Elektrotechnika elektronika miernictwo

Elektrotechnika elektronika miernictwo
Franciszek Gołek ([email protected])
www.pe.ifd.uni.wroc.pl
Wykład 15.
Obwody magnetyczne i podstawy
elektromechaniki
Wstęp.
W tym wykładzie omówimy podstawy elektromechaniki, między innymi opiszemy
obwody magnetyczne i wyprowadzimy wyrażenie na siłę jaka działa w
elektromagnesach. Zaczniemy od określenia siły występującej między okładkami
naładowanego kondensatora gdzie istotne jest tylko pole elektryczne.
Siłę F rozumiemy jako stosunek zmiany energii ∆W do zmiany
położenia ∆x, a dokładniej:
F = dW/dx
(15.1)
Zgodnie z (15.1) najpierw znajdziemy takie wyrażenie na energię W =
W(x), które zawiera zmienną x określającą odległość między (najlepiej
dwoma) mogącymi się przemieszczać częściami układu a następnie
„wyciągniemy” z tego pochodną. Gdy wyrażenie (15.1) ma wartość
dodatnią to znaczy, że ze wzrostem x rośnie energia. Czyli dodatnia siła
F to siła którą my musimy przyłożyć i popracować na drodze dx by
powiększyć energię układu. Natomiast ujemna wartość siły oznacza, że
to układ pracuje i traci swoja energię!
Policzmy zatem siłę z jaką przyciągają
się okładki kondensatora pod napięciem.
Aby obliczyć energię kondensatora założymy, że jego okładki
o powierzchni S są od siebie oddalone o dystans x.
Ładując kondensator będziemy gromadzić energię wykonywać prace dW
przenosząc porcyjki ładunku dQ z jednej okładki na drugą w aktualnym
polu elektrycznym E, które oczywiście zależy od aktualnego napięcia U
na kondensatorze.
Zgodnie z definicją napięcia U mamy:
U = dW/dQ
dW = UdQ
(15.2)
(15.3)
Zanim zabierzemy się do obliczenia W, czyli całkowania (15.3) musimy
poznać jak U zależy od zmienianej wartości Q. Tę zależność znamy z
definicji pojemności C:
C = Q/U
(15.4)
Podstawiając U = Q/C do (15.3) otrzymamy:
dW = (1/C)QdQ
(15.5)
Całka po zmiennej Q z (15.5) jest prosta i wynosi:
W = Q2/2C
W = CU2/2
(15.6)
(15.7)
Mamy już energię kondensatora W jako funkcję ładunku i pojemności lub jako funkcje
napięcia i pojemności, zróżniczkujemy po zmiennej x wyrażenie (15.6) bo jest dobre w
sytuacji gdy kondensator został naładowany ładunkiem Q i odłączony od zasilacza. W
takiej sytuacji mamy bowiem stałą wartość Q niezależną od x – odległości między
okładkami. W dobrym przybliżeniu pojemność kondensatora płaskiego z powietrzem
między okładkami jako izolatorem wyraża się przez:
C = Aεrε0/x
(15.8)
gdzie: A – powierzchnia jednej strony okładki, x – odległość między
okładkami, ε0 = 8,8541878176· 10-12 C/Vm przenikalność elektryczna
próżni εr – przenikalność względna, dla powietrza εr ≅ 1. Zatem
W = Q2/2C = xQ2/2Aε0
F = dW/dx = Q2/2Aε0
(15.9)
(15.10)
Fx = dW/dx = Q2/2Aε0
F-x = dW/(-dx) = -Q2/2Aε0 < 0
(15.10)
(15.11)
Widać, że siła jest stała i ujemna dla pomniejszania x, co oznacza
przyciąganie się okładek (dążenie do zmniejszenia odległości x).
Policzmy ile wynosi ta siła gdy okładki o powierzchni 1 m2 znajdą się w
odległości 1 mm i przyłożymy do nich napięcie 100 V:
F= Q2/2Aε0= (CU)2/2Aε0 = (Aε0/xU)2/2Aε0 = Aε0U2/x22
F= [1 (m2)· 8,8541878176· 10-12 (C/Vm) · 1002 (V2)]/[2 10-6 (m2)]
F ≅ 0,044 CV/m = 0,044 N.
