wyklad_2_pole elektryczne cz_1a

advertisement
Wykład 2.
POLE ELEKTROMEGNETYCZNE:
Ładunek elektryczny
Ładunki elektryczne:
-dodatnie i ujemne
- skwantowane, czyli że mają pewną najmniejszą
wartość, której nie można już dalej podzielić.
Nie można ładunków stworzyć, ani zniszczyć w tym
sensie, że sumaryczny ładunek w dowolnym procesie
pozostaje stały.
Gdy atom nie jest zjonizowany, to jego sumaryczny
ładunek wynosi zero.
Atomy zjonizowane z nadwyżką ładunku ujemnego
nazywamy anionami, a z niedoborem ładunku
ujemnego (z nadwyżką ładunku dodatniego)
nazywamy kationami.
Elektryzacja ciał
- przenoszenie ładunku z jednego z nich do drugiego
- przez pocieranie - przebudowa elektrycznej warstwy
podwójnej znajdującej się na powierzchni każdego z
tych ciał.
- przez indukcję jak to pokazane na rysunkach
poniżej. Tutaj elektryzacji podlegają metalowe kule
(białe) osadzone na izolatorze (czarny pręt).
W układzie SI jednostką ładunku jest 1 kulomb (1 C).
Jest to ładunek przenoszony przez prąd o natężeniu
1 ampera w czasie 1 sekundy 1 C = 1 A·s.
Wszystkie realnie istniejące ładunki są wielokrotnością
ładunku e. ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C
Ładunek statyczny, zgromadzony np. na grzebieniu
przez pocieranie, jest rzędu 10-6 C (mikrokulomb, ok.
1013 elektronów). Ładunek elektronu wynosi 1.602×1019
C.
zasada zachowanie ładunku:
Wypadkowy ładunek elektryczny w układzie
zamkniętym jest stały
Prawo Coulomba
Prawo Coulomba (1736 - 1806) - prawo opisujące
siłę oddziaływania między punktowymi ładunkami
elektrycznymi Q i q znajdującymi się w odległości R i
pozostającymi w spoczynku względem siebie.
Każde dwa ładunki punktowe q1 i q2 oddziaływają
wzajemnie siłą wprost proporcjonalną do iloczynu tych
ładunków, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu
odległości między nimi.
gdzie stała
.
Współczynnik ε0 = 8.854·10-12 C2/(Nm2) przenikalność elektryczna próżni.
W układzie SI
W ośrodku:
ośrodek
próżnia
powietrze
parafina
szkło
woda
εr
1
1.0006
2
10
81
Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi
ciałami, siłę wypadkową, analogicznie jak w
przypadku siły grawitacyjnej
Wzór Coulomba automatycznie wyraża fakt, że
ładunki jednoimienne odpychają się, a różnoimienne
przyciągają się do siebie.
Aby potwierdzić swoje prawo eksperymentalnie,
Coulomb dzielił ładunek zgromadzony na kuli
przewodzącej przez przenoszenie jego połowy na
taką samą kulę. Otrzymał 1/2, 1/4, ... ładunku
pierwotnego. Stosując do pomiaru sił oddziaływania
między ładunkami wagę skręceń
Kierunek siły Coulomba pokrywa się z kierunkiem
prostej łączącej oba ładunki punktowe.
Równanie Coulomba stosuje się jedynie do przypadku
ładunków punktowych.
Gdy rozkład ładunków jest przestrzenny, wtedy należy
przeprowadzić odpowiednie sumowanie lub
całkowanie.
Poza tym, że prawo Coulomba dotyczy tylko ładunków
punktowych, to opisuje siłę działającą między nimi
tylko wtedy, gdy ładunki znajdują się w spoczynku
względem siebie.
Pole elektryczne (natężenie pola) E w określonym
punkcie definiujemy jako wielkość równą stosunkowi
siły F działającej na dodatni ładunek próbny q do
wartości tego ładunku:
Zgodnie z definicją natężenia pola E, ruch cząstek
naładowanych w tym polu odbywa się pod działaniem
siły F = qE.
