dwójnik źródłowy prądu stałego - Zakład Obwodów i Sygnałów

ĆWICZENIE 1
DWÓJNIK ŹRÓDŁOWY PRĄDU STAŁEGO
Cel ćwiczenia: sprawdzenie zasady równoważności dla dwójnika źródłowego
(twierdzenie Thevenina, twierdzenie Nortona), sprawdzenie warunku
dopasowania odbiornika do źródła.
1.1. Podstawy teoretyczne ćwiczenia
1.1.1.
Dwójnik
Określenie dwójnika
jest
to
dowolnie
złożony
układ
elektryczny
o
wyróżnionych
i
wyprowadzonych na zewnątrz dwu zaciskach. Jego stan elektryczny albo stan pracy określają
wartości napięcia U między wyróżnionymi końcówkami i natężenia prądu I w obwodzie
zewnętrznym. Wartości te zależą od parametrów obwodu zewnętrznego, stanowiącego
obciążenie dwójnika (rys.1.1.).
I
A
U
D
R
R
E
B
Rys.1.1. Dwójnik z dołączonym obciążeniem
Granicznymi stanami pracy dwójnika są:
a) stan jałowy, gdy do końcówek dwójnika nie jest dołączone żadne obciążenie. W tym
przypadku natężenie prądu I w obwodzie zewnętrznym jest równe zeru. Natomiast
napięcie między końcówkami dwójnik
Uo
nazywane jest napięciem stanu jałowego
dwójnika (rys. 1.2.a.).
b) stan zwarcia, gdy końcówki dwójnika są połączone bezrezystancyjnym przewodem.
W tym przypadku napięcie U między końcówkami dwójnika jest równe zeru. Natomiast
prąd płynący między końcówkami dwójnika Iz nazywane jest prądem zwarcia dwójnika
(rys. 1.2.b).
-1-
I=0 A
IZ A
U0
D
D
U=0
B
B
Rys. 1.2. Stan jałowy i stan zwarcia dwójnika
Jeżeli:
1. Napięcie dwójnika w stanie jałowym jest różne od zera (Uo ≠ 0),
2. Natężenie prądu dwójnika w stanie zwarcia jest różne od zera (Iz ≠ 0),
to taki dwójnik jest określany jako dwójnik źródłowy.
Napięcie w stanie jałowym i natężenie prądu w stanie zwarcia całkowicie
charakteryzują dwójnik źródłowy. Wielkości te nazywają się parametrami zewnętrznymi
dwójnika. Parametry zewnętrzne można zmierzyć lub wyznaczyć analitycznie. Do
wyznaczenia parametrów zewnętrznych na drodze analitycznej trzeba znać schemat obwodu
stanowiącego dwójnik.
Dwójnik bezźródłowy jednoznacznie charakteryzuje jeden parametr – rezystancja.
1.1.2.
Twierdzenie Thevenina
Twierdzenie Thevenina (jak i twierdzenie Nortona, omówione w punkcie następnym),
wynika z zasady równoważności, która mówi, że dwa układy n zaciskowe są sobie
równoważne, gdy ich zamiana nie powoduje zmiany wielkości zaciskowych (Uk , Ik)
związanych z ich końcówkami.
Niech będzie dany liniowy dwójnik źródłowy z zaciskami A-B. Na zaciskach A-B
wykonuje się dwa pomiary:
-
idealnym woltomierzem (o rezystancji wewnętrznej równej ∞) pomiar napięcia Uo w
stanie jałowym (rys. 1.3.a.),
-
idealnym amperomierzem (o rezystancji wewnętrznej równej zeru) pomiar prądu Iz w
stanie zwarcia (rys. 1.3.b.).
-2-
Iz A
I=0 A
V
U0
DŹ
DŹ
U0=0
RV=
A
RA=0
B
B
Rys 1.3. Pomiar parametrów zewnętrznych dwójnika
Twierdzenia Thevenina:
Każdy liniowy dwójnik źródłowy DŹ o napięciu źródłowym Uo i prądzie
zwarcia Iz, od strony swych zacisków jest równoważny układowi
zastępczemu złożonemu z szeregowego połączenia źródła napięcia Uo
i rezystancji Rw określonej zależnością Rw =
I
Uo
.