Niestety taką siłą samochodu nie podniesiemy, ale przykładowo głośniki
mogą działać na tej zasadzie całkiem dobrze! Sytuację nieco
poprawiłaby warstwa dielektryka o dużej przenikalności względnej εr.
Ten wynik oznacza jednak, że w przetwornikach elektromechanicznych
korzystamy raczej z energii i siły magnetycznej.
Przetworniki elektromechaniczne spotykamy w wielu
dziedzinach techniki (od technik w medycynie do technik
związanych z eksploracją kosmosu).
Zagadnienie obwodów magnetycznych jest jednym z
fundamentalnych w opisie działania i przy projektowaniu
przetworników elektromechanicznych.
Stałe pola magnetyczne wytwarzane są przez ładunek
elektryczny w ruchu stacjonarnym, a ich efekt ujawnia się
poprzez siłę jaką wywierają na każdy poruszający się
ładunek elektryczny.
Zmienne pola magnetyczne, generowane przez
niestacjonarny ruch ładunku działają na każdy, również
nieruchomy, ładunek elektryczny.
W projektowaniu maszyn elektrycznych podstawę stanowią:
prawo Faradaya
prawo Ampère’a
i wzór Lorentza
Dla obliczenia napięcia indukowanego w uzwojeniach maszyny
stosujemy prawo Faradaya. Ma ono zastosowanie również do obliczania
strat związanych z prądami wirowymi. Siła elektromotoryczna SEM –
czyli siła wymuszająca ruch ładunku elektrycznego w uzwojeniu
zawierającym N zwoi wynosi:
gdzie, Φ strumień magnetyczny, Ψ = NΦ strumień skojarzony (flux
linkage), współczynnik kw < 1 uwzględnia fakt nie idealnego
przenikania strumienia magnetycznego przez wszystkie zwoje.
Wyjaśnienie dlaczego indukcję magnetyczną
nazywamy też gęstością strumienia magnetycznego.
Przykład 15.1. Zmienne pole magnetyczne o amplitudzie Bmax
= 1 T, częstotliwości 50 Hz przenika 100-zwojowe uzwojenie
o powierzchni przekroju S = 0,01 m2 i współczynniku
uzwojenia kw = 0,9. Oblicz wartość siły elektromotorycznej
indukowanej w uzwojeniu.
Rozw. Z prawa Faradaya w postaci:
mamy związek: SEM = -kwN(d/dt)(BmaxSsinωt) =
-0,9⋅100(d/dt)(1Vs/m2 0,01m2 sin(2π50 rad⋅s-1⋅t)) =
(-90π V)cos(314 rad⋅s-1⋅t) = -283cos(314rad⋅s-1⋅t) V.
Amplituda indukowanego napięcia wynosi zatem
283 V, a wartość skuteczna 283/20,5 V = 200 V.
Proste związki między jednostkami
Jednostką strumienia magnetycznego jest Weber
(1Wb), wyraźmy go przy pomocy innych jednostek:
dΦ/dt = d(B·S)/dt = SEM -> T·m2/s = V -> T = V·s/m2
Wb = [Φ] = [B]·[S] = T·m2 = (V·s/m2) · m2 = V·s.
Widać też, że: T = Wb/m2 = V·s/m2
ale również 1T mamy ze wzoru Lorentza:
F = Qv × B -> B = F/Qv –>
[B] = T = N/(C ·m/s) = (J/m)/(A·m) = (J)/(A·m2) =
(V·A·s)/(A·m2) = V ·s/m2, zgadza się!
Uogólnione przez Maxwella prawo Ampère’a
zawiera pochodną czasową ze strumienia indukcji
elektrycznej D:
Składnik
stanowi tzw. prąd przesunięcia Maxwella, który w
analizie maszyn elektrycznych pracujących przy
niskich częstotliwościach jest zwykle pomijany.
