Document

Elektryczność i
Magnetyzm
Wykład: Jan Gaj
Pokazy: Tomasz Kazimierczuk/Karol Nogajewski,
Tomasz Jakubczyk
Wykład szesnasty 13 kwietnia 2010
Z poprzedniego wykładu
 Prąd zmienny, wartość skuteczna napięcia i
natężenia, ich pomiar
 Prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego
 Formalizm zespolony opisu prądów
sinusoidalnie zmiennych
 Rezonans szeregowy w obwodzie RLC
 Głośnik – coś więcej niż zwojnica
Rezonans mechaniczno-elektryczny
G
Generator
Obwód zastępczy
II prawo Kirchhoffa
dI d
dI
dx
dI
U  RI  L 
 RI  L  Bl
 RI  L  v
dt dt
dt
dt
dt
Siła elektrodynamiczna
F  BlI  I
dv
II zasada dynamiki
F  m  v  kx
dt
Zaniedbując R i L otrzymujemy U  v
t
m dU 
k
i dalej
I 
 U   U t dt 
 dt 

W tym przybliżeniu elementy obwodu zastępczego
C 
*
m
2
2

R* 

Połączenie równoległe
L* 
2
k
Obwód zastępczy głośnika
Przy zaniedbaniu R, L
L
C*
=
R*
R
L*
Polaryzacja dielektryczna
+Wniosek: kulka nie jest
naładowana; jest
wciągana do pola bo
indukuje się w niej
moment dipolowy
Dielektryk w kondensatorze
-
+
+
+
+
+
+
Wprowadzenie dielektryka obniża
napięcie naładowanego
kondensatora
Wniosek: natężenie pola w
kondensatorze zmniejszyło się po
wprowadzeniu dielektryka
Zakładając proporcjonalność zmiany
ε ε
1

kV
0
Współczynnik zmniejszenia pola
elektrycznego nosi nazwę stałej
dielektrycznej (względnej).
Uwaga: powyższa proporcjonalność
nie zawsze jest spełniona.
Co się dzieje w dielektryku?
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
=
+ +
+ +
+
-
- - -
Co się dzieje w dielektryku?
+ +
+ +
+ +
P
+ + + -
Polaryzacja: gęstość objętościowa momentu dipolowego
P  x
 - gęstość objętościowa ładunku (związanego),
x – wektor przesunięcia
Składowa normalna polaryzacji wytwarza
powierzchniową gęstość ładunku związanego
która generuje wewnątrz dielektryka pole elektryczne
przeciwne do składowej normalnej polaryzacji
 zw  P  n
ε  
1
0
P
Wektor indukcji elektrycznej
Całkowita gęstość pow. ładunku
gęstość pow. ładunku związanego
 tot   0ε  n
 zw  P  n
Ładunek swobodny:
 sw   tot   zw   0ε  n  P  n  D  n
Wektor indukcji:
D = 0  + P
Sens fizyczny: powierzchniowa gęstość ładunku (swobodnego)
indukowanego na (prostopadłej) powierzchni przewodnika
Źródłem wektora indukcji elektrycznej jest tylko ładunek „swobodny”
Całkując po powierzchni mamy
Qsw   D
Lokalnie
  D   sw
Pole elektryczne na granicy
dielektryka
Pole wewnątrz dielektryka jest modyfikowane przez ładunek powierzchniowy,
który wytwarza pole prostopadłe do powierzchni.
Dlatego składowa styczna natężenia pola elektrycznego jest wewnątrz taka
sama, jak na zewnątrz.
Jeśli wprowadzić wektor indukcji D = 0  + P
Próżnia
Składowa styczna
Składowa normalna
ε
0 0II
ε
0II
0
0 0
Dielektryk
ε
0 0II + PII
0II
ε
0 
1
0
P
0 0
Na granicy dielektryków zachowują ciągłość składowa równoległa natężenia pola
elektrycznego i składowa normalna indukcji elektrycznej
Prawo Gaussa
W dalszym ciągu (poza wyraźnie zaznaczonymi wyjątkami)
za ładunek będziemy uważali ładunek swobodny.
D  
oraz
 D nds  Q
S
Wewnątrz dielektryka nie ma ładunku swobodnego, obowiązuje więc tam
D  0
oraz
 D  nds  0
S
Przy obecnie przyjętej definicji ładunku prawo Gaussa w
dotychczasowej formie już nie obowiązuje.
W szczególności pole  ma źródła na powierzchni dielektryka, choć nie ma
tam ładunku (swobodnego).
Czy polaryzacja dielektryczna może prowadzić do nieznikającej gęstości
ładunku związanego także wewnątrz dielektryka?
Przekonamy się wkrótce.
Mechanizmy mikroskopowe
polaryzacji dielektrycznej
 Uporządkowanie chaotycznie ułożonych
momentów dipolowych cząsteczek (np. wody).
Jest to polaryzacja orientacyjna. Maleje ona w
wysokich temperaturach (drgania termiczne burzą
uporządkowanie), a w niskich temperaturach
nasyca się w silnym polu (pełne uporządkowanie
dipoli).
 Rozsunięcie ładunków przeciwnych znaków w
atomach lub cząsteczkach – polaryzacja
elastyczna: elektronowa lub jonowa. Powstająca
przy tym siła elastyczna może prowadzić do
rezonansu polaryzacji przy określonej częstości.
Zależność polaryzacji od natężenia
pola elektrycznego
Dla pola o dostatecznie małym natężeniu
P ε
gdzie  [C2/Nm2] - polaryzowalność
Wprowadza się też bezwymiarową podatność elektryczną
Mamy wtedy
D    1 0ε  0ε


