Zadania IX. Rachunek prawdopodobieństwa. IiE. - e-WMP

Zadania IX. Rachunek prawdopodobieństwa. IiE.
Zad. 1. Niech X ma rozkład jednostajny na (0, 1), φ(x) = 1(0.5,1) (x) i Y = φ(X). Znaleźć rozkład Y .
Zad. 2. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeżeli X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ.
Zad. 3. X ma rozkład N (0, 1). Wyznaczyć dystrybuanty i (jeśli istnieje ) gęstość dla a) Y = eX , b) Y = X 2 .
Zad. 4. X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej e−X .
Zad. 5. X ma rozkład wykładniczy o parametrze λ. Znaleźć rozkład Y = 1/X.
Zad. 6. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2]. Niech Z = X 2 − 1. a) Wyznaczyć rozkład Z; b)
1
Czy jest to rozkład ciągły? c) Znaleźć takie t0 , że P (Z < t0 ) = 10
.
Zad. 7. Niech X {(−1, 0.5), (1, 0.5)}, Y {(−2, 0.125), (0, 0.75), (2, 0.125)}. Znaleźć wartość średnią i wariancję tych
zmiennych losowych.
Zad. 8. Rzucamy symetryczną monetą aż do chwili otrzymania pierwszego orła lub trzech resztek. Wyznaczyć wartość
średnią i wariancję liczby rzutów.
Zad. 9. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeżeli X ma rozkład wykładniczy z
parametrem λ.
Zad. 10. Niech Z ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy oraz iloczynu pierwiastków równania x2 + (3Z 2 + 4)x − 3Z = 0.
Zad. 11. Y ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 3. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy oraz iloczynu pierwiastków równania a) x2 + (6Y + 3)x − 1 = 0, b) x2 + (10Y 2 + 5)x − (2Y − 1) = 0.
Zad. 12. Ile trzeba wykonać średnio rzutów by otrzymać szóstkę?
Zad. 13. Rzucamy kostką tak długo , aż wyrzucimy wszystkie możliwe wyniki. Znaleźć wartość średnią liczby rzutów.
Zad. 14. Udowodnij, ze jeśli X jest zmienną losową stałą, to D2 X = 0.
Zad. 15. Niech X ma rozkład Poissona z parametrem λ, Y = 2X + 1. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję X i Y.
Zad. 16. Obliczyć EX n dla zmiennej losowej X o rozkładzie a) jednostajnym na przedziale (0, 1); b) wykładniczym.
Zad. 17. Wyznaczyć współczynnik asymetrii dla rozkładu wykładniczego.
Zad. 18. Wyznaczyć kurtozę dla rozkładu a) jednostajnego; b) wykładniczego.
Zad. 19. Wyznaczyć punkt, w którym osiągane jest minimum funkcji φ(t) = E(X − t)2 , gdzie X jest zmienną losową
mającą wariancję.
Zad.20. Obliczyć E(X + Y ), gdzie zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1), zaś Y ma rozkład
Bernoulliego z parametrami n i 12 .
Zad.21. Kij o długości a złamano w punkcie wybranym z rozkładem jednostajnym. Znaleźć wartość oczekiwaną i
wariancję pola prostokąta o długości boków równych dwóm otrzymanym kawałkom kija.
Zad.22. Udowodnij własności wartości oczekiwanej.
Zad.23. Udowodnij własności wariancji.
Źródło : J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, SCRIPT, Warszawa 2006.