Iz
A
A
U0
U
DŹ
U
RW
B
B
Rys.1.4.Ilustracja twierdzenia Thevenina
Twierdzenie Thevenina nosi również nazwę twierdzenia o zastępczym generatorze
(źródle) napięcia.
Wnioski wynikające z twierdzenia Thevenina:
1. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego (rys. 1.5), między którymi
występuje napięcie stanu jałowego Uo , dołączyć gałąź bezźródłową o rezystancji Rob ,
to prąd w tej gałęzi jest określony zależnością (1.1).
I=
I
Uo
Rw + Rob
(1.1)
I
A
A
U0
DŹ
U
Rob
B
RW
U
B
Rys. 1.5. Dwójnik źródłowy obciążony rezystancją Rob
-3-
2. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego (rys. 1.6.), między
którymi występuje napięcie stanu jałowego Uo , dołączyć gałąź składającą się z
szeregowego połączenia źródła napięciowego o wartości E i rezystancji Rob , to prąd w
tej gałęzi jest określony ilorazem algebraicznej sumy napięć Uo oraz E, przez sumę
rezystancji Rw i Rob .
I=
Uo ± E
Rw + Rob
(1.2)
gdzie znak + w liczniku dla układu z rysunku 1.6.a. , a znak minus dla układu z
rysunku 1.6.b.
a)
I
U0
RW
b)
A
U
E
U0
Rob
RW
I
A
E
U
Rob
B
B
Rys. 1.6. Dwójnik źródłowy obciążony gałęzią źródłową
1.1.3.
Twierdzenie Nortona
Przekształcając równanie (1.1) do postaci:
U o = IRob + IRw
(1.3)
i dzieląc stronami przez Rw , otrzymujemy:
U o IRob
=
+I
(1.4)
Rw
Rw
Uo
= I z jest prądem zwarcia dwójnika źródłowego, to wprowadzając
Ponieważ
Rw
IR
U
= I w , równanie (1.9) można zapisać w postaci:
oznaczenie ob =
Rw
Rw
Iz = Iw + I
(1.5)
1
gdzie: Iw – prąd w rezystancji Rw (konduktancję G w =
) na zaciskach której
Rw
występuje napięcie U,
1
I – prąd w rezystancji obciążenia Rob (konduktancję Gob =
) na zaciskach
Rob
której występuje napięcie U,
Równanie (1.5) opisuje układ równoległego połączenia źródła prądowego Iz i dwóch
rezystancji Rw i Rob (konduktancji Gw i Gob) jak pokazano na rys. 1.7.
-4-
Układ ten jest równoważny układowi z rys. 1.5., dlatego twierdzenie Nortona można
sformułować w sposób następujący:
I
IZ
A
U
B
Rys. 1.7. Układ równoległego połączenia źródła prądowego Iz i dwóch konduktancji Gw i Gob
(rezystancji Rw i Rob)
Twierdzenie Nortona:
Każdy liniowy dwójnik źródłowy DŹ o napięciu źródłowym Uo i prądzie
zwarcia Iz , od strony swych zacisków jest równoważny układowi
zastępczemu złożonemu z równoległego połączenia źródła prądowego Iz
i konduktancji Gw określonej zależnością G w =
Iz
.
Uo
Twierdzenie Nortona nosi również nazwę twierdzenia o zastępczym generatorze
(źródle) prądu.
Wnioski:
1. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego, o prądzie zwarcia Iz ,
dołączyć gałąź bezźródłową o konduktancji Gob, to napięcie na tej gałęzi jest
określone ilorazem prądu Iz przez sumę konduktancji Gw i Gob .
Iz
(1.6)
G w + Gob
2. Jeżeli do zacisków danego liniowego dwójnika źródłowego (rys. 1.8) , o prądzie
U=
zwarcia Iz , dołączyć gałąź złożoną z równoległego połączenia źródła prądu o wartości
Iz1 i konduktancji Gob , to napięcie na tej gałęzi jest określone ilorazem algebraicznej
sumy prądów Iz oraz Iz1 , przez sumę konduktancji Gw i Gob.
