zjawisko kwantowomechaniczne przechodzenia cząstek przez

Mechanika kwantowa-jest działem fizyki zajmującym się prawami ruchu cząstek i mikroobiektów mikroświata
od 10-15 do 10-8[m.].Przedmiotem badań są: kryształy, cząsteczki, atomy ,jądra atomowe, cząstki elementarne.
Hipoteza Plancka o kwantach energii :
Energia promieniowania elektromagnetycznego jest emitowana ściśle określonymi porcjami .Porcje energii
nazwano fotonami.
E=hυ gdzie h- stała Plancka , υ- częstotliwość fali elektromagnetycznej
Hipoteza ta pozwoliła wytłumaczyć rozkład widmowy natężenia promieniowania termicznego ciała czarnego.
Hipoteza Einsteina o fotonach:
Energia promieniowania elektromagnetycznego jest pochłaniana ściśle określonymi porcjami o energii
określonej wzorem
E=hυ. Wytłumaczenie niezależności energii wybijanych elektronów od natężenia światła padającego na
badany materiał .
Dane o dyskretnym charakterze niektórych wielkości fizycznych charakteryzujących mikrocząstki.
Zjawisko Comptona:
Polega na zmianie długości fali promieniowania elektromagnetycznego
rozproszonego na elektronach.
Promieniowanie składa się z fotonów o energii posiadających pęd : p 
h h

gdzie: λ-długość fali
c 
promieniowania elektromagnetycznego.
Hipoteza de Broglie’a o falowych właściwościach materii:
1
B 
Poruszającej się cząstce o pędzie p odpowiada tzw. fala Broglie’a o długości
h
.
p
Hipotezę tę zweryfikowali Davisson i Germer. Charakterystyczne dla fal są zjawiska interferencji i dyfrakcji.
Zjawiska te występują jednak jedynie wówczas gdy fala napotyka na przeszkody o wymiarach zbliżonych do
jej długości λ.
Ek 
p2
 eU, p  2meU
2m
, fala da Broglie’a o długości  B 
h

2meU
150
[10 10 m]
U
Miarą prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w przestrzeni jest natężenie tzw. fali prawdopodobieństwa
,Schrődinger podał równanie które umożliwia znalezienie funkcji falowej  : i
gdzie Ĥ operator Hamiltona
Ĥ  -

 Ĥ
t
2
  U ,  - operator Laplace, m - masa, U - energia potencjaln a .
2m
Ruch cząstki swobodnej na którą nie działają żadne siły a więc nie posiadającej energii potencjalnej(U=0). W
tym przypadku stacjonarne równanie Schrődingera dla jednowymiarowej przestrzeni przyjmuje
 2  2m
postać

E ψ=0 .
x 2  2
Uwzględniając iż w tym przypadku energia całkowita E cząstki równa jest jej energii kinetycznej oraz
podstawiając do jej równania pęd wyrażony poprzez długość fali de Broglie’a
p2
1  h

E

2m 2m   B
E
B 
h
otrzymujemy
p
2

 .


p2
2 2 2 2

k 
k x  k 2y  k 2z
2 m 2m
2m

na podstawie tego równania stwierdzamy iż widmo energetyczne
E(k)=E(2π/λB)
cząstki swobodnej jest ciągłe:
E
Kx
Energia całkowita cząstki swobodnej jako
funkcja składowej x- owej wektora falowego
jej fali de Broglie’a
1.Podaj sens fizyczny funkcji falowej.
W ogólnym przypadku funkcja falowa Ψ (x,y,z,t) jest funkcją zespoloną współrzędnych przestrzennych i czasu.
Sens fizyczny posiada kwadrat jej modułu │ Ψ│2= Ψ Ψ‫( ٭‬gdzie Ψ‫ ٭‬-funkcja sprzężona funkcji Ψ),który określa
gęstość funkcji prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu i czasie.
Tym samym prawdopodobieństwo dw (x,y,z,t) znalezienia cząstki w objętości dV wynosi dw(x,y,z,t)= │
Ψ(x,y,z,t) │2dV
2.Jakie są interpretacje fali da Broglie’a oraz jej prędkości grupowej?
2
Schrődinger podał równanie które umożliwia znalezienie funkcji falowej  : i
gdzie Ĥ operator Hamiltona
2
  U ,  - operator Laplace, m - masa, U - energia potencjaln a .
2m
Ψ (x,t)= ψ (x)  (t)=a ei(kx-ωt) +b e-i(kx+ωt) gdzie a,b stałe wyznaczone z
Ĥ  -
Funkcja falowa Ψ w postaci:
warunków granicznych.
Prędkość fazowa Vf 