Przykład 15.2. Oblicz prąd przesunięcia w warstwie izolacyjnej (między
uzwojeniem a rdzeniem) o przenikalności εr = 3, o grubości 0,3 mm
i powierzchni 0,01 m2. Rdzeń jest uziemiony a w uzwojeniu pojawia się
potencjału = 400Vsin(2π50/s t). εo= 8,85410-12 F/m.
Rozwiązanie. Emax= 400V/0,3 mm = 1333 kV/m, D = εE = εr εoE ,
Dmax = 3⋅8,854⋅10-12 As/Vm ⋅1333 kV/m = 3,54 10-5 As/m2 = 3,54 10-5
C/m2
ΨD = S⋅D = 0,01m2 ⋅ 3,54 ⋅ 10-5As/m2 ⋅ sin(314t) = 3,54 ⋅10-7As ⋅ sin(314t)
dΨD/dt = 314 3,54 10-7A cos(314t) = 111⋅10-6 Acos(314t) =
111 µAcos(314t),
Wartość skuteczna prądu przesunięcia przez izolację wynosi: 111µA/20,5
= 78,6 µA – niewiele (mała pojemność i niska częstotliwość to i małe
prądy przeładowywania a przez to też małe prądy przesunięcia!).
Przykład 15.3. Obliczmy siłę oddziaływania dwóch
Prostoliniowych i równoległych przewodów z prądem.
Jeżeli w przewodzie o powierzchni przekroju S i długości l gęstość
poruszającego się ładunku wynosi ρ tworząc prąd o natężeniu I to mamy
relację że: qv = ρSlv = ρSvl = Il
Ponieważ linie pola magnetycznego wytwarzanego przez każdy z
przewodów z osobna są symetrycznymi kołami możemy łatwo uzyskać z
prawa Ampère’a równość: 2πrB12 = µoI1 i podobnie 2πrB21 = µoI2.
Siła działająca na przewód z prądem I2 wyniesie F12 = B12I2l po
podstawieniu µo= 4π10-7H/m i wartości B12 = µoI1/(2πr) otrzymamy:
F12 = 2I1I2l 10-7/r N. Identycznie otrzymujemy F21, jej wartość jest
identyczna z F12 ale zwrot przeciwny (i nic dziwnego, akcja równa jest
reakcji ze znakiem przeciwnym).
Obwód Magnetyczny
Obwodem magnetycznym nazywa się zamkniętą drogę, po której przebiega strumień
magnetyczny, drogą tą zwykle jest materiał o dużej przenikalności magnetycznej
przyczyniając się do uzyskania dużej indukcji magnetycznej. Analizując układ w
którym prąd przesunięcia dD/dt jest zerowy lub do pominięcia możemy korzystać z
prawa Ampère’a w postaci bez tego członu:
z której wynika, że całka po krzywej zamkniętej z natężenia pola magnetycznego
równa jest sumie (całce z) prądów przenikających powierzchnię rozpiętą na tej
krzywej. W przypadku uzwojeń maszyn elektrycznych sumą tą jest tzw. przepływ Θ =
NI, nazywany też siłą magnetomotoryczną (SMM = MMF = F m) i wyrażany w
amperach A (czasem w amperozwojach Az) bo N – liczba zwoi jest wielkością
niemianowaną. Jest to iloczyn natężenia prądu i ilości zwoi z tym prądem otoczonych
krzywą całkowania pola H. Stwierdzenie to nazywamy prawem przepływu.
Pomiędzy natężeniem pola magnetycznego H
i indukcją magnetyczną B istnieje związek:
B = µH = µrµ0H [Wb/m2 lub T]
gdzie µo= 4π10-7H/m – przenikalność próżni,
a µr - przenikalność względna materiału (względem próżni).
Olbrzymia wartość µr materiałów ferromagnetycznych oznacza
możliwość uzyskiwania dużych gęstości strumienia magnetycznego B
przy małym prądzie w strukturach elektromagnetycznych. W
konsekwencji wiele elektromechanicznych urządzeń
zawiera rdzenie wykonane z takich materiałów celem
osiągnięcia odpowiednio dobrych parametrów.
