Matura 2016 PR - zestaw III

KOMBINATORYKA - poziom rozszerzony
1. Ile można utworzyć różnych liczb dziesięciocyfrowych w których występuje dokładnie: jeden raz cyfra
0, dwa razy cyfra 3, trzy razy cyfra 7 oraz 4 razy cyfra 9.
2. Wykorzystaj poniższą zasadę włączeń i wyłączeń do rozwiązania zadań.
Liczbę elementów zbioru, który jest sumą danych zbiorów A, B, C, można obliczyć ze wzoru:
a) Ile jest liczb trzycyfrowych, które nie są podzielne przez żadną z liczb: 2, 3, 4, 5, 6?
b) W klasie IVg jest wielu melomanów: 19 uczniów słucha hip-hopu, 9 jazzu, 18 rocka. Spośród nich 4
słucha hip-hopu i rocka, 5 hip-hopu i jazzu, 3 rocka i jazzu, natomiast tylko jeden uczeń słucha
wszystkich trzech rodzajów muzyki. Wiedząc, że klasa IVg liczy 37 uczniów, określ, ilu z nich nie
słucha żadnego z wymienionych rodzajów muzyki.
3. Ile jest różnych funkcji ze zbioru {1,2,3,4} w zbiór {5,6,7,8,9,10}, które są:
a) różnowartościowe;
b)rosnące,
c) parzyste?
4. Na ile sposobów można podzielić przekątnymi sześciokąt wypukły na trójkąty tak, aby żadne dwie
przekątne się nie przecinały?
5. W szafie znajduje się 12 par butów. Na ile sposobów można wyciągnąć z szafy 5 butów tak, aby była
wśród nich przynajmniej jedna para?
6. Do hotelu przybyła grupa 15 gości. Na ile sposobów można ich rozmieścić w pokojach:
czteroosobowym, dwóch trzyosobowych, czterech dwuosobowych i trzech jednoosobowych, przy
założeniu, że łóżka są numerowane?
7. Z 35-osobowej klasy chcemy wybrać pięcioosobową delegację z przewodniczącym i dwoma
wiceprzewodniczącymi. Na ile sposobów możemy to zrobić?
8. Na ile sposobów można rozmieścić 10 ponumerowanych kul w ośmiu szufladach:
a) bez żadnych dodatkowych założeń,
b) tak, aby w każdej szufladzie znalazła się przynajmniej jedna kula?
9. Zamek cyfrowy w pewnym sejfie jest otwierany po wprowadzeniu kodu składającego się z czterech
cyfr wybieranych ze zbioru {1,2,3,4,5} i następujących po nich dwóch liter wybieranych ze zbioru
{A, E, I, O, U, Y}. Czy włamywaczowi, który chce otworzyć sejf, wystarczą dwa dni weekendu, aby
sprawdzić wszystkie możliwe kody, jeżeli wpisanie jednej kombinacji cyfr i liter trwa około 3 sekund?
10. Klasa IIIc, licząca 26 osób, pojechała wraz z wychowawcą na wycieczkę do chatki studenckiej na
Potrójnej w Beskidzie Małym. W chatce znajdują się trzy pokoje: czteroosobowy, pięcioosobowy
i osiemnastoosobowy.
a) Na ile sposobów można rozmieścić całą grupę w pokojach, jeżeli miejsca noclegowe nie są
numerowane?
b) Na ile sposobów można rozmieścić grupę, jeżeli wychowawca będzie nocował w pokoju
czteroosobowym i miejsca noclegowe nie są numerowane?
c) Na ile sposobów można rozmieścić grupę, jeżeli łóżka są numerowane?
d) Po przyjeździe okazało się, że jeden z uczniów musi wrócić do domu. Na ile sposobów można teraz
rozmieścić całą grupę przy założeniach umieszczonych w podpunktach a), b) i c)?
PRAWDOPODOBIEŃSTWO - poziom rozszerzony
1. W magazynie są elementy wyprodukowane w fabryce nr 1 i w fabryce nr 2. Elementy są
poklasyfikowane jako dobre albo jako wadliwe. Bierzemy z magazynu losowo jeden element.
Oznaczmy zdarzenia: A – wylosowanie elementu dobrego; B – wylosowanie elementu
wyprodukowanego w fabryce nr 1. Liczby elementów odpowiadające poszczególnym zdarzeniom
podane są w poniższej tabeli:
A
A
Suma
B
180
20
200
B
90
10
100
Oblicz P(A|B).
