Symetrie w fizyce III fizyka kwantowa

SYMETRIE W FIZYCE
N7Wersja III SYMETRIE – FIZYKA KWANTOWA
III.1 - PODSTAWOWE ELEMENTY FIZYKI KWANTOWEJ
Ponieważ mamy badać symetrie na poziomie najbardziej elementarnych procesów musimy
sięgnąć do mechaniki kwantowej, mechaniki kwantowej opisującej elementarne procesy
przyrody. W jaki sposób określamy przepis określający transformacje w przypadku mechaniki
kwantowej. Rozpatrzmy wpierw przypadek nierelatywistyczny.
III.1.1 Równanie Schrödingera
Podstawowym równaniem nierelatywistycznym mechaniki kwantowej jest równanie
Schrödingera:
Hψα=Eαψα
(III.1)
gdzie Ψα jest funkcją własną opisującą układ w stanie α o energii Eα. Operator Hamiltona
całkowitej energii H=T+V, gdzie T to operator energii kinetycznej cząstek a V to potencjał
oddziaływania, potencjał opisujący odpowiedne oddziaływania.
Dla przypomnienia operator energii - operator Hamiltona H w przypadku

p2
nierelatywistycznym konstruujemy następująco: w wyrażeniu H  T  V 
V  E ,
2m
gdzie E jest energią całkowitą układu, T energią kinetyczną a V energią potencjalną. Zamiast

pędu p i energii E wprowadzamy odpowiadające im operatory
p x  i




, p y   i , p z  i , E  i
x
y
z
t
(III.2)
Równanie Schrödingera przyjmuje wtedy postać:
 2

 m
 2
2
2
 2  2  2
y
z
 x



  V x, y, z , x, y, z, t   i   x, y, z , t 
t


(III.3)
1



H x , t   i  x , t 
t

H x   E x 
Jest to równanie Schrödingera zależne od czasu:
Niezależne od czasu równanie Schrödingera przyjmuje postać
Rozwiązaniem są odpowiednie funkcje falowe ψα opisujące układ znajdujący się w stanie Eα.
III.1.2 Wartość oczekiwana - obserwabla
Aby wyznaczyć wartość oczekiwaną f jakiejś wielkości fizycznej układu znajdującego
się w stanie kwantowym α, musimy znać odpowiadający jej operator F. Wartość oczekiwana,
gdy układ znajduje się w stanie ψα określona jest następująco:
f  F   d 4 x  F 
(III.4)
Aby wartość oczekiwana nie zmieniała się w czasie, czyli była zachowana dla
dowolnego stanu α musi być spełniony następujący warunek
d
d
f 
F  0.
dt
dt
Załóżmy, że operator F jest niezależny od czasu. Wykonując różniczkowanie otrzymujemy:
d
d
d
f   F 
dt
dt
dt
 dx 
4


F   dx 4
d 
d
F   dx 4  F

dt
dt
i
i

 i

 i
  dx 4  H   F   dx 4  F   H    dx 4   HF   dx 4  F    H



 

 
ponieważ równanie Schrödingera na funkcję falową i jej sprzężoną (H jest rzeczywistehermitowskie) przyjmuje postać:
i
d
d 

 H ,.....  i
 H     H     H
dt
dt
Wobec tego mamy:


d
d
i
f 
 F   dx 4   HF  FH   0  HF  FH  0
dt
dt

czyli operator F odpowiadający obserwabli f komutuje z operatorem Hamiltona H
[H,F] = 0 HF-FH=0.
(III.5)
Z wyrażenia (III.5) wynika zasady zachowania, że
obserwabla f jest zachowana.
Okazuje się, że obserwable f są wartościami własnymi swojego operatora F. Mianowicie
jeżeli operatory H i F komutują z sobą to funkcja falowa ψ jest równocześnie stanem
własnym operatora H i F czyli spełnia równania :
Hψ=Eψ oraz Fψ=fψ
(III.6)
2
Znaczy to, że jeżeli energia układu wynosi E to wartość własna operatora F opisuje wartość
obserwabli f w stanie energetycznym E układu..
III.3 Operatory transformacji
W fizyce klasycznej badając symetrię wprowadza się odpowiedni przepis określający
transformację. W mechanice kwantowej operatory transformacji T mają postać
ˆ
Tˆ  e iF
(III.7)
przy czym ε jest parametrem rzeczywistym związany z obrotami a F jest operatorem
odpowiedniej obserwabli, zwanym generatorem transformacji. W wyniku działania
operatora T funkcja falowa ψ przechodzi w funkcję falową ψ’ czyli ψ’=Tψ.
W mechanice kwantowej operatory T nie mogą zmieniać prawdopodobieństwa
znalezienia cząstki. Operatory takie nazywamy operatorami unitarnymi U. Oznacza to, że
operatory U transformujące funkcję falową ψ(x,t) na funkcję falową
ψ’(x,t) = Uψ(x,t)
nie mogą zmieniać prawdopodobieństwo znalezienia cząstki, czyli:
 dx     dx  '  '   dx U  U   dx 
3

3

3

3
U U  U U  1

Wobec tego operatory unitarne U muszą spełniać warunek:
U+U = UU+ = 1
(III.8)
Operatory U często są macierzami. Dla przykładu rozpatrzmy funkcję falową elektronu.
Funkcja falowa elektronu uwzględniając jego spin jest dwuskładnikowa. Rzut spinu na
 a  12 
 , przy czym
wyróżniony kierunek przyjmuje wartości ms= +1/2 lub –1/2 czyli  e  

b

1

2 

a2 i b2 określają prawdopodobieństwa zmierzenia rzutu spinu na wyróżniony kierunek +1/2
 ' 1  a '  12 
  U N .
względnie –1/2. W wyniku transformacji, obrotu przestrzeni  e'   ' 2
  1  b'  1 
2
2 

