herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets

HERD BEHAVIOR AND
AGGREGATE
FLUCTUATIONS IN
FINANCIAL MARKETS
Rama Cont & Jean-Philipe Bouchaud.
Macroeconomic Dynamics, 4, 2000,170-196
Cambridge University Press
Grupowe zachowania graczy
na rynkach finansowych oraz
skumulowane efekty ich
działań.
Krzysztof Bareja
Plan:
 Rozkład stóp zwrotu inwestycji giełdowych
 Model pojedynczego gracza
 Model komunikacji pomiędzy graczami
 Analiza modelu
Cechy rozkładów stóp zwrotu
 „Grube ogony” – duża wartość kurtoz
 Wartości kurtoz są większe dla „gęstszych” danych
(2 – 50 dla zwrotów dziennych)
 Skończona wariancja
4
  4 3

Propozycje opisu rozkładu stóp zwrotu
 Rozkład normalny
 Rozkłady stabilne
 Wykładniczo-ekspotencjalny:
px  ~
x 
C
x
1 
 x 

exp  
 x0 
Model pojedynczego gracza:
 Czas jest dyskretny
 Gracz może w danej jednostce czasu:
 Kupić jedną akcję (+1)
 Sprzedać jedną akcję (-1)
 Nie handlować (0)
i t   1,0,1
Pi  1  a
Pi  1  a
Pi  0  1  2a
Wpływ zachowań graczy na ceny:
Nadwyżka kupna/sprzedaży:
N
Dt    i t 
i 1
Oddziaływanie na cenę:
x  xt  1  xt  
N
 t 


1
i 1
i
 Inne czynniki „znoszą” wpływ D(t) na cenę
 Zależność jest liniowa tylko dla małych zmian cen
 Do znajomości rozkładu ∆x konieczna jest znajomość
rozkładu [φi]
Czy gracze podejmują decyzje
niezależnie?
 Jeżeli zmienne φi są niezależne...


I mają skończoną wariancję → rozkład
Gaussa
I mają nieskończoną wariancję → rozkład
stabilny
 „Hipoteza, że agenci podejmują decyzje
niezależnie, jest nierealistyczna. Nie
uwzględnia ona istotnego elementu
organizacji rynku: interakcji i komunikacji
pomiędzy graczami”
Grafy losowe:
Liczba graczy: N (N→∞)
i
j
Prawdopodobieństwo połączenia:
pij ≡ p; p = c / N
c – parametr reprezentujący skłonność
graczy do grupowania się
Średnia liczba połączeń jednego
gracza: (N - 1)p
Wα – rozmiar (liczność) grona α
nc – liczba gron
1/(1 - c) – Średnia wielość grona
N(1 – c/2) – Średnia ilość gron
Parametr c
 Reprezentacja skłonności graczy do grupowania się.
 c ~ 1 oznacza, że każdy z graczy będzie tworzył
połączenie średnio z jednym innym graczem, co
pozwala na:


Tworzenie gron o dużej wielkości (łańcuchy)
Utrudnia tworzenie struktur scentralizowanych (gwiazd)
0  1  c  1
Rozkład wielkości gron (N→∞)
0  1  c  1 :
c  1:
A
PW  ~
w  W 5 / 2
 1  c W 
A
PW  ~
exp 

5
/
2
W  W
W
0


1
W
0,1
1
10
100
1000
0,01
0,001
0,0001
1E-05
1E-06
1E-07
1E-08
1E-09
1E-10
c=1
c=0.99
c=0.9
?
Model komunikacji:
 Jeśli pomiędzy graczami jest utworzone połączenie –
gracze podejmują taką samą decyzję. Wszyscy gracze
w jednym gronie podejmują taką samą decyzję
x 
nc
W  t 


1
1
X  W
 Decyzja grona jest podejmowana w ten sam sposób jak dla
pojedynczego gracza. (φi oraz φj są niezależne dla i≠j; i=j => φi = φj)
Model komunikacji cd.
 Istotne są tylko grona, dla których φα ≠ 0.
 Średnia liczba graczy, którzy pozostają aktywni w rozważanym
okresie:
norder  2aN
 Średnia liczba „aktywnych” gron:
2anc  2aN 1  c / 2  norder 1  c / 2
 Rozkład zmiennej ∆x:
k 
j
k j  j
Px  u    Pnc  k   2a  1  2a  f u 
k 1
j 0  j 
N
k
Kurtoza rozkładu
2c  1
 D  
3
2aN 1  c / 2 Ac 1  c 
 Dla parametru c bliskiego 1 wartość kurtoz przyjmuje
duże wartości
 Mniejsza ilość aktywnych graczy (oraz mniejszy
rynek) powoduje większą niestabilność cen
Wykres współczynnika kurtoz w
zależności od parametrów
600
500
400
500-600
300
400-500
300-400
200-300
200
100-200
0-100
100
norder=1000
0,49
0,46
0,43
0,4
0,37
0,34
0,85
0,31
0,28
a
0,25
0,22
0,19
0,16
0,13
0,1
0,07
0,04
0,01
0
0,5
c
Zmiana wielkości kurtoz w czasie
2c  1
 D  
3
norder (t )1  c / 2 Ac 1  c 
 Ilość zleceń zwiększa się wraz ze wzrostem
rozważanego okresu
 Zależność „grubości ogonów” od cen (empiryczna):
 ~ t

 Hipoteza, że norder(∆t)~|∆t|-α nie była badana
doświadczalnie.
Możliwe rozwinięcia modelu
 Na podstawie modelu można utworzyć
przebiegi czasowe cen
 Modyfikacja struktury grafu z czasie.
 Dokładniejsze odwzorowanie struktury rynku
 Umożliwienie „krytycznej samoorganizacji”
rynku – modyfikacja parametru c w czasie.
Przykładowa symulacja
500
N=4000
C=0.9
a=0.25
400
300
200
K(D)=2,45
100
K=1,49
0
1
-100
-200
-300
-400
51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 901 951
A(c)=?
Dziękuję za uwagę 