Przyjęto konwencję, że ładunek próbny jest dodatni
więc kierunek wektora E jest taki sam jak kierunek siły
działającej na ładunek dodatni.
Jeżeli pole elektryczne jest wytworzone przez ładunek
punktowy Q to zgodnie z prawem Coulomba siła
działająca na ładunek próbny q umieszczony w
odległości r od tego ładunku wynosi
gdzie jest wektorem jednostkowym zgodnym z
kierunkiem siły pomiędzy Q i q.
Addytywność pól.
Pole E jest addytywne wektorowo co oznacza, że
wypadkowe pole elektryczne jest sumą wektorową pól
E1, E2, E3 ... pochodzących od indywidualnych
ładunków :
Dla n ładunków punktowych pole elektryczne jest
równe sumie wektorowej pól elektrycznych od
poszczególnych ładunków
Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić
graficznie za pomocą tzw. linii sił (linii pola).
Linie sił pola:
Koncepcja linii sił pola została wprowadzona również
przez Michaela Faraday’a (1791-1867).
Linie sił pola są to wyimaginowane krzywe w
przestrzeni, będące w każdym punkcie styczne do
wektora E w tym punkcie.
- to linie, do których wektor E jest styczny w każdym
punkcie.
- zaczynają się zawsze na ładunkach dodatnich, a
kończą na ładunkach ujemnych.
Linie sił rysuje się tak, że liczba linii przez
jednostkową powierzchnię jest proporcjonalna do
wartości E; gdy linie są blisko siebie to E jest duże,
a gdy są odległe od siebie to E jest małe.
Pojedynczy ładunek umieszczony w próżni jest
otoczony radialnym układem linii sił.
Linie sił pola elektrycznego dla układu dwóch
ładunków różno- i jednoimiennych
Dipol elektryczny:
Dipol elektryczny jest sztywnym układem dwóch
ładunków punktowych +Q i -Q odległych od siebie o l.
Dipol umieszczamy w jednorodnym polu elektrycznym
wektor E tworzy kąt θ z linią łączącą oba ładunki,
zwaną osią dipola.
Siła F1 = QE jest skierowana w kierunku pola,
siła F2 = - QE w kierunku przeciwnym.
Obie te siły tworzą parę sił tworzącą moment siły
Iloczyn Ql ładunku Q i odległości l jest nazywany
momentem dipolowym.
Wektor momentu dipolowego jest skierowany od
ładunku ujemnego do dodatniego (odwrotnie niż to
jest dla linii sił pola).
Moment siły działający na dipol wyrażamy w postaci
iloczynu wektorowego
Wartość tego wektora wynosi oczywiście
Jeżeli pole elektryczne nie jest jednorodne, wtedy na
dipol działa nie tylko moment skręcający, ale także
pewna siła wypadkowa. Powodem tego jest fakt, że
oba ładunki dipola znajdują się w polach o nieco
odmiennych natężeniach i siły działające na te ładunki
nie równoważą się.
Niezerowy elektryczny moment dipolowy mają takie
molekuły, jak H2O, CO, ...
Molekuły symetryczne, np. O2, N2, H2, ... nie mają
trwałych momentów dipolowych.
Jednostką momentu dipolowego w układzie SI jest
C·m (kulomb · metr).
Ponieważ jest to bardzo duża jednostka, to w
literaturze stosuje się zwykle jednostkę o nazwie
debaj (D), która pochodzi z układu CGS.
1D = 3.338×10-30 C·m
Przykłady
1. Dwa ładunki elementarne (równe ładunkom
elektronu lub protonu) oddalone od siebie na
odległość 1 angstrema tworzą moment dipolowy o
wartości
p = 1.602×10-19 C ·1·10-10 m = 16.02×10-30 C·m =
4.8 D.
2. Znaleźć pole elektryczne E wytwarzane przez
dipol. Dla uproszczenia znajdziemy to pole w
płaszczyźnie prostopadłej do osi dipola i
przechodzącej przez jej środek
Pola pochodzące od ładunków dodatniego i ujemnego
oznaczamy odpowiednio przez E+ i E-.
