zmienność jako przedmot handlu na rynkach finansowych

Juliusz Jabłecki, Ryszard Kokoszczyński,
Paweł Sakowski, Robert Ślepaczuk, Piotr Wójcik
Wydział Nauk Ekonomicznych
Uniwersytet Warszawski
ZMIENNOŚĆ JAKO PRZEDMOT HANDLU NA RYNKACH FINANSOWYCH –
EKONOMICZNE PRZESŁANKI NOWYCH INSTRUMENTÓW POCHODNYCH1
Streszczenie: Tekst przedstawia nową klasę instrumentów pochodnych, a mianowicie instrumenty pochodne na
zmienność. Przydatność tego typu instrumentów argumentowana jest dodatkowo przykładami portfeli
inwestycyjnych, które po dodaniu ekspozycji na zmienność, zarówno w postaci ekspozycji krótkiej, jak i długiej,
zyskują na efektywności.
Abstract: This paper presents a new asset class, i.e. volatility derivatives. We show that they may constitute an
attractive additional element of a portfolio, both in the form of a short and a long exposure.
Słowa kluczowe: zmienność implikowana, zmienność zrealizowana, variance swap, VIX.
Wprowadzenie
Instrumenty finansowe będące przedmiotem handlu na rynkach finansowych reprezentują zwykle
aktywa, które dzielimy na grupy zwane klasami aktywów. W ekonomii i finansach nie ma jednego, powszechnie
akceptowanego sposobu definiowania klasy aktywów. Podstawowe, jak się wydaje, podejście do takiej definicji,
mówi, że klasą aktywów jest grupa papierów wartościowych o podobnej charakterystyce relacji ryzyka i stopy
zwrotu, która zachowuje się podobnie na rynku w reakcji na wiele różnorodnych zjawisk (por. Kitces 2012).
Standardowa, tradycyjna klasyfikacja aktywów będących przedmiotem obrotu na rynkach finansowych wyróżnia
więc przede wszystkim gotówkę (i równoważne jej instrumenty rynku pieniężnego), instrumenty dłużne
(obligacje) i udziały (akcje). Jednak w ostatnich dekadach lista ta ulega stałemu rozszerzaniu. Dla większości
teoretyków i praktyków bezdyskusyjne jest traktowanie nieruchomości i towarów o charakterze surowcowym
(commodities) jako dodatkowych klas aktywów. Pewną komplikacją w próbach stworzenia prostego i
klarownego schematu podziału instrumentów finansowych na klasy aktywów stało się rozpowszechnienie
instrumentów pochodnych. Ich liczba i złożoność są, zdaniem niektórych, przeszkodą w potraktowaniu
wszystkich instrumentów pochodnych jako jednej klasy aktywów. Przykładowo, ISDA wyróżnia 6 głównych
klas aktywów o tym charakterze, a mianowicie instrumenty pochodne związane z akcjami, walutami obcymi,
stopami procentowymi, energią i surowcami, pochodne kredytowe (łącznie z CDS) oraz produkty
strukturyzowane2. W ramach każdej z tych klas ISDA wymienia jeszcze rozmaite podklasy, a wśród
instrumentów pochodnych związanych z akcjami - różnorodne instrumenty pochodne umożliwiające uzyskanie
ekspozycji na zmienność. Chcemy w tym tekście przedstawić przyczyny pojawienia się tych właśnie
instrumentów, podstawowe ich formy oraz możliwe korzyści z korzystania z nich w tworzeniu portfeli
inwestycyjnych.
Ekspozycja na zmienność – przyczyny i charakter
Jak wiemy, zmienność na rynkach finansowych nie jest parametrem obserwowalnym bezpośrednio.
Literatura poświęcona rozmaitym możliwym podejściom do jej operacjonalizacji i kwantyfikacji jest na tyle
1
Artykuł przygotowany w ramach realizacji projektu badawczego 2011/03/B/HS4/02298 finansowanego przez
NCN. Artykuł wyraża osobiste poglądy autorów, a nie instytucji, z którymi są związani.
2
Por. www2.isda.org/asset-classes.
