Zastosowanie równania Laplace`a w elektro
advertisement
Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Joanna Wojtal Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne 6 czerwca 2013 Ładunek elektryczny Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych jest bardzo wiele ładunków jednego i drugiego rodzaju, niewielka różnica między nimi staje się niemal niezauważalna, jednak często na ciele gromadzą się w znakomitej większości ładunki tylko jednego rodzaju i o takim ciele mówimy, że jest ono naelektryzowane. Pole siłowe Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Obiekt naładowany elektrycznie jest z natury rzeczy źródłem pola siłowego: działa siłą na inne ciała naelektryzowane, które znajdą się w pewnej odległości od niego. Jeśli nasz obiekt znajduje się w spoczynku, staje się źródłem pola elektrostatycznego, jeśli zaś jest w ruchu – pola magnetycznego. Specyfika tych dwóch pól siłowych jest zgoła inna, a ich podstawowe cechy postaram się przedstawić w tej prezentacji. Uwaga - ważne założenie! Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Jako źródło pola elektrostatycznego będziemy traktować nieruchomy ładunek punktowy dodatni (chyba, że zaznaczono inaczej) a magnetycznego – nieskończenie długi i cienki, spoczywający liniowy przewodnik z prądem. Pole, którego źródłem jest nieruchomy przewodnik nazywamy w szczególności magnetostatycznym. Siła elektrostatyczna Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Na każde ciało naładowane, które znajduje się w polu elektrostatycznym działa siła opisana prawem Coulomba: → −r ! → − q1 · q2 F =k· · r2 r (1) Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne gdzie k jest stałą zależną od przenikalności elektrycznej ośrodka, q1 i q2 wartościami ładunków, natomiast r odległością pomiędzy ładunkami. W nawiasie znajduje się wektor jednostkowy określający zwrot i kierunek siły. Siła elektrostatyczna Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Możemy łatwo zauważyć, że ładunki jednoimienne będą odpychane a różnoimienne – przyciągane. Siła zawsze działa jednak w kierunku wektora łączącego oba ładunki, zmienia się jedynie jej zwrot. Natężenie pola elektrostatycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Za pomocą prawa Coulomba definiujemy podstawową miarę pola elektrostatycznego – natężenie, hipotetyczną siłę, która zadziała na ładunek próbny umieszczony w polu (ładunek próbny jest zawsze dodatni). Widzimy więc, że natężenie: → − → − F = E ·q → −r ! → − q E =k· 2 · r r Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne jest wektorem o kierunku i zwrocie zgodnymi z odpowiadającym mu wektorem siły. (2) (3) Siła Lorentza Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Na ładunki znajdujące się w polu magnetycznym również działa siła, zwana siłą Lorentza, jednak w inny sposób: → − → − − F = q · (→ v × B) (4) → − − gdzie → v jest wektorem prędkości źródła, a B – wektorem indukcji magnetycznej, który w pewien sposób odpowiada wektorowi natężenia. Prawo Biota – Savarta pozwala określić jego wartość, ale nie jest to w tej chwili istotne dla naszych rozważań. Indukcja pola magnetycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Wektor indukcji jest również miarą pola, ale siła działa zawsze prostopadle do wektora indukcji i do prędkości źródła. Jej zwrot wyznacza się zgodnie z zasadą śruby prawoskrętnej. Linie pola elektrostatycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Zobrazujmy teraz, jak wyglądają linie obu rozważanych pól. Dla pola elektrostatycznego są one obrazowane przez tory cząstek umieszczonych w polu. Gdy w polu elektrostatycznym umieścimy cząstkę dodatnią, będzie się ona zawsze oddalała od źródła. Po krótkim zastanowieniu dochodzimy do wniosku, że linie pola będą się rozchodziły promieniście ze źródła, aż do nieskończoności. Linie pola magnetycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Linie pola magnetycznego są obrazowane przez ustawienie igły kompasu umieszczonego w polu. Na podstawie doświadczeń dowiedziono, że linie pola magnetycznego układają się we współśrodkowe okręgi leżące w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika stanowiącego źródło, o środku w punkcie przecięcia tej płaszczyzny z przewodnikiem. Prawo