Wykład 2

Wykład 2
Widmo energetyczne cząstek w studnie potencjalnej
Dokładna postać widma energetycznego cząstek w niskowymiarowych strukturach
zależy od kształtu barier potencjalnych ograniczających ruch cząstek. Rozważmy niektóre
przykłady obliczenia widma energetycznego cząstek poruszających się w studnie potencjalnej
różnego kształtu.
Cząstka w studnie potencjalnej prostokątnej
Rozważmy ruch cząstki w polu potencjału o prostokątnym kształcie (rys.2.1)
U 0 ,

U ( x )   0,
U ,
 0
x  W / 2
W / 2  x W / 2
(2.1)
x W /2
i załóżmy, że energia elektronu nie przekracza wysokości bariery potencjalnej ( E  U 0 ).
Rys.2.1. Prostokątna studnia potencjalna o skończonej głębokości
Poziomy energetyczne i funkcje falowe stanów znajdziemy, rozwiązując równanie
Schrödingera
 2  2

 U 0  E    0,
2m x 2
 2  2
 E   0,
2m x 2
x W /2 ,
x W /2 .
(2.2a)
(2.2b)
Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania Schrödingera dla poszczególnych
obszarów 1,2,3 będą
1( x)  A1 exp  βx   B1 exp  βx ,
2 ( x)  A2 exp ikx  B2 exp( ikx),
13
x  W / 2 ,
W / 2  x  W / 2 ,
(2.3)
3 ( x )  A3 exp  βx   B3 exp  βx ,
x W /2,
gdzie k  2mE /  , β  2m(U 0  E ) /  .
Aby funkcja falowa znikała na   , współczynniki B1 i A3 muszą być równe zeru.
„Zszywając” funkcje falowe i ich pierwsze pochodne przy x  W / 2 , otrzymujemy układ
czterech równań, liniowych i jednorodnych, na cztery nieznane współczynniki A1, A2 , B2 i A3
A1 exp  βW / 2  A2 exp  ikW / 2  B2 exp ikW / 2 ,
A1 β exp  βW / 2  iA2k exp  ikW / 2  iB2k exp ikW / 2 ,
B3 exp  βW / 2  A2 exp ikW / 2  B2 exp  ikW / 2 ,
 B3 β exp  βW / 2  iA2k exp ikW / 2  iB2k exp  ikW / 2 .
Wygodnie jest zapisać ten układ równań w postaci macierzowej
 a
b
b
0   A1  0

    

0   A2  0
 βa  ikb ikb


.
 0
b
b
 a   B2  0

    
ikb  ikb βa   B3  0
 0
(2.4)
Tu a  exp  βW / 2 oraz b  exp  ikW / 2 .
Warunkiem nietrywialnym rozwiązań układu równań (2.4) jest zerowanie się
wyznacznika macierzy współczynników
a
βa
b
 ikb

0
b
0
ikb
b
0

ikb
0
b
a
 ikb
βa

1
1
1
0
β
 ik
ik
0
2
2
0
b
0 ikb 2
b
 ikb2
1
0 .
(2.5)
β
Po prostych obliczeniach otrzymujemy równanie
β 2  2 βk  ctg(kW )  k 2  0 .
(2.6)
Rozwiązując równanie (2.6) względem β , otrzymujemy układ dwóch równań
β  k  tg (
kW
),
2
β   k  ctg (
14
kW
) ,
2
(2.7a)
(2.7b)
Równania (2.6) i (2.7) są to równania na dozwolone wartości E energii elektronu, która jest
ukryta w parametrach k i β . Niestety rozwiązanie równań (2.6) albo (2.7) możemy znaleźć
tylko liczbowo albo graficznie.
Korzystając
ze
wzorów
na
funkcje
cyklometryczne
(odwrotne
funkcje
trygonometryczne), ze wzoru (2.6) znajdujemy
 k
2 kβ
)  nπ  2arctg    
2
k β
 β
,
k
 nπ  2arctg    nπ  2 arcsin k / G 
 β
kW  nπ  arctg (
2
(2.8)
gdzie n  1,2,3, ; G  β 2  k 2  2mU0 /  , a wartości arcsin(...) musimy wybierać w
interwale (0, π / 2) .
Załóżmy, że dla liczb falowych kn , które są rozwiązaniem równania (2.8) i którym
odpowiadają
poziomy
En   2 k n2 / 2m ,
energetyczne
jest
słuszny
warunek
kn / G  En / U 0  1 . Wtedy korzystając z rozwinięcia arcsin( x )  x ( x  1 ), ze wzoru
(2.8) otrzymujemy
kn 
nπ
.
W  2G 1
(2.9)
Biorąc pod uwagę ten wzór dla niższych poziomów energetycznych znajdujemy
 WG 
E n  E n  
,
 2  WG 
(2.10)
gdzie
En 
 2π 2 n 2
2mW 2
są poziomy energetyczne cząstki w studnie potencjalnej w której U 0   .
Porównanie obliczeń En za pomocą przybliżonego wzoru (2.10) z obliczeniami
dokładnymi wykazują, że dla En / U 0  0,25 stosowanie (2.10) daje błąd w obliczeniu En
mniej niż 5%.
Aby obliczyć funkcje falowe elektronu, należy – w oparciu o równania (2.4),
wyznaczyć współczynniki A2 ,B2 i A3 przez A1 . Następnie wartość A1 wyznaczamy z
warunku unormowania funkcji falowej.
15
Okazuje się, że pierwiastkom równania (2.7a) odpowiadają funkcje parzyste
( n  1,3,5, )
 An  cos( k n x);
n ( x)  
Cn  exp   n x ;
W / 2  x  W / 2
x W /2
,
(2.11)
gdzie
2 /W
An 
1  sin( k W ) /(k W )  2 cos
n
2
n
(k nW / 2) /(  nW )

