KINEMATYKA

1
KINEMATYKA
RUCH PROSTOLINIOWY
Kinematyka - zajmuje się klasyfikacją i opisem ruchów, nie wnikając w przyczyny te ruchy wywołujące.
Położenie ciała - wyznaczamy je zawsze w odniesieniu do pewnego punktu - początku osi (lub układu) współrzędnych.
Zwrot osi wyznacza kierunek dodatni - kierunek, w którym współrzędne punktów rosną. Kierunek przeciwny jest oczywiście kierunkiem
ujemnym.
Zmianę położenia nazywamy przemieszczeniem.
 x  x2  x1
Przemieszenie jest wielkością wektorową!
Posiada wartość, kierunek i zwrot.
W przypadku ruchu prostoliniowego kierunek przemieszenia jest stały w czasie, może natomiast zmieniać się jego zwrot.
Graficzna reprezentacja ruchu
Wygodnie jest przedstawiać ruch przez wykreślenie jego położenia x w funkcji czasu t to jest sporządzając wykres x(t)
2
1) ciało spoczywające
PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA
Prędkość średnia określa stosunek przemieszczenia cząstki x w
pewnym przedziale czasu t do wielkości tego przedziału czasu.
v
x x1  x0

t
t1  t 0
Dygresja: Prędkość a "szybkość"
 
2) ciało w ruchu
3
PRĘDKOŚĆ CHWILOWA
Prędkość średnia nie charakteryzuje ruchu w danej chwili czasu.
Prędkość w danej chwili wyznaczyć można zmniejszając odstęp czasu
t brany pod uwagę przy wyznaczaniu prędkości średniej do wartości
bliskiej zeru.
v
v
dx
dt
Prędkość chwilowa
Interpretacja graficzna prędkości chwilowej
PRZYSPIESZENIE
Gdy prędkość ciała w ruchu się zmienia to mówimy, że doznaje ono przyspieszenia.
Przyspieszenie określa szybkość zmian prędkości w czasie.
Można zdefiniować, analogicznie jak dla prędkości:
a
v v1  v0

t t1  t0
 
Przyspieszenie średnie
a
dv
dt
Przyspieszenie chwilowe
4
Przyspieszenie można bezpośrednio związać ze zmianami przemieszczenia w czasie:
a
dv

dt
WNIOSEK: znając przebieg zmian położenia dowolnego ciała w czasie możemy w prosty sposób wyznaczyć przebiegi zmian prędkości i
przemieszczenia tego ciała w czasie.
PYTANIE - czy możliwe jest postępowanie odwrotne? Czy można w prosty sposób znając przebieg zmian przyspieszenia w czasie określić
zmianę prędkości i położenia?
Ruch jednostajny - przypadek szczególny
aa 
v  v0
t  t0
v  v0  a  t
v
x  x0
t  t0
Ruch jednostajny - ujęcie ogólne
a
dv

dt
v  v0  a  t
v
dx

dt
v
1
x  x0  v0  t  at 2
2
1
x  x0  v0  t  at 2
2
5
Przykład: Zmiany przyspieszenia windy przedstawiono na rysunku, wyznacz
zależności prędkości i przemieszczenia od czasu dla windy.
6
SPADEK SWOBODNY
Szczególnym przypadkiem ruchu jednostajnie przyspieszonego jest swobodny spadek ciał w ziemskim polu grawitacyjnym.
Wszystkie ciała w pobliżu Ziemi (przy zaniedbaniu oporu powierza) spadają z takim samym przyspieszeniem - przyspieszeniem
ziemskim.
m
Wartość tego przyspieszenia wynosi g  9.81  2 
s 
RUCH KRZYWOLINIOWY
Do określenia położenia ciała w dwu lub trzech wymiarach stosuje się wektor położenia tego ciała.

r  x, y, z 
x
y
z

r  , ,
Wektor przemieszczenia można zapisać
tez w postaci


r  ziˆ  yˆj  zkˆ
Wektor położenia nazywa się czasem wektorem wodzącym.
Przemieszczenie cząstki wyznaczamy jako różnicę wektora położenia końcowego i początkowego ciała.
7
  
r  r2  r1
r 
r 
Przemieszczenie ciała
8
Prędkość średnia
Prędkość średnią w ruchu krzywoliniowym definiujemy analogicznie jak w przypadku ruchu prostoliniowego jako stosunek całkowitego
przemieszczenia (wektora przemieszczenia) do przedziału czasu, w którym to przemieszczenie się odbywało.


r
vS 
t
Prędkość średnia

vS 
Prędkość chwilowa
Prędkość chwilowa jest to graniczna wartość prędkości średniej, przy zmniejszaniu przedziału czasu t do zera.

v
9
Prędkość chwilowa ma kierunek zawsze
styczny do toru ruchu ciała

v  dr
dt
Prędkość chwilowa
Po rozpisaniu wektora przemieszczenia we współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy:

v
vX 
vY 
vZ 
10
PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE I CHWILOWE
Przyspieszenie średnie jest to stosunek zmiany prędkości do długości przedziału czasu, w którym ta zmiana nastąpiła.


v
aS 
t
Przyspieszenie średnie
Aby opisać szybkość zmian prędkości w danej chwili czasu posługujemy się przyspieszeniem chwilowym.
Przyspieszenie chwilowe wyznaczamy zawężając długość przedziału czasu, w którym następuje mierzona zmiana prędkości.
dv

a
dt
Przyspieszenie chwilowe

a
aX 
aY 
aZ 
11
RZUT UKOŚNY
Przypadek szczególny - Rzut poziomy
W czasie rzutu ukośnego (poziomego) ruch odbywa się z
przyspieszeniem ziemskim!

g  0, g 
Ruch w kierunku X
Ruch w kierunku Y
a X  0 - ruch jednostajny
aY  g - ruch jednostajnie przyspieszony
Równanie toru.
Równanie toru to równanie krzywej opisującej ruch ciała w układzie odniesienia.
y  yx 
y
g 2
x
2
2v0
Równanie toru
Równanie toru w rzucie poziomym
12
Przypadek ogólny - rzut pod kątem  do poziomu
Równanie toru
y  x0  tg 
aX  0
aY   g
VX 
VY 
x
y
g
x2
2
2v0 cos 
2
RUCH PO OKRĘGU
Ruch jednostajny po okręgu – jest to taki ruch, w którym ciało porusza się po torze będącym okręgiem z prędkością o niezmiennej
wartości bezwzględnej.
W ruchu po okręgu ciało zawsze doznaje przyspieszenia! Wynika to z faktu, że wektor prędkości zmienia cały czas swój kierunek.
13
Wektor przyspieszenia nie może mieć
składowej równoległej do chwilowego
kierunku ruchu, gdyż powodowałaby
ona zmianę wartości prędkości.
Wektor przyspieszenia jest zawsze
prostopadły do wektora prędkości –
jest to przyspieszenie dośrodkowe
(normalne)