0
gdzie bezwymiarowe  jest (względną) przenikalnością elektryczną.
Źródła wektora natężenia pola
wytworzonego przez ładunek punktowy
Z prawa Gaussa
Q r
D
4r 2 r
jest bezźródłowe.
Wykładnik -2 z prawa Coulomba jest jedynym zapewniającym
bezźródłowość pola radialnego.
Jeżeli więc związek między natężeniem pola a indukcją nie
jest proporcjonalnością, natężenie pola musi mieć źródła, a
więc w dielektryku powstanie rozkład przestrzenny ładunku
związanego.
Dotyczy to także obszaru nasycenia polaryzacji w silnym polu
blisko ładunku punktowego (dywergencja pola radialnego o
stałej wartości nie znika!).
Takich efektów nie spodziewamy się w kondensatorze
płaskim, gdzie pole jest jednorodne.
Pojemność kondensatora z
dielektrykiem
Q  CU
Po włożeniu dielektryka do kondensatora pole elektryczne,
a zatem także napięcie, maleje  razy
Q  C0U 0  C
A więc
C  C0
czyli
U0

C
0 S
d
Energia pola w dielektryku
Dla kondensatora z dielektrykiem
Q

D
0
0
0
E   Udq  Sd  d   V  dD
W przypadku liniowej zależności D = 0 otrzymujemy gęstość energii w polu
1
w  εD
2
Wprowadzenie dielektryka do naładowanego określonym ładunkiem
kondensatora obniża jego energię (maleje natężenie pola) więc dielektryk
jest wciągany w pole kondensatora, podobnie jak wahadełko w pole
naładowanej kuli.
A w przypadku kondensatora naładowanego do stałego napięcia?
Pole elektryczne w dielektryku
 Poprzecznym: zmniejszone
 Podłużnym: jak zewnętrzne
Igła dielektryczna
+
+
+
+
+
+
-
Częstość jest większa w silniejszym polu elektrycznym
Igła dielektryczna: dlaczego się waha?

PII  εII
P  ε

 tan i   p  tan i

i
P

 1
p 
i

d 2i
J
dt 2
p
 1
2
  1 0 i
 N  vP p  v

  
v 0
J