U=
I z ± I z1
G w + Gob
(1.7)
gdzie znak + w liczniku dla układu z rysunku 1.8.a. , a znak minus dla układu z
rysunku 1.8.b.
-5-
a)
IZ
b)
I
I
A
U
IZob
IZ
A
U
IZob
B
B
Rys. 1.8. Dwójnik źródłowy obciążony gałęzią źródłową
1.1.4.
Warunek dopasowania
W układach elektrycznych, w procesie przekazywania mocy, zachodzi często potrzeba
maksymalizacji mocy pobieranej przez odbiornik dołączony do dwójnika źródłowego.
Przez problem dopasowania energetycznego odbiornika do dwójnika źródłowego
rozumiemy taki dobór parametrów odbiornika (przy ustalonych parametrach dwójnika
źródłowego), dla których moc użyteczna odbiornika osiąga maksimum.
Dla obwodu z rys. 1.9, przy powyższym założeniu i zmianie rezystancji obciążenia od
zera do nieskończoności, moc użyteczną Puż określa zależność:
Puż = GobU 2 = Rob I 2 = U o2
I
Rob
(Rw + Rob )2
(1.8)
A
U0
RW
Rob
U
B
Rys. 1.9. Dwójnik źródłowy obciążony regulowaną rezystancją Rob.
Problem sprowadza się do znalezienia takiej wartości zmiennej rezystancji obciążenia,
przy której funkcja (Puż = f (Rob) - zależność (1.8)) osiąga ekstremum. Ponieważ:
Puż ≥ 0
oraz
Puż = 0 przy Rob = 0
i
lim P
Rob → ∞
uż
=0
funkcja Puż = f (Rob) posiada co najmniej jedno maksimum.
W celu wyznaczenia warunków w których moc odbiornika jest największa, obliczana
jest pochodna funkcji Puż = f (Rob).
-6-
dPuż
Rw2 − Rob2
( R + Rob ) 2 − 2 Rob ( Rw + Rob )
2
=
U
= U o2 w
o
dRob
(Rw + Rob )4
(Rw + Rob )4
,
(1.9)
Następnie wyznacza się wartość rezystancji odbiornika, przy której obliczona pochodna
przyjmuje wartość zerową. Stąd:
Rob = Rw
(1.10)
i jest to jedyne rozwiązanie dla Rob > 0.
Warunek (1.10) nazywany jest dopasowaniem odbiornika do źródła (dwójnika
źródłowego). Wartość maksymalnej mocy użytecznej w warunkach dopasowania wynosi
więc (po podstawieniu (1.10) do (1.8)):
Puż max
U o2
=
.
4 Rw
(1.11)
Oprócz mocy użytecznej odbiornika w układzie źródło – odbiornik, występuje również
moc strat wewnątrz źródła Pw (na rezystancji wewnętrznej).
Pw = Rw I 2 = U o2
Rw
( Rw + Rob ) 2
(1.12)
Zgodnie z zasadą Tellegena, całkowita moc źródła napięcia wynosi:
U o2
U o2
U o2
U o2
Rob =
( Rw + Rob ) =
Pc = Pw + Puż =
Rw +
( Rw + Rob )
( Rw + Rob ) 2
( Rw + Rob ) 2
( Rw + Rob ) 2
(1.13)
Stosunek mocy użytecznej do mocy całkowitej źródła nosi nazwę sprawności η.
-
dla schematu napięciowego dwójnika:
η=
-
Puż
Rob
=
Pc
Rw + Rob
(1.14)
dla schematu prądowego dwójnika:
η=
Puż
Gob
=
Pc G w + Gob
(1.15)
W warunkach dopasowania, sprawność przyjmuje wartość:
ηR
ob = Rw
= 0,5
(1.16)
a moc całkowita źródła:
Pc
Rob = Rw
=
U o2
I2
= z
2 Rw 2G w
-7-
.
(1.17)
1.2. Badania laboratoryjne
LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI
Podgrupa
Numer ćwiczenia
Nazwisko i imię
Ocena
Data wykonania
ćwiczenia
Podpis prowadzącego
zajęcia
Grupa
Lp.
1.
2.
3.
4.
5.
Temat
5
1.2.1. Wykaz przyrządów
Tabela 1.0.
