9. Obwody rozgałęzione prądu zmiennego: metody i twierdzenia
advertisement
9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA Podobnie jak w przypadku obwodów prądu stałego analiza złożonych obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego opiera się o tworzenie ich schematów zastępczych. Zestawiane są one z elementów idealnych opisujących pojedyncze zjawiska fizyczne występujące w obwodzie, połączonych ze sobą w strukturę odwzorowującą ich powiązania. Pozwala to na opisanie obwodu za pomocą układu równań jakie można otrzymać stosując prawa Kirchhoffa i wykorzystując zależności pomiędzy wartościami chwilowymi prądów i napięć charakteryzujące poszczególne elementy idealne. Są to równania różniczkowe. Ich rozwiązaniami (tzw. całkami) są funkcje odwzorowujące przebiegi czasowe prądów i napięć danego obwodu. Wyznaczanie ich z równań różniczkowych jest i trudne i pracochłonne, zwłaszcza gdy układ składa się z większej ilości równań. Dla obwodów w stanach ustalonych, w których przebiegi są sinusoidalne przebiegi te można wyznaczyć stosując poznaną w poprzednich rozdziałach (por. pkt 6.6. rozdz. 6.) metodę symboliczną. W metodzie tej zamiast równań różniczkowych rozwiązuje się równania algebraiczne o współczynnikach zespolonych (będące transformatami całkowymi tych równań będziemy się o nich uczyć w przyszłości). Pierwiastkami tych równań są liczby zespolone. Istotę procedury jaka tu jest stosowana objaśniono w tabeli 9.1. Formalnie polega ona na transformowaniu równań różniczkowych na równania algebraiczne, rozwiązywaniu ich i transformowaniu wyników, którymi są wartości skuteczne zespolone na odpowiadające im przebiegi. W rzeczywistości równania algebraiczne są układane bezpośrednio na podstawie schematów zastępczych, zaś transformowanie przebiegów czasowych na wartości skuteczne zespolone (i odwrotnie) polega na wzajemnym przyporządkowywaniu sobie funkcji sinusoidalnych i wskazów zapisanych jako liczby zespolone. Tabela 9.1 Dziedzina funkcji czasu - przebiegi (sinusoidalne) wartości chwilowych, - rezystancje, konduktancje, indukcyjności, pojemności, równania różniczkowe Dziedzina liczb zespolonych ⇒ ⇓ ⇓ - rozwiązywanie równań różniczkowych - rozwiązywanie równań algebraicznych ⇓ przebiegi (sinusoidalne) wartości chwilowych - wartości skuteczne zespolone, - impedancje zespolone, admitancje zespolone, równania algebraiczne ⇓ ⇐ wartości skuteczne zespolone Równania różniczkowe wykorzystywane są do analizowania obwodów w tzw. stanach nieustalonych (przejściowych), to jest takich jakie występują wtedy gdy w obwodzie zaistniała jakaś nagła zmiana (komutacja), skutkiem czego prądy i napięcia przejściowo nie są sinusoidalne. Równania algebraiczne opisujące obwód z zastosowaniem metody symbolicznej mają postać tożsamą z równaniami układanymi dla obwodów prądu stałego. Formalna różnica między nimi polega jedynie na tym, że stosowane są inne oznaczenia, a występujące parametry przyjmują - 53 - wartości zespolone. Z uwagi na tę tożsamość, wszystkie metody opracowane dla liniowych obwodów prądu stałego znajdują zastosowanie dla liniowych obwodów prądu sinusoidalnego analizowanych z zastosowaniem metody symbolicznej. W metodzie symbolicznej „przepisy” na układanie równań oczkowych i równań węzłowych, na wartości parametrów gałęzi równoważnych, na transfigurację gwiazda-trójkąt (i odwrotnie), są identyczne jak dla prądu stałego, przy czym zamiast rezystancji i konduktancji występują impedancje i admitancje zespolone, a zamiast napięć, prądów oraz sił elektromotorycznych i prądomotorycznych - ich wartości skuteczne zespolone. Stąd metody te nie będą już ponownie wyprowadzane lub uzasadniane, zostaną jedynie pokazane w przykładowych zastosowaniach. 9.1. Obliczanie obwodów metodą układania równań z praw Kirchhoffa Zapoznawanie się z metodami analizowania obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego zaczniemy od metody układania równań z praw Kirchhoffa. Jest to metoda podstawowa - o nią oparte są wszystkie inne. Rozważmy obwód przykładowy I o schemacie zastępczym przedstawionym na rys. 9.1. Należy dla niego wyznaczyć przebiegi wartości chwilowych wszystkich prądów. Dane nie podane na rysunku: π e1(t) = 4 sin( 500 ⋅ t − ) V , 4 e2(t) = 8 2 cos( 500 ⋅ t ) V , Rys. 9.1. Schemat zastępczy obwodu przykładowego I e3(t) = 2 2 sin( 500 ⋅ t ) V Zastosujmy do tego zadania metodę symboliczną. W tym celu wyznaczmy impedancje zespolone wszystkich elementów oraz wartości skuteczne zespolone wszystkich występujących w obwodzie sił elektromotorycznych. rad Pulsacja ma wartość: ω = 500 s Stąd wartości impedancji: 1 1 ZC = − j =−j = − j 2 Ω ; Z L1 = j ω L1 = j 500 ⋅ 1 ⋅ 10 -3 = j 0,5 Ω , − 3 ωC 500 ⋅ 1 ⋅ 10 Z L 2 = j ω L2 = j 500 ⋅ 4 ⋅ 10 -3 = j 2 Ω Wartości skuteczne zespolone SEM: E1 = 4 2 e -j π 4 = (2 − j 2) V , j π E2 = 8 e 2 = j 8V , E3 = 2 e j 0 = 2V Schemat zastępczy obwodu z danymi do stosowania metody symbolicznej przedstawia rys. 9.2. Przy poszczególnych elementach pasywnych podano wartości ich reaktancji lub rezystancji, a nie impedancje zespolone. Można tak zrobić gdyż zastosowane na schemacie symbole jednoznacznie wskazują, które z tych elementów są idealnymi kondensatorami, które idealnymi induktorami, a które idealnymi rezystorami, zatem określenie wartości ich impedancji zespolonych nie stwarza żadnych trudności. Gdyby w schemacie zastępczym występowało źródło - 54 - prądowe (w obwodzie przykładowym I go nie ma) trzeba by było zaznaczyć występujące na nim napięcie - byłoby to potrzebne do układania równań z II prawa Kirchhoffa. Na schemacie zastrzałkowano prądy. Oznaczono je wartościami skutecznymi zespolonymi. Nie chcąc nadmiernie zaciemniać schematu nie zastrzałkowano na nim napięć na elementach pasywnych. Uznano, że na tym etapie studiowania teorii obwodów nie powinno to stwarzać studiującemu problemów (powinien on jednak pamiętać, że takie strzałkowanie warto przeprowadzić - utrudnia to popełnianie Rys. 9.2. Schemat zastępczy obwodu przykładowego I przekształcony do stosowania w metodzie symbolicznej błędów przy układaniu równań