Koncentrowanie się silnego pola indukcji B w
materiałach o dużej przenikalności jest analogiczne
do koncentrowania się natężenia prądu
elektrycznego w materiałach
(i obwodach) o dużej przewodności.
W prawie przepływu można całkę z H podzielić na takie
odcinki całkowania, że całka zamienia się na sumę
iloczynów:
Prosty obwód magnetyczny
Do uproszczonego prawa przepływu
NI = H1l1 + H2l2 + .... (jeszcze nie p. Ohma)
wprowadzimy strumień Φ (coś na podobieństwo prądu w obwodach elektrycznych).
Ciągłość strumienia Φ (podobnie jak ciągłość prądu) można zapisać:
Φ = B1S1 = B2S2 =....
= µ1H1S1 = µ2H2S2=... Jeżeli dla
każdego n Hn ⊥ Sn to: Φ = B1S1 = B2S2 =.... = µ1H1S1 = µ2H2S2=...
Otrzymana równość jest już
prawem Ohma
dla obwodu magnetycznego, w
którym Rm = NI/Φ – nazywamy
reluktancją,
[Rm] = [NI/Φ] = A/Vs = 1/H
Gm = Φ/NI – nazywamy
permeancją, jest to odwrotność
reluktancji.
Dla średniej linii indukcji magnetycznej
(linia przerywana na rysunku) prawo przepływu
w postaci: H1l1 + H2l2 +... + Hnln = NI = Θ,
przypomina napięciowe prawo Kirchhoffa. Podobieństwo
takie upoważnia do tego, że Hnln – nazywamy spadkami
potencjału (napięcia) magnetycznego, NI – (SMM) jest siłą magnetomotoryczną,
Podstawiając
Φ/(µnSn) za Hn otrzymaliśmy prawo Ohma dla obwodu
magnetycznego.
Strumień Φ jest tu odpowiednikiem natężenia prądu. Z prawa Ohma dla obwodu
magnetycznego wynika, że dla danego przepływu Θ = NI duży strumień Φ w obwodzie
uzyskujemy przy małych wartościach Rm. Małe wartości Rm wykazują materiały o
dużym współczynniku przenikalności magnetycznej µ. Zatem nic dziwnego, że
głównym oporem magnetycznym, reluktancją, w obwodach magnetycznych są
szczeliny powietrzne.
Analogie między obwodami elektrycznymi i magnetycznymi
W uproszczonej i często stosowanej analizie przyjmowane są następujące założenia:
a)
Strumień znajduje się całkowicie w rdzeniu i wszystkie zwoje obejmują cały
strumień magnetyczny.
b)
Gęstość strumienia magnetycznego (indukcja magnetyczna) jest stała na
poprzecznym przekroju rdzenia.
Analogia do powszechnie znanych obwodów elektrycznych ułatwia
inżynierię obwodów magnetycznych. 3 proste przykład poniżej:
Przykład 15.4. Oblicz strumień Φ, gęstość strumienia B
i natężenie pola magnetycznego H w obwodzie
magnetycznym pokazanym na rysunku, z rdzeniem
o przenikalności µr = 1000. Obliczamy stosując
założenia, że pole w rdzeniu jest jednorodne i nie
opuszcza rdzenia – przenika wszystkie zwoje.
Rozwiązanie.
Siła magnetomotoryczna Fm = Ni = 500 × 0,1 A = 50 Az (albo 50 A).
Średnia droga strumienia magnetycznego l = 4 × 0,09 m = 0,36 m.
Pole przekroju poprzecznego rdzenia A = 0,01 m × 0,01 m = 0,0001 m2
Reluktancja Rm = l/(µA) = l/(µr µ0A) = 0,36/(1000 × 4π×10-7 × 0,0001) = 2,865 106
Az/Wb.