 v
a
t
v 
s 
a
v2
a
R
v2
R
Przyspieszenie dośrodkowe
14
RUCH WZGLĘDNY
Przypadek jednowymiarowy – układy poruszające się ze stałą prędkością
X PA 
VPA 
dX PA

dt
a PA 
dVPA

dt
Jeżeli dwa układy poruszają się względem siebie ze stałą prędkością to przyspieszenie, które zmierzą obserwatorzy w każdym z nich będą
takie same.
PRZYPADEK DWUWYMIAROWY

rPA 


drPA
VPA 

dt


dVPA
a PA 

dt
15
Przykład: Samolot porusza się z prędkością 300 km/h względem powietrza, pod jakim kątek powinien ustawić się do kierunku wschódzachód, aby dolecieć do punktu odległego o 325,5 kilometrów na zachód lecąc w linii prostej, i ile czasu będzie trwał lot, jeżeli prędkość
wiatru wiejącego na północny wschód (pod kątem 30 względem północy) wynosi 60 km/h.
16
DYNAMIKA
SIŁA
Pytanie: DLACZEGO ciała zmieniają swoją prędkość?
Tym, co powoduje zmianę prędkości ciała jest oddziaływanie, które
nazywamy siłą.
Co się stanie, jeżeli puścimy trzymany ciężarek?
W skrajnym przypadku, gdy powierzchnia, po której porusza się ciało jest bardzo gładka (ogólnie mówiąc opory ruchu są bardzo małe) ciało
poruszać się będzie bez zmiany prędkości.
Siła nie jest warunkiem koniecznym do podtrzymywania ciała w ruchu.
Pierwsza zasada dynamiki Newtona (1). Jeżeli na ciało nie działa żadna siła to ciało to nie zmienia swojej prędkości - pozostaje w
spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
17
Siła jest wielkością wektorową - a więc posiada wartość kierunek i zwrot.
Jeżeli na ciało działa więcej sił to siłę wypadkową możemy korzystając z zasady superpozycji sił.

  
FWYP  F1  F2  F3
Pierwsza zasada dynamiki Newtona (2).
Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało jest równa zeru to ciało to

nie zmienia swojej prędkości - a  0
18
INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA
Pierwsza zasada dynamiki (i druga też) nie są spełnione we wszystkich układach odniesienia. Układy, w których spełnione są zasady
dynamiki Newtona nazywamy układami inercjalnymi.
Przykład układu nieinercjalnego
MASA
Czym jest masa?
Masa jest miarą bezwładności ciała - określa ona reakcję ciała na przyłożoną siłę
Druga zasada dynamiki Newtona - przyspieszenie, jakiego doznaje ciało pod wpływem działania siły jest wprost proporcjonalne do
wartości tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.
19

 F
a
m
Druga zasada dynamiki Newtona


F  ma
F 
Jednostką siły jest niuton - 1 N to taka siła, która ciału o masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1 m/s2
Ponieważ siła i przyspieszenie są wielkościami wektorowymi równanie opisujące drugą zasadę dynamiki jest równoważne trzem równaniom
skalarnym
aY 
aX 
aZ 
Pytanie: co dzieje się z nami, gdy pchamy inne ciało?
FKP  FPK


FKP   FPK
Trzecia zasada dynamiki Newtona
- gdy dwa ciała oddziałują ze sobą
to siły, jakimi działają na siebie mają
taką samą wartość bezwzględną, i
są przeciwnie skierowane.
Siły oddziaływania wzajemnego
dwóch ciał nazywamy siłami akcji i
reakcji.
UWAGA! Siły akcji i reakcji NIE równoważą się wzajemnie!
20
SIŁY O SZCZEGÓLNYM ZNACZENIU W MECHANICE
CIĘŻAR
Ciężar ciała to siła grawitacji, jaką odczuwa dane ciało - w szczególnym przypadku siła, jaką na ciało działa ziemskie pole grawitacyjne.
 
ag


F  ma
F
21
Masa a ciężar
SIŁA REAKCJI PODŁOŻA
Gdy dowolne ciało naciska na
powierzchnię, powierzchnia ta ulega
działa na ciało siłą reakcji normalna do
podłoża
22
SIŁA NAPIĘCIA LINY
Siła napięcia liny działa zawsze wzdłuż liny, a skierowana jest tak, aby za pomocą liny ciągnąć ciało, do którego jest umocowana.
TARCIE
Siła tarcia pojawia się na styku dwóch powierzchni poruszających
się względem siebie a jej zwrot jest taki, aby przeciwdziałać
ruchowi powierzchni jednego ciała względem drugiego.
23
TARCIE - CD.
Od czego zależy wartość siły tarcia?
Wartość siły tarcia nie zależy od wielkości trących się powierzchni!
24
Wartość siły tarcia zależy od siły nacisku ciała na podłoże (siły reakcji podłoża) i współczynnika
tarcia określającego własności trących się powierzchni
T   N  R
W przypadku gdy siła jest zbyt mała aby wprawić ciało w ruch
T  S N
Siła ta osiąga maksymalną wartość równą
T  S N
Gdy ciało porusza się to wartość siły tarcia pozostaje stała i wynosi:
T  K N
Przykład: Wyznaczyć siłę z jaką dziewczynka z rysunku musi ciągnąć sanki aby poruszać się ze stałą prędkością. Dane: K, 
25
Siły w ruchu po okręgu
Ruch po okręgu jest ruchem przyspieszonym - musi więc występować w nim działanie siły.


F  m a

aD 

FD 
Przykład: Ile obrotów wokół
swej osi na minutę musi
wykonywać rotor aby będąca w
środku osoba nie spadała.
Dane są S = 0,4 oraz R = 2,1
26
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Obserwator w windzie obserwuje pozorne
zwiększenie swojego ciężaru


G'  G
W układzie nieinercjalnym obserwator doświadcza pozornego działania siły bezwładności.