Suma wektorowa obu tych pól tworzy pole
wypadkowe E = E+ + E-.
Ze względu na symetryczne położenie punktu, w
którym badamy pole, długości obu wektorów E+ i E- są
jednakowe:
Pionowe składowe pól E+ i E- kompensują się, a suma
składowych poziomych daje długość E szukanego
wektora E:
gdzie p = Ql jest momentem dipolowym dipola. Dla r
>> l (daleko od osi dipola) wartość pola E wynosi:
Widzimy, że pole wokół dipola zanika ze wzrostem
odległości szybciej (jak 1/r3 ) niż pole wokół
pojedynczego ładunku, które zanika jak 1/r2.
Strumień pola elektrycznego
Jeżeli pole elektryczne jest jednorodne i gdy
płaszczyzna o powierzchni A jest ustawiona
prostopadle do linii tego pola E, to strumień pola
elektrycznego ΦE przenikający tę powierzchnię jest
równy
Jeżeli teraz ta powierzchnia zostanie odchylona o kąt
φ od poprzedniego położenia, to strumień zmieni
swoją wartość i będzie wynosił
Ponieważ strumień jest wielkością skalarną, to
zależność tę dla pola jednorodnego możemy zapisać
w postaci iloczynu skalarnego wektora pola E i
wektora powierzchni A:
Strumieniem pola E (jednorodnego lub
niejednorodnego) przechodzącego przez
nieskończenie mały element powierzchni dA
nazywamy iloczyn skalarny:
Strumień pola E przechodzącego przez pewien płat
powierzchni A otrzymamy po zastąpieniu sumowania
przez całkowanie po całym płacie A
Strumień pola E przechodzącego przez powierzchnię
zamkniętą A opisujemy całką (symbol całki z
kółeczkiem)
Wektor dA wybieramy tak aby był skierowany na
zewnątrz powierzchni
Wartość strumienia nie zależy zatem od kształtu
powierzchni zamkniętej, a zależy jedynie od wartości
ładunku zamkniętego wewnątrz tej powierzchni.
Strumień pola pochodzącego od
dipola elektrycznego znajdującego
się wewnątrz dowolnej powierzchni
zamkniętej będzie zatem równy
zeru (bo suma algebraiczna +Q i -Q
wynosi zero)
Gdyby ładunki nie były jednakowe,
to strumień pola nie mógłby być
zerowy. Jeżeli np. ładunek ujemny
jest większy od dodatniego, to
strumień pola przez powierzchnię
zamkniętą jest ujemny
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
Prawo Gaussa: strumień pola elektrycznego E przez
powierzchnię zamkniętą jest określony tylko przez
algebraiczną sumę wszystkich ładunków
elektrycznych Q zawartych wewnątrz tej
powierzchni.
Nie ma znaczenia jak te ładunki są rozmieszczone
wewnątrz tej powierzchni.
Q algebraiczna suma ładunków znajdujących się
wewnątrz powierzchni zamkniętej A, po której
przeprowadzamy całkowanie (sumowanie) strumienia
ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni.
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego jest
uogólnionym sformułowaniem zależności między
ładunkami a polami elektrycznymi i jest jednym z
czterech równań Maxwella opisujących całość zjawisk
elektrycznych i magnetycznych.
Zastosowanie prawa Gaussa- wartość pola
elektrycznego w określonym punkcie lub obszarze.
Kluczową czynnością jest otoczenie odpowiedniego
obszaru ładunku stosownie wybraną powierzchnią
zamkniętą.