1
obszerna, iż nawet skrótowe jej przedstawienie w tym tekście nie jest możliwe3. Jednak ze względu na to, iż
zajmujemy się tutaj bardziej praktycznym, rynkowym aspektem tej problematyki, możemy ograniczyć się do
standardowego dla literatury empirycznej rozumienia zmienności. Przy takim podejściu rozróżnia się dwa
mierniki (lub estymatory) zmienności. Pierwszy z nich to zmienność implikowana, a więc taka wartość
odchylenia standardowego stóp zwrotu, która wstawiona do wzoru Blacka-Scholesa na wartość opcji pozwala
uzyskać rynkową cenę opcji. Drugi miernik to zmienność zrealizowana rozumiana zwykle jako odchylenie
standardowe (logarytmicznych) stóp zwrotu mierzonych w ustalonych odcinkach czasu w określonym okresie
(np. dziennych stóp zwrotu w danym kwartale lub roku).
W obu przypadkach pewne cechy zmienności czynią z niej potencjalnie interesujący przedmiot
inwestycji4. Zmienność i stopa zwrotu z instrumentu bazowego mają tendencję do poruszania się w przeciwnych
kierunkach (są silnie ujemnie skorelowane), co czyni ze zmienności naturalnego kandydata do dywersyfikacji
portfela. Ta ujemna korelacja jest zwykle najsilniejsza w przypadku poważnych spadków na rynku. Zmienność
ma również własność powracania do swojej długookresowej średniej.
Uzasadnienie pojawienia się instrumentów pochodnych na zmienność może nie wydawać się oczywiste.
Wiemy bowiem, iż w ciągle odgrywającej ważną rolę koncepcji Blacka-Scholesa-Mertona to zmienność
odgrywa kluczową rolę w wyznaczeniu wartości opcji. Oznacza to, iż przykładowo prosty zakup opcji pozwala
nam uzyskać ekspozycję na zmienność. Jak jednak łatwo pokazać5, taki prosty zakup opcji (powiedzmy, na
indeks) nie daje ekspozycji wyłącznie na zmienność, ale również kierunkową ekspozycję na poziom samego
indeksu. Można wprawdzie uzupełnić taki portfel i tę kierunkową ekspozycję skompensować przeciwstawną
pozycją uzyskaną dzięki zakupowi kontraktów terminowych (futures) na indeks, ale w praktyce uzyskanie
doskonałego zabezpieczenia taką metodą jest właściwie niemożliwe. Trzeba byłoby bowiem korygować skład
portfela w sposób ciągły, co nie zawsze jest możliwe (płynność rynku, brak ograniczeń krótkiej sprzedaży etc.) i
znacznie zwiększałoby koszty transakcyjne.
Dlatego też mamy obecnie na rynku do czynienia z instrumentami pozwalającymi na uzyskanie
bezpośredniej i czystej ekspozycji na zmienność jaką są kontrakty terminowe na zmienność (implikowaną) oraz
kontrakty typu variance swap.
Najbardziej rozpowszechnionym przykładem kontraktu terminowego na zmienność jest kontrakt oparty
na stworzonym przez giełdę w Chicago indeksie VIX 6. VIX powstał w 1993 roku jako miara oczekiwanej
zmienności implikowanej wyrażonej przez ceny opcji at-the-money (ATM, po cenie) na indeks akcji S&P 100.
W 2003 roku indeks VIX zmodyfikowano tak, by zrezygnować z założeń metodologicznych potrzebnych dla
wyliczenia zmienności implikowanej. Nowa formuła indeksu VIX wyraża jego wartość jako miarę 30-dniowej
oczekiwanej zmienności indeksu S&P 500 wyliczaną z następującego wzoru
gdzie σ2 = VIX/100, T to czas do zapadalności opcji (30 dni), F - cena forward indeksu wyliczona na podstawie
cen opcji, K0 to pierwszy poziom kursu wykonania opcji (strike) poniżej F, Ki to kurs strike dla i-tej opcji poza
ceną (out of the money) – gdy Ki > K0, to mamy do czynienia z opcją kupna (call), w przeciwnym wypadku z
opcją sprzedaży (put), ΔKi to różnica między kolejnymi kursami wykonania, R to stopa procentowa wolna od
ryzyka, a Q(Ki) to połowa spreadu między ceną kupna i ceną sprzedaży opcji dla i-tegu kursu strike.
