Mathcad - pm_motor_moc_wewnętrzna

dr inż. Michał Michna
pm_motor_moc_wewnętrzna.xmcd
PRZETWORNIKI
ELEKTROMECHANICZNE
dr inż. Michał Michna [email protected]
2010-03-21
1. Moc wewnętrzna pozorna maszyny elektrycznej
Wymiary główne maszyny zależą do powierzchni przekroju przewodu oraz od głównego
strumienia magnetycznego. Przy doborze wymiarów głównych należy wziąść pod uwagę moc
pozorną wewnętrzną maszyny.
Wyprowadzenie zależności na moc wewnętrzną maszyny przedstawiono poniżej.
1.1 Rozkład pola magnetycznego w szczelnie roboczej
Pzyjęto sinusoidlany rozkład pola magnetycznego w szczelnie opisany jako:
x
B( x, t) := Bm⋅ sin  ⋅ π + ω⋅ t
 τs

Strumień jednego bieguna:
τ
2⋅ Bm⋅ le⋅ τs ⋅ cos ( ω⋅ t)
⌠ s
Φ( t) := le⋅  B( x, t) dx →
⌡
π
0
gdzie:
le -efektywna długość pakietu stojana/wirnika
τs :=
π Ds
- podziałka biegunowa
2p
Ds - średnica wewnętrzna stojana,
p - liczba par biegunów
Wprowadzono współczynnik kształtu pola:
Bav
kB =
Bm
2
dla rozkładu sinusoidalnego kB =
π
Wykorzystując współcznnik kształtu można określić wartość maskymalną strumienia:
Φm := kB⋅ Bm⋅ le⋅ τs
Ostatecznie zmaiana strumienia w czasie może być wyrażona wzorem:
Φ( t) := Φ m⋅ cos ( ω⋅ t)
1.2 Napięcie indukowane
Napięcia indukowanego w cewce przy założeniu sinusoidlanego rozkładu pola w szczelnie i
sinusoidalnego rozkładu uzwojeń.
d
e( t) := −N ⋅ Φ( t)
dt
1/4
2012-10-18
dr inż. Michał Michna
pm_motor_moc_wewnętrzna.xmcd
e( t) → Bm⋅ N⋅ ω⋅ kB⋅ le⋅ τs⋅ sin( ω⋅ t)
amplituda napięcia:
Um := N⋅ ω⋅ Φm
przyjmując, że pulasację wyraża wzór:
ω := 2π f
wartość skuteczna napięcia indukowanego:
Um
2 ⋅ Bm⋅ N⋅ ω⋅ kB⋅ le⋅ τs
Urms :=
→
2
2
1
Urms :=
⋅ kB ⋅ Bm⋅ N⋅ ω⋅ le⋅ τs
2
Urms :=
2π
(
)
(
)
⋅ kB ⋅ Bm⋅ N⋅ f ⋅ le⋅ τs
2
współczynnik kształtu napięcia wyraża zależność pomiędzy wartością skuteczną i średnią:
Urms
kU =
Uav
dla napięcia sinusoidalnego
π
kU =
2⋅ 2
czyli wartość skuteczna napięcia indukowanego to
Urms := 4⋅ kU⋅ kB⋅ Bm⋅ N⋅ f ⋅ le⋅ τs
w przypadku, gdy uzwojenie nie jest rozłożone sinusoidalnie, należy uzwględnić współczynnik
uzowjenia kws, ostatecznie napięcie indukowane będzie wyrażone zależnością:
Urms := 4⋅ kws⋅ kU⋅ kB⋅ Bm⋅ Ns⋅ f ⋅ le⋅ τs
1.3 Gęstość liniowa prądu (okład prądowy)
As =
ms⋅ 2 ⋅ Ns⋅ Irms
π⋅ Ds
1.4 Moc pozorna wewnętrzna maszyny
Si := ms⋅ Urms ⋅ Irms.
π⋅ Ds
1
Si := ms⋅ 4 ⋅ kws⋅ kU⋅ kB⋅ B m⋅ Ns⋅ f ⋅ le⋅ τs ⋅ As⋅
⋅
→ 2⋅ π⋅ As⋅ Bm⋅ Ds⋅ f ⋅ kB ⋅ kU⋅ kws⋅ le⋅ τs
2 ms⋅ Ns
(
)
π⋅ Ds
ω
Si := 2 ⋅ π⋅ As⋅ Bm⋅ Ds⋅
⋅ kB ⋅ kU⋅ kws⋅ le⋅
2π
2p
ostatecznie moc pozorna wewnętrzna maszyny wyrażona jest wzorem:
π
ω
2
Si := ⋅ kB⋅ kU⋅ kws⋅ As⋅ Bm ⋅  Ds ⋅ le ⋅