Operatorem unitarnym U jest w tym przypadku macierz obrotów w przestrzeni spinu.
A zatem warunek (III.10) mówi, że macierz U+ jest macierzą hermitowsko sprzężoną
z macierzą U przy czym macierz 1 jest macierzą jednostkową. Operator unitarny U musi
posiadać operator odwrotny U-1 (transformacja odwrotna), czyli muszą zachodzić warunki
U U  1...oraz....U   U 1
(III.9)
3
Ponieważ operator U zależy od generatora F, to z unitarności macierzy transformacji U
czyli z warunku U U  UU   1 , w konsekwencji

U U  1  e iF e iF  e i F  F  czyli
F = F+.
(III.10)
Warunek ten musi spełniać operator F gdyż obserwabla f musi być liczbą rzeczywistą.
Jeżeli operator U ma gwarantować symetryczność to oznacza to, że obydwie
funkcje falowe ψ a także ψ’ = Uψ muszą spełniać to samo równanie Schrödingera, czyli:.
i
d
d
d
  H ...oraz...i  '  H ' i U   H U 
dt
dt
dt
Ponieważ istnieje operatory H i U nie zależą od czasu t oraz ponieważ istnieje operator
odwrotny do U mamy:
d
d
  U 1 HU ,..czyli ...i   U 1 HU  H  H  U 1 HU  UH  UU 1 HU
dt
dt
czyli UH=HU. Wobec tego
iU 1U
symetria jest zachowana jeżeli operator U komutuje z hamiltonianem H,
czyli
[H,U] = 0
(III.11)
Transformacja infinitezymalna
Działanie operatora U na funkcję falową Ψ można rozwinąć w szereg:
ψ’ = Uψ = eiεFψ = (1 + iεF + (iεF)2/2 + ...)ψ
Dla małych, infinitezymalnych transformacji  stosujemy przybliżenie:
U = eiεF  U = 1 + iεF, gdy εF<<1
(III.12)
Operatorem infinitezymalnym będziemy nazywać operator U=1+iεF
Co możemy powiedzieć o operatorze infinitezymalnym. Jest on w niedużym stopniu
różny od identyczności. Czy z tej racji operator infinitezymalny będzie komutował z
Hamiltonianem H. Jeżeli ε jest bardzo małe to mamy:
HF-FHH(1 + iεF) – (1 +iεF)H = (H+HiεF) – (H+iεFH) = HF-FH=0
Oznacza to, że generator transformacji infinitezymalnej komutuje z Hamiltonianem
[H,F] = 0
(III.13)
W przypadku transformacji infinitezymalnej operator U= ( 1  iFˆ ) jest bardzo dobrym
przybliżeniem i prowadzi do odpowiedniej komutacji.
4
III.3 Przykład - translacja – zasada zachowania pędu
. Pokazaliśmy, że rozważania nad translacją przestrzenną nie obejmujące mechaniki kwantowej prowadzą do zasady zachowania
pędu. Rozważmy przypadek translacyjnej transformacji na gruncie mechaniki kwantowej. Dla prostoty dokonajmy transformacji
infinitezymalnej. Mamy jedną cząstkę poruszającą się wzdłuż osi x (przypadek jednowymiarowy). Opiszmy jej zachowanie w dwu układach
współrzędnych X i X’ przesuniętych względem siebie o Δ.. Niechaj funkcja falowa opisująca cząstkę w punkcie x układu X wynosi ψ(x) a w
układzie X’ ψ’(x’) przy czym x’=x+Δ. Mamy ψ’(x’)=U(∆)ψ(x), gdzie U jest operatorem unitarnym infinitezymalnym.
Odpowiednie funkcje falowe wyrażone spełniają warunek
 x    ' x'   ' x    ,.
Rozwijając funkcję falową ψ(x)
otrzymujemy
 ( x)   ' ( x) 
Mnożąc wyrażenie (III.16) z lewej strony przez ( 1 
ψ’(x).=( 1 

d
dx
p x  i
d
dx
) i zaniedbując człony z
(III.16)
2 otrzymujemy
)ψ(x).
U(∆)=( 1 
Wobec tego operator unitarny
Pamiętając, że

d ' ( x)
d 

  1    ' ( x) .
dx
dx 


x

d
dx
)=(1+i∆F).
otrzymujemy, że generator translacji
iF  
d
d
1
F i
  px .
dx
dx

Wobec tego
generator transformacji jest operatorem pędu. Założyliśmy, że funkcja falowa cząstki w dwu układach jest taka sama przy odpowiedniej
translacji układu współrzędnych. Stwierdzamy, że spełniona jest odpowiednia symetria. Ponieważ generator transformacji jest operatorem
pędu wobec tego zachowany jest pęd także wtedy, gdy opis bazuje na mechanice kwantowej.
Możemy powiedzieć, że także mechanika kwantowa prowadzi do zasady zachowania pędu. Translacja w przestrzeni prowadzi
do zasady zachowania pędu niezależnie, czy będziemy rozpatrywać translację na gruncie mechaniki klasycznej czy na gruncie mechaniki
kwantowej. Podobnie można pokazać, że zasady zachowania krętu, energii, masy całkowitej zachowane są na gruncie fizyki klasycznej jak i
kwantowej, czyli dla makroskopowego świata jak i dla mikroświata.
[operator A hermitowski gdy A+ = A; unitarny, gdy A+ = A-1 lub A+A = 1
.A 

ik
 . Aki
]
5