 Ĥ
t
  E
1 2 2

h 1




k 
k
k k k k 2m
2m
2m  B
Prędkość grupowa fali da Broglie’a poruszającej się cząsteczki jest równa jej prędkości v:
Vg 
p mv
d 1 d
1 dE 1 d   2 2  
 2 1 h

() 
   
k   k 

 
v
dk  dk
 dk  dk  2m  m
m B m B m m
Równanie zwane amplitudowym równaniem Schrődingera :
lub w przypadku przestrzeni trójwymiarowej Δ ψ+
 2  2m
 2 (E  U) ψ=0 ,
x 2

2m
( E  U) ψ=0
2
3.Po co rozwiązujemy równanie Schrődingera?
Schrődinger podał równanie które umożliwia znalezienie funkcji falowej  : i

 Ĥ
t
2
  U ,  - operator Laplace, m - masa, U - energia potencjaln a .
2m
2m
Równanie zwane amplitudowym równaniem Schrődingera : Δ ψ+ 2 (E  U) ψ=0

gdzie Ĥ operator Hamiltona
Ĥ  -
4.Podaj podstawowe własności funkcji falowej.
Zgodnie ze swoim sensem fizycznym funkcja falowa Ψ musi być jednoznaczna ,ciągłą i skończona oraz musi
mieć ciągłą i skończoną pierwszą pochodną .Wynika to z faktu iż prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w
tym lub innym elemencie objętości nie może być wielkością niejednoznaczną , nieskończoną oraz nie może
zmieniać się skokowo od punku do punktu.
5.Wymień i objaśnij trzy zjawiska których wytłumaczenie wymaga znajomości mechaniki kwantowej .
Hipoteza Einsteina pozwoliła wytłumaczyć zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne . Wytłumaczyła niezależności
energii wybijanych elektronów od natężenia światła padającego na badany materiał.
Zjawisko Comptona polega na zmianie długości fali promieniowania elektromagnetycznego rozproszonego
na elektronach.
Możne je wytłumaczyć korzystając z zasad zachowania energii i pędu ale trzeba uwzględnić iż
promieniowanie składa się z fotonów o energii posiadających pęd:
p
h h
 gdzie: λ-długość fali promieniowania elektromagnetycznego
c 
6.Na czym polega dualizm korpuskularno-falowej natury światła oraz dualizm korpuskularno-falowej
natury poruszających się cząstek?
Dualizm falowo- korpuskularny właściwość materii polegająca na tym ,że w pewnych zjawiskach ujawnia się
jej natura falowa w innych korpuskularna. Odkrycie dyfrakcji elektronów wykazało że substancja oprócz
właściwości korpuskularnych przejawia cechy falowe.
7.Opisz jedno z doświadczeń potwierdzających hipotezę fal da Broglie’a.
Zjawiska falowe zostaną zaobserwowane , gdy elektrony natrafią na przeszkody o wymiarach rzędu
3
10-10[m].
Davisson i Germer zauważyli iż można to uzyskać kierując wiązkę elektronów na kryształ w którym atomy lub
cząsteczki są regularnie rozmieszczone w przestrzeni właśnie w odległościach 10-10[m] od siebie. Kierując
elektrony na kryształ NaCl zaobserwowali oni typowy obraz dyfrakcyjny elektronów odbitych. Obraz ten
przedstawia charakterystyczne zmiany natężenia wiązki odbitej ze zmianą kąta obserwacji (czyli różne
natężenia promieniowania w różnych miejscach naświetlanej kliszy fotograficznej).Doświadczenia wykazały
,że każdy elektron poruszający się oddzielnie wykazuje właściwości falowe.
Obraz dyfrakcji elektronów jest przejawem prawa statystycznego: elektrony z różnym prawdopodobieństwem
trafiają do różnych obszarów przestrzeni poza kryształem.
8.Podaj po dwa zjawiska świadczące o falowej i korpuskularnej naturze światła.
9. .Podaj po dwa zjawiska świadczące o falowej i korpuskularnej naturze poruszających się cząstek.
Efekt tunelowy-tunelowe przejście ,przejście podbarierowe – zjawisko kwantowomechaniczne
przechodzenia cząstek przez barierę potencjału w wypadku gdy energia cząstki jest mniejsza niż wysokość
bariery. Według mechaniki klasycznej cząstka nie może znajdować się w obszarze gdzie energia potencjalna
V przewyższa całkowita jej energie E. W mechanice kwantowej natomiast amplituda funkcji falowej będąca
rozwiązaniem równania Schrődingera może być takim obszarze równa zero. W przypadku istnienia bariery
potencjału maleje ona wykładniczo wraz z głębokością przeniknięcia w barierę istnieje więc skończone
prawdopodobieństwo znalezienia cząstki po drugiej stronie bariery tym większe im mniejszy jest czynnik
2m(V-E)1/2t / ћ gdzie t- efektywna grubość bariery potencjału ,m- masa cząstki, ћ=h/2π , h- stała Plancka
Bariera potencjału- w mechanice klasycznej i kwantowej : ograniczony obszar przestrzeni w którym energia
potencjalna cząstki jest większa od jej energii całkowitej. Według praw mechaniki klasycznej cząstka o energii
całkowitej mniejszej od „wysokości” bariery potencjału nie może przedostać się na drugą stronę bariery
potencjału. Natomiast według mechaniki kwantowej przenikanie takiej cząstki przez barierę potencjału jest
możliwe ;zjawisko to nosi nazwę przejścia tunelowego. Bariera potencjału otacza niekiedy obszar zwany
studnią potencjału. Prawdopodobieństwo przenikania cząstki przez barierę potencjału zależy od grubości tej
bariery i jej wysokości.
Studnia potencjału- jama potencjału lokalne minimum energii potencjale cząstek znajdujących się w polu sił
.Kształt studni bywa różny najczęściej wykazuje przestrzenną symetrie kulistą. Przebieg krzywej energii
potencjalnej jako funkcji odległości od środka działania siły zależy od charakteru rozważanej siły .
Współczynnik opisujący prawdopodobieństwo odbicia cząstki od bariery potencjału R 
B1
A1
Współczynnik przezroczystości bariery potencjału T 
A3
A1
2
2
2
2
1.Narysuj wykres prawdopodobieństwa przeniknięcia mikrocząstki przez barierę potencjału jako
funkcję szerokości tej bariery.
E
U
E
U
U E
a)
b)
c)
Uo
Uo
E
Uo
Uo
E
x
0
E
0
L
d
x
0
x
I
II
III
I
II
III
Bariera potencjału o skończonej szerokości
studni potencjału
2.Podaj definicję energii Fermiego.
Bariera potencjału
Cząstka w prostokątnej
4
 U 
 F 
 ,  