Strumień magnetyczny Φ = Fm/Rm = (50 Az)/(2,865 106 Az/Wb) = 1,75 10-5 Wb.
Gęstość strumienia B = Φ/A = (1,75 10-5 Wb)/(0,0001 m2) = 0,175 Wb/m2 = 0,157 T.
Natężenie pola magnetycznego H = B/µ = B/µrµ0 =
(0,175 Wb/m2)/(1000 × 4π×10-7 H/m) = 139 Az/m.
Zastosowane uproszczenia jak widać pozwalają na
łatwe wyliczenie przybliżonych wielkości i analizę
układu. W projektowaniu wymagana jest jednak
większa precyzja i rozwiązywanie równań
3-wymiarowych.
Przykład 15.5. Oblicz prąd w uzwojeniu zawierającym 95 zwoi,
zapewniający amplitudę indukcji magnetycznej (przebiegu
sinusoidalnego) w szczelinie powietrznej Bsz = 0,82 T w pewnej
maszynie elektrycznej. W obliczeniach założyć, że przenikalność
rdzenia magnetycznego jest µFe= ∞ nieskończona w porównaniu
z przenikalnością powietrza µ0=4π×10-7 H/m. Szerokość szczeliny
wynosi 3,5 mm. Obliczyć reluktancję szczeliny przy a = b = 0,1 m.
Rozwiązanie.
Przy założeniu µFe= ∞, reluktancja rdzenia wynosi zero, podobnie
spadki potencjału magnetycznego Hnln w obszarze rdzenia są równe
zero. Zatem cała siła magnetomotoryczna NI = Θ odkłada się
w szczelinie: Θ = NI = Hszlsz = (Bsz/µsz)lsz
(Bsz/µsz)lsz = (0,82/(4π10-7)) (3,5 10-3) A (lub Az)
I = Θ/N = (0,82/(4π10-7 × 95)) 3,510-3 = 24 A - jest to
amplituda natężenia prądu.
Aby obliczyć reluktancję szczelin należy oszacować efektywny
jej przekrój, w tym celu przyjmuje się, że przekrój szczeliny
S’sz = (a + lsz) × (b + lsz) -> Rm sz= lsz/(µ0S’sz)
W praktyce od około 70 do 90% całej siły magnetomotorycznej
spada w szczelinie, zatem dla dokładnych obliczeń jednak należy
uwzględniać pozostałe 10 do 30% spadku mającego miejsce w
Przykład 15.6. Mając układ magnetyczny
z dwoma szczelinami jak na rysunku,
przedstawić układ zastępczy.
Rozwiązanie.
Przy założeniu µ => ∞, reluktancja rdzenia jest do
zaniedbania – wynosi zero.
Siła magnetomotoryczna Fm = SMM = Ni,
Reluktancje wynoszą:
Rm sz1 = lsz1/(µ0Ssz1),
Rm sz2 = lsz2/(µ0Ssz2),
Strumień magnetyczny w szczelinie 1:
Φ1 = Ni/Rm sz1 = Niµ0Ssz1/lsz1
Φ2 = Ni/Rm sz2 = Niµ0Ssz2/lsz2
Całkowity strumień: Φ = Φ + Φ
Energia w obwodach magnetycznych
Jeżeli potrafimy wyznaczyć energię obwodu magnetycznego
w funkcji odległości między jego elementami to pochodna
energii po odległości między dwoma elementami daje
wyrażenie na siłę z jaką się one przyciągają, może to być siła
udźwigu elektromagnesu. Oczywiście kierunek działania tej
siły to taki, dla którego pochodna energii jest najbardziej
ujemna (energia najszybciej maleje).
Przykład 15.7. Posługując się układem na rysunku
i prawami Kirchhoffa wyprowadzić wzór na energię
gromadzoną w indukcyjności L.
Rozwiązanie. Z definicji indukcyjności mamy: UL = L(di/dt).
Po włączeniu wyłącznika W, z napięciowego prawa KIrchhoffa mamy: U = Ri +
L(di/dt). Mnożąc tę równość stronami przez „idt” otrzymujemy: Uidt = Ri2dt + Lidi.