Gaussa Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal W teorii pól siłowych niezwykle ważną rolę pełni prawo Gaussa, które charakteryzuje przebieg linii pola. Dla pola elektrostatycznego przybiera postać: Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych I Prawo Coulomba Siła Lorentza S → − 1 − E ◦ d→ s = · Qc 0 (5) Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne gdzie S jest pewną powierzchnią zamkniętą, natomiast Qc – całkowitym ładunkiem zawartym wewnątrz tej powierzchni. Oznacza to, że przez dowolną powierzchnię zamkniętą, przechodzi strumień pola proporcjonalny do ładunku zamkniętego wewnątrz tej powierzchni. Strumień pola Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Strumień pola siłowego definiujemy wzorem: Z Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne → − − G ◦ d→ s S gdzie G jest odpowiednim polem wektorowym, S – dowolną powierzchnią (ograniczoną lub nie) a ds – wektorem normalnym do tej powierzchni. Strumień powinniśmy rozumieć intuicyjnie jako pewien skalar, opisujący ”ilość pola” przechodzącą przez daną powierzchnię. (6) Twierdzenie Ostrogradskiego - Gaussa Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Z twierdzenia Ostrogradskiego – Gaussa mamy, że: Joanna Wojtal I Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych S Z → − → − 1 − E ◦ d→ s = div E dV = · ρV · dV (7) V Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne gdzie V jest objętością zamkniętą wewnątrz powierzchni S, a ρV jest gęstością objętościową ładunków w tej objętości. Widzimy więc, że dywergencja pola elektrostatycznego jest w obecności ładunków różna od zera. Interpretacja dywergencji Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Dla ładunków dodatnich dywergencja jest dodatnia. Oznacza to, że ładunki dodatnie stanowią źródła pola elektrostatycznego (zgadza się to z naszymi wcześniejszymi przemyśleniami – linie pola ”wypływają” ze źródła dodatniego). Dla ładunków ujemnych całka z dywergencji jest ujemna, a co za tym idzie – sama dywergencja jest ujemna. Źródła ujemne stanowią więc ścieki pola – linie wpływają do wewnątrz źródła. Prawo Gaussa Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Prawo Gaussa dla pola magnetycznego wyraża się wzorem: I → − → − B ◦dS =0 (8) S co oznacza, że przez dowolną zamkniętą powierzchnię w polu magnetycznym przepływ strumienia jest stały. Znów powołując się na prawo Ostrogradskiego – Gaussa wnioskujemy, że w dowolnym punkcie dywergencja pola magnetycznego jest równa zero. Interpretacja dywergencji Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Zerowanie się dywergencji oznacza, że tyle samo linii pola wpływa do danego punktu i z niego wypływa. Pole magnetyczne nie posiada więc źródeł ani ścieków – jest to pole bezźródłowe. Oznacza to, że w przyrodzie nie istnieją ładunki magnetyczne. Czym jest potencjał? Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Inną wielkością charakteryzującą pola siłowe jest potencjał. Potencjał jest polem skalarnym charakteryzującym pewne pole wektorowe. Różnica potencjałów między dwoma punktami informuje o pracy, jaka zostanie wykonana przy przemieszczeniu ładunku próbnego z jednego punktu do drugiego. Potencjał elektrostatyczny Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba W polu elektrostatycznym potencjał φ spełnia zależność: → − E (x) = − ∇φ(x) (9) Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne czyli natężenie powstaje jako minus gradient potencjału. Potencjał wektorowy Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Dla pola magnetycznego nie da się sformułować pojęcia skalarnego potencjału, dlatego definiuje się jedynie → − potencjał wektorowy A , jako pole wektorowe, którego rotacja jest polem magnetycznym: → − − → − → B =∇× A (10) Uzasadnienie Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Pozwólmy sobie na małą dygresję, obrazującą fizyczną poprawność tej definicji: Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych − − → − → → − → − → ∇ ◦ B = ∇ ◦ ( ∇ × A ) = 0, (11) Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne ostatnia równość z własności iloczynów wektorowego i − → − → skalarnego. Jak pamiętamy, iloczyn ∇ ◦ B oznacza dywergencję pola magnetycznego, która w istocie jest równa 