lekcja_wielosciany

Platon (427-347p.n.e.)
Był twórcą systemu
filozoficznego zwanego
idealizmem platońskim.
Uważa się, że to od Platona
zaczyna się filozofia
rozumiana jako nauka
systematyczna, a nie
przypadkowe spekulacje.
Był założycielem słynnej
Akademii.
W geometrii znane są jego
konstrukcje za pomocą
linijki i cyrkla oraz bryły
platońskie, czyli wielościany
foremne.
Wielokąty foremne
Kąty wielościenne
60  60  60  180
o
o
o
o
60  60  60  60  240
o
o
o
o
o
60o  60o  60o  60o  60o  300o
Platon
90o  90o  90o  270o
108o  108o  108o  324o
Teajtetos
60o  60o  60o  180o
Czworościan
60  60  60  60  240
o
o
o
o
o
Ośmiościan
60o  60o  60o  60o  60o  300o Dwudziestościan
90  90  90  270
o
o
o
o
108o  108o  108o  324o
Sześcian
Dwunastościan
Czworościan foremny może być wpisany
w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego
wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem
sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną
jednej ze ścian sześcianu.
Objętość każdego z tych czworościanów wynosi
1/3 objętości sześcianu.
Pole powierzchni całkowitej:
𝑆 = 3 ∙ 𝑎2 ≈ 1,7321 ∙ 𝑎2
Objętość:
2 3
𝑉=
∙ 𝑎 ≈ 0,1179 ∙ 𝑎3
12
Wysokość:
24
6
ℎ=𝑎∙
=𝑎∙
≈ 0,8165 ∙ 𝑎
6
3
• Kąt bryłowy przy jego wierzchołku
(tj. kąt trójścienny) wynosi π/2,
Sześcian jest także szczególnym
przypadkiem graniastosłupa
prawidłowego, prostopadłościanu
Objętość:
𝑉 = 𝑎3
Pole powierzchni całkowitej:
𝑆 = 6 ∙ 𝑎2
Wysokość:
ℎ=𝑎
Przekątna:
𝑑=𝑎∙ 3
• Ścinając wierzchołki ośmiościanu
otrzymujemy wielościan półforemny o
nazwie ośmiościan ścięty. Ośmiościan
foremny jest także
antygraniastosłupem. Ośmiościan
foremny ma cztery pary ścian do siebie
równoległych.
Objętość:
2 3
𝑉=
∙ 𝑎 ≈ 3,4641 ∙ 𝑎3
3
Pole powierzchni całkowitej:
𝑆 = 2 3 ∙ 𝑎2 ≈ 0,4714 ∙ 𝑎2
Wysokość:
𝑎
ℎ = ∙ 6 ≈ 0,8165 ∙ 𝑎
3
Przekątna:
• Ścinając wierzchołki dwunastościanu
otrzymujemy wielościan półforemny o
nazwie dwunastościan ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
𝑆 = 3 ∙ 𝑎2 ∙ 5(5 + 2 5) ≈ 20,6457 ∙ 𝑎2
Objętość:
1 3
𝑉 = ∙ 𝑎 ∙ (15 + 7 5) ≈ 7,6613 ∙ 𝑎3
4
Miara kąta między ścianami:
𝛼 = 116,6°
• Posiada 15 płaszczyzn symetrii.
• Ścinając wierzchołki dwudziestościanu
otrzymujemy wielościan półforemny o
nazwie dwudziestościan ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
𝑆 = 5 ∙ 𝑎2∙ 3 ≈ 8,6603 ∙ 𝑎2
Objętość:
5
𝑉=
∙ 𝑎3 (3 + 5) ≈ 2,1817 ∙ 𝑎3
13
Miara kąta między ścianami bocznymi:
𝛼 = 138,2°
Wielościany foremne
Wielościany foremne
Zadanie 1
Oblicz wysokość czworościanu foremnego
o boku długości a. Wyznacz jego objętość.
Zadanie 2
Wykaż, że promień kuli opisanej na czworościanie foremnym o boku długości a wynosi
6
R
a
4
Praca domowa 
Zadanie 3
Oblicz długość przekątnej sześcianu o krawędzi
długości a.
Zadanie 4
Oblicz objętość sześcianu, którego przekątna ma
długość d  10 3 cm.
W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy
żywioł można utożsamić z jedną
z doskonałych brył:
ogień - czworościan,
ziemia - sześcian,
powietrze - ośmiościan,
woda - dwudziestościan.
Po odkryciu dwunastościanu foremnego
włączono go do systemu jako symbol
całego wszechświata (eteru)
ośmiościan – dwudziestościan – dwunastościan – czworościan - sześcian
Reprodukcje rysunków pochodzących
z Mysterium Cosmographicum (1595) Keplera
minerały
diament
fluoryt
piryt
piryt
Krzemiany i glinkokrzemiany
akwamaryn
aragonit
halit
Kryształ górski
Gips...
morion
rubelit
staurolit
topaz
wulfenit
kalcyt
kalcyt
Galena na sfalerycie
Oliwin
bizmut
Układ krystaliczny
Możliwe typy sieci
Trójskośny
Jednoskośny
prymitywna (P)
centrowana na podstawach (C) przestrzennie centrowana (I)
prymitywna (P)
centrowana na podstawach (C)
prymitywna (P)
centrowana na podstawach (C)
Rombowy
Tetragonalny
Romboedryczny
Heksagonalny
Regularny
ściennie centrowana (F)
ściennie centrowana (F)