FB  ma
SIŁA ODŚRODKOWA
Dygresja: Siła dośrodkowa a odśrodkowa - czy siły te się równoważą?
27
SIŁA CORIOLISA
28
siła Coriolisa

 
FC  2v 
Odchylenie spowodowane działaniem siły Coriolisa
29
Siły Coriolisa w przyrodzie
Passaty – stałe wiatry wiejące z
kierunków podzwrotnikowych do równika
odchylają się pod wpływem siły Coriolisa
Cyklon na półkoli północnej
Cyklon na półkoli południowej
30
PRACA
Pytanie: Czy zawsze działając siłą na jakieś ciało
wykonujemy pracę?
Czy mityczny Atlas, który niewątpliwie się napracował
wykonał jakąś pracę?
W  Fx
W ruchu prostoliniowym, w którym siła
jest równoległa do kierunku
przemieszczenia praca wykonana nad
ciałem jest równa iloczynowi działającej
siły i przemieszczenia.
Co się dzieje, jeżeli siła nie jest równoległa do przemieszczenia?
31
W
FX 
 
W  F d
Praca wykonana nad ciałem przez dowolną, stałą siłę jest równa iloczynowi jej składowej na kierunku przemieszczenia i wartości
przemieszczenia, innymi słowy jest równa iloczynowi skalarnemu wektora siły i wektora przemieszczenia.
PRACA SIŁY DOŚRODKOWEJ


FD  v
32
JAKI JEST ZNAK PRACY?
Pracę przyjmujemy za dodatnią, jeżeli działa ona w kierunku zgodnym z kierunkiem przemieszczenia ciała. Jeżeli siłą działa w kierunku
przeciwnym do przemieszczenia to praca ma wartość ujemną.
Jednostka pracy
W   F  x 
Jednostka pracy w układzie SI jest dżul - 1J
ENERGIA KINETYCZNA
Rozważmy ruch prostoliniowy odbywający się pod działaniem stałej siły, bez prędkości początkowej
W
F
x
t
W
mv 2
 EK
2
Energia kinetyczna jest miarą pracy, jaką trzeba wykonać, aby nadać ciału o danej masie m prędkość v.
Jednostką energii jest, więc tak jak w przypadku pracy 1J.
W układach mechanicznych często prościej jest wyznaczyć zmianę energii kinetycznej ciała niż siły działające na to ciało.
33
Różnica ta musi być równa całkowitej pracy wykonanej nad ciałem.
EK  EKf  EKi  W
Zależność ta słuszna jest, bez względu na to, czy praca jest dodatnia czy ujemna.
Można tę zależność zapisać również w postaci:
EKf  EKi  W
PRACA WYKONANA PRZE SIŁĘ ZMIENNĄ
W
W j 
Pracę w jednym wymiarze możemy zapisać w postaci:
W
XK
 F x dx
X0
W
34
RUCH W TRZECH WYMIARACH

F  , ,

 
dW  F  dr 
W   dW  


dr   , ,


rK

W   F  dr
Praca w ruchu krzywoliniowym
r0
PRACA SIŁY ZMIENNEJ A ENERGIA KINETYCZNA
xK
Rozpatrzmy zmienną w czasie siłę i ruch prostoliniowy W   F  x dx
x0
W  EK
35
MOC
Od czego zależy szybkość, z jaką może przyspieszyć samochód?
E K

t
Moc określa szybkość, z jaką dana siła wykonuje pracę:
W
t
dW
P
dt
P
Moc średnia
Moc chwilowa
P   W  
t 
Jednostką mocy w układzie SI jest wat -1W.
Inną, często używana jednostką jest koń mechaniczny -1KM
1KM  746W
W przypadku ruchu cząstki pod wpływem siły moc możemy zapisać w postaci:
P
Czyli ostatecznie:
dW
dt
 
P  F v
36
PRACA SIŁY CIĘŻKOŚCI
Wg  Fg d cos 
Praca siły zewnętrznej
Czyli praca wykonana przy podnoszeniu ciała:
W  Wg
W  mgd
Nie ma znaczenia droga, po której to
podniesienie zachodziło!
37
ENERGIA POTENCJALNA
Energia potencjalna EP jest to energia związana z konfiguracja (ustawieniem) układu ciał działających na siebie siłami.
Jednym z rodzajów energii potencjalnej jest grawitacyjna energia potencjalna związana z odległością dwóch ciał działających na siebie siła
grawitacyjną.
Praca sił grawitacji
1. Ruch ku górze
Wg1  0
2. Spadek swobodny
Wg 2  0
Wg  E p  WZEW
38
SIŁY ZACHOWAWCZE
W sytuacji, gdy przy zmianie konfiguracji ze stanu 1 do 2 praca wykonana przez siłę powodującą ruch jest równa, co do wartości, ale ma
przeciwny znak do pracy wykonanej przez tę siłę przy zmianie konfiguracji z 2 do 1 to siłę taką nazywamy siłą zachowawczą.
Jeżeli siła jest zachowawcza to pracy wykonanej prze te siłę można przypisać odpowiadająca jej energię potencjalną.
Całkowita praca wykonana przez siłę zachowawczą
na drodze zamkniętej jest równa zeru.
Praca wykonana przez siłę zachowawczą nad
ciałem nie zależy od drogi, po jakiej porusza się
cząstka
Wab,1  Wab, 2
39
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Energia mechaniczna układu jest sumą jego energii kinetycznej i
potencjalnej
Emech  EK  EP
Rozpatrzmy ciało poddane działaniu siły zachowawczej:
Zmiana energii:
Zmiana energii potencjalnej
Zmiana energii kinetycznej
EP  W
Ek  W
Emech 
W układzie poddanym działaniu siły zachowawczej całkowita energia
mechaniczna nie ulega zmianie.
Zmieniać się może zarówno energia kinetyczna jak i potencjalna, lecz
ich suma pozostaje stała.
40
SIŁY W UKŁADACH ZACHOWAWCZYCH
EP  W 
Dla ruchu w jednym wymiarze
F x   
dE p
dx
41
Praca wykonana nad układem przez siłę zewnętrzna jest równa energii przekazanej (lub odebrana) układowi.
W
42
PRACA SIŁY TARCIA
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Zmiana całkowitej energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.
WZEW  E  EMECH  ETERM  EWEW
43
Układem izolowanym nazywamy taki układ, który nie może wymieniać energii z otoczeniem - energia nie może do niego być dostarczona
ani z niego odebrana.
CAŁKOWITA ENERGIA UKŁADU IZOLOWANEGO NIE MOŻE SIĘ ZMIENIAĆ
E  EMECH  ETERM  EWEW  0
Zależność taka pozwala na powiązanie zmian energii jednego rodzaju ze zmianami energii innego rodzaju bez znajomości stanów
pośrednich.
Korzystając z pojęcia energii można wyznaczać również moc.
Moc średnia
PŚR 
W

t
Moc określa szybkość zmiany energii układu.
Analogicznie moc chwilowa
P
dE
dt
44
ŚRODEK MASY
Środek masy - jest to taki punkt ciała lub
układu ciał, który porusza się tak jak
gdyby była w nim skupiona cała masa
układu, a wszystkie siły zewnętrzne były
przyłożone właśnie w tym punkcie.
UKŁADY CZĄSTEK
xŚM 
xŚM 
45
W ogólnym przypadku n ciał
xŚM 
A w przypadku trójwymiarowym położenie środka masy określają trzy składowe wektora położenia:
xŚM
1

mU
n
m x
i 1
i i
yŚM
1

mU
n
m y
i 1
i i
zŚM
1

mU
n
m z
i 1
i i
rŚM  xŚM , yŚM , zŚM 
Można to zapisać w skrócie jednym równaniem wektorowym

1
rŚM 
mU

m
r
 ii
n
i 1
CIAŁA ROZCIĄGŁE
Większość ciał spotykanych w życiu codziennym składa się tak dużej liczby atomów, że można je opisywać za pomocą ciągłego rozkładu
masy.
W takim przypadku sumy w równaniach opisujących położenie środka masy należy zastąpić całkami
xŚM 
1
xdm
mU 
yŚM 
1
mU
 ydm
zŚM 
1
zdm
mU 
46
Dla ciał jednorodnych możemy wprowadzić pojęcie gęstości będącej miarą masy jednostkowej objętości.