z II prawa Kirchhoffa). Schemat zawiera pięć gałęzi, a zatem występuje w nim pięć prądów o nieznanych natężeniach. Należy więc ułożyć pięć równań - dwa równania z I prawa Kirchhoffa (tyle ile jest węzłów niezależnych - liczba węzłów minus jeden) i trzy z II prawa Kirchhoffa (tyle ile jest oczek niezależnych - liczba gałęzi minus liczba węzłów niezależnych). Mogą występować trzy różne pary równań z I prawa Kirchhoffa i aż dziesięć różnych trójek równań z II prawa Kirchhoffa. Daje się zatem ułożyć trzydzieści różnych układów równań poprawnie opisujących obwód. Przykładowo mogą to być następujące równania: I1 − I 2 − I3 = 0 I3 − I4 − I5 =0 ( 2 − j 2 ) − 1 ⋅ I 1 − j 2 ⋅ I 2 − ( − j 2 ) ⋅ I 1 − j1 ⋅ I 1 = 0 j2 ⋅ I 2 − ( − j2 ) ⋅ I 3 − ( − j2 ) ⋅ I 4 = 0 ( − j 2 ) ⋅ I 4 − 1 ⋅ I 5 + j8 − j 2 ⋅ I 5 − 2 = 0 Pierwiastkami tego układu równań są następujące liczby zespolone: π π π j -j I 1 = j 2 = 2 e 2 A , I 2 = −2 = 2 e jπ A , I 3 = ( 2 + j 2 ) = 2 2e 4 A , I 4 = − j 2 = 2 e 2 A , j I 5 = ( 2 + j 4 ) ≈ 4 ,472 e j1,107 ≈ 4 ,472 e j63,435 o A Zatem prądy mają następujące przebiegi wartości chwilowych: π i1 ( t ) = 2 2 sin( 500t + ) = 2 2 cos 500t A 2 i2 ( t ) = −2 2 sin 500t = 2 2 sin( 500t + π ) A π π i3 ( t ) = 2 2 2 sin( 500t + ) = 4 sin( 500t + ) A 4 4 π i4 ( t ) = 2 2 sin( 500t − ) = −2 2 cos 500t A 2 i3 ( t ) ≈ 4 ,472 2 sin( 500t + 1,107 ) ≈ 4 ,472 2 sin( 500t + 63 ,435 o ) A 9.2. Metoda przekształcania obwodu Metoda wykorzystująca bezpośrednio układanie równań z praw Kirchhoffa wymaga rozwiązywania układów wielu równań o współczynnikach zespolonych. Na ogół prowadzi to do żmudnych obliczeń, w trakcie których łatwo o pomyłki. Można tego uniknąć stosując inne, - 55 - opracowane w tym celu metody obliczeniowe. Jedną z nich jest, poznana już przez nas w wersji dla obwodów prądu stałego, metoda przekształcania obwodu. Nazywana ona bywa też metodą zwijania a także metodą elementów zastępczych (albo gałęzi zastępczych). Jej charakterystyczną cechą jest to, że bezpośrednio, już w trakcie obliczeń, daje użyteczne wyniki cząstkowe. Metoda zwijania polega na zastępowaniu - do celów obliczeniowych - poszczególnych części obwodu układami równoważnymi, najczęściej gałęziami równoważnymi (nazywanymi też gałęziami zastępczymi). Równoważność polega tu na tym, że parametry układu równoważnego (gałęzi równoważnej) są tak dobrane, aby po zastąpieniu nim (nią) danej części obwodu, rozpływ prądów i rozkład napięć w pozostałej części obwodu nie uległ zmianie. Reguły tworzenia gałęzi zastępczych dla szeregowych i równoległych połączeń gałęzi pasywnych i aktywnych są analogiczne do reguł znanych nam z teorii obwodów prądu stałego (por. pkt 2.4. rozdz. 2. pierwszej części niniejszego skryptu). Różnica polega na tym, że zamiast rezystancji występują impedancje zespolone (niektóre z nich mogą być rezystancjami), a zamiast sił elektromotorycznych i prądomotorycznych ich wartości skuteczne zespolone. Zastosujmy metodę przekształcania obwodu do wyznaczania prądów płynących w obwodzie przykładowym I. Jego schemat zastępczy został Rys. 9.3a. Schemat zastępczy obwodu przykładowego I przedstawiony na rys. 9.1., a schemat po pierwszym etapie przekształcania zastępczy z danymi do stosowania metody symbolicznej na rys. 9.2. Przekształcanie obwodu zaczniemy od zwinięcia elementów połączonych szeregowo. W poszczególnych gałęziach dodajemy do siebie impedancje zespolone połączonych szeregowo elementów pasywnych i wartości skuteczne zespolone połączonych szeregowo sił elektromotorycznych: Z 1 = 1 + j1 + ( − j 2 ) = ( 1 − j 1 ) Ω , Z z 5 = 1 + j 2 = ( 1 + j 2 ) Ω E5 = 2 − j 8 = ( 2 − j 8 ) V W efekcie otrzymujemy schemat, w którym w gałęziach występują albo pojedyncze impedancje zespolone, albo idealne źródła napięciowe połączone szeregowo z impedancjami zespolonymi. Schemat ten pokazano na rys 9.3a. Ponieważ symbolami elementów pasywnych są tutaj prostokąciki (a nie symbole odpowiednich elementów idealnych), więc wartości skuteczne zespolone muszą być zapisane jako liczby zespolone. Teraz możemy zwijać gałęzie połączone ze sobą równolegle. Impedancja gałęzi zastępczej dla równoległego połączenia gałęzi „1-2” ma wartość: j π ( 1 − j1 ) ⋅ j 2 2 + j 2 2 2 ⋅ e 4 = 2Ω = = π 1 − j1 + j 2 1 + j1 j 1 2 ⋅e 4 Wartość skuteczna zespolona SEM gałęzi zastępczej dla równoległego połączenia gałęzi „1-2” wynosi: ( 2 − j 2 ) ⋅ j2 4 + j4 = 4V E 1,2 = = 1 − j1 + j 2 1 + j1 Impedancja zespolona gałęzi zastępczej dla równoległego połączenia gałęzi „4-5”: ( 1 + j2 ) ⋅( − j2 ) = ( 4 − j2 ) Ω Z 45 = 1 + j2 − j2 Z 1,2 = - 56 - Wartość skuteczna zespolona SEM gałęzi zastępczej dla równoległego połączenia gałęzi „4-5”: ( 2 − j8 ) ⋅ ( − j 2 ) = ( −16 − j 4 ) V E 4 ,5 = 1 + j2 − j2 Doprowadziło to do przekształcenia schematu zastępczego obwodu w schemat obwodu nierozgałęzionego. Pokazano go na rys. 9.3b. Jedyną nieprzekształconą gałęzią jest gałę „3”. Zatem w przekształconym obwodzie płynie prąd i3 . Jego wartość skuteczna zespolona I3 wynosi: π j 4 - (-16 - j4) 20 + j4 = = ( 2 + j2 ) A = 2 2 ⋅ e 4 A I3 = 6 - j4 2 + 4 - j2 - j2 Obliczmy teraz napięcia U AC i U BC : U AC = −2 ⋅ I 3 + E z ' = −2 ⋅ ( 2 + j 2 ) + 4 = − j 4 V U BC = ( 4 − j 2 ) ⋅ I 3 + E z ' ' = ( 4 − j 2 ) ⋅ ( 2 + j 2 ) + ( −16 − j 4 ) = −4 V Wartości skuteczne zespolone prądów I 2 i I 4 wyznaczamy z prawa Ohma: U − j4 I 2 = AC = = −2 A = 2 ⋅ e jπ A j2 j2 π −j −4 I4 = = = − j2 A = 2 ⋅ e 2 A − j2 − j2 U BC Dwa pozostałe prądy (ich wartości skuteczne zespolone) wyliczamy z I prawa Kirchhoffa: j π I 1 = I 3 + I 2 = ( 2 + j 2 ) + ( −2 ) = j 2 A = 2 ⋅ e 2 A I 5 = I 3 − I 4 = ( 2 + j 2 ) − ( − j 2 ) = ( 2 + j 4 ) A ≅ 4 ,472 ⋅ e j1,107 A Otrzymane wartości skuteczne zespolone wszystkich prądów są identyczne z wynikami uzyskanymi na drodze układania równań z praw Kirchhoffa. Przebiegi wartości chwilowych są oczywiście również takie same, nie będziemy ich tu więc ponownie wypisywać. Rozpatrywany obwód był raczej Rys. 9.3b. Schemat zastępczy obwodu przykładowego I prosty. Występowały w nim jedynie po zwinięciu do obwodu nierozgałęzionego szeregowe i równoległe połączenia gałęzi. Nie było też źródeł prądowych. Rozważmy teraz jeszcze jeden obwód, trochę bardziej kłopotliwy do analizowania metodą przekształcania. Takim obwodem jest obwód przykładowy II o schemacie zastępczym przedstawionym na rys. 9.4. Wyznaczymy dla niego metodą przekształcania obwodu przebiegi wartości chwilowych wszystkich prądów oraz przebieg napięcia na sile prądomotorycznej. - 57 - Dane nie podane na rysunku: e1(t) = 12 2 cos 1000t V , e2(t) = 4 2 sin 1000t V , e3(t) = 8 2 cos 1000t V j(t) = 2 2 sin 1000t A Obliczenia zaczniemy od przekształcenia schematu obwodu do postaci, w której występują dane dla metody symbolicznej. Występujące w obwodzie siły elektromotoryczne i siła prądomotoryczna mają następujące wartości skuteczne zespolone: E 1 = j12 V , E 2 = 4 V , E 3 = j8 V , J =2A rad Wartość pulsacji: ω = 1000 s Reaktancje mają wartości: Rys. 9.4. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II X L1 = 1000 ⋅ 1 ⋅ 10 -3 = 1 Ω , X L 2 = 1000 ⋅ 2 ⋅ 10 -3 = 2 Ω , Rys. 9.5. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II przekształcony do stosowania w metodzie symbolicznej 1 XC = = 2Ω 1000 ⋅ 0,5 ⋅ 10 - 3 Schemat zastępczy obwodu przystosowany do stosowania metody symbolicznej, na który naniesiono wyznaczone wartości pokazano na rys. 9.6. Przystąpmy teraz do przekształcania obwodu. Zaczniemy od zwinięcia elementów połączonych szeregowo i zwinięcia równoległego połączenia gałęzi „5” i „6”’ Gałęzią zastępczą dla szeregowego połączenia idealnej siły prądomotorycznej i dowolnych innych elementów (poza inną siłą prądomotoryczną - taki układ jest niedopuszczalny) jest gałąź z idealną siłą prądomotoryczną - siła prądomotoryczna niejako „wchłania” wszystkie elementy włączone z nią w szereg. Stąd gałąź „1” zwijamy do idealnego źródła J 1 = 2 A. W gałęzi „2” dwie siły elektromotoryczne dodajemy i zastępujemy jedną E 2 = ( 4 + j12 ) V . Impedancja zespolona gałęzi zastępczej dla równoległego połączenia gałęzi „5” i „6” wynosi: 2 ⋅( − j2 ) = Z 5 ,6 = 2 − j2 4e −j π 2 −j π = 2e −j π 4 = ( 1 − j1 ) Ω 2 ⋅ 2e 4 Po tym pierwszym etapie zwijania wyczerpują się możliwości zastępowania gałęzi szeregowych i równoległych gałęziami równoważnymi. Nowe możliwości przekształcania stwarza występowanie w obwodzie gałęzi osobliwych - napięciowej i prądowej. Pozwalają na to znane nam z teorii obwodów prądu stałego twierdzenia o dodawaniu do obwodu idealnych SEM i SPM (por. pkt 2.5 rozdz. 2. z pierwszej części niniejszego skryptu). Stosując je możemy przesunąć do innych gałęzi albo źródło prądowe z gałęzi osobliwej „1” albo źródło napięciowe z gałęzi osobliwej „2”. Skutkiem tego gałąź osobliwa zamienia się w przerwę (gałąź z idealnym - 58 - źródłem prądowym) lub w zwarcie (gałąź z idealnym źródłem napięciowym), co prowadzi do pojawienia się połączeń równoległych i szeregowych . Zastosujmy przesuwanie idealnego źródła prądowego. W tym celu równolegle do każdej gałęzi konturu zamkniętego zawierającego gałąź osobliwą z idealną siłą prądomotoryczną dodajemy tak samo skierowane idealne siły prądomotoryczne o wartości J1 = 2 A. skutecznej zespolonej Pokazano to na rysunku 9.06a. Rys. 9.6a. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II W gałęzi „1” prądy znoszą się. po pierwszym etapie przekształcania i dodaniu idealnych SPM Gałęzie „3” i „5,6” stają się rzeczywistymi źródłami prądowymi. Schemat zastępczy obwodu po tym etapie przekształcania pokazano na rys. 9.6b. Gałęzie z rzeczywistymi źródłami prądowymi możemy zamienić na gałęzie z rzeczywistymi źródłami napięciowymi. Po tym przekształceniu impedancje zespolone gałęzi pozostają bez zmian (w rzeczywistych źródłach prądowych Rys. 9.6b. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II powinny to być równoważne admitancje po przesunięciu gałęzi z idealną SPM zespolone lecz różnica jest jedynie formalna), zaś wartości skuteczne zespolone zastępczych sił elektromotorycznych wyznaczymy jako: E 3 = j 2 ⋅ 2 = j 4 V i E 5,6 = ( 1 − j1 ) ⋅ 2 = ( 2 − j 2 ) V . Schemat zastępczy obwodu po dokonaniu tych przekształceń pokazano na rys. 9.6c. Gałęzie „2”, „4” i „7” pozostały nieprzeksztacone. Są one więc ową „pozostałą częścią obwodu”, w której „rozpływ prądów i rozkład napięć nie ulega zmianie”. Zatem w przekształconym obwodzie Rys. 9.6c. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II występują prądy o wartościach po zamianie źródeł prądowych na napięciowe skutecznych I 2 , I 4 i I 7 . Kolejnym krokiem w przekształcaniu obwodu jest zwinięcie połączonych szeregowo elementów impedancyjnych i sił elektromotorycznych. Zastępcze impedancje i zastępcze siły elektromotoryczne mają wartości: Z 2 ,3 = j 2 Ω , Z 5 ,6 ,7 = ( 1 − j1 ) + j 2 = ( 1 + j1 ) Ω , E 2 ,3 = ( 4 + j 12) - j4 = ( 4 + j8) V , E 5 ,6 ,7 = ( 2 − j 2) + j8 = ( 2 + j6) V Schemat obwodu po tym etapie zwijania pokazano na rys. 9.6d. Teraz można już przekształcić obwód w obwód nierozgałęziony zwijając gałęzie połączone równolegle. Zróbmy to z gałęziami „2” i „4”. - 59 - Impedancję zespoloną i wartość skuteczną zespoloną siły elektromotorycznej gałęzi równoważnej wyliczamy jako: ( 4 + j8 ) ⋅ 2 Ez = = ( 6 + j2 )V j2 + 2 j2 ⋅ 2 i Zz = = ( 1 + j1 ) Ω j2 + 2 Rys. 9.6d. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II po zamianie źródeł i uporządkowaniu gałęzi szeregowych Schemat zastępczy otrzymanego w ten sposób obwodu nierozgałęzionego pokazuje rys. 9.6e. W obwodzie tym płynie jedynie prąd i 7 . Jego wartość skuteczną zespoloną można wyliczyć układając równanie z II prawa Kirchhoffa: − ( 6 + j 2 ) − ( 1 + j1 ) ⋅ I 7 + ( 2 + j6 ) − ( 1 + j1 ) ⋅ I 7 = 0 Po uporządkowaniu równania i wyliczeniu z niego wartości skutecznej zespolonej prądu otrzymujemy: π j − 6 − j 2 + 2 + j6 - 4 + j4 I7 = = = j2 = 2 ⋅ e 2 A 1 + j1 + 1 + j1 2 + j2 Wartości skuteczne zespolone prądów i2 i i4 wyznaczymy ze schematu z rys. 9.6d. W tym celu układamy dla tego schematu takie równanie z II prawa Kirchhoffa, by występowała w nim tylko jedna niewiadoma. Przykładowo może nią być wartość Rys. 9.6e. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II po przekształceniu w obwód nierozgałęziony skuteczna zespolona prądu I 4 (druga możliwość to wartość skuteczna zespolona prądu I 2 ): − 2 ⋅ I 4 + ( 2 + j6 ) − ( 1 + j 1 ) ⋅ I 7 = 0 Stąd: π j ( 2 + j6 ) − ( 1 + j 1 ) ⋅ j 2 I4 = = = ( 2 + j 2 ) = 2 2e 4 A 2 2 I 2 = I 7 − I 4 = j 2 − 2 − j 2 = −2 = 2 ⋅ e jπ A Układając równania z I prawa Kirchhoffa do schematu z rysunku 9.6b. możemy wyznaczyć wartości skuteczne zespolone prądów I 3 oraz I 5,6 : ( 2 + j6 ) − ( 1 + j1 ) ⋅ I 7 I 3 = I 2 − 2 = −2 − 2 = −4 = 4 ⋅ e jπ A 3 j π I 5 ,6 = I 7 − 2 = j 2 − 2 = ( −2 + j 2 ) = 2 2 ⋅e 4 A Wartości skuteczne zespolone dwu pozostałych prądów wyznaczamy schematu z rys. 9.6a. układając równania z II i I prawa Kirchhoffa: − I 4 ⋅ 2 − I 5 ⋅ 2 − I 7 ⋅ j 2 + j8 = 0 - 60 - Stąd: π j − ( 2 + j 2 ) ⋅ 2 − j 2 ⋅ j 2 + j8 I5 = = = j2 = 2 ⋅ e 2 A 2 2 I 6 = I 5 ,6 − I 5 = ( −2 + j 2 ) − j 2 = −2 = 2 ⋅ e jπ A − I 4 ⋅ 2 − I 7 ⋅ j 2 + j8 Wartość skuteczna zespolona napięcia na sile prądomotorycznej wynosi: U J = ( 1 + j1 ) ⋅ I 1 − j 2 ⋅ I 3 − 2 ⋅ I 5 = 2 + j6 ≅ 6 ,32e j1,25 V Znając wartości skuteczne zespolone (w postaci wykładniczej) interesujących nas prądów i napięcia wyznaczamych przebiegi czasowe: i1(t) = j(t) = 2 2 sin 1000t A i2(t) = 2 2 sin( 1000t + π ) = −2 2 sin 1000t A i3(t) = 4 2 sin( 1000t + π ) = −4 2 sin 1000t A i4(t) = 2 2 2 sin( 1000t + i5(t) = 2 2 sin( 1000t + π 2 π 4 ) = 4 sin( 1000t + π 4 )A ) = 2 2 cos 1000t A i6(t) = 2 2 sin( 1000t + π ) = −2 2 sin 1000t A π i 7(t) = 2 2 sin(1000 t + ) = 2 2 cos1000 t A 2 u J ( t ) ≅ 6 ,32 2 sin( 1000t + 1,25 ) V Identyczne wyniki otrzymamy przesuwając idealną siłę elektromotoryczną z gałęzi osobliwej z prądem i2 do gałęzi z prądami i1 i i3 (lub i4 i i7 ). Wtedy w miejsce gałęzi „2” pojawi się zwarcie, skutkiem czego gałęzie „3” i „4” będą równoległe co otworzy drogę do dalszych przekształceń. Jeżeli w obwodzie występują gałęzie połączone w gwiazdę lub w trójkąt można takie układy transfigurować stosując wzory i procedury analogiczne do znanych nam już z teorii obwodów prądu stałego (por. pkt 2.6. rozdz. 2. części pierwszej niniejszego skryptu). Transfiguracje te są szczególnie przydatne i chętnie stosowane przy obliczeniach przeprowadzanych dla obwodów trójfazowych. 9.3. Metoda oczkowa Idea metody oczkowej, zwanej też metodą prądów oczkowych polega na ułożeniu na podstawie schematu zastępczego równań równowagi napięć (z II prawa Kirchhoffa), z podstawionymi do nich od razu równaniami równowagi prądów (z I prawa Kirchhoffa). Daje to, w porównaniu z metodą bezpośredniego stosowania praw Kirchhoffa, znaczną redukcję układu równań opisującego obwód. W metodzie wprowadza się umyślone prądy, zwane prądami oczkowymi (stąd nazwa metody) i stosuje się swoisty przepis na układanie równań, oparty o wcześniejszą analizę ich struktury. Wartości prądów gałęziowych otrzymuje się jako superpozycję wartości odpowiednich prądów oczkowych. Przepis na układanie równań oczkowych dla obwodów prądu zmiennego analizowanych z zastosowaniem metody symbolicznej jest taki sam jak analogiczny przepis dla obwodów prądu stałego, z tym, że zamiast rezystancji występują w nim impedancje zespolone a zamiast napięć, prądów oraz sił elektromotorycznych i prądomotorycznych - ich wartości skuteczne zespolone. - 61 - Zapoznamy się z zastosowaniem metody oczkowej do obwodów prądu zmiennego wykorzystując ją do wyznaczania prądów płynących w obwodzie przykładowym I. Schemat obwodu z danymi do stosowania metody symbolicznej i z zaznaczonymi prądami gałęziowymi i oczkowymi pokazuje rys. 9.7. Przypomnijmy sobie „przepis” Rys. 9.7. Schemat zastępczy obwodu przykładowego I na układanie równań oczkowych. z zaznaczonymi prądami gałęziowymi i oczkowymi 1. Lewa strona każdego z równań jest sumą dwu rodzajów składników: a) iloczynu wartości skutecznych zespolonych prądu oczkowego rozpatrywanego oczka i sumy impedancji zespolonych przez które ten prąd płynie (jest to tzw. impedancja własna oczka); b) sumy opatrzonych znakiem minus iloczynów wartości skutecznych zespolonych wszystkich innych prądów oczkowych i sumy impedancji zespolonych gałęzi, przez które płyną jednocześnie dany prąd oczkowy oraz prąd oczka, dla którego układane jest równanie (są to tzw. impedancje wzajemne oczek). 2. Prawe strony równań tworzą sumy wartości skutecznych zespolonych występujących w danym oczku sił elektromotorycznych oraz wartości skutecznych zespolonych napięć na występujących tam siłach prądomotorycznych, z uwzględnieniem ich zwrotów w stosunku do prądu oczkowego (przy tych samych zwrotach znak plus, przy zwrotach przeciwnych znak minus). Stosując te zasady otrzymujemy dla rozpatrywanego obwodu następujące równania oczkowe: I a (1 + j2 − j2 + j1) − I b ⋅ j2 − I c ⋅ 0 = 2 − j2 − I a ⋅ j2 + I b ( j2 − j2 − j2) − I c ⋅ ( − j2) = 0 − I a ⋅ 0 − I b ⋅ ( − j2) + I c (1 + j2 − j2) = j8 − 2 Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań, który można zapisać w postaci macierzowej jako: 1 + j1 − j2 0 I a 2 − j2 − j2 − j2 j2 ⋅ I = 0 b 0 I c − 2 + j8 j2 1 Rozwiążmy obliczeń: 1 + j1 W = − j2 0 ten układ stosując metodę wyznaczników zazwyczaj stosowaną do takich − j2 − j2 j2 0 j2 1 = 10 + j2 , 1 + j1 2 − j2 0 Wb = − j2 0 j2 = 16 + j24 , 0 − 2 + j8 1 − j2 2 − j2 Wa = 0 − j2 − 2 + j8 j2 0 j2 1 1 + j1 Wc = − j2 0 2 − j2 0 = 12 + j44 − 2 + j8 − j2 − j2 j2 = −4 + j20 Prądy oczkowe mają następujące wartości skuteczne zespolone: − 4 + j 20 16 + j 24 12 + j 44 Ia = = j2 A , I b = = ( 2 + j2 ) A , I c = = ( 2 + j4 ) A 10 + j 2 10 + j 2 10 + j 2 Wartości skuteczne zespolone prądów gałęziowych wyznaczamy jako superpozycję wartości skutecznych zespolonych odpowiednich prądów oczkowych: - 62 - I 1 = I a = j 2 A , I 3 = I b = ( 2 + j2 ) A , I 5 = I c = ( 2 + j4 ) A , I 2 = I a − I b = −2 A , I 4 = I b − I c = − j 2 A . Takie same wartości otrzymaliśmy stosując metodę praw Kirchhoffa oraz metodę przekształcania obwodu. Również tu nie będziemy ponownie wypisywać odpowiadających im przebiegów czasowych. Celem ugruntowania umiejętności stosowania metody oczkowej wyznaczmy jeszcze stosując tę metodę, przebiegi wartości skutecznych zespolonych wszystkich prądów oraz wartość skuteczną zespoloną napięcia na sile Rys. 9.8. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II z zaznaczonymi prądami gałęziowymi i oczkowymi prądomotorycznej obwodu przykładowego II (z rys. 9.4.). Schemat po przekształceniu dla potrzeb metody symbolicznej oraz oznaczeniu prądów (oczkowych i gałęziowych) pokazuje rys. 9.8. Ułóżmy równania oczkowe. Dla oczka „a” jest to równanie: I a ⋅ ( 1 + j1 − j 2 + j 2 ) − I b ⋅ j 2 − I c ⋅ ( − j 2 ) − I d ⋅ 0 = U J Jest ono tu jednak niepotrzebne - ze schematu wynika, że wartość skuteczna zespolona prądu oczkowego ia wynosi I a = 2 . Równość tę można potraktować jako równanie dla oczka „a”. Gdyby gałąź osobliwa złożona z idealnej siły prądomotorycznej nie była skrajną gałęzią schematu (dzięki czemu płynie przez nią tylko jeden prąd oczkowy, o wartości równej wartości prądu źródłowego) to warto tak schemat przerysować, by ją taką uczynić. Po wprowadzeniu takiego uproszczenia układ równań oczkowych będzie się składał z następujących równań: Ia = 2 − I a ⋅ j 2 + I b ( 2 + j 2 ) − I c ⋅ 0 − I d ⋅ 2 = −4 − j12 − I a ⋅ ( − j2 ) − I b ⋅ 0 + I c ( 2 − j2 ) − I c 2 = 0 − I a ⋅ 0 − I b ⋅ 0 + I c ( 2 − j 2 ) + I d ( 2 + j 2 ) = j8 Pomińmy wyznaczanie pierwiastków układu równań oczkowych - wartości skutecznych zespolonych prądów oczkowych. Można je wyliczyć np. metodą wyznaczników, jak w przykładzie poprzednim. Otrzymamy następujące wartości: I a = 2 A , I b = -2 A , I c = 0 A , I d = j 2 A Na ich podstawie wyznaczmy wartości skuteczne zespolone prądów gałęziowych: I 1 = I a = 2 A , I 2 = I b = −2 A , I 3 = I b − I a = −2 − 2 = −4 A , I 4 = I d − I b = ( j 2 + 2 ) A I 5 = I d − I c = j 2 − 0 = j 2 A , I 6 = I c − I a = 0 − 2 = −2 A , I 7 = I d = j 2 A Wartość skuteczną zespoloną napięcia na sile prądomotorycznej wyznaczymy z II prawa Kirchhoffa: U J = I 1 ⋅ ( 1 + j1 ) − I 2 ⋅ j 2 − I 7 ⋅ ( − j 2 ) = ( 2 + j6 ) V Otrzymane wartości są identyczne z uzyskanymi przez nas w pkcie 9.2., gdzie wyliczaliśmy je stosując metodę zwijania. - 63 - 9.4. Metoda węzłowa Metoda węzłowa polega na układaniu, na podstawie schematu zastępczego, równań równowagi prądów (z I prawa Kirchhoffa) z podstawionymi do nich równaniami równowagi napięć (z II prawa Kirchhoffa), tak sformułowanymi, że występują w nich nie prądy lecz potencjały węzłów obwodu (stąd nazwa metody). Równania te układa się według „przepisu” opartego o wcześniejszą analizę struktury takich Rys. 9.9. Schemat zastępczy obwodu przykładowego I w metodzie węzłowej równań. I tym razem z metodą zapoznamy się na przykładzie jej zastosowania do wyznaczania prądów płynących w przykładowych obwodach. Ponownie zaczniemy od przykładowego obwodu I. Schemat po przekształceniu dla potrzeb metody symbolicznej pokazuje rys. 9.9. Na schemacie tym węzeł „C” zaopatrzono w symbol uziemienia, co oznacza, że potencjałowi tego węzła nadano wartość zerową. Przypomnijmy sobie „przepis” na układanie równania węzłowego dla danego węzła. 1. Lewa strona równania jest sumą dwu rodzajów składników: a) iloczynu wartości skutecznej zespolonej potencjału rozpatrywanego węzła i sumy admitancji zespolonych gałęzi dochodzących do tego węzła (jest to tzw. admitancja własna węzła); b) sumy opatrzonych znakiem minus iloczynów wartości skutecznych zespolonych wszystkich innych potencjałów węzłowych i sumy admitancji gałęzi łączących dane węzły z rozpatrywanym węzłem. Są to tzw. admitancje wzajemne węzłów. 2. Prawą stronę równania tworzy suma wartości skutecznych zespolonych sił prądomotorycznych występujących w gałęziach dochodzących do rozpatrywanego węzła, z uwzględnieniem ich zwrotów (gdy są do węzła skierowane znak plus, przy zwrotach przeciwnych znak minus). Jeżeli są to gałęzie ze źródłami napięciowymi należy je przekształcić na równoważne gałęzie ze źródłami prądowymi (por. pkt 8.4. rozdz. 8.). Dla rozpatrywanego obwodu trzeba ułożyć dwa równania węzłowe: 1 1 1 1 2 − j2 + + = V A ⋅( ) −V B ⋅ − j 2 1 + j1 − j 2 1 + j1 − j 2 j 2 − j 2 1 1 1 1 2 − j8 V B ⋅( + + ) −V A ⋅ = 1 + j2 j2 − j2 − j2 1 + j2 Po uporządkowaniu, w postaci macierzowej przybierają one postać: 1 − j0 ,5 2 V A 1 − j1 2 j 8 − ⋅ = V 1 B − j0 ,5 1 j 2 + 1 + j 2 Rozwiążmy je stosując metodę wyznaczników: 1 − j0 ,5 1 − j1 W = = 0,05 + j0,4 , 1 − j0 ,5 1 + j2 - 64 - 2 W A = 2 − j8 1 + j2 1 − j0 ,5 1 − j1 1 = 1,6 − j0,2 , WB = − j0 ,5 1 + j2 2 2 − j8 1 + j2 = -0 ,2 − j1,6 Potencjały węzłów „A” i „B” mają następujące wartości skuteczne zespolone: 1,6 − j0 ,2 − 0 ,2 − j1,6 VA= = − j4 V , V B = = −4 V 0 ,05 + j04 0 ,05 + j04 Potencjał węzła „C” ma z założenia wartość skuteczną zespoloną: VC =0 Znając te wartości możemy, stosując prawo Ohma, wyznaczyć wartości skuteczne prądów: V − V C − j4 − 0 I2 = A = = −2 A = 2 ⋅ e jπ A j2 j2 π −j V B −V A − 4 − 0 I4 = = = − j2 A = 2 ⋅ e 2 A − j2 − j2 π j V a − V B − j4 + 4 I3 = = = ( 2 + j2 ) A = 2 2 ⋅ e 4 A − j2 − j2 Wartości skuteczne zespolone dwu pozostałych prądów można wyliczyć z II prawa Kirchhoffa rozwiązując równania: − I 1 ⋅ ( − j1 ) − I 1 ⋅ j 2 + ( 2 + j 2 ) − I 1 ⋅ 1 − ( V A − V C ) = 0 i ( V B − V C ) − I 5 ⋅ 1 + j8 − I 5 ⋅ j2 − 2 = 0 Jednak znacznie łatwiej wyliczyć je z I prawa Kirchhoffa jako: j π I 1 = I 2 + I 3 = −2 + ( 2 + j 2 ) = j 2 = 2 ⋅ e 2 A I 5 = I 3 − I 4 = ( 2 + j 2 ) − ( − j 2 ) = ( 2 + j 4 ) ≅ 4 ,472 ⋅ e j1,107 A Takie same wartości otrzymaliśmy stosując metodę praw Kirchhoffa oraz metodę przekształcania obwodu. Rozważmy jeszcze jeden obwód, obwód przykładowy II o schemacie z rys. 9.4. Jego wersję przekształconą do stosowania w metodzie symbolicznej przedstawia rys. 9.10. Symbol uziemienia oznacza, że potencjałowi węzła „D” nadano wartość zerową. Z czterech istniejących w obwodzie węzłów wybrano właśnie ten, gdyż dzięki takiemu wyborowi znane są teraz wartości skuteczne zespolone dwu Rys. 9.10. Schemat zastępczy obwodu przykładowego II węzłów - wybranego węzła „D” do metody węzłowej ( V D = 0 ) i węzła „C” połączonego z węzłem „D” gałęzią osobliwą składającą się wyłącznie z sił elektromotorycznych ( V C = ( 4 + j12 ) V ). Podobny efekt dałoby uziemienie węzła „C”. - 65 - W rozpatrywanym obwodzie występują teraz tylko dwa węzły o nieznanych potencjałach, trzeba zatem ułożyć dwa równania węzłowe: 1 1 1 1 1 1 j8 V A ⋅( 0 + + + ) −V B ⋅( + ) −V C ⋅ =2− j2 j2 − j2 j2 2 − j2 2 1 1 1 1 1 1 1 V B ⋅( + + + ) −V A ⋅( + ) −V C ⋅ = 0 j2 − j2 2 2 2 − j2 2 Za trzecie równanie można przyjąć równość określającą wartość skuteczną zespolną potencjału węzła „C”: V C = 4 + j12 Rozwiązując ten układ trzech równań (na przykład metodą wyznaczników, jak w przykładzie I) otrzymuje się wartości skuteczne zespolone potencjałów węzłowych. Wynoszą one: V A = j 4 V , V B = j 8 V , V C = 4 + j12 , V D = 0 . Stąd wartości skuteczne zespolone prądów i napięcia na sile prądomotorycznej gałęziowych: I1 = 2 A 0 − V B − j8 I3 = = = -4 A Z3 j2 V − V B 4 + j12 − j 8 I4 = C = = ( 2 + j2) A Z4 2 I5 = V B −V A j8 − j4 = = j2 A Z5 2 I6 = V B −V A j8 − j4 = = -2 A Z6 − j2 I 7 = I 5 + I 6 + I 1 = j 2 + ( −2 ) + 2 = j 2 A I 2 = I 1 + I 3 = 2 + ( −4 ) = −2 A U J = I 1 ⋅ ( 1 + j1 ) + V A = 2 ⋅ ( 1 + j1 ) + j 4 = ( 2 + j6 ) V Otrzymane wartości są identyczne z uzyskanymi w podrozdziałach 9.2. i 9.3, gdzie wyliczono je stosując metody zwijania i oczkową. 9.5. Twierdzenie Tellegena Z zasady zachowania energii zastosowanej do odosobnionego (autonomicznego) obwodu wynika zależność zwana twierdzeniem Tellegena: (9.1.) ∑ λk ⋅ uk (t ) ⋅ ik (t ) = 0 k gdzie: uk (t ) , ik (t ) - przebiegi wartości chwilowych napięcia i prądu k-tego elementu obwodu. 1 - gdy strzałkowanie elementu jest źródłowe, λk = - gdy strzałkowanie elementu jest odbiornikowe, − 1 (można oczywiście przyjąć odwrotną konwencję) Dla obwodów sinusoidalnych analizowanych z użyciem metody symbolicznej zależność ta przybiera postać: - 66 - ∑ λk ⋅U k ⋅ I *k =0 (9.2.) k gdzie: U k , I k - wartości skuteczne zespolone napięcia i prądu k-tego elementu idealnego wchodzącego w skład obwodu. Jest to twierdzenie Telegena w wersji dla obwodów prądu sinusoidalnego sformułowane z zastosowaniem metody symbolicznej. ∑ λk ⋅ U k ⋅ I *k =∑ λk ⋅ ( Pk + jQk ) =∑ λk ⋅ Pk + j ∑ λk Qk k k k k Stąd zależność (9.2.) można zapisać w postaci dwu równości: ∑ λk Pk = ∑ ( Pźrk − Pok ) = 0 ⇒ ∑ Pźrk = ∑ Pok k k k k Q λ Q = ( Q − Q ) = 0 = ⇒ ∑ źrk ∑ Qok ∑ k k ∑ źrk ok k k k k gdzie: (9.3a.) (9.3b.) Pźrk , Qźrk - moc czynna i bierna k-tego elementu zastrzałkowanego źródłowo, Pok , Qok - moc czynna i bierna k-tego elementu zastrzałkowanego odbiornikowo Na ogół właśnie w tej postaci twierdzenie Tellegena wykorzystywane jest do sporządzania tzw. bilansu mocy. Bilans mocy musi się zgadzać osobno dla mocy czynnych, osobno dla mocy biernych. PRZYKŁAD I Sporządźmy bilans mocy dla obwodu przykładowego I o schemacie z rys. 09.1. Będziemy się posiłkować rysunkiem 09.2. z zaznaczonymi prądami. Wyznaczone w poprzednich podrozdziałach ich wartości skuteczne zespolone wynoszą: I 1 = j 2 A , I 2 = −2 A , I 3 = ( 2 + j2 ) A , I 4 = − j 2 A ,. I 5 = ( 2 + j 4 ) A Zwróćmy uwagę na siłę elektromotoryczną E = 2 V (w gałęzi z prądem I 5 ). Jest ona zastrzałkowana odbiornikowo. Będziemy ją zatem traktować jako odbiornik aktywny. Pamiętajmy przy tym, że strzałkowaliśmy obwód „na chybił trafił” więc ze sposobu strzałkowania nie możemy wyciągać żadnych wniosków co do rzeczywistego charakteru tego elementu w tym obwodzie. Moce źródeł obliczymy korzystając z wzoru: S = U ⋅ I * : S źr = ( 2 − j 2 ) ⋅ ( − j 2 ) + j 8 ⋅ ( 2 − j 4 ) = ( − j 4 − 4 ) + ( 32 + j16 ) = (28 + j12) VA Sumaryczne moce czynna i bierna elementów zastrzałkowanych żródłowo wynoszą więc: Pźr = Re( S źr ) = 28 W , Q źr = Im( S źr ) = 12 varind Część rzeczywista mocy pozornej zespolonej źródła SEM skutecznej E = (2 − j 2) V , a więc jej moc czynna okazała się być ujemną. Zatem ta siła elektromotoryczna w rzeczywistości jest odbiornikiem (aktywnym) mocy czynnej - nie jej źródłem. Moc odbiornika aktywnego E = 2 V również obliczymy z zależności S = U ⋅ I * : S oE = 2 ⋅ ( 2 − j 4 ) = ( 4 − j 8 ) VA Jest więc: PoE = 4 W , QoE = 8 var poj Moce odbiorników pasywnych najłatwiej będzie obliczyć korzystając z wzorów 7.5., 7.14a i 7.22a: P = R⋅I2 i Q = X ⋅I2 - 67 - PoR = 1 ⋅ I 12 + 1 ⋅ I 52 = 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ ( 2 2 + 4 2 )2 = 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ ( 2 2 + 4 2 ) = 24 W QoL = 1 ⋅ I12 + 2 ⋅ I 22 + 2 ⋅ I 52 = 1 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 22 + 2 ⋅ ( 2 2 + 4 2 ) 2 = = 1 ⋅ 22 + 2 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ (2 2 + 4 2 ) = 52 varind QoC = 2 ⋅ I12 + 2 ⋅ I 32 + 2 ⋅ I 42 = 2 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ ( 2 2 + 2 2 ) 2 + 2 ⋅ 2 2 = = 1 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ (2 2 + 22 ) + 2 ⋅ 2 2 = 32 varpoj Po = PoE + PoR = 24 + 4 = 28 W Qo = QoE − QoL − QoC = 52 − 32 − 8 = 12 varind Zatem: Pźr = Po = 28 W Q źr = Qo = 12 varind Bilans mocy się zgadza. Jest to potwierdzenie poprawności obliczenia rozpływu prądów. PRZYKŁAD II Sporządzić bilans mocy dla obwodu przykładowego II o schemacie z rys. 09.4. Oznaczenia prądów pokazuje rys. 09.5. Ich wartości skuteczne zespolone wynoszą: I 1 = 2 A , I 2 = −2 A , I 3 = −4 A , I 4 = ( j 2 + 2 ) A , I 5 = j 2 A , I 6 = −2 A , I 7 = j 2 A Wartość skuteczna zespolona napięcia na sile prądomptorycznej wynosi : U J = ( 2 + j6 ) V Źródła E 1 = j12 V E 2 = 4 V zostały zastrzałkowane odbiornikowo zatem powinniśmy je traktować jako odbiorniki (aktywne), możemy jednak zmienić strzałkowanie zmieniając zwrot płynącego przez nie prądu I 2 . Jest teraz I 2 = 2 A (ze zwrotem odwrotnym niż na rys. 09.5.), zaś obydwie idealne siły elektromotoryczne są zastrzałkowane źródłowo. S źr = ∑ U k ⋅ I *k = ( 2 + j6 ) ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 + j12 ⋅ 2 + j 8 ⋅ ( − j 2 ) = ( 28 + j 36 ) VA k Moce odbiorników pasywnych (teraz innych odbiorników w obwodzie już nie ma): Po = 1 ⋅ I 12 + 2 ⋅ I 42 + 2 ⋅ I 52 = 1 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ ( 2 2 + 2 2 ) = 28 W QoL = 1 ⋅ I 12 + 2 ⋅ I 32 + 2 ⋅ I72 = 1 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 4 2 + 2 ⋅ 2 2 = 44 varind QoC = 2 ⋅ I 62 = 2 ⋅ 2 2 = 8 var poj Qo = QoL − QoC = 44 − 8 = 36 varind Zatem: Pźr = Po = 28 W i Q źr = Qo = 36 varind Bilans mocy się zgadza. 