ELEKTRYCZNOŚĆ

ELEKTRYCZNOŚĆ
• Pole elektryczne
• Linie sił pola elektrycznego
• Prawo Gaussa
• Dipol elektryczny
• Pole elektryczne w dielektrykach
• Prawo Gaussa w dielektrykach
• Polaryzacja elektryczna
• Potencjał pola elektrycznego
• Bezwirowość pola elektrycznego
• RóŜniczkowa postać prawa Gaussa
• Operator
• Równania Poissona i Laplace’a
• Przewodnik w polu elektrycznym
• Kondensatory
• Gęstość energii pola elektrycznego
• Prąd elektryczny
POLE ELEKTRYCZNE
Zasada zachowania ładunku. Istnieją dwa rodzaje ładunków elektrycznych,
dodatnie i ujemne. Elektryzowanie ciał prowadzi do zmiany podziału ładunku
między elektryzowane ciała, bez zmiany jego wartości. ∑ qi = const
i
Prawo Coulomba
q1
q2
r
r
F=
r
q1q2 r
, 4πε 0 ≈ 0.111 ⋅10 −9 C Nm 2
2
4πε 0 r r
1
Elektryzowanie przez indukcję
E
+
+
+
-
+
+
+
-
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
NatęŜenie pola elektrycznego
q F
Q
r
r r r F
E = E (r ) ≡ = [E x ( x, y, z , ), K , E z ( x, y, z , )]
q
r
r
1 Q r
Dla ładunku Q punktowego E =
4πε 0 r 2 r
Gęstość powierzchniowa ładunku
Q
+++++
σ
=
+
+
S
+
+
+
Q+
+
+
+
+
++ + + + +
S
Wektor indukcji
elektrycznej
r
D ≡σ
LINIE SIŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
Gęstość linii w danym punkcie jest proporcjonalna do natęŜenia pola elektrycznego E
Ε
PRAWO GAUSSA
Di
Strumień wektora D
r
r
∆Φ D ,i ≡ Di ⋅ ∆Si →
r r
→ dΦ D ≡ D ⋅ dS = DdS cos α = Dn dS
r r
Φ D ≡ lim
r
∑ ∆Φ D,i = ∫ dΦ D = ∫ D ⋅ dS
∆S i → 0
i
S
∆Si
S
S
Prawo Gaussa
∫ σdS = Q ⇒
S
σ =D
r r
∫ DdS → ∫ D ⋅ dS = Q
S
S
r r
⇒ ∫ D ⋅ dS =
S
∑Q
wewn S
Gęstość objętościowa ładunku
∆Qi = ρ i ∆Vi → dQ = ρdV
ρi
Q = lim
∆Vi
V
∆Vi →0
∑ ρ ∆V ≡ ∫∫∫ ρdV = ∫∫∫ ρ (x, y, z )dxdydz
i
i
i
V
V
r r
⇒ ∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV
S
V
Prawo Gaussa dla próŜni
r
r
r r
r r
D = ε 0 E ⇒ ∫ D ⋅ dS = ε 0 ∫ E ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV
S
S
V
JeŜeli w kaŜdym punkcie powierzchni całkowania wektor D jest prostopadły do
powierzchni i ma stałą wartość na całej powierzchni, to
r r
∫ D ⋅ dS = ∫ DdS = D ∫ dS = DS = Q =∫∫∫ ρdV
S
S
S
V
Przykład: pole ładunku punktowego
D
r
q
DS = D 4πr 2 = q
1 q
D=
4π r 2
1
q
D = ε0E ⇒ E =
4πε 0 r 2
(prawo Coulomba)
-q
+q
l
r+
r-
DIPOL ELEKTRYCZNY
q
q
q r−2 − r+2
=
−
=
E=
2 2
2
2
E
4πε 0 r+ 4πε 0 r− 4πε 0 r− r+
=
r
r
p = ql
Moment dipolowy
q
(r− − r+ )(r− + r+ )
4πε 0
r−2 r+2
l << r+ ⇒ r− − r+ = l , r− ≈ r+ ≡ r ⇒ E =
p
2πε 0 r 3
Energia dipola w polu zewnętrznym
Moment sił działających na dipol w zewnętrznym
jednorodnym polu elektrycznym E
E
+q
α
l
F
-q
F
r r r
M = Eql sin α ⇒ M = p × E
Praca obrotu dipola wykonana przez pole E
dW = Mdα = EP sin αdα
r r
W = Ep ∫ sin αdα = − pE cos α = − p ⋅ E
Praca obrotu dipola wykonana przez pole E jest miarą energii potencjalnej
r r
V = − p ⋅ E α = π ⇒ V → max, α = 0 ⇒ V → min = − pE
POLE ELEKTRYCZNE W DIELEKTRYKACH
Dielektryki. Substancje, w których po umieszczeniu w zewnętrznym polu
elektrycznym indukuje się ładunek na skutek zmiany wewnętrznego momentu
dipolowego.
Dielektryki niepolarne
E
+
Dielektryki polarne
p
E
E’
E’
_
Ustawienie istniejących w
dielektryku momentów dipolowych
Separacja ładunku wewnątrz
cząsteczek zgodnie z kierunkiem
cząsteczek (mikroskopowa)
zewnętrznego pola
W obu przypadkach wytwarza się pole E’, zwrócone przeciwnie do pola
zewnętrznego, tak Ŝe efektywne pole wewnątrz dielektryka jest mniejsze niŜ w próŜni
PRAWO GAUSSA W DIELEKTRYKACH
qsw – ładunek swobodny wewnątrz pow. S
q’ – ładunek związany wewnątrz pow. S
Z prawa Gaussa natęŜenie pola wewnątrz
dielektryka wynosi więc
r r
qsw
q′
ε 0 ∫∫ E ⋅ dS = qtot = qsw − q′ ⇒ E =
−
ε0 A ε0 A
S
NatęŜenie pola w kondensatorze
próŜniowym
Zakładamy, Ŝe
E0 = Eε r , ε r = const ⇒ E =
E0
εr
=
qsw
E0 =
ε0 A
qsw
ε rε 0 A
względna przenikalność elektryczna dielektryka

