Wykład 34 - Magisterskie24.pl

Fale i cząstki
34.1
Fale materii
Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpretowane raz
w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cząsteczkowy
(np. efekt Comptona).
Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką
dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924 L. de Broglie min. w oparciu
obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod
wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię
traktowano jako cząstki de Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie
wykazuje również własności falowych.
De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również przewidział ich
długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym
związkiem, który stosuje się do światła.
Analizując zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego
zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń potrzebne było wyrażenie na pęd
fotonu.
(34.1)
Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal materii
(34.2)
Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal
materii.
Przykład 1
Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla piłki, o
masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla „lekkich” np. elektronów
przyspieszonych napięciem 100 V?
Dla piłki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
Stąd długość fali de Broglie’a
Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu.
Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalają więc na rozstrzygnięcie
czy materia wykazuje własności falowe ( zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy
charakter światła przejawia się gdy wymiary liniowe obiektów są porównywalne z
długością fali.
Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J
Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi
Odpowiednia długość fali de Broglie’a wynosi
Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.
Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując
włókno
wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii,
na kryształ. Takie doświadczenie
przeprowadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na
rysunku przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.
wiązka
padająca
kryształ
detektor

wiązka
odbita


d
Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna
przyspieszane są regulowanym napięciem. Wiązka
zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest
ustawiony pod pewnym szczególnym kątem .
Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest
odczytywane
przy
różnych
napięciach
przyspieszających. Okazuje się, że prąd w detektorze
ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym
50° dla U = 54 V.
Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy
obliczymy wartość , dla której obserwujemy
maksimum w tych warunkach
Dla niklu d = 0.091 nm. Ponieważ  = 50° więc  = 90° - /2 = 65° (rysunek obok).
Długość fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:
 = 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm
Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) obliczymy długość fali de
Broglie’a analogicznie jak w przykładzie 1
Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach
elektrony wykazują naturę falową.
Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane, wykazują
cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną
techniką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych.
Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla
światła, musimy przyjąć istnienie dwoistego
ich charakteru.
34.2
r
Struktura atomu i fale stojące
Jeżeli na ruch fali nie ma żadnych
ograniczeń to fala może mieć dowolną
długość. Inaczej sytuacja przedstawia się
gdy ruch fal zostanie ograniczony przez
nałożenie pewnych warunków fizycznych.
Np. dla fal w strunie odpowiada to
wyodrębnieniu
odcinka
struny
zamocowanego na obu końcach (np. struna
w skrzypcach).
Występują wtedy dwie ważne różnice:
 ruch jest teraz opisywany przez falę stojącą (a nie bieżącą),
 mogą występować tylko pewne długości fal tzn. mamy do czynienia z kwantyzacją
długości fali wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę (rysunki obok).
Na rysunku tych widać trzy pierwsze stany kwantowe dla drgającej struny.
Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczony w atomach to możemy się spodziewać
przez analogię, że:
 ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii,
 ruch ten zostaje skwantowany.
Rysunek obok przedstawia stojącą falę materii związaną z orbitą o promieniu r. Długość
fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą
liczbę n fal materii.
Wtedy otrzymujemy
n=1
l
0
n=2
l
0
n=3
0
l
czyli
Prowadzi to natychmiast do
Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron jest
reprezentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpowiednich
warunków brzegowych.
34.3
Mechanika falowa
W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań
fizyki kwantowej) min. w oparciu o założenie, że stacjonarne stany w atomach
odpowiadają stojącym falom materii.
Dla fal w strunie zaburzenie może być opisane za pomocą poprzecznego wychylenia y,
dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor natężenia pola elektrycznego E.
Analogiczną miarą dla fal materii jest funkcja falowa .
Teraz spróbujemy znaleźć taką funkcję dla prostego zagadnienia ruchu cząstki o masie
m pomiędzy sztywnymi ściankami odległymi o l (rysunek na następnej stronie).