,
Cn  An  cosk nW / 2 exp  nW / 2 .
(2.12)
(2.13)
Natomiast pierwiastkom równania (2.7b) odpowiadają funkcje nieparzyste ( n  2,4,6, )
 C n  exp  n x ;

n ( x)   An  sin k n x ;
D  exp   x ;
n
 n
x  W / 2
x W /2 ,
(2.14)
x W /2
gdzie
 Cn  Dn  An  sin knW / 2exp  βnW / 2 ,
An 
i 2 /W
1  sin( k W ) /(k W )  2 sin
n
Rys.2.2. Obliczone funkcje falowe w
studnie kwantowej GaAs / Ga0, 67 Al0,33 As .
U 0  267,5meV ; W  15nm
n
2
(k nW / 2) /(  nW )
(2.15)

.
(2.16)
Rys.2.3. Zależność położenia poziomów od
szerokości studni kwantowej
GaAs / Ga0, 67 Al0,33 As .
16
Z wykresów przedstawionych na rys.2.2 wynika, że funkcja falowa stanu
podstawowego 1 nigdy nie ma węzłów, w których 1  0 . Funkcja  2 ma jeden węzeł przy
x  0 ; funkcja  3 ma trzy węzła itd. Podobną zależność liczby węzłów funkcji falowej od
numeru poziomu energetycznego wykazują i inne jednowymiarowe układy, w których
zachodzi ograniczenie ruchu.
Zależność położeń poziomów energetycznych od szerokości studni kwantowej jest
przedstawiona na rys.2.3. Z tego rysunku widać, że gdy zwiększamy szerokość studni,
pojawiają się nowe poziomy energetyczne, a odległości między nimi maleją. Przy tym
najniższy poziom E1 pozostaje związane aż do najmniejszej wartości szerokości studni. W
bardzo szerokich studniach odległości między poziomami stają się niewielki i kwantowy
charakter ruchu cząstki zanika.
Ruch cząstki nad studnią potencjalną
Rozważmy teraz przypadek ruchu cząstki nad studnią potencjalną, czyli przypadek,
kiedy E  U 0 . Gdy E  U 0 ogólne rozwiązania Schrödingera dla obszarów 1,2,3 można
zapisać w postaci
 n ( x )   n x   n x  ,
(2.17)
 n ( x )  An exp ik n x  ,
(2.18)
gdzie n  1,2,3 ,
opisuje fale de’Brogle’a cząstki rozchodzącej się w n -tym obszarze z lewej strony w stronę
dodatnich wartości x , a
 n ( x )  Bn exp  ik n x  ,
(2.19)
opisuje fale de’Broglie’a cząstki rozchodzącej się w n -tym obszarze z prawej strony w
stronę ujemnych wartości x . We wzorach (2.18) i (2.19) k1  k3  2m( E  U 0 ) /  i
k 2  2mE /  .
Załóżmy, że cząstka pada na studnie kwantową z lewej strony. Na granice zmiany
funkcji (bariery) potencjalnej cząstka ulega częściowemu odbiciu. Współczynnik B1 określa
wtedy amplitudę fali cząstki odbitej od studni kwantowej. To jest efekt czysto kwantowomechaniczny, ponieważ zakładamy, że E  U 0 . Amplituda fali odbitej B3 w obszarze 3 musi
być równa zeru, ponieważ przy x  W / 2 nie istnieją bariery i studni potencjalne, które
mogłyby spowodować odbicie cząstki.
17
Z fizycznego punktu widzenia największy interes przedstawiają tak zwane
współczynniki przejścia D i odbicia R cząstki. Współczynnik odbicia R określa stosunek
kwadratów amplitud odbitej i padającej fal
R
B1
A1
2
2
.
(2.20)
Współczynnik przejścia (transmisji) D przez strukturę kwantową jest określony jako
stosunek gęstości strumieni cząstek przechodzących do gęstości strumienia cząstek
padających
D  1 R 
A3
A1
2
2
.
(2.21)
Amplitudy B1, A2 , B2 i A3 wyrażone przez amplitudę fali padającej A1 znajdujemy
przyrównując do siebie funkcje falowe i ich pierwsze pochodne przy x  W / 2 . Po
podstawieniu wyliczonych współczynników B1 i A3 do wzorów (2.20) i (2.21) otrzymujemy
1
 U 2 sin 2 ( k 2W ) 
D  1  0
,
4 E ( E  U 0 ) 