Nie jest możliwe stworzenie instrumentu o wartości każdorazowo tożsamej z aktualnym poziomem
VIX, gdyż ten ostatni jest w każdej chwili równy bieżącej oczekiwanej wartości zmienności indeksu S&P 500 w
ciągu kolejnych 30 dni liczonych od tej chwili. Jednak wprowadzone w 2004 roku przez CBOE kontrakty
futures rozliczane do poziomu indeksu VIX w dniu wygaśnięcia transakcji pozwalają na uzyskanie ekspozycji
na VIX. Ceny tych kontraktów wyrażają bowiem oczekiwania uczestników rynku co do zmienności indeksu
S&P 500, jaka będzie zawarta w cenach 30-dniowych opcji w terminie zapadalności kontraktu.
W obrocie giełdowym znajdują się jeszcze inne instrumenty pochodne umożliwiające uzyskanie
ekspozycji na zmienność, wśród których względnie popularne to opcje na VIX. Ilustracją skali tego rynku może
być wykres 1, gdzie pokazana jest liczba wszystkich aktywnych kontraktów terminowych (futures) na VIX i na
opcje na VIX na tle liczby aktywnych kontraktów na indeks S&P 500.
3
Poświęciliśmy tej problematyce odrębny tekst, w którym można znaleźć przegląd różnych stanowisk w tych
kwestiach; por. Jabłecki i in. 2013a.
4
Szerszą argumentację można znaleźć np. w Guobuzaite i Martellini 2012.
5
Por. np. Derman 2003, BNP Paribas 2012.
6
Szczegółowe informacje na temat indeksu VIX i instrumentów pochodnych, dla których jest on instrumentem
bazowym, znaleźć można na stronie giełdy w Chicago www.cboe.com
2
Wykres 1.
Liczba aktywnych kontraktów futures na VIX i opcji na VIX na tle liczby kontraktów na indeks S&P 500
Źródło: Bloomberg
Drugim podstawowym typem instrumentu umożliwiającego uzyskanie ekspozycji na zmienność jest
variance swap, który jest zwykle przedmiotem obrotu na rynku pozagiełdowym (OTC). Idea tego instrumentu
polega na „wymianie” przyszłej zmienności zrealizowanej na bieżącą zmienność implikowaną. Kontrakt jest
jednak oparty na wariancji (tj. kwadracie zmienności) ze względu na możliwości jego replikacji. Formalnie
kontrakt jest określony przez wielkość wypłaty daną wzorem
gdzie RV to zmienność zrealizowana czyli odchylenie standardowe logarytmicznych stóp zwrotu w okresie do
zapadalności transakcji, Σ to strike swapa, a Notional to wielkość nominalnego zaangażowania podawana w
jednostkach wrażliwości swapa na zamiany zmienności (vega).
Ze względu na dominującą rolę rynku pozagiełdowego w obrotach tym instrumentem trudno jest
określić ich wielkość, ale pewne szacunki mówią o nawet dziesięciokrotnym wzroście obrotów od początku
minionej dekady, nawet mimo załamania tego rynku w początkowym okresie kryzysu (tj. w latach 2008 – 2009).
Instrumentem bazowym dla kontraktów variance swap są przy tym przede wszystkim indeksy giełdowe z
najważniejszych rynków (S&P 500, Nasdaq, FTSE, DAX, Nikkei 225 itp.). W związku z popularnością tych
instrumentów CBOE Futures Exchange wprowadziła w maju 2004 roku kontrakty futures na trzymiesięczną
wariancję zrealizowaną. Giełdowy obrót takimi kontraktami przeżył poważne załamanie w roku 2008, ale
ostatnio zaczyna się odradzać.
Instrumenty pochodne na zmienność jako narzędzia poprawy efektywności portfela inwestycyjnego
Najprostszy argument przemawiający za zaletami uwzględniania w portfelu inwestycyjnym
instrumentów dających ekspozycję na zmienność to, wspomniana już wcześniej, tendencja do przeciwnego
kierunku zmian indeksu rynku akcji i indeksu takiego jak VIX (por. Wykres 2). Jest więc praktycznie oczywiste,
iż dodanie do portfela składającego się wyłącznie z S&P 500 kontraktów futures VIX poprawia znacznie jego
wynik (Wykres 3).
3
Wykres 2. Zmiany cen jednostek funduszu odpowiadającego indeksowi S&P 500 (SPY) oraz kontraktów
terminowych (futures) na VIX o różnych terminach zapadalności (2004-2011)
2004
2006
2008
2010
SPY – linia czarna, VIX 1-miesięczny – linia czerwona, VIX 3-miesięczny – linia zielona, VIX długoterminowy
– linia niebieska
Źródło: Alexander i Korovilas, 2012, s.6.