Funkcję falową można otrzymać przez analogię do zagadnienia struny umocowanej na
obu końcach. Z warunków brzegowych wynika, że na obu końcach struny muszą
występować węzły. Oznacza to (przez to żądanie) że długość fali jest skwantowana:
Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez falę stojącą (Wykład 15)
y(x,t) = 2Asinkxcost
dla której rozkład przestrzenny (amplitudy) jest dany przez
y(x) = Asinkx
gdzie k = 2/. Ponieważ  jest
skwantowane to k też jest skwantowane.
Prowadzi to do warunku
Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany
jest na stronie 34-3.
Rozważmy teraz cząstkę poruszającą się
pomiędzy sztywnymi ściankami (rysunek
obok). Ponieważ ścianki są sztywne,
l
cząstka nie może przeniknąć przez nie, tak
więc stojąca fala materii opisująca tę
cząstkę ma węzły na ściankach. Inaczej mówiąc funkcja falowa  przyjmuje wartość
zero w punktach x = 0 i x = l.
W konsekwencji dopuszczalne fale materii muszą mieć długość fal danych równaniem
m
v
Ponieważ mówimy o fali materii (reprezentującej cząstkę) to jest to po prostu fala de
Broglie’a, dla której możemy zastąpić  przez h/p.
Prowadzi to do związku
Widzimy, że pęd cząstki uwięzionej pomiędzy ściankami jest skwantowany.
Dla cząstki pęd p jest związany z energią kinetyczną Ek relacją
Zestawienie tego równania z równaniem na pęd cząstki prowadzi do warunku
kwantyzacji energii
Cząstka nie może mieć dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale ściśle
określone wartości dane powyższym równaniem.
Amplituda fal materii zmienia się tak samo jak amplituda dla fali stojącej w strunie tzn.
jest dana analogicznym równaniem:
(34.3)
34.4
Znaczenie funkcji 
Funkcję  skonstruowaliśmy przez analogię do funkcji opisującej amplitudę fali
stojącej w strunie. Ale nie wyjaśniony jest jeszcze sposób w jaki  przedstawia ruch
cząstki. Wiemy już, że długość fali materii (de Broglie’a) wiąże się bezpośrednio z
pędem cząstki. Pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się .
Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał Max Born. Zasugerował, że
wielkość 2 w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, że cząstka
znajdzie się w pobliżu tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w
przedziale x, x+dx.
Ta interpretacja funkcji  daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią
cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.
Tak więc dla cząstki poruszającej się pomiędzy dwoma ściankami odległymi o l
(34.4)
nie opisuje położenia cząstki ale rozkład (gęstość) prawdopodobieństwa.
Na rysunku przedstawiona jest zależność 2(x) dla trzech pierwszych stanów ruchu
cząstki.
Zwróćmy uwagę, że przykładowo dla n = 1 cząsteczka ma większą tendencję
(prawdopodobieństwo) do przebywania w środku niż przy ściankach. Jest to sprzeczne z
fizyką klasyczną, która przewiduje jednakowe prawdopodobieństwo przebywania
cząstki gdziekolwiek pomiędzy ściankami (linie poziome na rysunku). Podobnie jest dla
wyższych n. Oczywiście całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy
ściankami jest równe jedności.
Zagadnienie cząstki poruszającej się pomiędzy sztywnymi ściankami ma mało realne
zastosowanie w fizyce. Dlatego poniżej pokazane są wyniki zastosowania mechaniki
falowej do problemu atomu wodoru.
Sam problem jest trudny matematycznie. Dlatego pokazane są tylko wyniki zależności
(r) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozkład sferycznie
symetryczny).
n=1
E = h2 / 8ml2
1
l
0
2
n=2
E = 4E
2
0
1
l
n=3
E = 9E
3
l
0
X
1
n =1
(r)2
n=2
n=3
0
5
10
15
r/r
Bohra
20
25
Widać, że mamy ponownie do
czynienia
z
rozkładem
prawdopodobieństwa. Istnieje obszar w
którym elektron może przebywać (z
niezerowym prawdopodobieństwem).