2. Pierwszy koszykarz trafia piłką do kosza z prawdopodobieństwem 0,6, a drugi z
prawdopodobieństwem 0,8. Obaj wykonali po jednym rzucie piłką do kosza. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że:
a) obaj koszykarze trafili do kosza;
b) co najmniej jeden koszykarz trafił do kosza;
c) tylko jeden koszykarz trafił do kosza.
3. Zamek cyfrowy w pewnym sejfie jest otwierany po wprowadzeniu kodu składającego się z czterech
cyfr wybieranych ze zbioru {1,2,3,4,5} i następujących po nich dwóch liter wybieranych ze zbioru
{A, E, I, O, U, Y}. Czy włamywaczowi, który chce otworzyć sejf, wystarczą dwa dni weekendu, aby
sprawdzić wszystkie możliwe kody, jeżeli wpisanie jednej kombinacji cyfr i liter trwa około 3 sekund?
4. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.
5. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
iloczynu oczek równego 12 jeśli za pierwszym razem wyrzucono 2 oczka.
6. Rysunek przedstawia plan tras turystycznych. Turysta wychodzi z punktu A.
Prawdopodobieństwo, że na napotkanym skrzyżowaniu pójdzie prosto (N), jest 2 razy większe od
prawdopodobieństwa, że skręci w ustalonym kierunku.
Jeśli na danym skrzyżowaniu można skręcić w prawo (P) lub w lewo (L), to skręt ten można wykonać
z takim samym prawdopodobieństwem.
Jeśli turysta wyjdzie poza teren przedstawiony na planie, to już na pewno nie wróci. Obliczmy
prawdopodobieństwo, że turysta dojdzie do punktu B.
7. Trzej strzelcy A, B i C strzelają jednocześnie do tej samej tarczy Strzelec A trafia z
prawdopodobieństwem 0,75, strzelec B - p, a strzelec C—p Dla jakich wartości parametru p
prawdopodobieństwo jednoczesnego nią w tarczę przez wszystkich strzelców jest większe od 0,36?
8. W sklepie są odbiorniki radiowe i telewizyjne - łącznie 60 sztuk. Niektóre z nich są produkcji polskiej.
W doświadczeniu polegającym na losowaniu jednego odbiornika prawdopodobieństwo wylosowania
telewizora wynosi 0.5 odbiornika produkcji polskiej 0,6; telewizora lub odbiornika produkcji polskiej
0,7. Ile jest w tym sklepie telewizorów produkcji polskiej?
STEREOMETRIA - poziom rozszerzony
I.
Ostrosłupy, graniastosłupy prawidłowe
1. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mając długość krawędzi podstawy równą a
oraz miarę 2α kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi.
2. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole podstawy wynosi 49 3 cm2, a przekątna ściany
bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt o mierze 45. Oblicz objętość graniastosłupa.
3. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, którego krawędź podstawy wynosi a, połączono
środek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej podstawy. Odcinek ten tworzy ze ścianą boczną
graniastosłupa kąt o mierze α. Oblicz objętość graniastosłupa. Dla jakich α zadania ma rozwiązanie?
II.
Ostrosłupy nieprawidłowe
1. W ostrosłupie prostym podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 8 cm i 15 cm.
Wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem miary 60. Oblicz pole
powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
2. Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości a. Wszystkie
krawędzie boczne ostrosłupa mają długość b. Wyznacz objętość ostrosłupa.
3. Podstawą ostrosłupa ABCW jest trójkąt równoramienny ABC, w którym kąt ostry między ramionami
AB i AC ma miarę α. Ściana boczna BCW jest przystająca do trójkąta ABC i prostopadła do

płaszczyzny podstawy. Wykaż, że krawędź BW tworzy z krawędzią AB kąt β taki, że cos β = sin 2 .
2
4. Podstawą ostrosłupa jest romb o przekątnych 2 i 4. Wysokość ostrosłupa wynosi 3, a jej spodkiem jest
środek symetrii podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
5. W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest
prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz
objętość tego ostrosłupa.(matura 2013)
III.
Bryły obrotowe
1. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kołowym, którego kąt środkowy ma miarę 150º. Wiedząc,
że tworząca stożka ma długość 24 cm, oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.
