Teoria gier II lista zadań

Teoria gier
II lista zadań
1. Narysuj drzewo gry i zaznacz zbiory informacyjne w następującej grze:
Jest trzech graczy. Na początku gry odbywa się losowanie, mające na
celu wyłonienie rozpoczynającego grę. Następnie gracz wylosowany ma
do wyboru: zadać któremuś z pozostałych graczy pytanie, kto został
wylosowany, lub oddać możliwość zadania tego pytania któremuś z
pozostałych. Ten ma te same możliwości itd. Gra toczy się do momentu
zadania pytania (wtedy zadający wypłaca odpowiadającemu złotówkę,
jeśli tamten odpowiedział poprawnie lub dostaje złotówkę od odpowiadającego,
jeśli ten odpowiedział źle) lub do momentu, gdy jeden z graczy zostanie
wyznaczony do zadania pytania po raz drugi (włącznie z wyznaczeniem
przez „naturę” na pierwszym etapie) – wtedy obaj gracze, którzy go
wyznaczyli, wypłacają mu po złotówce (jeśli dwa razy wyznaczył ich
ten sam gracz, to płaci wyznaczonemu 2 złote). O tym, kto został
wylosowany, wie tylko wylosowany (pozostali wiedzą, że nie zostali).
Poza tym każdy z graczy wie, co mu się przydarzyło do tej pory (i
nic poza tym), nie ma za to poczucia czasu (jeśli zostanie zapytany
lub poproszony o zadanie pytania, nie wie, na którym etapie się to
przydarzyło, chyba że już wcześniej był niepokojony – wtedy wie, że
to co najmniej 3. (4. w przypadku gracza niewybranego przez naturę)
etap gry.
2. Rozważ modyfikację gry z tabliczką czekolady z wykładu, w której
po każdej „rundzie” (składającej się z ułamania i zjedzenia kawałka
czekolady przez każdego z graczy) odbywa się losowanie, określające,
który z graczy ma rozpocząć następną rundę. Narysuj drzewo tej gry i
znajdź strategie w równowadze Nasha.
3. Zrób to samo dla modyfikacji gry z tabliczką czekolady 2 × 3, w której
wypłatą gracza jest liczba zjedzonych kostek minus koszty, które musiał
ponieść na zakup czekolady. Zakładamy, że za czekoladę płaci ten z
graczy, który zje ostatnią kostkę (czekolada kosztuje 6 jednostek, w
których podawane są wypłaty).
4. Zrób to samo dla następującej gry: Dwaj gracze na przemian piszą
cyfry z przedziału {1, 2, 3}. Jeśli jeden z graczy napisze 3, to drugi
może napisać dowolną cyfrę. Jeśli jeden napisze cyfrę mniejszą od 3, to
drugi musi napisać cyfrę większą. Ponadto żadna z cyfr nie może być
napisana więcej niż dwa razy. Gra kończy się, gdy któryś z graczy nie
może już dopisać kolejnej cyfry (przegraną tego gracza).
5. Rozważ grę pozycyjną dwóch graczy, w której na pierwszym etapie
Gracz 2. wybiera L lub P (pójść w lewo lub pójść w prawo), na drugim
etapie Gracz 1., nie znając wyboru Gracza 2., wybiera L lub P, a
na trzecim etapie Gracz 2. znowu wybiera L lub P, nie znając ani
wyboru przeciwnika, ani swojej wcześniejszej decyzji. Na końcu Gracz
2. wypłaca 1.: 2, jeśli zagrali LLL (to są wybory graczy w kolejności
ich podejmowania), 3, jeśli zagrali LLP, 4, jeśli LPL, 1, jeśli LPP lub
PLL, 5, jeśli PLP, 6, jeśli PPL, i 0, jeśli wybrali PPP. Dla takiej gry:
(a) sprowadź ją do postaci strategicznej i znajdź wszystkie równowagi
Nasha;
(b) pokaż, że używając strategii postępowania nie da się zagrać tej
równowagi.
6. Rozważ modyfikację gry z poprzedniego zadania, w której Gracz 2.
pamięta swoje wcześniejsze posunięcie. Taka gra będzie grą z doskonałą
pamięcią, więc zgodnie z twierdzeniem Kuhna powinna mieć równowagę
w strategiach postępowania. W podobny sposób, jak w poprzednim
zadaniu, spróbuj znaleźć równowagę w tej grze (tym razem niekoniecznie
wszystkie równowagi), a następnie stwierdzić, jakie strategie postępowania
tej równowadze odpowiadają. Czy na postawie tego, w jaki sposób
tutaj uzyskałeś strategie postępowania na bazie strategii mieszanych,
można określić, w jaki sposób się to robi dla dowolnej gry z doskonałą
pamięcią?
7. Znajdź równowagę w strategiach stacjonarnych w grze stochastycznej
z wykładu.
8. Rozważ następującą grę stochastyczną o sumie zerowej: Są trzy stany
gry, a gracze mają do wyboru po dwie akcje. W stanie 1. wypłata gracza
1. jest zdefiniowana przy pomocy macierzy
"
1 0
0 1
#
.
W stanie 2. niezależnie od akcji graczy, dostaje on 0, a w stanie 3,
też niezależnie od akcji 1. Jeśli w 1. stanie gracz 1. wybierze 1. wiersz,
pozostaje w tym stanie. Jeśli wybierze 2. wiersz, to gra przechodzi do
2. stanu, jeśli gracz 2. wybierze 1. kolumnę, a do 3., jeśli wybierze 2.
kolumnę. Jeśli gra przejdzie do stanu 2. lub 3., to pozostaje w tym stanie
na zawsze. Pokaż, że jesłi zastosujemy do tej gry wypłatę ergodyczną,
to nie będzie ona miała równowagi w strategiach stacjonarnych.
Wskazówka: Najpierw pokaż, że optymalną strategią stacjonarną drugiego
gracza w 1. stanie musi być wybór każdej kolumny z prawdopodobieństwem
1
.
2