1. Prawo Coulomba a prawo Gaussa
>nie można wyprowadzić prawa Gaussa z prawa
Coulomba, ale prawo Coulomba otrzymuje sie z
prawa Gaussa:
a) siła F = qE, działaja na ładunek punktowy q
znajdujący się w odległości r od innego ładunku
punktowego Q.
Aby wyznaczyć F musimy znać tylko E, a to
znajdziemy z prawa Gaussa. Ładunek Q
umieszczamy w środku sfery o promieniu r, jak na
rysunku
Pole E pochodzące od
ładunku Q ma na
powierzchni sfery
jednakową wartość i
wszędzie na tej powierzchni
wektor E jest równoległy do
wektora dA. Po
zastosowaniu prawa
Gaussa otrzymamy
czyli
Ponieważ wektor E jest skierowany wzdłuż promienia
r, to
Zgodnie z definicją pola E, siła działająca na ładunek
q wynosi
Otrzymaliśmy zatem prawo Coulomba z prawa
Gaussa:
2. Pole naładowanej sfery przewodzącej o promieniu r
(wewnątrz sfery nie ma ładunków):
Na podstawie prawa Gaussa:
-pole na zewnątrz sfery w odległości R od jej centrum
wynosi
, czyli
Wewnątrz sfery (Q = 0) pole
3.
Pole
jednorodnie
naładowanej
kuli
dielektrycznej. Całkowity ładunek zawarty w kuli
jest Q.
Obliczając pole E w odległości x od środka kuli
oznaczamy przez q ładunek zawarty w kuli o
promieniu x. Z prostej proporcji
otrzymujemy
.
Na podstawie prawa Gaussa szukane pole E
wewnątrz kuli wynosi
, czyli
.
Zatem pole wewnątrz kuli rośnie liniowo wraz ze
wzrostem x.
Na zewnątrz kuli pole maleje ze wzrostem odległości
od środka
4. Pole ładunku liniowego oraz naładowanego
cylindra przewodzącego o gęstości liniowej
ładunku λ[C/m]:
Na odcinku L przewodnika znajduje się ładunek
Q = λ L,
zatem z prawa Gaussa otrzymujemy
.
Stąd znajdujemy szukane pole
5. Pole naładowanej nieskończonej płaskiej
warstwy
Pole jest jednorodne i rozciąga się w obie strony
prostopadle do powierzchni płyty (przechodzi tylko
przez podstawy walca).
Z prawa Gaussa otrzymujemy
6. Pole naładowanej nieskończonej płaskiej płyty
przewodzącej
Ładunek na płycie przewodzącej jest rozmieszczony
na obu jej powierzchniach. Ponieważ mamy dwie
warstwy ładunkowe o gęstości ładunku σ każda, to na
podstawie wyniku poprzedniego przykładu natężenie
pola będzie dwukrotnie wyższe.
7. Pole między przeciwnie naładowanymi
równoległymi płytami przewodzącymi
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy
prostopadłościan z jedną podstawą zanurzoną
wewnątrz płyty metalowej gdzie nie ma ani ładunku
ani pola E.
Pole przenika tylko te podstawę prostopadłościanu,
która znajduje się w przestrzeni między płytami.. Z
prawa Gaussa otrzymujemy
Na zewnątrz płyt pole jest równe zeru.
Energia potencjalna U ładunku w polu E i
potencjał V pola E
możliwe jest zdefiniowanie energii potencjalnej U
ładunku w polu elektrycznym.
Rozważmy pole elektryczne między dwiema
równoległymi płytami, na których znajdują się
ładunki o jednakowej wartości, ale o przeciwnych
znakach.
Rozmiary płyt są duże w porównaniu z odległością
między nimi, a zatem na przeważającym obszarze
pole między nimi może być traktowane jako
jednorodne.
Mały dodatni ładunek punktowy +q ma największą
energię potencjalną U wtedy, gdy znajduje się w
punkcie na powierzchni elektrody dodatniej, jak na
rysunku. (w tym punkcie ładunek +q ma
najwyższą zdolność do wykonania pracy w czasie
swojego powrotu do elektrody ujemnej).