Wykres 3. Wzrost wartości portfela (w USD) składającego się wyłącznie z S&P 500 i portfela
uzupełnionego o trzymiesięczne kontrakty futures na VIX
2006
2007
2008
2009
S&P 500 – linia czarna, S&P 500 i kontrakty futures na VIX, wagi maksymalizujące wskaźnik Sharpe,a – linia
czerwona; S&P 500 i kontrakty futures na VIX, wagi maksymalizujące uogólniony wskaźnik Sharpe,a – linia
niebieska
4
Źródło:Alexander, Korovilas 2012, s. 16.
W podobnie prosty sposób można pokazać zalety wykorzystania drugiego rozważanego wcześniej
instrumentu pochodnego na zmienność, jakim jest variance swap. Przykładowo, wykres 4 pokazuje, jak zmienia
się odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela inwestycyjnego w zależności od udziału variance swap w tym
portfelu.
Wykres 4. Odchylenie standardowe portfela inwestycyjnego jako funkcja udziału variance swap w
portfelu
Port 1: portfel składający się – poza variance swap - z aktywów o stopie wolnej od ryzyka, indeksu rynku akcji,
długoterminowych obligacji rządowych oraz obligacji korporacyjnych o ratingu Aaa i Baa; Port 2 zawiera poza
variance swap aktywa dające ponadnormalną stopę zwrotu na rynku akcji oraz aktywa reprezentujące czynniki
reprezentowane w modelu Fama’y-Frencha. Horyzont inwestycji wynosi miesiąc.
Źródło: Nieto i in. 2012, s. 43
Oczywiście, przedstawione powyżej wykresy dotyczą nieco innych portfeli inwestycyjnych, stąd mają one za cel
pokazać tylko generalne uzasadnienie rozważania atrakcyjności instrumentów pochodnych na zmienność jako
składowych portfela inwestycyjnego. Przeprowadzone przez nas szczegółowe badanie, którego dokładny opis
nie może być tu przedstawiony ze względu na ograniczenie objętościowe tego tekstu, a który można znaleźć w
Jabłecki i in. 2013b, rozważa konsekwentnie efekty dodawania ekspozycji na zmienność do portfela
składającego się wyjściowo z amerykańskich akcji i obligacji7. Przybliżeniem tych dwóch aktywów jest indeks
S&P 500 oraz indeks amerykańskich papierów skarbowych o średnim terminie do zapadalności równym 10 lat.
Optymalizacja składu tego portfela ze względu na wskaźnik Sharpe’a dała w efekcie wagi dla akcji i obligacji
równe odpowiednio 39% i 61%, a wartość wskaźnika Sharpe’a dla tak skonstruowanego portfela dla okresu
2003-2013 wyniosła 0,60. Jak wynika z wcześniejszych rozważań, podstawową ekonomiczną przesłanką do
dodania do takiego portfela długiej ekspozycji na zmienność (implikowaną) jest jej ujemna korelacja z indeksem
S&P 500, co powinno dać w efekcie spadek całkowitego ryzyka tak rozbudowanego portfela. Oczywiście,
portfel rozszerzamy, ze względu na niemożność inwestowania bezpośrednio w VIX, o odpowiednio dobrane8
kontrakty futures na VIX. W naszym badaniu najlepszy wynik osiągnięty został dla portfela, w którym udział
odpowiedniego indeksu kontraktów futures na VIX wynosił 24%, udział akcji wzrósł do 46%, a udział
7
Wybór ten uzasadniony jest dominacją w literaturze empirycznej rozważań odnoszących się do rynku
amerykańskiego. Oczywiście, dla inwestorów zainteresowanych innymi rynkami dodawanie ekspozycji na
zmienność może być równie, a nawet bardziej efektywne, ale lepiej jest wtedy, by była to ekspozycja na
zmienność reprezentowaną przez analogiczne jak VIX indeksy dla rynku europejskiego (np. VSTOXX), por.
Briere et al. 2011.