9.6. Twierdzenie Thévenina Twierdzenie Thévenina dla obwodów prądu sinusoidalnego stanowi, że dowolny, liniowy obwód aktywny, rozpatrywany z punktu widzenia wybranej pary zacisków można zastąpić gałęzią aktywną złożoną z idealnego źródła napięciowego, zwanego siłą elektromotoryczną Thévenina ( E T ) połączonego szeregowo z elementem pasywnym o odpowiednio dobranej impedancji zespolonej, zwanej impedancją Thévenina ( Z T ). - 68 - Siła elektromotoryczna Thévenina E T ma wartość skuteczną zespoloną równą wartości skutecznej zespolonej napięcia U abo na zaciskach „ab” występującej przy rozwartej gałęzi „a-b” (wartości skutecznej napięcia stanu jałowego gałęzi „a-b”). Impedancja Thévenina Z T równa jest Rys. 9.11. Ilustracja twierdzenia Thévenina impedancji zespolonej Z abo obwodu pasywnego, utworzonego przez usunięcie wszystkich idealnych SEM i SPM z rozważanego obwodu, „widzianego” z zacisków „ab”. U Wartość ta jest równa: Z T = abo , gdzie I abz jest prądem zwarcia, tj. prądem jaki popłynie I abz przez bezimpedancyjne połączenie zwierające zaciski „ab”. PRZYKŁAD W obwodzie przykładowym III o schemacie zastępczym z rys. 09.12. wartość rezystancji rezystora R i reaktancji induktora L są takie, że napięcie na reaktancji X L ma wartość U X L = 120 V , zaś przesunięcie fazowe pomiędzy SEM E i prądem I ab , płynącym przez rezystor R (i induktor L) π < E , I ab = rad . Należy wynosi 2 wyznaczyć wartości R i X L . Rys. 9.12. Schemat zastępczy obwodu przykładowego III Przekształćmy obwód do postaci obwodu nierozgałęzionego, jedną z gałęzi którego jest gałąź z rezystorem R, induktorem L i idealnym źródłem napięciowym E. Zastosujmy do tego celu twierdzenie Thévenina. Schematy obwodów do wyznaczania impedancji zespolonej Thévenina i SEM Thévenina pokazano na rysunkach 09.13a. i 09.13b. Rys. 9.13a. Schemat do wyznaczania impedancji Thévenina Impedancja zastępcza równoległego połączenia cewki rzeczywistej o impedancji zespolonej ( 10 + j10 ) Ω i kondensatora o reaktancji 10 Ω (rys. 08.13a.): ( 10 + j10 ) ⋅ ( − j10 ) Zz = = ( 10 - j10) Ω 10 + j10 − j10 - 69 - Stąd impedancja Thévenina: Z T = Z abo = 20 + Z z = ( 30 − j10 ) Ω Rys. 9.13a. Schemat do wyznaczania SEM Thévenina SEM Thévenina wyznaczamy zwijając gałęzie równoległe (rys. 9.13b.) i dodając napięcia na połączonych szeregowo elementach. E T = U ab0 = I ⋅ Z z + I ⋅ 20 = 10 ⋅ ( 10 − j10 ) + 10 ⋅ 20 = ( 300 − j100 ) V (Prąd I ze schematu do wyznaczania SEM Thévenina ma wartość skuteczną zespoloną taką jak prąd źródłowy.) Schemat obwodu po przekształceniu pokazano na rys. 9.14 (można go uzyskać także metodą zwijania). Wartość skuteczną zespoloną prądu I ab otrzymamy dzieląc sumę wartości skutecznych zespolonych sił elektromotorycznych przez sumę impedancji zespolonych obwodu (co wynika z II prawa Kirchhoffa): 300 − j100 + j100 300 I ab = = ( R + 30 ) + j( X L − 10 ) ( R + 30 ) + j( X L − 10 ) SEM E ma wartość skuteczną zespoloną E = j100 V , tak więc jej początkowy kąt fazowy jest równy π Ψ E = rad . Prąd I ab ma być 2 przesunięty w stosunku do E o kąt π < E , I ab = rad . Zatem ma on 2 początkowy kąt fazowy równy zero lub π, stąd jego wartość skuteczna Rys. 9.14. Schemat obwodu III po przekształceniu zespolona ma argument równy zeru, a więc posiada tylko część rzeczywistą: Im( I ab ) = 0 Aby wykorzystać tę zależność trzeba przekształcić wyrażenie na prąd I ab w ten sposób, by oddzielić od siebie jego część rzeczywistą od części urojonej. W tym celu licznik i mianownik wyrażenia mnożymy przez liczbę sprzężoną z mianownikiem: 300 ⋅ [( R + 30 ) − j( X L − 10 )] I ab = = [( R + 30 ) + j( X L − 10 )] ⋅ [( R + 30 ) − j( X L − 10 )] 300 ⋅ ( X L − 10 ) 300 ⋅ ( R + 30 ) −j = 2 2 ( R + 30 ) + ( X L − 10 ) ( R + 30 )2 + ( X L − 10 )2 Można teraz sformułować równanie: - 70 - Im( I ab ) = − 300 ⋅ ( X L − 10 ) ( R + 30 )2 + ( X L − 10 )2 =0 Rozwiązaniem tego równania jest X L = 10 Ω Stąd wartość skuteczna prądu I ab wynosi: 300 300 I ab = = ( R + 30 ) + j( 10 − 10 ) R + 30 Z warunków zadania wynika, że: U X L = 60 V Jest zatem: U X L = I ab ⋅ X L = 300 ⋅ 10 = 60 R + 30 Pierwiastkiem tego równania jest drugi z poszukiwanych parametrów obwodu: R = 20 Ω 9.7. Twierdzenie Nortona Dowolny, liniowy obwód aktywny prądu sinusoidalnego, rozpatrywany z punktu widzenia wybranej pary zacisków „ab” można zastąpić gałęzią aktywną złożoną z połączonych równolegle: idealnego źródła prądowego o sile prądomotorycznej, zwanej siłą prądomotoryczną Nortona ( J N ) i admitancji zespolonej, zwanej admitancją Nortona ( Y N ). Rys. 9.15. Ilustracja twierdzenia Nortona Siła prądomotoryczna Nortona ma wartość równą wartości skutecznej zespolonej prądu I abz płynącego przez bezimpedancyjne zwarcie zacisków „ab” (wartości skutecznej zespolonej prądu zwarcia gałęzi „a-b”). Admitancja Nortona równa jest admitancji Y abo obwodu pasywnego, utworzonego przez usunięcie wszystkich idealnych SEM I i SPM z rozważanego obwodu „widzianej” z zacisków „ab”. Wartość ta jest równa: Y N = abz , U ab0 gdzie U abz0 jest napięciem biegu jałowego, tj. napięciem jakie wystąpi na zaciskach „ab” przy E 1 i J N = T ). rozwartej gałęzi „a-b” (jest więc: Y N = ZT ZT Twierdzenie Nortona jest wykorzystywane do wyznaczania parametrów obwodów elektrycznych rzadziej niż twierdzenie Thévenina. Bierze się to stąd, że elektrykom bliższa jest intuicja źródła rzeczywistego prądowego niż źródła rzeczywistego napięciowego. Z tą pierwszą spotykają się znacznie częściej. PRZYKŁAD Dla obwodu przykładowego IV o schemacie zastępczym z rys. 9.16. należy dobrać impedancję elementu pasywnego Z taką, by napięcie na tym elemencie miało przebieg wartości π chwilowych u z( t ) = 40 sin( ωt + ) V . 4 - 71 - Przekształćmy obwód wykorzystując twierdzenie Nortona. Schemat do wyznaczania admitancji zespolonej Nortona pokazano na rys. 9.17a., schemat do wyznaczania SPM Nortona na rys. 9.17b, schemat obwodu po przekształceniu na rys. 9.18. Rys. 9.16. Schemat zastępczy obwodu przykładowego IV Admitancję zespolona obliczmy jako admitancję dwu gałęzi połączonych równolegle, a więc jako sumę ich admitancji zespolonych. 