Lista zadań 14 - INSTYTUT FIZYKI PWr

Zadania z fizyki
Wydział PPT
14
Elektrostatyka: ładunki i pola w próżni
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zad. 1(c). Jaki jest stosunek siły elektrostatycznej pomiędzy protonem a elektronem do siły
grawitacyjnej pomiędzy tymi cząstkami?
Zad. 2(c). Dwanaście ładunków o tej samej wartości q umieszczono w wierzchołkach 12-kąta
foremnego. (a) Jaka jest całkowita siła działająca na ładunek próbny Q umieszczony w geometrycznym środku 12-kąta? (b) Przypuśćmy, że jeden z tych dwunastu ładunków został usunięty.
Jaka siła działa teraz na ładunek Q?
Zad. 3(c). Na prostej leżą w odległości d ładunki +q i +2q. W jakim punkcie można umieścić
trzeci ładunek, by pozostał on w spoczynku?
Zad. 4. Trzy ładunki q = 11 µC (ile to elektronów?) umieszczono w wierzchołkach trójkąta
równobocznego o boku l = 15 cm. Znaleźć kierunek i wartość siły działającej na każdy z ładunków.
Zad. 5. Dwie małe kulki o masie 0,1 g każda zawieszono na jednakowych niciach o długości
30 cm zaczepionych w jednym punkcie, tak że kulki się stykają. Po naładowaniu obu kul jednakowym ładunkiem rozsunęły się one na odległość 6 cm. Znajdź ładunek kulek. Uwaga: To zadanie
pokazuje, jak małe ładunki mogą być wykrywane za pomocą względnie dużego elektroskopu.
Zad. 6. Moment dipolowy dowolnego układu ładunków q1 , q2 , . . . umieszczonych w punktach
P
r1 , r2 , . . . zdefiniowany jest jako p = n rn qn . (a) Sprawdź, że w przypadku dipola elektrycznego
definicja ta redukuje się do znanej z wykładu p = q(r+ − r− ). (b) Wykaż, że jeśli układ jest gloP
balnie obojętny elektrycznie, tzn. n qn = 0, to moment dipolowy nie zależy od wyboru początku
układu współrzędnych. (c) W Rprzypadku ciągłego rozkładu ładunku naturalnym uogólnieniem podanej wyżej definicji jest p = d3 rrρ(r). Sprawdź, że tak zdefiniowany moment dipolowy również
ma własność niezależności od wyboru początku układu współrzędnych, jeśli ukłąd jest globalnie
obojętny elektrycznie.
Zad. 7*. Znajdź równanie linii pola punktowego dipola elektrycznego w biegunowym układzie
współrzędnych.
Zad. 8*. Czy możliwy jest ruch ładunku punktowego w polu nieruchomego punktowego dipola
elektrycznego po okręgu ze stałą co do wartości prędkością?
Zad. 9(c). Znajdź wektor natężenia pola elektrycznego na wysokości z nad środkiem cienkiego
krążka o promieniu R, naładowanego jednorodnie z gęstością powierzchniową σ. Znajdź graniczną
postać otrzymanego wyrażenia przy R → ∞ oraz przy z R.
Zad. 10. Prostoliniowy drut rozciąga się w jedną stronę do nieskończoności. Jest on naładowany
z gęstością liniową λ. Znajdź pole na osi drutu w odległości a od jego końca.
Zad. 11. Stożek o wysokości h i promieniu podstawy R jest naładowany ładunkiem q rozłożonym
równomiernie w całej objętości. Znajdź natężenie pola elektrycznego na wierzchołku stożka.
Zad. 12(c). Ładunek q umieszczono w wierzchołku sześcianu o boku a. Znajdź strumień pola
elektrycznego przez ścianę sześcianu niezawierającą tego wierzchołka.
Zad. 13(c). Znajdź pole elektryczne w odległości r od środka kuli o promieniu R naładowanej
jednorodnie z gęstością objętościową ρ.
Zad. 14(c). Dwie jednakowe kule o promieniu R naładowano gęstościami ładunku ρ i −ρ i
umieszczono w taki sposób, że środek kuli dodatnio naładowanej przesunięty jest względem środka
kuli naładowanej ujemnie o wektor d, przy czym d < 2R, tzn. kule częściowo się nakładają. (a)
Pokaż, że pole w obszarze nakładania się kul jest stałe i znajdź jego natężenie. Wykorzystaj wynik
zadania 13. (b) Ile wynosi moment dipolowy tego układu? Patrz definicja w Zad. 6).
Zad. 15. Długi walec naładowany jest z gęstością proporcjonalną do odległości od osi: ρ = kr,
gdzie k jest pewną stałą. Znajdź natężenie pola elektrycznego we wnętrzu walca.
Zad. 16. W pewnym obszarze przestrzeni wytworzono centralne pole elektrostatyczne E = kr3 r̂,
gdzie k jest pewną stałą. (a) Znajdź objętościową gęstość ładunku. (b) Znajdź całkowity ładunek
zawarty w kuli o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych.
Zad. 17(c). Czy można uformować w próżni
takie pole elektryczne, aby w pewnym skończonym obszarze wektor natężenia pola E miał stały kierunek, a jego wartość malała (lub rosła)
liniowo: (a) w kierunku pola E lub (b) w kierunku prostopadłym do E?
(a)
(b)
Zad. 18*. Twierdzenie Earnshawa.1 Udowodnij, że żaden układ ładunków oddziałujących
jedynie przez siły elektrostatyczne nie może pozostawać w równowadze trwałej. Wskazówka:
Rozważ konfigurację pola pochodzącego od innych ładunków wokół punktu, w którym miałby się
znajdować wybrany ładunek.
