Egzamin ze statystyki dla III roku

Egzamin ze statystyki dla III roku
1. Czas pracy (mierzony w godzinach) pewnego typu żarówek jest dobrze opisany przez rozkład normalny
𝑁(𝜇, 𝜎 2 ). W celu oszacowania wartości średniego czasu pracy 𝜇, dokonano pomiarów dla 𝑛 = 5
wylosowanych niezależnie żarówek. Otrzymano następujące wyniki: 2004, 1960, 2210, 1899, 2101.
a. Podaj postać i wartość estymatora parametru 𝜇.
b. Podaj postać i wartość estymatora parametru 𝜎 2 .
Do Urzędu Ochrony Praw Konsumentów wpłynęła skarga na producenta żarówek, w której stwierdza się, że
średni czas pracy żarówek jest krótszy niż sugerowany przez producenta czas 2000 godzin. W celu
sprawdzenia zasadności skargi urzędnik postanowił przetestować odpowiednią hipotezę statystyczną.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Podaj postać hipotezy zerowej oraz hipotezy alternatywnej.
Podaj postać statystyki testowej służącej do testowania hipotezy zerowej.
Podaj wartość zaproponowanej w punkcie d. statystyki testowej dla danych z zadania.
Podaj postać zbioru krytycznego testu.
Na poziomie istotności 0.05 przetestuj hipotezę zerową.
Jaka jest twoja konkluzja?
Czy twoja konkluzja byłaby inna gdybyś przy testowaniu hipotezy wybrał/wybrała poziom istotności
równy 0.01 i dlaczego?
Co rozumiemy przez błędu pierwszego rodzaju i jaka jest jego wartość w przypadku testu z punktu i.?
[nota mR: Zadanie jest jakoś dziwnie wyrażone, jest niepoprawne gramatycznie. Prawdopodobnie
autorowi chodziło o „…przez oszacowanie błędu pierwszego rodzaju i jaka jest jego wartość…”.]
Kontrola jakości postanowiła sprawdzić, czy rozkład czasu pracy produkowanych żarówek ma wariancję
równą 1500. W tym celu postanowiono przetestować odpowiednią hipotezę statystyczną.
k. Podaj postać hipotezy zerowej, hipotezy alternatywnej oraz statystyki testowej.
l. Na poziomie istotności 0.05 przetestuj hipotezę zerową.
2. W celu oszacowania prawdopodobieństwa wyrzucenia orła w pojedynczym rzucie monetą wykonano
niezależne rzuty tą monetą aż do momentu otrzymania orła. Wykonano 10 takich doświadczeń i
zanotowano, w którym rzucie pojawił się po raz pierwszy orzeł.
Doświadczenie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Orzeł w rzucie 3 5 3 2 1 2 6 4 1 2
Na podstawie powyższych danych dokonaj estymacji metodą największej wiarogodności wartość nieznanego
prawdopodobieństwa wyrzucenia orła w pojedynczym rzucie.
a. Podaj postać funkcji wiarogodności.
b. Wyznacz postać estymatora największej wiarogodności prawdopodobieństwa wyrzucenia orła w
pojedynczym rzucie.
c. Dla danych z zadania, podaj wartość estymatora największej wiarogodności prawdopodobieństwa
wyrzucenia orła w pojedynczym rzucie.
d. Wyznacz postać estymatora największej wiarogodności prawdopodobieństwa wyrzucenia orła
dokładnie w trzecim rzucie.
e. Dla danych z zadania podaj wartość wyznaczonego w punkcie d. estymatora.
3. Korzystając z pewnego generatora liczb losowych wygenerowano 𝑛 = 10 liczb zgodnie z rozkładem
geometrycznym, a więc rozkładem dyskretnym o gęstości postaci
𝑝𝑘 = 𝑝𝑘 (1 − 𝑝),
𝑘 = 1,2, …
gdzie 𝑝 ∈ (0,1). Otrzymano w ten sposób następujące liczby: 3, 5, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 1, 2.
Wykorzystując test chi-kwadrat postanowiono przetestować hipotezę, że rozkład generowany przez ten
generator jest rozkładem geometryczny z parametrem 𝑝 = 0.5.
a. Podaj postać hipotezy zerowej oraz hipotezy alternatywnej.
b. Podaj postać statystyki testowej służącej do testowania hipotezy zerowej.
c. Podaj postać zbioru krytycznego testu.
d. Podaj wartość zaproponowanej w punkcie b. statystyki testowej dla danych z zadania.
e. Na poziomie istotności 0.05 przetestuj hipotezę zerową.
f. Jaka jest twoja konkluzja?
4. W 20 laboratoriach przeprowadza się eksperymenty w celu sprawdzenia hipotezy, że materia porusza się z
prędkością większą niż prędkość światła. We wszystkich laboratoriach sprawdza się je na tym samym
poziomie istotności 𝛼 = 0.05. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej w dwóch zostanie ona
odrzucona, choć w istocie jest prawdziwa.