − 39|
5. Oblicz różnicę między dwoma największymi pierwiastkami wielomianu
W(x) = 4x4 - 13x2 + 3.
𝑥2
6. Wykaż, że każda liczba rzeczywista spełnia nierówność: 25+4𝑥 4 ≤
1
.
20
7. Dla jakich wartości parametru 𝑚 wykres malejącej funkcji liniowej f(x) = (|𝑚| −
4 )x + |𝑚|-2 przecina oś rzędnych powyżej punktu (0,0)?
8. Wyznacz te wartości x, dla których ciąg arytmetyczny
(x + y; x + 2y; x2 + 2x + 2y - 2) jest rosnący.
9. Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = ax3 + 3x2 + bx + 4.
Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x + 1 jest równa 12.
Oblicz współczynniki a i b.
Rozwiąż nierówność W(x) < 0
10. Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania
x2 + (m-1)x + m2- 5m + 4 = 0 przyjmuje wartość największą? Wyznacz tę
wartość.
Materiał opracowany z pomocą uczniów oraz kolegi mgr Zdzisława Bocheńskiego
dr Mariusz Kraus
Rzeszów 21 X 2015