0. Prawo Ampere’a dla pola magnetycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Kolejnym ważnym prawem dla naszych rozważań jest prawo Ampere’a. Pierwotnie zostało ono sformułowane dla pola magnetycznego. Za pomocą wzoru matematycznego zostało zapisane następująco: I Prawo Coulomba → − → − B ◦ d l = µ0 · Ic (12) Siła Lorentza Linie pola Γ Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Jawnie oznacza on, że całka po krzywej zamkniętej, otaczającej przewód z prądem, z wektora indukcji, jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów przepływających przez powierzchnię wyznaczoną przez tę krzywą. Wirowość pola magnetycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Z prawa Stokesa mamy: I Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Γ I I → − → − → − → − − → − → B ◦d l = rot B ◦d S = µ0 ·Ic = µ0 j ◦d S (13) S S → − gdzie j jest wektorem gęstości prądu w przewodniku. Ponieważ rotacja tego pola jest różna od zera, oznacza to, że pole magnetyczne jest polem wirowym. W polu wirowym nie definiujemy potencjału skalarnego. Z wirowością (lub bezwirowością) pola nieodłącznie wiąże się charakterystyka pracy w tym polu. W polu wirowym praca wykonywana po krzywej zamkniętej jest różna od zera. Prawo Ampere’a dla pola elektrostatycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Prawo Ampere’a dla pola elektrostatycznego wyraża się wzorem I → − → − E ◦d l =0 (14) Joanna Wojtal Γ Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Zauważmy, że pomnożenie obu stron przez wartość ładunku daje wynik: Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola I Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego → − → − q· E ◦d l =0 (15) → − → − F ◦d l =0 (16) Γ I Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Γ a taka całka oznacza, że praca wykonana po krzywej zamkniętej jest równa 0. Prawo Ampere’a dla pola elektrostatycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Jest to w pełni zgodne z wnioskami płynącymi z prawa Stokesa: I Γ I → − → − → − − E ◦ d l = rot E ◦ d → s =0 (17) S Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne jak również z wcześniejszymi założeniami, że praca w polu elektrostatycznym zależy jedynie od punktów początkowego i końcowego. Ponieważ w krzywej zamkniętej początek pokrywa się z końcem, praca musi być równa 0. Wirowość pola elektrostatycznego Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym (wirowość jest równa 0), a więc praca wykonywana po krzywej zamkniętej jest równa 0. Pole bezwirowe powstaje jako gradient swego potencjału, co zapisaliśmy już wcześniej w tożsamości: → − E (x) = − ∇φ(x) (18) Równanie Laplace’a Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Zebraliśmy już wystarczającą ilość danych aby wysnuć wniosek dotyczący równania Laplace’a. Pole elektrostatyczne Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Korzystając z wcześniejszych wzorów: − −→ → − → 1 ∇ ◦ E = div E = · ρV − → − → → − → − 1 ∇ ◦ E = ∇ ◦ (− ∇φ) = ρV → − → − 1 ∇ ◦ ∇φ = − ρV 1 ∆φ = − ρV (19) (20) (21) (22) Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Zatem pod obecnością ładunków źródłowych, potencjał pola elektrostatycznego spełnia równanie Poissona. Pole elektrostatyczne Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Gdy zaś ρv =0, czyli we wszystkich punktach przestrzeni poza źródłami, potencjał elektryczny spełnia równanie Laplace’a: ∆φ = 0 (23) Pole magnetyczne Zastosowanie równania Laplace’a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal Dla pola magnetostatycznego: → − − → − → → − rot B = ∇ × B = µ0 · j (24) − − → − → → − → − → → − → − → − → − → − ∇ × ( ∇ × A ) = ∇( ∇ ◦ A ) − A ( ∇ ◦ ∇ = µ0 · j )(25) Wprowadzenie Podstawowe cechy pól siłowych − → − → Ponieważ ∇ ◦ A = 0 to: Prawo Coulomba Siła Lorentza Linie pola Dywergencja Prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego → − → − → − − ∇ ◦ ∇A = µ0 · j → − ∆ A = −µ0 (26) (27) Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Potencjał Wirowość Podsumowanie Pole elektrostatyczne Pole magnetyczne Zatem potencjał wektorowy pola magnetostatycznego spełnia równanie Poissona, w miejscach, w których gęstość prądu jest niezerowa (czyli w przewodniku). Poza nim, potencjał wektorowy spełnia równanie Laplace’a.