Tę energię potencjalną U musimy ładunkowi nadać
wykonując pracę W przeniesienia tego ładunku od
elektrody ujemnej do dodatniej. Pracę wykonujemy
pokonując siłę odpychania elektrostatycznego
F = qE.
Na odcinku dl wykonamy pracę dW równą
czyli
Praca przeniesienia ładunku +q między obiema
elektrodami, czyli energia potencjalna U tego ładunku
na dodatniej elektrodzie, wynosi
Ponieważ pole elektryczne jest polem potencjalnym,
to praca przeniesienia ładunku z punktu a do punktu b
nie zależy od kształtu drogi ładunku między tymi
punktami
Poprzednio zdefiniowaliśmy natężenie pola
elektrycznego jako siłę działającą na ładunek
jednostkowy.
W podobny sposób definiujemy potencjał
elektryczny V albo po prostu potencjał, jako
stosunek energii potencjalnej, jaką ma w polu
elektrycznym ładunek q, do wartości tego
ładunku.
Jeżeli, zatem, dowolny ładunek q ma w jakimś
punkcie pola energię potencjalną U, to potencjał pola
V w tym punkcie wynosi
W ogólnym przypadku kiedy pole E nie jest
jednorodne powinniśmy napisać związek ogólny
Teraz natężenie pola E -spadek potencjału dV na
odcinku dl:
w ogólnym przypadku pola niejednorodnego
przyrosty dU i dV wynoszą
Różnicę potencjałów Vab między punktami a i b
gradient funkcji skalarnej (w tym przypadku potencjału
V) jest wielkością wektorową E. Składowe tego
wektora są wyrażone przez pochodne cząstkowe
(spadki wzdłuż x, y i z)
Jeżeli pole E jest stałe i jednorodne to wtedy gradient
potencjału jest również stały i teraz bardzo prostą i
wygodną regułą określania różnicy potencjału V
(napięcia) w tym polu jest relacja, która wynika
bezpośrednio ze związku między E i gradientem
potencjału
gdzie odległość l jest liczona wzdłuż pola. Regule tej
podlega zmiana napięcia pokazywanego przez
woltomierz jeżeli będziemy płynnie zmieniali położenie
jego końcówek stykających się z drutem oporowym
przez który płynie prąd. Napięcie określone według
tej reguły nosi nazwę napięcia krokowego.
Przykład - rozkład potencjału, na płaszczyźnie xy,
wokół dipola elektrycznego. Kolorem czerwonym
zaznaczono wybrane linie łączące punkty o
jednakowym potencjale - linie ekwipotencjalne (każda
krzywa odpowiada innej stałej wartości potencjału).
Na podstawie wielkości
zmiany potencjału, przypadającej na jednostkę
długości w danym kierunku możemy określić
natężenie pola elektrycznego E w tym kierunku.
Możemy więc przy pomocy obliczania pochodnych
cząstkowych z wielkości skalarnej (potencjału V)
otrzymać składowe wielkości wektorowej (pola E) w
dowolnym punkcie przestrzeni: Im większa
(mniejsza) zmiana potencjału na jednostkę
długości tym większe (mniejsze) pole elektryczne
w danym kierunku. Znak minus odzwierciedla fakt,
że wektor E jest skierowany w stronę malejącego
potencjału.
Pojemność elektryczna
Jeżeli dowolny izolowany przedmiot metalowy
(przewodnik) naładujemy ładunkiem Q to ten
przewodnik uzyska pewien
potencjał elektryczny V
(różnicę potencjału między
przewodnikiem a Ziemią).
O
tym jak duży będzie to
potencjał przy ustalonym
Q
decyduje pojemność
elektryczna C
przewodnika. Jeżeli
pojawi się niewielki
potencjał to pojemność przewodnika jest duża. Gdy
dla tego samego ładunku otrzymamy duży potencjał to
pojemność przewodnika jest mała.