2. Dany jest trójkąt ABC, w którym ACB  120 0 , AB  31, AC  1 . Trójkąt ten obrócono wokół
prostej zawierającej najkrótszy bok. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
3. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy
Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
2
.
3
IV.
Przekroje
1. Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i
przeciwległy wierzchołek górnej podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole
otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.
2. Sześcian o krawędzi a = 3 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i
nachyloną do podstawy pod kątem α. Pole otrzymanego przekroju jest równe 6 3 . Wyznacz kąt α.
3. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana boczna jest
nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2α . Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną,
która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą.
Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa. (matura 2015 – stara formuła)
V.
Bryła wpisana w bryłę
1. Oblicz pole kuli opisanej na ośmiościanie foremnym o krawędzi długości 5. Zakoduj pierwszą, trzecia i
piątą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
2. W walec o promieniu podstawy długości 5 3 cm wpisano stożek w ten sposób, że podstawa stożka
jest podstawą walca, a wierzchołek stożka jest środkiem drugiej podstawy walca. Powierzchnie boczne
stożka i walca są równe. Oblicz
a) miarę kąta rozwarcia stożka;
b) objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
3. W kulę o promieniu 9 wpisano stożek o kącie rozwarcia 90º. Oblicz pole powierzchni całkowitej
stożka.
1
.
3
Oblicz długość krawędzi sześcianu wpisanego w ten stożek, w taki sposób, że cztery jego wierzchołki
należą do podstawy, a pozostałe do pobocznicy stożka.
4. Promień podstawy stożka jest równy 3, a cosinus kąta nachylenia tworzącej do podstawy wynosi
VI.
Zadania optymalizacyjne w stereometrii
1. Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu
opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa 12. Wyznacz promień
okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.
2. Dany jest stożek o wysokości 6 i promieniu podstawy 3. W stożek ten wpisano ostrosłup prawidłowy
trójkątny w ten sposób, że wysokość ostrosłupa jest zawarta w wysokości stożka, wierzchołek
ostrosłupa jest środkiem podstawy stożka, a wierzchołki podstawy ostrosłupa należą do powierzchni
bocznej stożka. Oblicz największą możliwą objętość takiego ostrosłupa.
3. Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz
wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego
stożka (matura 2015)
4. Puszka ma kształt walca o objętości π dm³. Wyznacz promień podstawy i wysokość walca, aby pole
powierzchni całkowitej puszki było najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. (próbna matura z
operonem 2015.
LOGARYTMY - poziom rozszerzony
1. Oblicz 𝑙𝑜𝑔6 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔6 18 + 𝑙𝑜𝑔62 3
𝑙𝑜𝑔 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝑥
2. Sprawdź tożsamość 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥−𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 .
𝑏
𝑏
𝑎
3. Wykaż, że jeśli 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 1, to 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 ≥ 4𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑐.
21
4. Wykaż, że jeśli 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔2 10 + 𝑙𝑜𝑔4 10 + 𝑙𝑜𝑔16 10 , to 𝑎 ∈ ( 4 , 7).
5. Oblicz wartość wyrażenia log tg 1 + log tg 2 + log tg 3 +.......+ log tg 88 + log tg 89 bez użycia
tablic i kalkulatora.
6. Uporządkuj rosnąco liczby:
a) 𝑙𝑜𝑔2 16√8, 𝑙𝑜𝑔0,5 8, 𝑙𝑜𝑔√2 2
b) 𝑙𝑜𝑔√2 27 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 16, 𝑙𝑜𝑔36 ∙ 𝑙𝑜𝑔√6
c) 36log6 5−0,25 ,
1
25−3 log2 27 ,
1
10
, 102+𝑙𝑜𝑔3
1
1
√25log3 5 + 49log4 7
7. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
a)
b)
f ( x)  2  log( x 2  x  2)
f ( x) 
log( 9  x 2 )
2x 1
8. Wykazać, że jeżeli każda z trójek liczb: log a, log b, log c oraz
log a  log 2b, log 2b  log 3c, log 3c  log a tworzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to liczby
a, b, c mogą być długościami boków trójkąta. Wyznaczyć kąty tego trójkąta.
9. Wykaż, że
 log 2016! n 
nN  1
1
1
1
1

 ... 
log 2 n log 3 n
log 2016 n
.