Badania Operacyjne - Uniwersytet Zielonogórski

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania Operacyjne
Laboratorium
Gry dwuosobowe o sumie zero
1. Rozwiązać dokładnie grę dwuosobową o sumie zero:
Strategie
a1
a2
a3
Gracz A
Gracz B
b2
b3
3
5
3
4
-1
1
b1
1
-2
7
b4
8
5
0
2. Dana jest macierz wypłat dla pewnej gry dwuosobowej o sumie zero:
Strategie
b1
2
4
3
a1
a2
a3
Gracz A
Gracz B
b2
b3
-1
7
α
5
5
9
a) Dla jakich wartości parametru α gra ma rozwiązanie w zbiorze strategii czystych, a dla jakich w
zbiorze strategii mieszanych?
b) Przyjmując dowolną wartość parametru α sprowadzić grę do ZPL i rozwiązać.
3. Zaimplementować algorytm Browna i zastosować go do rozwiązania zadania 1. Zbadać jak wpływa liczba
wykonanych kroków algorytmu na jakość rozwiązania.
4. Gra dwuosobowa o sumie zero jest opisana następującą macierzą zysków gracza A:
A\B
a1
a2
a3
a4
a5
a6
b1
-50
-80
-20
70
-90
-120
b2
-10
-10
50
-60
-10
-40
b3
-10
150
-60
-130
50
-90
b4
0
-60
50
60
-20
-210
b5
10
160
100
-160
-10
-70
b6
-100
-120
30
-40
10
-40
b7
-50
40
70
210
-140
-100
b8
100
-40
-140
30
160
70
a) znaleźć wszystkie strategie zdominowane,
b) rozwiązać grę w sposób dokładny,
c) znaleźć rozwiązanie z użyciem algorytmu Browna.
5. Rozważyć następującą tabelę wypłat z parametrami α ∈ [0, 21 ] oraz β ∈ [− 12 , 0]:
Strategie
Gracz A
b1
Gracz B
b2
b3
a1
α−β
2
2
0
a2
1
-1
2
a3
-2
3
α+β
Znaleźć wartości α i β oraz rozwiązanie gry dla których
1
a) wygrana gracza A będzie maksymalna,
b) przegrana gracza B będzie minimalna.
6. Gracze A i B uczestnicząc w pewnej grze mogą obstawić w każdym posunięciu dowolnie stawki sA i sB
ze zbioru S = {1, 2, 3, 4}. Wygrana gracza A (a strata B) wynosi (sA − sB )2 − 3. Oprócz wyboru stawki,
każdy z graczy może zdecydować niezależnie od drugiego, czy stawkę przeciwnika pozostawić bez zmian
lub podwyższyć albo obniżyć o 1. Znaleźć rozwiązanie gry, gdy decyzja o zmianie stawki przeciwnika
podejmowana jest:
a) bez znajomości stawki jaką obstawił oponent.
b) po wcześniejszym ujawnieniu stawki przeciwnika.
7. W podanej poniżej grze, gracz A nie może stosować żadnej ze swoich strategii rzadziej niż dwa na dziesięć
razy, a gracz B częściej niż pięć na dziesięć razy. Rozwiązać grę.
A\B
a1
a2
a3
b1
5
-3
-2
b2
3
4
3
b3
2
1
6
8. Dwie firmy X i Y produkujące układy scalone konkurują ze sobą oferując ten sam produkt. Obie zastanawiają się nad wdrożeniem drogiej ale efektywnej technologii produkcji. Jeżeli obie zdecydują się na
uruchomienie nowoczesnej linii produkcyjnej, to ich zyski wyniosą odpowiednio 100 i 50 mln $. W przypadku gdy X uruchomi nową linię, a Y nie, to ich zyski wyniosą odpowiednio 150 i 25 mln. Gdy X nie
wdroży nowej technologii, a Y tak, to zarobią 40 i 80 mln. Jeżeli zaś obie firmy nie zdecydują się na
wdrożenia to ich zyski będą odpowiednio 80 mln dla X oraz 60 mln dla Y . Zapisać macierz wypłat dla
tej gry oraz ją rozwiązać.
2