Pojemność elektryczną C przewodnika zdefiniujemy
zatem jako stosunek ładunku Q znajdującego się na
tym przewodniku do wartości potencjału elektrycznego
V jaki pojawia się w rezultacie wprowadzenia tego
ładunku na przewodnik.
Kondensator
Izolowany przewodnik może gromadzić ładunek
elektryczny.
w praktyce: do magazynowania ładunku stosujemy
urządzenia zwane kondensatorami.
Kondensator stanowi układ dwóch dowolnych
izolowanych od siebie przewodników, przy czym
ładowanie kondensatora polega nie na oddzielnym
ładowaniu każdego z przewodników, ale na
przesunięciu ładunku (jednakowego na obu
przewodnikach, ale o przeciwnych znakach) z jednego
przewodnika do drugiego.
Pojemność elektryczną C kondensatora
pojemność kondensatora jest proporcjonalna do
wielkości powierzchni płyt i odwrotnie proporcjonalna
do odległości między nimi. :
-kondensator o dużej pojemności ma płyty o dużej
powierzchni, położone możliwie blisko siebie. (im
węższa będzie szczelina między okładkami tym
większa będzie pojemność kondensatora).
Łączenie kondensatorów
Łączenie szeregowe kondensatorów. W
połączeniu szeregowym, jak na schemacie
poniżej, wartości ładunków na wszystkich
okładkach wszystkich kondensatorów są takie
same.
Spadek potencjału na układzie szeregowym jest
równy sumie różnic potencjałów na poszczególnych
kondensatorach
Stąd sumaryczna pojemność C układu szeregowego
jest określona wzorem
Łączenie równoległe kondensatorów. W połączeniu
równoległym
sumaryczny ładunek Q zgromadzony w układzie jest
równy sumie ładunków na okładkach wszystkich
kondensatorów .
Spadek potencjału jest jednakowy na każdym z
kondensatorów a zatem
Stąd sumaryczna pojemność C układu równoległego
jest równa sumie pojemności wszystkich
kondensatorów
Mając do obliczenia pojemność kondensatora o
zadanej geometrii stosujemy następujący schemat
postępowania:
1. Wychodzimy z definicji pojemności kondensatora,
Różnicę potencjałów Vab wstawiamy do wzoru
definiującego tę pojemność. Ładunek Q redukuje się.
2. ale brakuje nam różnicy potencjałów Vab, którą
znajdujemy z relacji miedzy polem E i V,
3. jednak musimy najpierw znać E i w tym celu
posłużymy się uniwersalnym narzędziem jakim jest
prawo Gaussa:
Kondensator płaski
Kondensator cylindryczny
Kondensator sferyczny
Energia naładowanego kondensatora U
Energia naładowanego kondensatora U jest równa
pracy W jaką wykonamy przy jego ładowaniu. Cała
energia U jest zawarta w polu elektrycznym między
okładkami kondensatora.
W czasie ładowania kondensatora różnica
potencjałów między jego okładkami V(q) zależy od
ładunku q, jaki aktualnie znajduje się na okładkach.
Praca przeniesienia między okładkami dodatkowego
ładunku dq wynosi
Energia pola w kondensatorze całkowicie
naładowanym ładunkiem Q staje się
czyli
Gęstość energii pola elektrycznego u
obliczymy dzieląc energię U przez objętość
zajmowaną przez pole. Posługując się prostą
geometrią kondensatora płaskiego o powierzchni
okładek A i odległości między okładkami d znajdziemy
wartość u słuszną dla pola E o dowolnej geometrii:
czyli
Download
Random flashcards
123

2 Cards oauth2_google_0a87d737-559d-4799-9194-d76e8d2e5390

ALICJA

4 Cards oauth2_google_3d22cb2e-d639-45de-a1f9-1584cfd7eea2

bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

Create flashcards