Środek masy można więc ostatecznie opisać zależnościami:
xŚM 
1
xdV
V
yŚM 
1
ydV
V
zŚM 
1
zdV
V
DRUGA ZASADA DYNAMIKI DLA UKŁADU CZASTEK
Ruch środka masy opisuje równanie
wektorowe analogiczne do równania
opisującego ruch punktu materialnego


FW YP  mU aŚM
47
PĘD
Pędem cząstki nazywamy wielkość wektorową zdefiniowana jako iloczyn masy ciała i jego prędkości.


p  mv
Inne sformułowanie II zasady dynamiki:
Szybkość zmiany pędu ciała jest równa
wypadkowej sił działających na to ciało i ma
kierunek tej siły.
 dp
F
dt
48
PĘD UKŁADU CZĄSTEK

P
Pęd układu cząstek (ciał) jest równy iloczynowi
całkowitej masy układu oraz prędkości środka masy.


P  mU vŚM

P 0
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

FZEW  0 
Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie.

P  const
 
Pi  Pf
49
ZDERZENIA
O zderzeniu mówimy wtedy, gdy dwa lub więcej ciał działa na siebie dużymi siłami w stosunkowo krótkim przedziale czasu.
PĘD I ENERGIA KINETYCZNA W ZDERZENIACH


Ograniczmy nasze rozważania do zderzeń w układach:
zamkniętych - układy, których masa nie ulega zmianie
izolowanych - wypadkowa sił zewnętrznych działająca na ciała w układzie jest równa zeru
Rozróżniamy dwa typy zderzeń:
Zderzenia sprężyste - w zderzeniach tego typu całkowita energia kinetyczna zderzających się ciał nie ulega zmianie - jest taka sama przed
i po zderzeniu.
Zmianie ulegają natomiast energie kinetyczne poszczególnych ciał biorących udział w zderzeniu.
Zderzenia niesprężyste - część energii kinetycznej ciał biorących udział w zderzeniu ulega zamianie na inna postać energii, np. energię
termiczną.
Zderzenie sprężyste
Zderzenie niesprężyste
EK  0; EK  const
EK  0;  E0i   EKi
i
i
50
Zarówno w zderzeniach sprężystych i niesprężystych zmianie nie może ulec pęd układu ciał.
Wynika to bezpośrednio z zasady zachowania pędu, i faktu, że rozpatrujemy układ izolowany.
Zderzenie sprężyste
Zderzenie niesprężyste
 
P  0;

P  const
ZDERZENIA W JEDNYM WYMIARZE
ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE
51
ZDERZENIA CAŁKOWICIE NIESPRĘŻYSTE
PRĘDKOŚĆ ŚRODKA MASY
52
ZDERZENIA SPRĘŻYSTE
Przy zderzeniu sprężystym energia
kinetyczna każdego z ciał może ulec
zmianie, lecz nie może ule zmianie
całkowita energia kinetyczna układu tych
ciał.
Możemy więc zapisać dwa równania:
E K 1i  E K 2i  E K 1 f  E K 2 f
Zasada zachowania energii
p1i  p2i  p1 f  p2 f
Zasada zachowania pędu
53
Przypadki szczególne - spoczywająca "tarcza":
1. Ciała o jednakowych masach m2  m1
Po wstawieniu do wzorów otrzymujemy:
v1 f 
v2 f 
3.
m1  m2
v1 f 
v2 f 
2.
m2  m1
v1 f 
v2 f 
54
ZDERZENIA W DWÓCH WYMIARACH
Analogicznie jak dla przypadku
jednowymiarowego zapisać możemy dla
tego rodzaju zderzeń zasadę zachowania
energii kinetycznej oraz zasadę
zachowania pędu.
E K 1i  E K 2i  E K 1 f  E K 2 f




p1i  p2i  p1 f  p2 f
Trzeba jednak pamiętać, że drugie z tych
równań jest równaniem wektorowym.
W przypadku zderzeń w dwóch wymiarach
równanie opisujące zasadę zachowania pędu
jest w gruncie rzeczy układem dwóch równań
dla współrzędnych x i y.
55
RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ
Bryłą sztywną nazywamy ciało, dla którego odległość między jego dwoma dowolnymi punktami pozostaje stała w trakcie ruchu.
 
Prędkość kątowa
 ŚR 

56
PRZYSPIESZENIE KĄTOWE
Analogicznie jak dla ruchu postępowego możemy zdefiniować:
Średnie przyspieszenie kątowe
Chwilowe przyspieszenie kątowe
 ŚR 

Analogia z ruchem prostoliniowym, jednostajnie przyspieszonym
57
Ruch prostoliniowy
Ruch obrotowy
a  const
v  v0  at
at 2
x  x0  v 0 t 
2
ZWIĄZEK ZMIENNYCH LINIOWYCH Z KĄTOWYMI
Droga przebyta przez punkt
s
Prędkość (wartość prędkości)
v
Jeżeli ruch obrotowy odbywa się ze stałą prędkością kątową to można wprowadzić pojęcie okresu obrotu
Dla zmiennych liniowych
2R
T
v
Przyspieszenie styczne
aST 
Dla zmiennych kątowych
2
T

58
Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)
aN 
ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU OBROTOWYM.
Oś
obrotu
Moment bezwładności
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
I   mi ri
2
i
EK 
1
I 2
2
59
MOMENT BEZWŁADOŚCI CIAŁ ROZCIĄGŁYCH
dI 
Moment bezwładności ciała rozciągłego
I   r 2 dm
MOMENTY BEZWŁADNOŚĆI WYBRANYCH BRYŁ
60
TWIERDZENIE STEINERA
Czy znając moment bezwładności dla pewnego ciała o masie m względem osi przechodzącej przez jego środek masy jesteśmy w stanie
wyznaczyć w prosty sposób moment tego ciała względem dowolnej, równoległej do niej osi?
I  I 0  md 2
gdzie:
I0 - moment bezwładności ciał względem osi przechodzącej prze jego środek masy,
m - masa ciała
d - odległość między osiami - przechodzącą przez środek i osią, względem której liczymy moment
61
MOMENT SIŁY
M
62
MOMENT OBROTOWY W TRZECH WYMIARACH
Moment siły
  