Mówimy o orbitalach zamiast o
orbitach.
Linią
przerywaną
zaznaczono
promienie orbit przewidywane w
modelu Bohra.
Są, jak widać orbity dla których ta
wartość
odpowiada
maksimum
prawdopodobieństwa
znalezienia
elektronu.
34.5
Zasada odpowiedniości
Chociaż teorie w fizyce mają ograniczenia to zazwyczaj w sposób ciągły dają wyniki
coraz mniej zgodne od doświadczenia, tzn. nie „urywają” się nagle.
Np. mechanika Newtonowska staje się coraz mniej dokładna gdy prędkość zbliża się do
prędkości światła.
Dla mechaniki kwantowej też istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w
fizykę klasyczną dla dużych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasadą
odpowiedniości.
W przykładzie z wykładu 31 widzieliśmy, że dla makroskopowego wahadła nie
uwidacznia się natura kwantowa podobnie jak w układach makroskopowych nie
widzimy dyskretnej natury materii (cząsteczek, atomów, elektronów itp.).
Wyliczona wtedy względna zmiana energii wyniosła
E/E = 4.7·10-31 = hv/nhv
Stąd otrzymujemy bardzo dużą wartość liczby kwantowej n  2·1030; może stosować
mechanikę klasyczną.
34.6
Zasada nieoznaczoności
W poprzednim paragrafie najbardziej szczegółową informacją jaką udało się
uzyskać o ruchu elektronów były krzywe prawdopodobieństwa. Czy musimy zadowolić
się taką informacją czy też jest możliwy pomiar, który da nam odpowiedź na temat
ewentualnych orbit po których poruszają się elektrony?
Obserwacje przedmiotów opierają się na rejestrowaniu światła odbitego przez te
przedmioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotem o dużej masie praktycznie nie
zaburza jego ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj też
spodziewamy się, że zobaczymy elektron gdy odbijemy od niego światło (tak jak
widzimy np. stół rejestrując światło odbite od niego). W tym jednak przypadku elektron
w zderzeniu z fotonem dozna odrzutu, który całkowicie zmieni jego ruch
(przypomnijmy sobie efekt Comptona). Zmiany tej nie można uniknąć ani dokładnie
ocenić. Gdyby więc istniały orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie
pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego wolimy mówić o
prawdopodobieństwie niż o orbitach.
Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe rozważmy wiązkę elektronów
padających z prędkością v0 na szczelinę o szerokości y, tak jak na rysunku.
Jeżeli elektron przechodzi przez otwór to znamy jego położenie z dokładnością x.
Elektrony ulegają ugięciu na szczelinie tak, że na ekranie obserwujemy obraz
dyfrakcyjny. Oznacza to, że elektrony mają teraz oprócz prędkości poziomej także
składową w kierunku y (są odchylone). Spróbujmy ocenić tę składową pionową
prędkości. Rozpatrzmy np. elektron padający na ekran w miejscu pierwszego minimum
dyfrakcyjnego (punkt a na rysunku poniżej). Pierwsze minimum jest dane równaniem
ysin = 
a dla małego kąta
y   
Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi mieć prędkość pionową vy
taką, że
Korzystając z obu powyższych równań otrzymujemy
lub inaczej
vyy = v0
y
a

v0
Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h/p czyli h/mv0. Podstawiając to do
ostatniego równania otrzymujemy
co można zapisać
pyy  h
Jeżeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć y) to w wyniku zmniejszenia szerokości
szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Inaczej
mówiąc zwiększone zostało py. Równani to przedstawia ograniczenie nałożone na
dokładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury
pomiarowej).
Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez
W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczoności.
W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona, że
(34.5)
Tak więc żadna składowa ruchu elektronu nie może być określona z nieograniczoną
dokładnością. Ta sama zasada obowiązuje w odniesieniu do energii i czasu.