4E ( E  U ) 
R  1  2 2 0 
 U 0 sin ( k 2W ) 
(2.22)
1
.
(2.23)
Rys.2.4. Oscylacji współczynnika transmisji D cząstki poruszającej się nad barierą. Krzywa
1 na rysunku odpowiada przypadku symetrycznej studni, przedstawionej na rys.2.1. Krzywe 2
– 4 odpowiadają niesymetrycznej studnie potencjalnej, przedstawionej na rysunku do zadania
2.5 na końcu tego wykładu. Dla krzywej 2 - U1 / U 2  2 ; dla krzywej 3 - U1 / U 2  3 ; dla
krzywej 4 - U1 / U 2  4.
18
Ze wzorów (2.22) i (2.23) oraz wykresów, przedstawionych na rys.2.4, wynika, że przy
przejściu cząstki nad studnią potencjalną zachodzą oscylacji współczynników przejścia i
odbicia. Natura fizyczna tych oscylacji jest związana ze zjawiskiem interferencji fal
de’Broglie’a odbitych od granic, na których zachodzi skok funkcji potencjalnej studni. Efekt
oscylacji współczynników transmisji i odbicia przy przejściu cząstki nad studnią potencjalną
jest efektem wyjątkowo kwantowo-mechanicznym. Przy zwiększeniu energii padającej
cząstki w granice E /U 0   otrzymujemy wynik pokrywający się z wynikiem fizyki
klasycznej: D  1 , R  0 .
Studnia trójkątna
W przypadku heterozłącza MIS studnia potencjalna dla elektronów (rys.1.3) może
być w dobrym przybliżeniu przedstawiona jako studnia trójkątna. Analogicznie w przypadku
ruchu elektronu w studnie potencjalnej podwójnego heterozłącza (rys.1.5b) zewnętrzne pole
elektryczne, przyłożone do heterozłącza, powoduje, że dno pasma studni i jedna ze ścianek
studni zaczyna tworzyć trójkątną studnie (rys.2.5). Rozważmy najpierw osobliwości widma
energetycznego cząstki w studnie trójkątnej na przykładzie nieskończenie głębokiej studni
potencjalnej umieszczonej w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu F (rys.2.5)
qFx,
U ( x)  
 ,
x0
x0
.
(2.24)
gdzie q - wartość bezwzględna ładunku elektronu; F - natężenie pola elektrycznego.
Rys.2.5. Prostokątna studnia potencjalna w jednorodnym polu elektrycznym
Równanie Schrödingera dla x  0 ma postać
 2 //