M  r F
DRUGA ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO
II zasada dynamiki - ruch obrotowy


M  I 
63
PRACA I MOC W RUCHU OBROTOWYM
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
E K  E Kk  E Kp  W
E K  E Kk  E Kp  W
k
Xk
W   Fdx
W
P
dW
 Fv
dt
 Md
p
Xp
P
dW
 M
dt
64
TOCZENIE SIĘ CIAŁ
Rozpatrzmy przypadek
ruchu bez poślizgu
s
vŚM 
TOCZENIE SIĘ JAKO ZŁOŻENIE RUCHU OBROTOWEGO I POSTĘPOWEGO
65
TOCZENIE SIĘ JAKO CZYSTY RUCH OBROTOWY
Toczącemu się ciału można przypisać dwa rodzaje energii kinetycznej: energię kinetyczną ruchu obrotowego ( 1 2 I ŚM  2 ) związaną z jego
2
ruchem obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy, oraz energię kinetyczna ruchu postępowego ( 1 2 mvŚM
) związaną z ruchem
środka masy.
EK 
1
1 2
I ŚM  2  mvŚM
2
2
SIŁY DZIAŁĄJĄCE PRZY TOCZENIU
Jeżeli ruch odbywa się bez poślizgu to
przyspieszenie środka masy jest
bezpośrednio związane z przyspieszeniem
kątowym toczącego się ciała
aŚM    R
66
STACZANIE SIĘ CIAŁA PO RÓWNI
W takim układzie możemy zapisać
równania II zasady dynamiki zarówno dla
ruchu postępowego jak i obrotowego
Ruch postępowy:
FW YP  ma
Ruch obrotowy:
M W YP  I
STACZANIE SIĘ CIAŁA PO RÓWNI - PODEJŚCIE "ENERGETYCZNE"
Pytanie: Co stoczy się szybciej, rura czy walec?
67
Rura cienkościenna
Walec
Moment bezwładności:
Moment bezwładności:
Energia kinetyczna: EKW=
Energia kinetyczna: EKR=
Zmiana energii potencjalnej: EP=
vKW =
vKR =
Z jaką prędkością ciało zawieszone na bloczku uderzy w podłoże?
68
MOMENT PĘDU
Dla ruchu obrotowego można wprowadzić wielkość będącą odpowiednikiem pędu dla ruchu postępowego. Wielkość taką nazywamy
momentem pędu.
Moment pędu jest wielkością wektorową.
69
DRUGA ZADADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBRORTOWEGO W UJĘCIU MOMENTU PĘDU
Ruch postępowy


dp
FW YP 
dt
Ruch obrotowy


dL
M W YP 
dt
Szybkość zmian momentu pędu dowolnej cząstki jest równa wypadkowemu momentowi sił działającemu na te cząstkę.
MOMENT PĘDU UKŁADU CZĄSTEK
  


LC  L1  L2  L3  ...  Ln 


dLC
M W YP 
dt
70
Szybkość zmian całkowitego momentu pędu układu cząstek jest równa
wypadkowemu zewnętrznemu momentowi siły działający na ten układ
MOMENT PĘDU BRYŁY SZTYWNEJ
L  I 
Moment pędu ciała sztywnego
71
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
Rozważmy układ, na który nie działa zewnętrzny moment sił.

 dL
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki M 
dt

L  const ;


LPocz  LKońo
Jeżeli wypadkowy moment siły działający na układ jest równy zero to całkowity moment pędu układu nie zmienia się, niezależnie od tego,
jakim zmianom podlegają momenty pędu elementów układu.
Jeżeli wypadkowy zewnętrzny moment siły działający na układ ma składową wzdłuż pewnej osi równą zeru to składowa całkowitego
momentu pędu wzdłuż tej osi nie zmienia się.
I P P  I K K
72
Środek uderzeń.
Uderzeniem nazwiemy takie zjawisko kiedy na ciało działa pewna siła przez bardzo krótki okres czasu.
Uderzenie może być centralne – kiedy kierunek działającej siły przechodzi przez środek masy ciała uderzanego, lub ekscentryczne w
przypadku przeciwnym.
W ruchu postępowym ciało doznaje działania siły F’=F
Względem nieruchomego punktu O możemy zapisać:
a
73
Odległość osi obrotu od środka uderzeń
ld 
IS
md
Oś swobodna
Oś obrotu może pozostawać nieruchoma nawet wtedy gdy nie jest ona utwierdzona (np. w łożyskach) pod warunkiem ze jest to tzw. oś
swobodna.
74
Oś swobodna musi przechodzić przez środek masy ciała
Oś swobodna może być osią największego. lub
najmniejszego momentu bezwładności
.
Oś największego i najmniejszego momentu bezwładności, oraz oś do nich prostopadłą nazywa się głównymi
osiami bezwładności bryły.
W pozycji pionowej momenty zarówno
siły ciężkości jak i siły reakcji
względem środka masy są
równe zeru.
Pochylenie bąka powoduje powstanie
pary sił dającej niezerowy moment
względem tego punktu

 dL
M
dt
75
Precesja żyroskopu
76
GRAWITACJA
Dlaczego jabłka spadają?
Dlaczego Księżyc krąży
wokół Ziemi?
Prawo powszechnego ciążenia:
Każda cząstka przyciąga inna cząstkę
siłą ciężkości (grawitacyjną) o wartości:
F G
m1m2
r2
G - stała grawitacyjna
G = 6,6710-11Nm2/kg2
Oba te efekty wywołane są przez ten sam rodzaj
oddziaływań – oddziaływania grawitacyjne.
77

mm
F  G 1 2 2 r̂12
r12
Ściśle rzecz biorąc twierdzenie Newtona pozwala obliczyć oddziaływanie między dwiema masami punktowymi.
Rozpatrzmy nasze przypadki:
1) Ziemia i Księżyc
Średnia odległość Ziemia-Księżyc: DZK = 384 000
km
Promień Ziemi: RZ = 6370 km
DZK
 60 - F ~ do odwrotności kwadratu odległości
RZ
2) Ziemia i jabłko
78
Z całą pewnością Ziemia nie jest w tym przypadku masą
punktową!
Twierdzenie o powłokach:
a) Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga
cząstkę znajdującą się na zewnątrz powłoki tak, jak gdyby cała
ma powłoki była skupiona w jej środku
b) Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej nie wywiera
żadnej siły na ciało umieszczone w jej wnętrzu
ZASADA SUPERPOZYCJI DLA SIŁ GRAWITACYJNYCH
Dla n oddziałujących ze sobą cząstek siła działająca na cząstkę 1:

F1 
Co można zapisać w zwartej postaci dla dowolnej cząstki:

Fi 
n

F
j , j i
i, j
A co zrobić w przypadku ciał rozciągłych?
79
Siłę wypadkową możemy obliczyć za
pomocą całki
FX 
FY 