Iloczyn Uidt jest porcją energii traconej przez źródło napięcia U w czasie dt, iloczyn
Ri2dt jest energią zamienianą na ciepło w rezystorze R w czasie dt, iloczyn Lidi jest
energią gromadzoną w indukcyjności L w czasie dt. Całkowitą energię zgromadzoną w
polu magnetycznym cewki WL otrzymamy całkując iloczyn Lidi od zerowej wartości
prądu do wartości ustalonej I = U/R.
Wymiar [WL] = [L][I2] = 1 (Vs/A) A2 = 1 VAs = 1 J. Warto przy okazji odnotować, że
podobieństwo wzoru na energię W L do wzorów na energię kinetyczną w układach
mechanicznych mv2/2 lub Jω2/2 jest podstawą do modelowania analogowego
(symulacji) układów mechanicznych za pomocą układów elektrycznych. Indukcyjność
w obwodzie elektrycznym jest elementem wykazującym inercję (bezwładność).
Siła przyciągania elektromagnesu
W wielu urządzeniach elektromagnesy są stosowane w celu
wytworzenia odpowiedniej siły. Spotykamy elektromagnesy
w podnośnikach elektromagnetycznych służących do podnoszenia
ciężarów czy w stycznikach i przekaźnikach do przesterowania
styków. Podczas przemieszczania zwory wykonywana jest praca
z użyciem pewnej siły F.
Praca ta równa jest zmianie energii pola magnetycznego elektromagnesu.
Energia pola magnetycznego wyraża się przez: Wm = Li 2/2.
Indukcyjność z definicji występuje w wyrażeniu na indukowaną siłę elektromotoryczną
E = -L(di/dt), ale też z prawa Faradaya otrzymujemy E = - N(dΦ/dt), gdzie N jest
liczbą zwoi otaczających strumień Φ. Z analizy obwodów magnetycznych pamiętamy,
że Φ = Ni/Rm = NiµS/l - dla prostego układu bez szczelinym.
Zatem możemy zapisać E = -L(di/dt) = - N(dΦ/dt) = -(N2µS/l)(di/dt), z czego wynika,
że L = N2µS/l. Więc energia pola magnetycznego daje się zapisać jako
Wm = (N2µS/l) i2/2 . Wykorzystajmy jeszcze związek między indukcją magnetyczną B
a prądem i : µ H = µ Ni/l; B = µ Ni/l i wstawmy za i wyrażenie i = Bl/(µ N) do
wzoru na Wm . Wm = (N2µS/2l) (Bl)2/(µ N)2 = B2Sl/(2µ) = B2V/(2µ) = HBV/2. Warto
odnotować, że energia pola magnetycznego to iloczyn B2 i objętości przestrzeni, w
której rezyduje indukcja B, podzielony przez 2 µ.. Aby z tego wyrażenia obliczyć siłę
zastosujmy rozumowanie: dW = (dW/dl)dl = -Fdl: -F = dWm /dl . Moduł siły to:
2
Siła przyciągania elektromagnesu
gdy szczelina jest wyzerowana
Siła przyciągania elektromagnesu
gdy szczelina jest mała ale nie zerowa.
Indukcja wzajemna
określa sprzężenie magnetyczny między uzwojeniami
powodowane ich wzajemną bliskością i orientacją.
Indukcja wzajemna oznaczana jest symbolem M i zdefiniowana równością:
ub = Mdia/dt
Kropki na rysunku (i na schematach) oznaczają końcówki cewek o
zgodnej polaryzacji (zgodnej fazie napięć).
W cewce, gdy płynie przez nią prąd zmienny, indukowane jest też
napięcie za sprawą samoindukcji.
ua = Ladia/dt
Zatem napięcie wymuszające prąd ia gdy zaciski uzwojenia wtórnego są
rozwarte spełnia równość:
ua = iR + Ladia/dt.