2
p
(
)
2. Stała maszynowa
Jużw początkowych latach rozwoju metod projektowania maszyn elektrycznych starano się
znaleźć ogólną formułę, związek analityczny, pomiędzy mocą wyjściową maszyny, a jej
wymiarami [Dąbrowski]
P=f(D,l,n)
gdzie: P- P –postulowana moc; D –średnica rdzenia wirnika; l –długośćrdzenia wirnika;
2/4
2012-10-18
dr inż. Michał Michna
pm_motor_moc_wewnętrzna.xmcd
gdzie: P- P –postulowana moc; D –średnica rdzenia wirnika; l –długośćrdzenia wirnika;
n –prędkośćobrotowa.
W ten sposób okreslonon
2.1 Stała Arnolda
Stała maszynowa wyraża stosunek objętości maszyny do momentu.
Moment elektromagnetyczny (elektromagnetyczny wewnętrzny moment obrotowy)
Si
T :=
ωm
ω
gdzie: prędkość mechaniczna ωm :=
p
Stała maszynowa Arnolda:
2
CA :=
Ds ⋅ le
Si⋅ p
2
→
π⋅ As⋅ Bm⋅ kB⋅ kU⋅ kws
ω
CA :=
2
π⋅ As⋅ Bm⋅ kB ⋅ kU⋅ kws
Stała CA ma wartość w przybliżeniu stałą dla zbioru geometrycznie podobnych maszyn tego
samego rodzaju, o takiej samej indukcji maksymalnej w szczelnie oraz takim samym
prądowym obciążeniu liniowym powierzchni twornika. Jej wartość daje pogląd na objętość
materiałów czynnych maszyny przypadających na jednostkę elektromagnetycznego momentu
obrotowego.
Wykorzystując stałą Arnolda można wyrazić moc wewnętrzną maszyny:
 D 2⋅ l  ⋅ ω
 s e m
Si :=
C
A
2.2 Współczynnik wyzyskania maszyny
Obwodowa sila dzialajaca na jednostke przyszczelinowej powiedzchni twornika
Ds
2 ⋅ Si
2⋅ T
moment T =
⋅ F czyli F =
=
2
Ds
ωm⋅ Ds
powierzchnia Sδ = π⋅ Ds⋅ le
2⋅ S i
σ=
F
Sδ
=
ωm⋅ Ds
( π⋅ Ds⋅ le)
2⋅ Si
=
π⋅
ω
p
π
ω
2
2 ⋅  ⋅ kB⋅ kU⋅ kws⋅ As⋅ B m ⋅  Ds ⋅ le ⋅ 


2
p

(
σ=
2
⋅ Ds ⋅ le
π⋅
ω
)
2
⋅D ⋅l
p s e
σ = As⋅ Bm⋅ kB⋅ kU⋅ kws
wykorzystując wsp. wyzyskania maszyny można określić moc wewnętrzną maszyny
π
2
Si = ⋅ σ⋅  Ds ⋅ le ⋅ ωm


2
3/4
2012-10-18
dr inż. Michał Michna
pm_motor_moc_wewnętrzna.xmcd
3. Podsumowanie
Zauważmy, że objętośćmaszyny wyrażona iloczynem
Si
(As⋅ Bm)⋅ ωm
 D 2⋅ l  jest proporcjonalna do
 s e
. Zmniejszenie objętości maszyny jest możliwe zwiększając maksymalną wartość
indukcji w szczelnie, zwiększając gęstość liniową prąd twornika lub zwiększając częstotliwość
4/4
2012-10-18