q
q′
1
= sw −
⇒ q′ = 1 −
ε rε 0 A ε 0 A ε 0 A
 εr
r r
⇒ ε 0ε r ∫∫ E ⋅ dS = qsw
qsw
S
Wektor indukcji elektrycznej
w dielektrykach definiujemy
jako
r r


1
qsw ⇒ ε 0 ∫∫ E ⋅ dS = qsw − 1 −
 εr

S
r
v
v r
D ≡ ε 0ε r E ⇒ ∫∫ D ⋅ dS = qsw
S

q
qsw = sw
εr

Prawo Gaussa w dielektrykach,
napisane dla wektora indukcji
elektrycznej, uwzględnia tylko
wpływ ładunków swobodnych.
Wpływ ładunków związanych
uwzględnia względna przenikalność
elektryczna
POLARYZACJA ELEKTRYCZNA





1
1
1
− 1 = q′
q′ = qsw 1 −  ⇒ qtot = qsw − q′ = q′


1
ε r −1
 εr 
−
1
 ε

r


r r
r r
1
Z prawa Gaussa ∫∫ ε 0 E ⋅ dS = qtot = q′
⇒ ∫∫ ε 0 (ε r − 1)E ⋅ dS = q′
ε r −1
S
S
Wektor polaryzacji elektrycznej
r
r
r r
P ≡ ε 0 (ε r − 1)E ⇒ ∫∫ P ⋅ dS = q′
S
Wektor polaryzacji jest związany z ładunkami związanymi w dielektryku
r
r
r
r r
D = ε 0ε r E = ε 0 (ε r − 1 + 1)E = ε 0 E + P
Podatność elektryczna
r
v
χ ≡ ε r − 1 ⇒ P = ε 0 χE
POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
Pole elektryczne jest zachowawcze (potencjalne). Praca pola elektrycznego nie
zaleŜy od drogi, więc praca na drodze zamkniętej wynosi zero.
r
r r
E r
= ∫ dW = ∫ F ⋅ dl = − ∫ ⋅ dl
q
A
A
A
B
WAB
∫
ABA
B
B
B
A
r r
r r
dW = 0 ⇒ − ∫ E ⋅ dl = 0 ⇒E ⋅ dl = − dϕ
E⋅dl musi być róŜniczką
pewnej funkcji skalarnej φ.
ABA
r
dϕ
⇒E=− r
dl
Pochodną kierunkową moŜna zawsze zapisać w postaci gradientu
r
 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
E = − gradϕ = −  ,
,  , ϕ = ϕ ( x, y , z )
 ∂x ∂y ∂z 
y
Ey
BEZWIROWOŚĆ POLA ELEKTRYCZNEGO
r r
∂E x
Γ = ∫ E ⋅ dl =
Ex +
∆y
∂y
∂E y 