Oznaczenia
Nazwa i typ elementu
Dane
Nr fabr.
Uwagi
1
2
3
4
5
-8-
1.2.1. Pomiar parametrów dwójnika źródłowego
W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.10, wykonać pomiary napięcia Uo
(przełącznik P w położeniu 1) i prądu Iz (przełącznik P w położeniu 2), dla dwóch wartości
rezystancji R3. Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 1.1.
I5
R5
R2
E1
2
P
A
1
R3(2)
R1
R4
R3(1)
V
Rys. 1.10. Układ do pomiaru parametrów zewnętrznych badanego dwójnika (przełącznik P w
położeniu 1 – pomiar Uo, przełącznik w położeniu 2 – pomiar Iz)
Tab. 1.1
E1 = ................ [V]; I5 = ................ [A]; R1 = ................ [Ω]; R2 = ................ [Ω];
R3(1) = ................ [Ω]; R3(2) = ................ [Ω]; R4 = ................ [Ω]; R5 = ................ [Ω];
Pomiary
Lp
.
Obliczenia
R3
Uo
Iz
Ω
V
A
Rw
Gw
(z pom.)
(z pom.)
Ω
S
Uo
Iz
Rw
Gw
V
A
Ω
S
(z oblicz.) (z oblicz.) (z oblicz.) (z oblicz.)
1.
2.
...
Opracowanie wyników pomiarów:
•
na podstawie wykonanych pomiarów obliczyć Rw i Gw , wyniki wpisać do tabeli 1.1.
•
na podstawie danych wartości elementów tworzących badany dwójnik źródłowy z rys.
1.10, obliczyć parametry równoważnego dwójnika źródłowego (napięciowego i
prądowego), wyniki obliczeń wpisać do tabeli 1.1.
-9-
1.2.2. Pomiar prądu w odbiorniku
W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.11 dokonać pomiaru prądu w
odbiorniku (Rob) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej.
Pomiaru dokonać dla dwóch wartości rezystancji R3. Wyniki pomiarów prądu wpisać do
tabeli 1.2 i tabeli 1.3.
R5
R2
E1
2
P
A
1
R1
R3(2)
R4
R3(1)
V
Rob
Rys. 1.11. Układ do pomiaru prądu płynącego przez odbiornik (przełącznik P w położeniu 2)
przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej
Tab. 1.2
E1 = ................ V; I5 = ................ A; R1 = ................ Ω; R2 = ................ Ω;
R3(1) = ................ Ω; R4 = ................ Ω; R5 = ................ Ω;
Pomiary
Lp.
Rob
Ω
Obliczenia
I(1)
A
Gob
S
U(1)
V
Puż(1)
W
1
2
...
Tab. 1.3
E1 = ................ V; I5 = ................ A; R1 = ................ Ω; R2 = ................ Ω;
R3(2) = ................ Ω; R4 = ................ Ω; R5 = ................ Ω;
Pomiary
Lp.
Rob
Ω
Obliczenia
I(2)
A
Gob
S
1
2
...
- 10 -
U(2)
V
Puż(2)
W
Opracowanie wyników pomiarów:
•
na podstawie pomiaru prądu obliczyć napięcie U(1) i U(2) na rezystancji odbiornika Rob
i moc użyteczną Puż odbiornika, wyniki obliczonych wartości napięcia i mocy
użytecznej wpisać do tabeli 1.2 i tabeli 1.3.
•
w oparciu o wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczonych w tabelach 1.2 i 1.3 (dla
dwóch wartości rezystancji R3) wykonać wykresy następujących zależności:
-
I = f (Rob), U = f (Rob) , Puż = f (Rob),
-
U = f(I)
1.2.3. Pomiar prądu płynącego w odbiorniku dla dwójnika równoważnego
o schemacie napięciowym (dwójnik Thevenina)
W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.12 dokonać pomiaru prądu w
odbiorniku (Rob) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej.
Pomiaru dokonać dla dwóch dwójników równoważnych (odpowiadających wartościom
rezystancji R3). Wyniki pomiarów prądu wpisać do tabel 1.4 i 1.5.