F   dF
FZ 
Grawitacja w pobliżu powierzchni Ziemi
F G
m1m2
r2
czyli zależy od wysokości nad powierzchnią?
Sprawdźmy dla h = 637 m
80
F 0  
F h  
F h 

F 0 
Czyli w pobliżu Ziemi siłą grawitacji jest w przybliżeniu stała!
Jeżeli dowolne ciało puścimy swobodnie w pobliżu Ziemi będzie spadać swobodnie z przyspieszeniem ziemskim g = 9,8 m/s2
Dla punktu dowolnie odległego przyspieszenie można wyznaczyć korzystając z II zasady dynamiki Newtona.
F  mag
Czyli ostatecznie:
ag 
GM
R2
W rzeczywistości występują różnice w wartości przyspieszenia Ziemskiego w różnych punktach na powierzchni Ziemi wynikające z
następujących przyczyn:
1.
2.
Ziemia nie jest jednorodna – gęstość skorupy Ziemskiej w różnych miejscach na powierzchni Ziemi jest różna
Ziemia nie jest kulista – jest to w przybliżeniu elipsoida obrotowa, spłaszczona przy biegunach - RR  RB  21km (geoida)
81
3.
Ziemia obraca się!
 

FD  G  FN
Prędkość orbitalna – Pierwsza prędkość kosmiczna
Ciało pozostanie na orbicie wtedy, gdy przyspieszenie dośrodkowe bezie dokładnie równe przyspieszeniu grawitacyjnemu


FD  G
Pierwsza prędkość kosmiczna
v
GM
km
 7,9
R
s
82
GRAWITACYJNA ENERGIA POTENCJALNA
Praca wykonana przez siły grawitacji na odsunięcie ciała z



punktu P na b. dużą (nieskończoną) odległość: W   F r dr
R
W 
GMm
R
ale:
EP  W  EP  EPR
83
NIEZALEŻNOŚĆ PRACY OD DROGI
WABCDEFG 
WABCDEFG  WAG  EP
A zatem pole grawitacyjne jest polem potencjalnym!
W polu potencjalnym:
F 
dE P r 
dr
Prędkość ucieczki – Druga prędkość kosmiczna
Ciało opuści ziemię, kiedy jego energia kinetyczna będzie co najmniej równa co do wartości jego zmianie jego energii potencjalnej w
Ziemskim polu grawitacyjnym przy przejściu z jej powierzchni do nieskończoności.
84
EK  EP
Druga prędkość kosmiczna
Trzecia prędkość kosmiczna
(potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego)
vII 
2GM
km
 11,2
R
s
vIII  16,7
km
s
PRAWA KEPLERA
Ruch planet obserwowany z Ziemi wydaje się być
bardzo skomplikowany.
Tor ruchu Marsa na tle gwiazdozbioru Koziorożca
(1971)
Pierwsze prawo Keplera: Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce
85
Parametry orbity:
a – półoś wielka
e – mimośród
Dla planet Układu Słonecznego
mimośrody są niewielkie
(Dla Ziemi e = 0,0167)
Drugie prawo Keplera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w
płaszczyźnie orbity; wielkość dS/dt (tzw. prędkość polowa), gdzie jest polem powierzchni zakreślonej przez tę linię jest stała.
dS

dt
  
Lrp
Drugie prawo Keplera jest w rzeczywistości równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.
86
Trzecie prawo Keplera: Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońce jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej tej
orbity.
FG  FD
 4 2  3
r
T  
GM


2
ENERGIA CAŁKOWITA A ORBITA
EP 
FG  FD
EK 
EC  EK  EP
Dla orbity eliptycznej
E
GMm
2a
87
GRAWITACJA WEDŁUG EINSTEINA
Zasada równoważności
Skutki grawitacji i ruchu przyspieszonego
są sobie równoważne
88
Zakrzywienie przestrzeni
Ogniskowanie (soczewkowanie) grawitacyjne
Przykład silnego soczewkowania
grawitacyjnego: galaktyka - soczewka (kolor
żółty) powoduje ugięcie promienia z odległego
kwazara (niebieskie bąbelki) dając poczwórny
obraz na niebie.
89
ELEMENTY MECHANIKI PŁYNÓW
Płyny są to substancje które nie posiadają kształtu, które po umieszczeniu w naczyniu przyjmują kształt tego naczynia. Płynie nie są w
stanie w stanie przenosić naprężeń ścinających a jedynie ściskające.
Do płynów zaliczamy zarówno ciecze jak i gazy.
Płyny opisujemy za pomocą dwu wielkości które mogą ulegać zmianie w objętości danego płynu a mianowicie gęstości i ciśnienia.
m
V
m
  lim

V 0 V

gęstość ciała
   




Gęstość gazów silnie zleży od ciśnienia natomiast cieczy tylko nieznacznie, inaczej mówiąc gazy są bardzo ściśliwe a ciecze raczej nie.
Ciecz idealna często wykorzystywana w rozważaniach teoretycznych jest nieściśliwa.
Płyny w spoczynku – ciśnienie hydrostatyczne
F2 
F1 
F2 
90
p  p0   g h
ciśnienie na głębokości h
Ciśnienie w pewnym punkcie w płynie
znajdującym się w równowadze
statycznej zależy od głębokości tego
punktu pod powierzchnią płynu, a nie
zależy od poziomych rozmiarów i kształtu
zbiornika w którym płyn jest zawarty.
Różnicę ciśnień między powierzchnią a
wnętrzem płynu nazywamy ciśnieniem
hydrostatycznym
ph   g h
Podobna sytuacja ma miejsce na powierzchnią cieczy jednak z uwagi na dużą ściśliwość powietrza nie można zakładać stałej
gęstości powietrza i sytuacja się komplikuje.
Naczynia połączone
Szlaufwaga
91
Pomiar ciśnienia
Barometr rtęciowy
Manometr otwarty
Prawo Pascala
W zamkniętym objętości nieściśliwego
płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona
bez zmiany wartości do każdego miejsca w
płynie i do ścian zbiornika
92
p  pe x   g h
Zastosowanie prawa Pascala – prasa hydrauliczna
Prasa hydrauliczna umożliwia działanie mniejszą siła na dłuższej drodze zamiast działania większą siłą na krótszej drodze.
93
Dlaczego statki pływają?
Statek, jak każde ciało doznaje
działania siły ciężkości która działa na
niego pionowo w dół powodując jego
zanurzanie się – czemu więc nie
tonie?

FG  M  g


Fb   Fi
i
PRAWO ARCHIMEDESA: Na ciało zanurzone (całkowicie lub częściowo) w płynie działa ze strony płynu siła wyporu równa co do wartości
ciężarowi (mpg) płynu wypartego przez to ciało.
94
Fb  Fg  0
Fb  Fg  0
Ciało pływa w płynie (unosi się na jego powierzchni) wtedy gdy wartość działającej na nie siły wyporu jest równa wartości działającej na nie
siły ciężkości.