  qFx  E    0 .
2m
Wprowadzając nową zmienną Z
19
(2.25)
1/ 3
E  2 

x

qF  2mqF 
Z ,
(2.26)
zapiszmy równanie (2.25) w postaci
d 2
 Z  0 .
dZ 2
(2.27)
W matematyce udowodniono, że ogólne rozwiązanie równania (2.27) ma postać
 ( Z )  C1 Ai( Z )  C2 Bi ( Z ) ,
(2.28)
gdzie Ai (Z ) i Bi (Z ) są specjalne funkcje Airy’ego.
Zależności funkcji Airy’ego od Z są przedstawione na rys.2.6. Dla Z  0 funkcje
Ai (Z ) i Bi (Z ) są funkcjami oscylującymi, a dla Z  0 , Ai ( Z )  0 , Bi (Z )   .
Oznaczmy, przez αn - wartości Z (pierwiastki funkcji Ai (Z ) ), dla których Ai(αn )  0 , a
przez βn - pierwiastki funkcji Bi (Z ) , dla których Bi ( βn )  0 .
Z rys.2.6 widać, że przy zwiększeniu n
odległości
αn 1  αn 
i
( βn 1  βn )
zmniejszają się.
W przypadku dowolnej wartości natężenia
pola elektrycznego F oraz szerokości W
studni potencjalnej rozwiązanie równania
Rys.2.6. Funkcje Airy’jego. α1  2,34 ;
α2  4,09 ; α3  5,52 .
(2.28)
jest
możliwe
tylko
metodami
numerycznymi i przybliżonymi.
Jeżeli W   otrzymujemy przypadek trójkątnej studni potencjalnej, dla której
 ( x )  0 , gdy x  0 i x   . Z wykresów, przedstawionych na rys.2.6 wynika, że dla
studni trójkątnej współczynnik C2 w funkcji (2.28) musi być równy zero a funkcja falowa ma
postać
 2mqF 1 / 3 
E 
 .
 ( x )  C1 Ai  2   x 
qF 
   
(2.29)
Poziomy energetyczne elektronu znajdujemy z warunku:  ( x  0)  0 , czyli
  2mqF 1 / 3 E 
Ai  

0 .
2
    qF 
20
(2.30)
Ponieważ funkcja Airy’jego przyjmuje wartości zerowe, tylko wtedy, gdy argument funkcji
pokrywa się z pierwiastkiem funkcji αn , ze wzoru (2.30) otrzymujemy następujący wzór na
poziomy energetyczne elektronu w studnie potencjalnej trójkątnej
1/ 3
En  αn 1
 2q2 F 2 
 ,
 
 2m 
n  0,1,2, .
Ze wzoru (2.31) dla podstawowego poziomu energetycznego
(2.31)
n  0;
α1  2,34
otrzymujemy
1/ 3
 2q2 F 2 

E0  1,86  
 m 
.
(2.32)
Stosując podejście półklasyczne otrzymano
też
przybliżony
wzór
na
poziomy
energetyczne w studnie trójkątnej
1/ 3
  2   3πqF 
3 
 
En  
 n  
4 
 2m   2 
Wzór
(2.33)
daje
2/3
możliwość
.
(2.33)
otrzymać
wartości poziomów z dokładnością około 2%.
Rys.2.7. Poziomy energetyczne elektronu w
trójkątnej studnie potencjalnej
Na rys.2.7 są przedstawione poziomy energetyczne i funkcje falowe elektronu w
studnie potencjalnej trójkątnej. Z wykresów przedstawionych na rys.2.7 wynika, że funkcja
falowa stanu podstawowego  0 , podobnie do studni prostokątnej, nigdy nie ma węzłów, w
których 0  0 . Natomiast, funkcja  n ma n węzłów, w których  n  0 . Oprócz tego widać,
że przy zwiększeniu n zmniejsza się odległość między najbliższymi poziomami.
Zadania do Wykładu 2
2.1 Udowodnić wzór (2.6).
2.2. Korzystając ze wzoru (2.10) wyznaczyć poziomy energetyczne E1 , E2 i E 3 dla studni
potencjalnej o szerokości 15 nm i głębokości U 0  267,5meV .
2.3. Studnia potencjalna ma kształt przedstawiony na rysunku niżej. Udowodnić, że to
równania na dozwolone wartości energii E ma postać
k
2

 1  2  k 1   2   ctg(kW )  0
21
gdzie k  2mE /  ,  j  2m(U j  E ) / ; j  1,2 .
2.4. Udowodnić, że z równania, przedstawionego w zadaniu 2.3 wynika równanie
kW  n  arcsin k / G1   arcsin k / G2  ,
gdzie n  1,2,3, ; G j   j2  k 2  2mU j / ;
j  1,2 a wartości arcsin(...) musimy
wybierać w interwale (0, π / 2) .
2.5. Udowodnić wzory (2.11) - (2.16).
2.6. Wyprowadzić wzory (2.22) i (2.23) , i udowodnić, że R  D  1 .
2.7. Korzystając ze wzoru (2.31) obliczyć E0 .
2.8. Korzystając ze wzoru (2.33) obliczyć wartości pierwszych trzech poziomów
energetycznych.
22