Gdy w uzwojeniu wtórnym popłynie prąd to napięcie wymuszające ma do
pokonania jeszcze jedno obciążenie i w zakresie liniowym całego układu mamy
ua = iR + Ladia/dt + Mdib/dt.
Czy można analizować układy
sprzężone przy pomocy układów
zastępczych? Owszem, można to
robić stosując tzw. źródła zależne
(źródła sterowane):
ε1 = - L1di1/dt ± Mdi2/dt
ε2 = - L2di2/dt ± Mdi1/dt
Pierwszy człon po prawej stronie obu równań pochodzi od samoindukcji danej
cewki, a drugi od jej indukcyjności wzajemnej z drugą cewką. Znak drugiego
członu, zależnie od sposobu w jaki strumień magnetyczny jednej cewki
przenika drugą. Oczywiście w obszarze liniowym napięć i prądów
analizowanego układu dopisywane równania (np. jak zależy dana siła EM od
prądu w innej części układu) są liniowe.
Dla przebiegów sinusoidalnych, w zapisie zespolonym mamy:
± MdI2/dt = ±jωMI2
± MdI1/dt =±jωMI1
Na marginesie dodajmy, że oprócz
indukcyjności wzajemnej mogą
też występować pojemności wzajemne.
Taką sytuację można spotkać w wiązkach
przewodów elektrycznych czy w lampach elektronowych,
gdzie występuje wiele elektrod jedna obok drugiej. Jeżeli na
jedną z takich elektrod wprowadzany jest ładunek elektryczny
to jego pole wyindukuje pewien rozkład ładunku na
pozostałych i będzie wpływać na ich potencjały elektryczne.
W układach wysokich częstotliwości takie pojemności
mogą stanowić małą impedancję (1/jωC i znaczną
konduktancję: jωC) odpowiedzialną za przenikanie sygnałów
pomiędzy obwodami elektrycznymi. Innymi słowy pojemności
wzajemne (czasem bardzo niepożądane) mogą sprzęgać ze
sobą odizolowane od siebie obwody elektryczne.
Liniowy sensor położenia z
transformatorem różnicowym.
W układzie obok od położenia ruchomego rdzenia
zależą wartości indukcji wzajemnych dwóch uzwojeń
wtórnych z uzwojeniem pierwotnym - M1 i M2.
Uzwojenia wtórne 1 i 2 są połączone szeregowo
ale w taki sposób, że ich siły elektromotoryczne
są w przeciwfazie: uout = (M1 – M2)di/dt.
Gdy w uzwojeniu pierwotnym mamy wymuszenie
sinusoidalne to amplituda sygnału wyjściowego uout będzie zależała od
położenia rdzenia. W pozycji zerowej uout będzie równe zeru. Sensory
położenia tego typu są projektowane tak aby M1 – M2 było liniową funkcja
przemieszczenia.
Reluktancyjny sensor przemieszczenia i prędkości.
Bardzo prostym w działaniu jest sensor w postaci
magnesu trwałego z nawiniętym na nim uzwojeniem.
Kiedy ferromagnetyczne klocki przelatują między
biegunami magnesu trwałego zmienia się strumień
magnetyczny. Dzieje się tak ponieważ reluktancja
obwodu magnetycznego maleje gdy klocek ferromagnytyczny zmniejsza
rozmiary szczeliny i rośnie gdy klocek opuszcza bieguny magnesu trwałego. W
uzwojeniu pojawia się siła elektromotoryczna zgodnie z prawem Faradaya:
e = -dΦ/dt.
Energia i ko-energia
W praktyce często (zwłaszcza w zakresie
większych natężeń pola magnetycznego)
zależność pomiędzy strumieniem
skojarzonym Ψ a natężeniem prądu jest nieliniowe.
Wynika to z faktu, że materiały ferromagnetyczne
(z których wykonywane są rdzenie magnetyczne)
mają w tym względzie nieliniowe charakterystyki.
W konsekwencji indukcyjność L, nie może być stała, ale zależy od natężenia
pola magnetycznego i proste wyrażenie U = Ldi/dt ze stałym L nie może być
stosowane swobodnie. Wówczas dogodniej jest opierać analizę na bilansie
energetycznym.