FG  FWYP
Pytanie: Na rysunku przedstawiono trzy jednakowe otwarte od góry zbiorniki wypełnione po brzegi wodą. W dwóch z nich pływa gumowa
kaczka. Który zbiornik wraz zawartością jest najcięższy a który ma ciężar najmniejszy?
Ruch płynów doskonałych
1.
2.
3.
4.
Aby płyn można było potraktować jako doskonały jego przepływ musi spełniać następujące warunki:
Przepływ ustalony – przepływ jest ustalony (laminarny) wtedy gdy prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie
nie zmienia się z upływem czasu, zarówno co do wartości jak i kierunku.
Przepływ nieściśliwy – jest to możliwe wtedy gdy gęstość płyny jest stała, niezależna od ciśnienia
Przepływ nielepki – siły oporu lepkiego są zaniedbywanie małe
Przepływ bezwirowy
95
Ruch cząstek płynu przy jego przepływie
możemy zobrazować za pomocą linii prądu.
RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI
V  Sx
S1v1  S2v2
(równanie ciągłości)
96
Zależność powyższa jest prawdziwa również dla
tzw. strugi prądu, czyli umownej rury
ograniczonej przez linie prądu.
Możemy tę zależność zapisać również w postaci
RV  Sv  const
gdzie RV to szybkość przepływu objętości czyli
tzw. strumień objętościowy
Dla stałej gęstości analogiczna zależność dotyczy szybkości przepływu masy czyli strumienia masowego Rm
Rm 
Przykład: Struga wody wypływającej z kranu zwęża się ku dołowi. Wiedząc że przekrój S0 zaznaczony na rysunku wynosi 1,2 cm2 a
przekrój S = 0,35 cm2 znaleźć odległy w pionie od przekroju S0 o h = 45 cm znaleźć prędkość wody wypływającej z kranu.
97
RÓWNANIE BERNOULLIEGO
Rozważmy układ zawierający pewną objętość płynu doskonałego
Zmiana energii mechanicznej układu równa
jest pracy sił zewnętrznych
W  Emech
EK 
EP 
W
p
1 2
 v   g y  const
2
(równanie Bernoulliego)
98
Dla przepływów poziomych otrzymamy zależność
p1 
1
1
 v12  p2   v2 2
2
2
Jeżeli przy przepływie wzdłuż poziomej linii prądu prędkość elementu płynu wzrasta to ciśnienie płynu maleje i na odwrót.
Zastosowania praktyczne równania Bernoulliego
Pomiar prędkości samolotu względem
powietrza
Pomiar prędkości przepływu w
przewodzie
Rurka Pitota
Zwężka Venturiego
v
2  gh
 pow
V
2s 2 p
 s 2  S 2 
99
RUCH DRGAJĄCY
Ruch harmoniczny
Czas, po którym ciało powróci do
położenia początkowego (wykona
jedno pełne drganie) nazywamy
okresem ruchu
Liczbę pełnych drgań, jakie wykonuje
ciało w jednostce czasu nazywamy
częstotliwością
f 
1
T
Każdy ruch powtarzający się w
regularnych odstępach nazwiemy
ruchem okresowym.
Szczególnym przypadkiem ruchu
okresowego jest ruch harmoniczny
Przemieszczenie w takim ruchu
można opisać równaniem:
xt   xm cos t   
xm - amplituda ruchu;  - faza początkowa;  - częstość kątowa
100
xm '  x m
T  2T '
  '
Wielkość
 t    nazywana jest fazą ruchu
Przemieszczenie po pełnym okresie jest równe przemieszczeniu początkowemu:
xt   xt  T 

2
T
Częstość kołowa
  2 f
101
Prędkość w ruchu harmonicznym
xt   xm cos t   
vt  
dxt 

dt
at  
dvt 

dt
102
Siła w ruchu harmonicznym
Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:
F  ma 
Ruch harmoniczny to taki, w którym ciało o masie m, na które działa
siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.
Częstość kołowa
Okres
k
m
m
T  2
k

F  kx
103
Przykład: Wyznaczyć okres drgań układu przedstawionego na rysunku.
Ogólna postać równania oscylatora harmonicznego
F  kx
d 2x
  02 x  0
2
dt
104
ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM
Energia potencjalna sprężystości
EP  W
EP 
E P x  
1 2
kx
2
Energia potencjalna sprężystości
ale
xt   xm cos t   
EP t  
Energia kinetyczna w ruchy drgającym
EK t  
1
E K t   mv 2
2
EMECH  EK  EP
1
E MECH  kxM2
2
105
WAHADŁO
Wahadło matematyczne
106
M  I
Okres drgań wahadła matematycznego
T  2
l
g
Wahadło fizyczne
Siłą ciężkości przyłożona jest w środku
ciężkości dowolnego ciała.
Jeżeli h oznacza odległość środka masy
od osi obrotu to otrzymujemy zależność:
T  2
I
mgh
107
RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY
Siła oporu ośrodka lepkiego jest
proporcjonalna do wartości prędkości
ruchu łopatki i skierowana przeciwnie do
kierunku ruchu.
Fop  bv
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
Równanie to jest równoważne równaniu:
2
d x
dx

2

 02 x  0 , które ma rozwiązanie:
2
dt
dt
x  xM e   t cos t   ;

b
;    02   2
2m
108
Na skutek rozproszenia energii energia układu drgającego maleje wykładniczo z czasem
E MECH 
1 2 1 2 2  t
kA  kxM e
2
2
DRGANIA WYMUSZONE
Taki układ po ustaleniu się stanu
stacjonarnego będzie wykonywał drgania
z częstością kołową siły wymuszającej 