8
Odpowiedniość polega tutaj na jednoczesnym uwzględnieniu spadku ujemnej korelacji kontraktów futures na
VIX z indeksem S&P 500 wraz z wydłużaniem się terminów zapadalności tych pierwszych oraz zmieniającego
się w ten sam sposób kosztu rolowania kontraktów futures, który pomniejsza stopę zwrotu.
5
rządowych papierów dłużnych zmalał do 30%. Wskaźnik Sharpe’a dla tak zdywersyfikowanego portfela wzrósł
aż do 0,99, na co składał się i wzrost stopy zwrotu, i spadek jej odchylenia standardowego.
Rozszerzenie rozpatrywanego portfela o długą ekspozycję na zmienność nie wyczerpuje możliwości
uwzględnienia instrumentów pochodnych na zmienność w jego składzie. Utrzymujący się historycznie średnio
dodatni spread między zmiennością implikowaną a faktycznie zrealizowaną 9 stanowi przesłankę dla
uzupełnienia naszego portfela o krótką ekspozycję na zmienność, co można uzyskać za pomocą opisanego
wcześniej kontraktu variance swap. Gdyby dodać taki instrument do wyjściowego portfela starając się nadal
maksymalizować wskaźnik Sharpe’a, to jego waga wynosi 25%, udział akcji maleje do 10%, a udział obligacji
rośnie do 65%. Wskaźnik Sharpe’a dla takiego portfela rośnie – w stosunku do portfela wyjściowego – do 0,75,
choć jest niższy niż uzyskany dla portfela rozszerzonego o długą ekspozycję na zmienność osiągniętą przy
wykorzystaniu kontraktów futures na VIX. Połączenie obu rodzajów ekspozycji na zmienność pozwala na
osiągnięcie najwyższego spośród rozważanych przypadków wskaźnika Sharpe’a, gdyż wynosi on wtedy 1,59.
Podsumowanie
Instrumenty pochodne na zmienność, a szczególnie kontrakty futures na VIX i variance swap, zyskują
w ostatnim czasie na popularności. Staraliśmy się pokazać w tym tekście, iż możliwa dzięki nim ekspozycja
portfela inwestycyjnego na zmienność, rozumianą albo jako parametr implikowany przez ceny opcji, albo jako
wariancja stóp zwrotu zrealizowanych w pewnym okresie w przeszłości, pozwala na zwiększenie efektywności
portfela, mierzoną np. wskaźnikiem Sharpe’a. Dla uzyskania maksymalnych korzyści wskazane jest jednak, by
ekspozycja portfela na zmienność miała jednocześnie dwojaki charakter: długiej pozycji w zmienności
implikowanej i krótkiej pozycji w zmienności zrealizowanej.
9
Por. Bondarenko 2004.
6
Literatura
Alexander, C., D. Korovilas, Diversification of Equity with VIX Futures: Personal Views and Skewness
Preferences, Henley Business School at Reading, 2012.
BNP Paribas, Volatility as an asset class. Some insights, 2012, prezentacja dla klientów.
Bondarenko, O., Market price of variance risk and performance of hedge funds, University of Illinois working
paper, 2004.
Briere, M., J.-D. Fermanian, H. Malongo, O. Signori, Volatility Strategies for Global and Country Specific
European Investors, 2011, working paper.
Carr, P., R. Lee, Volatility Derivatives, Annual Review of Financial Economics, 2009, 1(1), 319-339.
Derman, E., Trading Volatility as an Asset Class, 2012 (http://www.emanuelderman.com/media/gaimtrading_volatility.pdf).
Goubuzaite, R., L.Martellini, The Benefits of Volatility Derivatives in Equity Portfolio Management, EDHEC –
Risk Institute, 2012.
Jabłecki, J., R.Kokoszczyński, P.Sakowski, R.Ślepaczuk, P.Wójcik, Pomiar i modelowanie zmienności –
przegląd literatury, Ekonomia, 31, 2013a, 22-55.
Jabłecki, J. R. Kokoszczyński, P. Sakowski, R. Slepaczuk, P. Wójcik, Instrumenty pochodne na zmienność –
nowa klasa aktywów?, WNE UW, 2013 b.
Kitces, M.E., What Makes Something an Alternative Asset Class, Anyway?, Journal of Financial Planning,
September 2012, 22-23.
Nieto, B., A. Novales, G. Rubio, Variance Swaps, Non-normality and Macroeconomic and Financial Risks,
Universidad de Alicante, 2012.
7