Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wartości oczekiwanej

Estymacja przedziałowa
Średnia arytmetyczna i wariancja z próby są tzw. estymatorami
punktowymi, bowiem oceniają nieznany parametr poprzez konkretną wartość
liczbową. Obok estymatorów punktowych w statystyce wprowadza się takŜe
tzw. estymatory przedziałowe.
Przedziałem ufności nazywamy losowy, uzyskany na podstawie próby
przedział, w którym z przyjętym prawdopodobieństwem (ufnością) leŜy
nieznany parametr, czyli zachodzi następująca relacja
P(a < θ < b ) = 1 − α .
Przedział ufności dla wartości oczekiwanej
RozwaŜmy przypadek populacji, w której badana cecha ma rozkład
normalny z wartością oczekiwaną µ i wariancją σ2. Z populacji tej pobieramy n
-elementową próbę i na jej podstawie wyznaczamy oszacowania nieznanych
parametrów.
Przedział ufności, dla
wartości
współczynniku ufności przyjmuje postać
oczekiwanej
przy
ustalonym
s
s 

P x − tα ,n−1
< µ < x + tα ,n−1
 = 1−α,
n
n

gdzie tα ,n−1 jest wartością z tablic t-Studenta dla n-1 stopni swobody, spełniającą
warunek
P ( t < tα ,n −1 ) = 1 − α , wielkość 1-a nazywamy współczynnikiem
ufności.
Uwaga 1 : jeśli próba jest próba duŜą (n>30), to w miejsce wartości
podstawiamy wartość ua z tablic rozkładu normalnego.
tα ,n−1
Uwaga 2: jeśli wariancja populacji jest znana, to w miejscu wartości krytycznej
dla rozkładu t podstawiamy ua a oszacowanie wariancji czyli s zastępujemy
przez σ.
Przykład 1
Obserwowano średnią temperaturę kwietnia w latach 1988 – 2000. Uzyskano
dane:
15,3 15,7 13,3 18,5 16,6 14,9 15,1 14,3 15,0 13,8 13,7 13,9 17,6.
Zbudować 95% przedział ufności dla wartości oczekiwanej.
n = 13, 1-a = 0.95
(14.26; 16.15)
Przedział ufności dla wariancji
Przypadek I
Jeśli próba jest mała (n<30), to przedział ufności dla wariancji wyznacza się ze
wzoru
 (n − 1)s 2
(
n − 1)s 2 
2

 = 1−α,
P
<σ <

c
c
2
1


gdzie c1 i c2 są wartościami z rozkładu
zaleŜności
(
)
1
P χ 2 < c1 = α
2
oraz
χ n2−1
(
spełniającymi następujące
)
1
P χ 2 ≥ c2 = α .
2
Przykład 2
Zbudować 90% przedział ufności dla danych z przykładu 1.
( 0.89; 3.59 )
Przypadek II
Jeśli próba pobrana z populacji jest duŜa (n≥30), to w miejsce przedziału
ufności dla wariancji konstruuje się przedział ufności dla odchylenia
standardowego zgodnie ze wzorem


s
s
P
<σ <
uα
u

1− α
1+
2n
2n



 = 1 −α.



gdzie uα
jest wartością z tablic rozkładu normalnego spełniającą warunek
P( u < uα ) = 1 − α .
Przykład 3
Obserwowano średnią temperaturę kwietnia w latach 1961 – 2000. Okazało się,
Ŝe odchylenie standardowe badanej cechy obliczone na podstawie tych danych
jest równe 1.25. Zbudować 95% przedział ufności dla odchylenia
standardowego średniej temperatury kwietnia.
Przedział ufności dla wskaźnika struktury
Wskaźnik struktury określa częstość występowania badanego stanu w
populacji. Do oszacowania wskaźnika struktury pobieramy próbę z populacji i
oznaczamy w niej liczbę elementów (osobników) posiadających daną cechę.
Jeśli w n-elementowej próbie takich osobników jest m, to oszacowaniem
wskaźnika struktury jest
pˆ = m / n.
Na tej podstawie szacuje się wskaźnik struktury według następującego wzoru


m
P − uα
n



m m
1 − 
m
n
n
< p < + uα
n
n
m  m  
1 − 
n
n
 =1−α .
n



Przykład 4
W pewnej populacji badano liczbę osób palących. Wśród 400 zbadanych osób
80 było palących. Z dokładnością
99% chcemy oszacować metodą
przedziałową wskaźnik osób palących w tej populacji.
W rozwaŜanym przykładzie mamy m = 80, n = 400 oraz
granice przedziału są równe:
0.2 − 2.576 *
u 0.01 = 2.576 . Stąd
0.2(1 − 0.2 )
= 0.2 − 2.576 * 0.02 = 0.2 − 0.052 = 0.148
400
,
czyli nieznany procent osób palących z prawdopodobieństwem 0.99 mieści się
w przedziale ( 14.8; 25.2 ).