xt   xm cos t   
109
110
FALE
Rodzaje fal:
Fale mechaniczne - podlegają zasadom dynamiki Newtona, a do ich rozchodzenia niezbędne jest istnienie ośrodka materialnego
(powietrze, woda, metal).
Fale elektromagnetyczne - Opisane przez równania elektromagnetyzmu (Maxwella). Są to na przykład fale radiowe, świetlne, promienie
Roengetna. Nie wymagają istnienia ośrodka materialnego.
Fale materii - opisują falowe własności cząstek - np. ruch elektronów w mikroskopie elektronowym.
Jedną z najważniejszych cech fal jest sposób, w jaki drgają cząstki ośrodka, a dokładnie kierunek ich ruchu względem kierunku
rozchodzenia się fali.
Przemieszczenie każdego drgającego
elementu liny jest prostopadłe
(poprzeczne) do kierunku rozchodzenia
się fali.
W takim przypadku falę nazywamy falą
poprzeczną.
111
W takim przypadku ruch tłoka powoduje
ruch cząstek w powietrza w kierunku
równoległym do kierunku rozchodzenia
się fali.
W takim przypadku falę nazwiemy falą
podłużną.
Zarówno falę poprzeczna jak i podłużną z powyższych przykładów nazywamy falami biegnącymi, gdyż poruszają się one w określonym
kierunku.
Wychylenie dowolnego elementu liny w
punkcie o współrzędnych x i w chwili
czasu t można opisać zależnością.
yx, t   ym sin kx  t 
112
Amplitudą fali ym nazywamy bezwzględną wartość maksymalnego przemieszczenia elementu przy przechodzeniu przez niego fali.
Fazą fali nazywamy argument funkcji sinus (cosinus) w wyrażeniu opisującym przemieszczenie elementów ośrodka - faza wynosi kx   t  .
Faza zmienia się liniowo z czasem t.
Długością fali nazywamy odległość ( w kierunku rozchodzenia się fali) między kolejnymi powtórzeniami kształtu fali.
WEKTOR FALOWY
Ponieważ przemieszczenie w punktach odległych o  jest takie samo to:
yx,0  yx  ,0
k
2

Wektor falowy
Okres T fali definiujemy jako czas w ciągu dowolny element liny wykona jedno pełne
drganie
.
113
Związek między okresem a częstością kątową  jest dla fali analogiczny jak w przypadku drgań harmonicznych.

2
T
Częstość kątowa
PRĘDKOŚĆ FALI BIEGNĄCEJ
Do wyznaczenia prędkości rozchodzenia
się fal analizujemy, z jaką prędkością
poruszają się punkty o określonym
wychyleniu.
Punkty takie to punkty, w których faza fali
się nie zmienia
faza  const
Prędkość fali
v

k


T
 f
114
Rozpatrzmy teraz funkcję opisaną zależnością
yx, t   ym sin kx   t 
v

k
0
Fala biegnąca w lewo
Dla fali o kształcie dowolnym możemy zapisać ogólnie:
yx, t   hkx  t 
PRĘDKOŚĆ FALI W STRUNIE
115
Prędkość fali poprzecznej w strunie
v
T

116
SUPERPOZYCJA FAL
Załóżmy, że dwa impulsy falowe biegną
równocześnie wzdłuż tej samej liny.
Przemieszczenie wypadkowe liny będzie
wtedy ich sumą algebraiczną
y' x, t   y1 x, t   y2 x, t 
Nakładające się fale tworzą falę wypadkową.
Nakładające się fale nie wpływają na siebie wzajemnie.
117
INTERFERENCJA FAL
Co się stanie, jeżeli dwie fale sinusoidalne o takiej samej długości fali i amplitudzie biegną w tym samym kierunku?
FALE STOJĄCE
Rozważmy dwie fale o takich samych
amplitudach i długościach fali
rozchodzące się w kierunkach
przeciwnych wzdłuż napiętej liny.
y1 x, t   ym sin kx   t 
y2 x, t   ym sin kx   t 
y' x, t   y1 x, t   y2 x, t 
y' x, t   2 ym sin kxcos  t
Fala stojąca
Węzłem fali stojącej nazywamy punkt, w którym amplituda fali stojącej mam wartość równą zeru
2 ym sin kx  0
Strzałką fali stojącej nazywamy punkt, w którym amplituda fali stojącej osiąga wartość maksymalną.
2 ym sin kx  2 ym
Zarówno węzły jak i strzałki odległe są od siebie o pół długości fali.
118
119
OBICIE FALI
Koniec umocowany
Koniec swobodny
FALE STOJĄCE W NAPIĘTEJ STRUNIE - REZONANS
Rozważmy strunę rozpiętą między dwoma zaciskami. Końce takiej struny nie mogą drgać. Jeżeli struna ma długość L to:
y0  yL  0
120
Pierwsza harmoniczna
f1 
v


Druga harmoniczna
v
2L
f2 
Trzecia harmoniczna
f3 
v


3v
v
3
 3 f1
2L
2L
FALE DŹWIĘKOWE
Prędkość rozchodzenia się fali
zależy od sprężystości i
bezwładności ośrodka.
Dla fal na sznurze:
T
v

Dla fal dźwiękowych
v
B

B - moduł ściśliwości
v


v
v
2
 2 f1
L
2L
121
W przypadku fali dźwiękowej
przemieszczenie ośrodka w kierunku
ruchu fali opisać można zależnością
sx, t   sM coskx   t 
Podczas ruchu ciśnienie powietrza
mienia się sinusoidalnie
px, t   pM sin kx   t 
Amplitudy tych zmian wiąże
zależność:
pM  v sM
INTERFERENCJA
Rozważmy dwa punktowe źródła dźwięku
 L

2

122
L
L


Interferencja całkowicie konstruktywna
(wzmocnienie)
 0,1,2,, n
 0,5; 1,5; 2,5;; n 
1
2
Interferencja całkowicie destruktywna (wygaszenie)
ZJAWISKO DOPPLERA
Nieruchome źródło i obserwator
Ruchomy obserwator
Ruchome źródło
123
Efekt Dopplera
f ' f0
v  vO
v  vŹ
PRĘDKOŚCI NADDŹWIĘKOWE
sin  
124
vS
1

- Liczba Macha
v sin 
NATĘŻENIE DŹWIĘKU
Natężenie fali dźwiękowej (I) określa średnią szybkość, z jaką energia jest dostarczana do jednostki powierzchni
I
P
S
Dla fali dźwiękowej:
I
1
v 2 s M2
2
125
Jeżeli energia rozchodzącej się fali zostaje
zachowana, to natężenie dźwięku w funkcji
odległości od źródła opisze się zależnością:
I
P
4 r 2
Z uwagi na bardzo szeroki zakresu amplitud drgań, jakie może przenosić ludzkie ucho (od 10 -11 m do około 10-5 m) natężenie dźwięku
wyraża się w skali logarytmicznej.
Głośność dźwięku
  10  log
I
[dB] ; I0=10-12 W/m2
I0
Przykład: Jeżeli jedna syrena emituje dźwięk o natężeniu 70 dB to jakie jest natężenie dźwięku od 10 takich samych syren?
126
Poziom głośności
Poziom głośności jest równy 1 fonowi jeżeli wywołuje on takie
wrażenie głośności jak dźwięk o f = 1kHz o natężeniu 1 dB
INSTRUMENTY MUZYCZNE JAKO ŹRÓDŁA DŹWIĘKU

2L
, n  1,2,3,
n

4L
, n  1, 3, 5,
n
127
BARWA DŹWIĘKU
flet
obój
Mówimy że dwa instrumenty różnią się barwą, gdy różna jest dla nich zawartość harmonicznych w generowanym dźwięku.
DUDNIENIA
s1  sM cos 1t
s2  sM cos 2t
' 

Częstotliwość dudnień f  f1  f 2