= E x ∆x +  E y +
∆x ∆y −
∂E y
∂x


∆y E y +
∆x
∂x
∆x


∂E x
∆y ∆x − E y ∆y =
−  E x +
Ex
∂y


x
z
 ∂E y ∂E x 
∆x∆y
= 
−
∂y 
 ∂x
v
∂E y ∂E x
Γ
−
=
Rotacja (rotE )z ≡ lim
∆x∆y → 0 ∆x∆y
∂x
∂y
v  ∂E z ∂E y ∂E x ∂E z ∂E y ∂E x 
−
−
−
rotE = 
,
,

∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
z
z
x
x
y


Pole elektryczne jest polem bezwirowym
v
Γ = 0 ⇒ rotE = 0
Ogólnie rot ( gradϕ ) = 0
RÓśNICZKOWA POSTAĆ PRAWA GAUSSA
Strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię S
w kształcie prostopadłościanu
z
∆y
Φ = Φx + Φy + Φz
∆z
Ex
∆x
x
∂E
E x + x ∆x
∂x
Ładunek w objętości V
y
∂E
∂E


Φ x =  E x + x ∆x − E x ∆y∆z = x ∆x∆y∆z
∂x
∂x


∂E y
∂E z
Φy =
∆x∆y∆z , Φ z =
∆x∆y∆z
∂y
∂z
 ∂E x ∂E y ∂E z 
∆x∆y∆z →
⇒ Φ = 
+
+
∂z 
∂y
 ∂x
 ∂E x ∂E y ∂E z 
dxdydz
→ Φ = ∫∫∫ 
+
+
∂x
∂y
∂z 
V 
Z prawa Gaussa
 ∂E x ∂E y ∂E z 
dxdydz = ∫∫∫ ρ dxdydz
+
+
∂x
∂y
∂z 
V
V 
V
r ∂E x ∂E y ∂E z
r ρ
Dywergencja divE =
+
+
⇒ divE =
∂x
∂y
∂z
ε0
Q = ∫∫∫ ρ dxdydz ⇒
ε 0 ∫∫∫ 
OPERATOR
∇
∂ ∂ ∂
∇ ≡  , ,  Operator wektorowy „nabla”
 ∂x ∂y ∂z 
r
E = − gradϕ = −∇ϕ Związek między natęŜeniem i potencjałem pola elektrycznego
r
r ρ
Prawo Gaussa w postaci róŜniczkowej
divE = ∇ ⋅ E =
ε0
r
i
r
r ∂
rotE = ∇ × E =
∂x
Ex
r
j
∂
∂y
Ey
r
k
∂
=0
∂z
Ez
Bezwirowość pola elektrycznego
RÓWNANIA POISSONA I LAPLACE’A
r
 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ  ρ ( x, y, z )
2
∇ ⋅ E = ∇ ⋅ (− ∇ϕ ) = −∇ ϕ = − 2 + 2 + 2  =
ε0
∂y
∂z 
 ∂x
⇒ −∇ 2ϕ =
ρ
, ϕ = ϕ ( x, y, z ), ρ = ρ ( x, y, z )
ε0
ρ = 0 ⇒ ∇ 2ϕ = 0
Równanie Poissona
Równanie Laplace’a (w przestrzeni bez ładunków elektrycznych)
PRZEWODNIK W POLU ELEKTRYCZNYM
Pojemność elektryczna
dS
E
r r
E || dS
S1
S
(
⇒ ϕ = ϕ ( x, y, z ) S = const
φ2=const
q2
S2
Równania Poissona i Laplace’a są liniowe, więc zmiany
ładunku na powierzchniach powodują proporcjonalne
zmiany potencjałów
S
r
r dS
r
n ≡ r , n =1
dS
r
r r
Et = ( gradϕ )t S = n × E
φ1=const
q1
dq1 = C11dϕ1 + C12 dU12
dq2 = C22 dϕ 2 + C21dU 21
)
S
=0
dU ij ≡ dϕ j − dϕ i
C12 = C21
Zwykle
pojemności rozpraszania
C12 = C21 ≡ C >> C11 , C22
q
⇒ dq = CdU ⇒ C =
U
pojemność
KONDENSATORY
Kondensator – układ, który moŜna scharakteryzować przy pomocy jednej
pojemności.
Energia pola elektrycznego kondensatora
Kondensator kulisty
Wprowadzenie na okładki
kondensatora ładunku dq związane
jest z przyrostem napięcia między
okładkami o dU i wymaga pracy dW
+q
R1
R2
-q
dq = CdU
r < R1 , r > R2 ⇒ E = 0
1
q
R1 < r < R2 ⇒ E (r ) =
4πε 0 r 2
ϕ (r ) = − ∫ Edr =
1
q
4πε 0 r
1 
q 1