Energia magnetyczna Wmag możemy wyrazić jako całkę z mocy p = ei,
gdzie siła elektromotoryczna e = dΨ/dt, e = d(kwNΦ)/dt, czyli:
Wmag = ∫eidt’
lub: Wmag = ∫(dΨ/dt)idt’ = ∫idΨ’
W’mag = i Ψ - Wmag – to dopełnienie do i Ψ nazywamy ko-energią
Energia i ko-energia
Okazuje się, że energia i ko-energia są sobie równe gdy
zależność między „Ψ” a „i ” (czy między „Φ” a „Fm”) może
być uznana za liniową (lub liniową w przybliżeniu).
Natomiast małe zmiany energii i ko-energii,
można przyjąć, że są sobie równe nawet przy nieliniowej
zależności:
strumień skojarzony – natężenie prądu.
Przykład 15.8. Wyliczyć energię i ko-energię oraz przyrostową liniową
indukcyjność L∆ cewki z rdzeniem. Wyliczyć również napięcie na zaciskach
cewki mając dane: zależność między prądem a strumieniem skojarzonym Ψ w
postaci i = Ψ + 0,5 Ψ2; nominalną wartość Ψ = Ψo = 0,5 Vs; R = 1 Ω; i(t) = 0,625
+ 0,01sin(400t).
Rozwiązanie. 1) Energia i ko-energia: Wmag = ∫idΨ’ = ∫(Ψ + 0,5Ψ2)dΨ’ = Ψ2/2 +
Ψ3/6, podstawiając do tego wyrażenia nominalną wartość strumienia
skojarzonego Ψ0 = 0,5 Vs otrzymujemy:
Wmag(Ψ = Ψ0) = 0,52/2 + 0,53/6 = 0,1458 J.
W’mag = iΨ – Wmag, i = Ψ0 + 0,5 Ψ02 = 0,5 + 0,5(0,5)2 = 0,625 A. Zatem
W’mag = 0,625(0,5) - 0,1458 = 0,1667 J.
2) Indukcyjność przyrostowa L∆ = dΨ/di = 1/(di/d Ψ) = 1/[(d/dΨ)(Ψ + 0,5Ψ2) =
1/(1 + Ψ) w otoczeniu Ψ0 = 0,5 Vs, L∆ = 1/(1 + 0,5) = 0,667 H (w otoczeniu i =
0,625 A).
3) u = iR + L∆di/dt = [0,625 + 0,01sin(400t)]×1 + 0,667 × 4cos(400t) = 0,625 +
0,01sin(400t) + 2,667sin(400t + 90°) = 0,625 + 2,667sin(400t + 89,8°).
Ten przykład ilustruje możliwość linearyzacji równań w zagadnieniach, w których zmiany
pewnej wielkości (tu prądu ∆i = 0,01 A) są małe w porównaniu do wartości stałej wokół
której te zmiany zachodzą (tu i0 = 0,625 A).
E-E-M. Lista-15
1) Wychodząc z wyrażeń na napięcie na zaciskach uzwojenia: u = NdΦ/dt i u =
Ldi/dt pokazać, że L = N2/Rm. Gdzie reluktancja Rm = Ni/Φ.
2) Mając dane układu magnetycznego pokazanego obok:
N = 1000 zwoi, i = 10 A, µr -> ∞, lsz = 0,01m, Ssz = 0,1 m2.
Oblicz strumień magnetyczny i gęstość strumienia
w szczelinie.
3) Określić indukcyjność i magazynowaną energię
magnetyczną w układzie obok.
4) Zakładając, że w szczelinie układu z zadania 3 występuje indukcja
magnetyczna (gęstość strumienia magnetycznego) B(t) = 0,6 sin(314t) Wb/m 2,
Oblicz indukowane napięcie na uzwojeniu.
5) Oblicz siłę z jaką układ z zadania 3 „stara się” zmniejszyć szczelinę.