 N  S,V
 N  T ,V
Energia Fermiego μ układu fermionów może być nie tylko zdefiniowana wzorami:   
lecz również może być określona w następujący sposób: Energia Fermiego μ układu fermionów nazywamy
najwyższy poziom energetyczny obsadzony przez nie w temperaturze 0[K].
3.Narysuj schemat energetyczny złącza p-n.
a) Schemat pasma energetycznego i mechanizm powstawania warstwy zaporowej złącza n-p
EC
EC
EC
wysokośc bariery
EF
EF
EV
EF
EV
p
EV
n
p
n
gdzie Ec -dno pasma przewodnictwa
EV- wierzchołek pasma walencyjnego
EF- położenie poziomu Fermiego
warstwa zaporowa po złączeniu
stan równowagi po złączeniu
b) Struktura energetyczna złącza półprzewodnikowego n-p oświetlonego fotonami o energii hυ>Eg
EC
EA
EF
Ed
EV
Eg
p-typ
0
n-typ
gdzie Eg- przerwa energetyczna półprzewodnika, EV- górna krawędź pasma walencyjnego
EC- dolna krawędź pasma przewodnictwa, EF – poziomu energii Fermiego
Ed i EA- donorowe i akceptorowe poziomy energetyczne
4.Jakie są podstawowe różnice pomiędzy przeskokiem iskry między dwoma przewodnikami w
powietrzu a efektem tunelowym?
5.Dlaczego natężenie prą du elektrycznego płynącego przez diodę tunelową maleje ze wzrostem
napięcia do niej przykładanego?
5
W zakresie niewielkich napięć U, przykładanych w kierunku przewodzenia do złącza , natężenie tego prądu
rośnie ze wzrostem U (w miarę jak coraz większa liczba zajętych stanów energetycznych pasma
przewodnictwa znajduje się na poziomie nie zajętych stanów energetycznych pasma walencyjnego).
Przy większych wartościach napięcia U wzrost energii elektronów w obszarze typu n jest tak duży, iż zajęte
poziomy energetyczne w paśmie przewodnictwa odpowiadają wartością energii z zakresu przerwy
energetycznej w obszarze typu p.
W tych warunkach natężeniu prądu tunelowania zanika ze wzrostem napięcia U. Odpowiada to tzw. ujemnej
rezystancji wewnętrznej.
Jednowymiarowe studnie potencjału występują np. w detektorach promieniowania elektromagnetycznego
wykorzystywanych w kamerach magnetowidowych, strukturach wykorzystywanych w laserach
półprzewodnikowych.
Występują także w strukturach w których obserwuje się niedawno odkryty tzw. efekt Halla.
Wymienione studnie rozciągają się (mają szerokość) wzdłuż jednego wymiaru przestrzeni geometrycznej np.
wzdłuż osi X.
W pozostałych dwóch kierunkach tzn. przykładowo wzdłuż osi Y oraz Z , ich wymiary są znacznie większe.
Wówczas w kierunkach Y i Z odległości pomiędzy dyskretnymi poziomami energetycznymi
En 
2 2
2 2
stają się znacznie mniejsze od fluktuacji energii elektronów i możemy mówić o
k 2n  n 2
2m
2mL 2
klasycznym ,ciągłym lub quasi –ciągłym rozkładzie energii w tych kierunkach. Elektrony znajdujące się w dużej
ilości w takiej jednowymiarowej studni potencjału bywają nazywane dwuwymiarowym gazem elektronowym
.stwierdzenie iż w przypadku dużej szerokości L studni potencjału widmo energetyczne cząstki w niej zawarte
jest ciągłe stanowi przykład tzw. zasady odpowiedniości Bohra. Zasada ta mówi „Przewidywania teorii
kwantowej dotyczące zachowania się dowolnego układu fizycznego muszą w granicy odpowiadać
przewidywaniom fizyki klasycznej .
Przyjmijmy że cząstka zamiast w prostokątnej studni znajduje się w studni parabolicznej. Aby w pełni opisać
ruch cząstki w takiej studni należy rozwiązać amplitudowe równanie Schrődingera przyjmujące w tym
 2  2m
fx 2
przypadku
postać:
ψ=0
,
rozwiązując
to
równanie
otrzymujemy:

(E 
)
2
x 2  2
 1 2
  gdzie H( ζ ) tzw. funkcja Hermite’a
U
 2 
ψ ( )  H( ) exp  
U
0
fx 2
2
x
Paraboliczna studnia potencjału
1.Omów wnioski wypływające z zasady nieoznaczoności Heisenberga.
Nie można z dowolną dokładnością określić równocześnie wartości par pewnych wielkości fizycznych
charakteryzujących układ do którego opisu stasuje się mechanikę kwantową , parami takimi są np. położenie i
pęd cząstki ,energia E i czas t w którym ta energia została zmierzona ;najmniejszy możliwie iloczyn
niepewności w wyznaczaniu takich wielkości nie może być mniejszy niż

h
a więc xp x   i Et  
2
6
Zasady nieoznaczoności wynikają bezpośrednio ze statystycznego charakteru mechaniki kwantowej będącej
przeciwieństwem determinizmu mechaniki klasycznej. Gdy cząstce możemy przyporządkować ściśle
określona wartość pędu to odpowiada jej zgodnie ze wzorem de Broglie’a  B 
h
konkretna długość fali przy
p
czym fala ta jest harmoniczna. Gdy natomiast cząsteczce przyporządkujemy wartości pędu zawarte w
pewnym przedziale ∆p, to odpowiadające im długości fal de Broglie’a będą także zawarte w odpowiednim
przedziale ∆λ. Wektory falowe tych fal mają długości zawarte w odpowiednim przedziale ∆k. Złożenie tych fal
daje paczkę fal.
2.Czym różnią się widma energetyczne oscylatora kwantowego i klasycznego?
Można stwierdzić iż w przypadku oscylatora kwantowego istnieje niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki w odległości większej od amplitudy A drgań oscylatora klasycznego. Opowiada to znalezieniu się
drgającej cząstki w obszarze w którym energia potencjalna jest większa od jej energii całkowitej.
W
W
W
WKl
WKl
-A
A
Rozkład prawdopodobieństwa znalezienia drgającej cząstki w
klasycznym (krzywa przerywana) i kwantowym(krzywa ciągła)
oscylatorze harmonicznym
3. Jak wpływa lokalizacja mikrocząstki w pewnej części przestrzeni (szerokość studni potencjału) na
jej widmo energetyczne?
4.Co nazywamy liczbą kwantową?
Liczby całkowite lub połówkowe związane z jedną z możliwych wartości skwantowanej wielkości fizycznej
takiej jak np. energia , pęd, moment pędu. Każdy stan układu fizycznego może być opisany przez podanie
dostatecznej ilości liczby kwantowej. W mechanice kwantowej liczby kwantowej otrzymuje się w sposób
naturalny jako wynik rozwiązania zagadnień własnych związanych z równaniem Schrődingera.
5.Zapisz stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora kwantowego.
1

E n  h  n  wzór zwany widmem energetycznym liniowego oscylatora kwantowego.
2

U
0
r
Energia potencjalna elektronu jako funkcja
odległości od jądra atomowego
7
a1a
8