− 
U12 = ϕ (R1 ) − ϕ (R2 ) =

4πε 0  R1 R2 
4πε 0 R1 R2
q R2 − R1
q
U12 =
⇒C =
=
4πε 0 R1 R2
U12
R2 − R1
q
dW = Udq = dq
C
Q
q
Q2
W = ∫ dq =
C
2C
0
Energia pola elektrycznego
kondensatora równa jest pracy
wprowadzenia ładunku Q na okładki
Q 2 QU CU 2
Ep = W =
=
=
2C
2
2
GĘSTOŚĆ ENERGII POLA ELEKTRYCZNEGO
q
E (r ) =
4πε 0 r 2
1
Pole elektryczne, pochodzące od ładunku elektrycznego q, rozłoŜonego
równomiernie na powierzchni sfery o promieniu R
(ϕ (r → ∞ ) → 0) ⇒ ϕ (r ) = − ∫ Edr =
dW = ∆E p = [ϕ (R ) − ϕ (∞ )]dq =
Q
W = ∫ dW =
0
1
4πε 0 R
Q
∫ qdq =
0
q
4πε 0 r
1
4πε 0 R
Q2
8πε 0 R
qdq
= Ep
⇒ ϕ (R ) =
q
4πε 0 R
Potencjał na
powierzchni sfery
Praca, potrzebna na sprowadzenie na
powierzchnię sfery ładunku dq z
nieskończoności
Aby zgromadzić na powierzchni sfery ładunek
Q, naleŜy wykonać pracę W, która zostanie
zmagazynowana w postaci energii pola
elektrycznego Ep
Gęstość energii pola elektrycznego (energia na jednostkę objętości)
dE p
dW
dW dR
4
dV
dV
=
=−
= 4πR 2 ⇒ dR =
w=
; V = πR 3 ⇒
;
2
dV
dV
dR dV
3
dR
4πR
1
1
Q2
Q2
⇒w=
= ε0
8πε 0 R 2 4πR 2 2
4πε 0 R 2
(
Ogólnie
)
2
1
2
= ε 0 (E (R ))
2
1
w( x, y, z ) = ε 0 E 2 ( x, y, z )
2
dW
Q2
=−
dR
8πε 0 R 2
dV
R
R+dR
v
dS
PRĄD ELEKTRYCZNY
r r r r
r r
dq
dI =
= ρdS ⋅ v = j ⋅ dS ⇒ I = ∫∫ j ⋅ dS
dt
S
I natęŜenie prądu elektrycznego
r
j gęstość prądu elektrycznego
S
Prawo Ohma. Pod wpływem siły zewnętrznej (pola elektrycznego) w
przewodniku ustala się prędkość nośników ładunku (gęstość prądu)
proporcjonalna do siły, jak w ośrodku lepkim
r
r
j = σE , σ = const przewodność właściwa
r
r
E = ρj , ρ = σ −1 = const oporność właściwa
Równanie ciągłości. Rozpatrzmy zamkniętą powierzchnię S, wewnątrz której znajduje się w
chwili t ładunek q. Z zasady zachowania ładunku:
r r
∂ρ
dq
I = − , q = ∫∫∫ ρdV ⇒ ∫∫ j ⋅ dS = − ∫∫∫ dV
∂t
dt
V
S
V
r
∂ρ
dV
Z twierdzenia Gaussa ∫∫∫ divj dV = − ∫∫∫
∂t
V
V
r
∂ρ
⇒ divj = −
∂t