Model Konkurujących Gatunków

Model Konkurujących
Gatunków
Co to jest konkurencja?
Konkurencja to jedna z antagonistycznych
interakcji międzypopulacyjnych, w której
dwie populacje tego samego lub różnych
gatunków, zazwyczaj o podobnych
wymaganiach środowiskowych rywalizują o
tę samą niszę ekologiczną. Dochodzi do
współzawodnictwa o ograniczone zasoby
środowiska np. pożywienie.
Założenia modelu konkurujących
gatunków:
 Liczba konkurujących osobników jest
proporcjonalna do liczebności każdego z tych
gatunków, czyli iloczynu
 Konkurencja zewnątrzgatunkowa może w
różnym stopniu wpływać na osobniki różnych
gatunków, w tym celu należy uwzględnić
strategię jaką stosują osobniki w spotkaniu ze
sobą.
 Jednorodność każdej populacji, zatem
wszystkie osobniki danego gatunku zachowują
się jednakowo.
Strategie stosowane przez osobniki:
Gołębia
• Osobniki stosującego ją
gatunku ustępują przy
spotkaniu z osobnikami ,
które zachowują się
agresywnie.
Jastrzębia
• Atakowanie osobników
drugiego gatunku i
wykazywanie agresji.
Wpływ konkurencji na osobniki:
Jeśli oba gatunki
stosują strategię
to tracą dużo energii przy spotkaniach na
walkę, co przekłada się na duży wpływ
tej konkurencji.
Dla osobników stosujących strategię
wpływ konkurencji jest nieco mniejszy.
W przypadku
strategii jeden z
gatunków straci więcej energii niż drugi.
Rozważany model konkurujących
gatunków ma postać:
Oznaczenia:
Znajdźmy rozwiązania dla
omawianego modelu:
Ostatecznie :
Wyznaczmy nasze izokliny:
Uwaga!
Portrety fazowe zależą od
wzajemnego położenia prostych
.Od tego zależy także liczba
rozwiązań stacjonarnych w
przestrzeni fazowej
Uwaga!
Wzajemne położenie izoklin
zależy od wielkości
współczynników
Przypadek 1
o Prosta znajduje się powyżej (pierwsza
ćwiartka układu współrzędnych).
o Proste te przecinają się w
.
o Istnieją trzy rozwiązania stacjonarne o
nieujemnych współrzędnych: A, B, C.
o Występują zarówno rozwiązania
niestabilne
( A i C ) jak i stabilne ( B, które przyciąga inne
rozwiązania ).
Portret fazowy
Rys 1. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym
rozwiązaniem dla
Przypadek 2
• Analogiczny do przypadku 1. Za silniejszy
gatunek uznajemy , który przeżywa, a
jako słabszy , eliminowany ze środowiska
.
• Portret fazowy jest symetryczny z
portretem dla przypadku wcześniejszego.
Przypadek 3
 Proste i przecinają się w pierwszej
ćwiartce.
 Istnieją rozwiązania stacjonarne, które nie
są stabilne ( D ) i stabilne lokalnie ( B i C ).
 Zachowanie rozwiązań zależy od
warunków początkowych. Jeśli liczebność
początkowa danego gatunku jest duża w
stosunku do gatunku konkurencyjnego, to
ten gatunek przeżywa.
Interpretacja przypadku
Strategia jastrzębia
vs.
x3
x1
Portret fazowy
Rys 2. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym
rozwiązaniem dla
Przypadek 4
 Proste
i
przecinają się w
pierwszej ćwiartce układu
współrzędnych.
 Występuje czwarte rozwiązanie
stacjonarne
( D) do którego zbiegają wszystkie
rozwiązania.
Interpretacja przypadku
Strategia gołębia
vs.
Portret fazowy
Rys 3. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym
rozwiązaniem dla
Odmianą modelu jest układ
zaproponowany przez V.
Volterrę :
Wpływ zużycia
zasobów
środowiska na
gatunek
Liczebność
Współczynnik
rozrodczości
Funkcja zużycia
zasobów
środowiska
Własności funkcji F:
 F jest klasy , czyli jest ciągła wraz ze
swoimi pochodnymi cząstkowymi.
 F(0,0)=0;
F jest ściśle rosnąca ze względu na zmienne,
czyli
dla i=1,2.
 Dla dowolnych ustalonych
zachodzi:
Zbadajmy własności rozwiązań
układu:
Założenia:
Układ ma nieujemne
rozwiązania dla
nieujemnych
warunków
początkowych , które
są określone i
ograniczone dla
każdego t >0.
Znajdźmy izokliny:
Znajdowanie rozwiązań stacjonarnych.
Istnieje także czwarte rozwiązanie, które
spełnia warunek :