Zad. 19*. Sprawdź, że dla dowolnego pola wektorowego A i dla dowolnego pola skalarnego φ
zachodzi: (a) rot grad φ = 0; (b) div rot A = 0; (c) rot rot A = grad div A − ∇2 A; (d) div(φA) =
A · grad φ + φ div A.
Zad. 20*. Sprawdź, że cyrkulacja (czyli całka krzywoliniowa po zamkniętej krzywej) pola A
wokół małej prostokątnej ramki o polu ∆S i wektorze normalnym n̂ równa jest (rot A) · n̂∆S.
Zgodnie z konwencją, kierunek obiegu i wektor normalny spełniają regułę śruby prawoskrętnej.
Zad. 21(c). Jedno z podanych pól nie może być statycznym polem elektrycznym: (a) E =
k[xy êx + 2yz êy + 3xz êz ]; (b) E = k[y 2 êx + (2xy + z 2 )êy + 2yz êz ]. Które to pole? Dla pola, które
może być polem elektrostatycznym, znajdź potencjał poprzez całkowanie po wybranym konturze.
Jako punkt odniesienia wybierz początek układu współrzędnych.
1
Samuel Earnshaw (1805–1888), angielski duchowny, matematyk i fizyk.
2
Zad. 22(c). Znajdź potencjał w dowolnym punkcie r pochodzący od punktowego dipola elektrycznego p umieszczonego w początku układu współrzędnych.
Zad. 23(c). Znajdź z definicji (tj. poprzez całkę krzywoliniową z natężenia pola) potencjał w
odległości a od nieskończenie długiej prostoliniowej nici naładowanej z gęstością powierzchniową
λ.
Zad. 24(c). Znajdź z zasady superpozycji, tj. korzystając ze wzoru
V (r) =
1 Z σ(r 0 ) 2 0
d r,
4π0 |r − r 0 |
potencjał dysku o promieniu R, jednorodnie naładowanego powierzchniową gęstością ładunku σ,
w punkcie na osi dysku w odległości z od jego środka.
Zad. 25. Znajdź metodą jak w zad. 24 potencjał odcinka prostej o długości 2L, jednorodnie
naładowanego liniową gęstością ładunku λ, w punkcie na symetralnej odcinka, w odległości z od
jego środka.
Zad. 26. Znajdź z zasady superpozycji (jak w zad. 24) potencjał pola pochodzącego od sfery
o promieniu R jednorodnie naładowanej powierzchniową gęstością ładunku σ. Wskazówka: wybierz układ współrzędnych o początku w środku sfery i osi z przechodzącej przez punkt r; użyj
współrzędnych sferycznych, d2 r0 = R2 sin θ0 dθ0 dφ0 .
Zad. 27(c). Rozważmy nieskończoną przewodzącą płaszczyznę naładowaną jednorodnie z gęstością powierzchniową σ, położoną pomiędzy równoległymi do niej nieskończonymi, uziemionymi
płaszczyznami, odległymi od niej o a i b. (a) Uzasadnij, że jedynym rozwiązaniem równania Laplace’a o symetrii zgodnej z tym układem płaszczyzn jest potencjał postaci φ(z) = αz + β, gdzie z
jest kierunkiem prostopadłym do płaszczyzn, a α, β są stałymi. (b) Wykorzystując zadane warunki brzegowe oraz warunki graniczne dla potencjału na naładowanej powierzchni, znajdź potencjał
elektrostatyczny dla tego układu we wszystkich obszarach przestrzeni. (c) Znajdź natężenie pola
elektrycznego we wszystkich obszarach przestrzeni. (d) Znajdź powierzchniową gęstość ładunku
na obu uziemionych płaszczyznach.
Zad. 28*. Rozważmy trzy koncentryczne przewodzące sfery o promieniach R1 , R2 i R3 , z których
dwie zewnętrzne są uziemione, a wewnętrzna jest naładowana jednorodnie ładunkiem q. (a) Uzasadnij, że jedynym rozwiązaniem równania Laplace’a o symetrii sferycznej jest potencjał postaci
φ(r) = α/r + β, gdzie α, β są stałymi (patrz wskazówka poniżej). (b) Wykorzystując zadanie
warunki brzegowe oraz warunki graniczne dla potencjału na naładowanej powierzchni, znajdź potencjał elektrostatyczny dla tego układu we wszystkich obszarach przestrzeni. (c) Znajdź natężenie
pola elektrycznego we wszystkich obszarach przestrzeni. (d) Znajdź ładunki na obu uziemionych
sferach.
Wskazówka: We współrzędnych sferycznych operator Laplace’a ma postać
∂V
1 ∂
r2
∆V = 2
r ∂r
∂r
!
1
∂
∂V
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
3
!
+
1
∂ 2V
.
r2 sin2 θ ∂φ2
Zad. 29(c). Trzy ładunki umieszczono w rogach kwadratu o boku a, jak
pokazano na rysunku. (a) Jaką pracę należy wykonać, aby przemieścić z
dużej odległości czwarty ładunek o wartości +q i umieścić go w wolnym
rogu kwadratu? (b) Jaka praca jest niezbędna do utworzenia całej tej
konfiguracji ładunków?
Zad. 30(c). Znajdź energię elektrostatyczną sfery naładowanej jednorodnie z powierzchniową
gęstością ładunku σ. Wynik oblicz na dwa sposoby: (a) jako wzajemną energię ciągłego rozkładu
ładunku,
1Z
V (r)σ(r)d2 r;
U=
2
(b) jako energię pola,
0 Z 2
U=
E (r)d3 r.
2
Zad. 31. Znajdź energię elektrostatyczną kuli o promieniu R naładowanej jednorodnie ładunkiem
q.
4