2
P
A
1
U0
Rob
V
RW
Rys. 1.12. Układ do pomiaru prądu w odbiorniku (przełącznik P w położeniu 2) przy zmianie
wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej
Tab. 1.4
Uo1 = ................ V; Rw(1) = ................ Ω;
Pomiary
Lp.
Rob
Ω
Obliczenia
I(1)
A
Gob
S
U(1)
V
Pc(1)
W
Pw(1)
W
Puż(1)
W
η (1)
-
1
2
...
Tab. 1.5
- 11 -
Uo2 = ................ V; Rw(2) = ................ Ω;
Pomiary
Lp.
Rob
Ω
Obliczenia
I(2)
A
Gob
S
U(2)
V
Pc(2)
W
Pw(2)
W
Puż(2)
W
η (2)
-
1
2
...
Opracowanie wyników pomiarów:
•
na podstawie pomiaru prądu obliczyć napięcie na rezystancji odbiornika Rob , moc
użyteczną Puż odbiornika, moc na rezystancji wewnętrznej Pw , moc całkowitą Pc i
sprawność η układu; wyniki obliczonych wartości napięcia i mocy użytecznej wpisać
do tabel 1.4 oraz 1.5., ponadto wykonać wykresy:
-
I = f (Rob), U = f (Rob) , Puż = f (Rob),
-
U = f(I)
•
porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w pkt. 1.2.2, opracować wnioski.
•
w oparciu o wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczonych w tabelach 1.4 i 1.5
wykonać wykresy następujących zależności:
-
Pc = f (Rob), Pw = f(Rob)
-
η = f(Rob)
1.2.4. Pomiar prądu w odbiorniku dla dwójnika równoważnego o schemacie
prądowym (dwójnik Nortona)
W układzie pomiarowym przedstawionym na rys. 1.13. dokonać pomiaru prądu w
odbiorniku (Rob) przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej.
Pomiaru dokonać dla dwóch dwójników równoważnych (odpowiadających wartościom
rezystancji R3). Wyniki pomiarów prądu wpisać do tabeli 1.6. i tabeli 1.7.
2
P
A
1
IZ
RW
- 12 -
V
Gob
Rob
Rys. 1.13. Układ do pomiaru prądu płynącego przez odbiornik (przełącznik P w położeniu 2)
przy zmianie wartości rezystancji Rob od zera do wartości maksymalnej
Tab. 1.6
Iz1 = ................ V; Gw(1) = ................ Ω;
Pomiary
Lp.
Rob
Ω
Obliczenia
I(1)
A
Gob
S
U(1)
V
Pc(1)
W
Pw(1)
W
Puż(1)
W
η (1)
-
1
2
...
Tab. 1.7
Iz2 = ................ V; Gw(2) = ................ Ω;
Pomiary
Lp.
Rob
Ω
Obliczenia
I(2)
A
Gob
S
U(2)
V
Pc(2)
W
Pw(2)
W
Puż(2)
W
η (2)
-
1
2
...
Opracowanie wyników pomiarów:
•
na podstawie pomiaru prądu obliczyć napięcie na rezystancji odbiornika Rob , moc
użyteczną Puż odbiornika, moc na rezystancji wewnętrznej Pw , moc całkowitą Pc i
sprawność η układu; wyniki obliczonych wartości napięcia i mocy użytecznej wpisać
do tabel 1.6 i 1.7, ponadto wykonać wykresy:
-
I = f (Rob), U = f (Rob) , Puż = f (Rob),
-
I = f (Gob), U = f (Gob) , Puż = f (Gob),
-
U = f(I)
•
porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w pkt. 1.2.2 i w pkt. 1.2.3, opracować
wnioski,
•
w oparciu o wyniki pomiarów i obliczeń zamieszczonych w tabelach 1.6 i 1.7
wykonać wykresy następujących zależności:
-
Pc = f (Rob), Pw = f(Rob)
-
η = f(Rob)
•
porównać otrzymane wykresy z uzyskanymi w pkt. 1.2.3.
- 13 -
1.2.5. Opracowanie wniosków z ćwiczenia
Uzasadnić otrzymane wyniki pomiarów i obliczeń oraz sporządzone wykresy.
Porównać wyniki pomiarów z wynikami obliczeń. Opracować wnioski z wykonanego
ćwiczenia.
- 14 -