1 1 Y N = Y ab0 = + = − j10 + j 5 5 + j 5 = j0 ,2 + ( 01 − j0 ,1 ) = ( 0 ,1 + j0 ,1 ) S Do wyznaczenia prądu źródłowego Nortona J N = I abz wygodnie jest wykorzystać superpozycję (rys. 9.17b.). Rys. 9.17a. Schemat do wyznaczania admitancji Nortona Rys. 9.17b. Schemat do wyznaczania SPM Nortona Jest: − j10 10 + j10 = 2 A i I' ' = =2A − j10 + j 5 5 + j5 Stąd SPM Nortona ma wartość skuteczną zespoloną: J N = I abz = I' + I' ' = 4 A I' = Zadany jest przebieg wartości chwilowych π u z( t ) = 40 sin( ωt + ) V . Odpowiada to 4 wartości skutecznej zespolonej: j napięcia na impedancji π U Z = 40 e 4 = ( 20 + j 20 ) V . Znając ją wartość skuteczną możemy wyznaczyć zespoloną prądu I w . I w = ( 20 + j 20 ) ⋅ ( 0 ,1 + j0 ,1 ) = j 4 A Stąd: I ab = 4 − I w = ( 4 − j 4 ) A Zaś poszukiwana impedancja zespolona ma wartość: - 72 - Rys. 9.18. Schemat po przekształceniu Z: Z= 20 + j 20 = j5 Ω 4 − j4 9.8. Dopasowanie energetyczne odbiornika do źródła Dla danego źródła o konkretnych parametrach można wyznaczyć parametry odbiornika pasywnego, który pobiera energię z największą możliwą dla tego źródła mocą czynną. Odbiornik taki nosi nazwę odbiornika dopasowanego energetycznie do źródła. Zbadajmy jakie to muszą być parametry. Prąd jaki płynie w obwodzie ma wartość skuteczną zespoloną: E I= ( Rw + Ro ) + j( X w + X o ) Moduł tej wartości, a więc wartość skuteczna wynosi: E I= Rys. 9.19. Źródło rzeczywiste napięciowe i odbiornik ( Rw + Ro )2 + ( X w + X o )2 Jest ona potrzebna do wyznaczenia mocy czynnej odbiornika: E 2 Ro Po = I 2 Ro = (9.4.) ( Rw + Ro )2 + ( X w + X o )2 Odbiornik charakteryzowany jest przez rezystancję i przez reaktancję zatem powyższe wyrażenie trzeba traktować jako funkcję dwu zmiennych. Stąd trzeba stawiać dwa warunki na maksimum mocy czynnej: ze względu na rezystancję odbiornika i ze względu na jego reaktancję: ∂Po ∂Po =0 =0 i (9.5.) ∂Ro ∂X o ∂Po [( Ro + Rw )2 + ( X w + X o )2 ] ⋅ 0 − Ro ⋅ 2( X w + X o ) = E2 ⋅ = ∂X o [( Ro + Rw )2 + ( X w + X o )2 ] 2 − 2 Ro ( X w + X o ) = E2 ⋅ =0 [( Ro + Rw )2 + ( X w + X o )2 ] 2 Pierwiastkiem tego równania jest: X o = − X w Zatem dla odbiornika dopasowanego energetycznie zależność (9.4.) przybiera wartość: E 2 Ro Po = ( Rw + Ro )2 ( R + Ro )2 ⋅ 1 − Ro ⋅ 2( Rw + Ro ) ∂Po = E2 ⋅ w = ∂Ro ( Rw + Ro )4 Rw − Ro R + Ro − 2 Ro = E2 ⋅ w = E2 ⋅ =0 4 ( Rw + Ro )3 ( Rw + Ro ) Daje to wartość rezystancji odbiornika dopasowanego energetycznie jako: Ro = Rw . Zatem warunkiem dopasowania energetycznego ze względu na moc czynną jest by impedancja odbiornika miała wartość Z o = Rw + jX w = Z* . w Sprawność takiego układu wynosi zaledwie 50%, stąd dopasowanie energetyczne stosuje się tylko do źródeł o małej mocy, gdzie nie chodzi o sprawność lecz o to, by jak najlepiej tę małą moc wykorzystać. - 73 - PRZYKŁAD Dla obwodu o schemacie zastępczym pokazanym na rys. 9.18. należy dobrać impedancję odbiornika Z tak, by wydzielająca się na niej moc czynna była największa możliwa w tym obwodzie a także wyznaczyć tę moc. Skorzystamy z warunku na dopasowanie energetyczne odbiornika: * Z o = Z w . W tym celu przekształcimy obwód V w obwód nierozgałęziony, w którym odbiornik Z o = Z zasilany jest przez źródło zastępcze: dwójnik aktywny zastępujący resztę obwodu „widzianą z jego zacisków”. Zastosujmy twierdzenie Thévenina (równie dobra byłaby metoda zwijania). Rys. 9.20. Schemat zastępczy obwodu przykładowego V Do wyznaczenia Z wystarczyłoby obliczyć Z T ( Z = Z*T ), jednak mamy również określić moc pobieraną przez odbiornik Z , stąd musimy wyznaczyć zarówno impedancję zespoloną Thévenina jak i SEM Thévenina. Rys. 9.21. Schemat obwodu do wyznaczania impedancji Thévenina W schemacie do wyznaczania Z T trzeba dokonać transfiguracji trójkąt-gwiazda. Do wyboru mamy dwa trójkąty (można też zamieniać gwiazdę na trójkąt, ale prowadzi to do bardziej pracochłonnych obliczeń). Wybierzmy trójkąt po prawej stronie schematu (rys. 9.21.). j1 ⋅ ( − j 2 ) Zc = =2 Ω 1 + j1 + j1 − j 2 j1 ⋅ ( 1 + j1 ) Zd = = ( −1 + j1 ) Ω 1 + j1 + j1 − j 2 − j 2 ⋅ ( 1 + j1 ) Ze = = ( 2 − j2 ) Ω 1 + j1 + j1 − j 2 Impedancje szeregowo połączonych elementów w gałęziach „bco” i „bdo” mają wartości: Z bco = − j1 + 2 = ( 2 − j1 ) Ω Z bdo = 4 − 1 + j1 = ( 3 + j1 ) Ω Obliczmy teraz impedancję równoległego połączenia tych gałęzi: ( 2 − j1 ) ⋅ ( 3 + j1 ) 6 + j 1 − j 3 + 1 Z bo = = = ( 1,4 − j0 ,2 ) Ω 2 − j 1 + 3 + j1 5 Stąd impedancja Z T : Z T = Z ab0 = Z bo + Z e + j 3 = ( 1,4 − j0 ,2 ) + ( 2 − j 2 ) + j 3 = ( 3,4 + j0 ,8 ) Ω - 74 - Zatem w warunkach dopasowania energetycznego impedancja Z ma wartość: Z = Z * = ( 3 ,4 − j0 ,8 ) Ω T Schemat do wyznaczania SEM Thévenina przedstawiono na rys. 9.22. E T = U ab0 = −( − j1 ) ⋅ I 1 − ( − j 2 ) ⋅ I 2 + ( 3 − j 4 ) Trzeba zatem wyznaczyć prądy I1 i I 2 . Wyznaczmy je metodą oczkową. Prądy I1 i I 2 możemy potraktować jako prądy oczkowe: I 1 ( 4 + j1 − j1 ) − ( j1 )I 2 = 12 + j 9 I 1 ( 1 + j 1 − j 2 + j 1 ) − ( j 1 )I 1 = 0 Do rozwiązania tego układu dwu równań wykorzystamy metodę wyznaczników: 4 − j1 W= = 4 +1= 5 , − j1 1 W1 = 12 + j 9 − j1 0 1 Rys. 9.22. Schemat do wyznaczania SEM Thévenina = 12 + j 9 , 4 12 + j 9 = 12 j − 9 − j1 0 W W 12 + j 9 − 9 + j12 I1 = 1 = = ( 2 ,4 + j1,8 ) A , I2 = 2 = = ( −1,8 + j 2 ,4 ) A W 5 W 5 SEM Thévenina ma wartość skuteczną zespoloną: E T = U ab0 = −( − j1 ) ⋅ ( 2 ,4 + j1,8 ) − ( − j 2 ) ⋅ ( −1,8 + j 2 ,4 ) + ( 3 − j 4 ) = W2 = = j 2 ,4 − 1,8 − j 3 ,6 − 4 ,8 + 3 − j 4 = ( −3,6 − j 5 ,2 ) V Teraz możemy obliczyć wartość skuteczną zespoloną prądu płynącego przez impedancję Z (rys. 9.19.): ET 3,6 + j 5 ,2 IZ = = ≈ 0 ,93 ⋅ e j0 ,965 A ZT + Z 6 ,8 Moduł tej wartości, a zatem wartość skuteczna prądu wynosi: I Z ≈ 0 ,93 A Stąd poszukiwana wartość mocy czynnej największej możliwej w tym obwodzie dla odbiornika impedancyjnego włączonego na zaciski „ab”: PZ = I 2 ⋅ RZ = I 2 ⋅ Re( Z ) ≈ 0 ,93 2 ⋅ 3,4 ≈ 2 ,94 W Z Z - 75 -
