POLE ELEKTRYCZNE W PRÓŻNI Ładunek

POLE ELEKTRYCZNE W PRÓŻNI
Ładunek
- Nieodłączna własność niektórych cząstek elementarnych, [np. elektronu
elementarny
(-e), protonu (+e)], przejawiająca się w oddziaływaniu elektromagnetycznym tych cząstek.
e = 1,602 ·10-19 C
(1 C = 1 A · 1 s)
Ładunek elektryczny zgromadzony w jakiejś objętości podlega kwantowaniu.
q = ±N e
N - liczba całkowita.
W ramach tzw. modelu standardowego cząstek elementarnych kwarki mają ułamkowy ładunek elementarny. Jednakże
kwarki nigdy nie występują osobno. Zawsze tworzą układy złożone, których łączny ładunek będący sumą ładunków
kwarków składowych, jest całkowity.
Zasada zachowania ładunku elektrycznego
Sumaryczny ładunek układu elektrycznie izolowanego nie może ulegać zmianie.
Ewentualna zmiana ładunku elektrycznego układu musi być rezultatem wymiany ładunku z
otoczeniem.
Pole elektryczne w próżni 1
Prawo Coulomba
Siła oddziaływania dwóch nieruchomych ładunków punktowych jest proporcjonalna do
każdego z ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

F21 =
=
ε 0 8,85 ⋅10
−12
F/m
q1 q2 
e12
2
4π ε 0 r
1

F12 = −
q1 q2 
e12
2
4π ε 0 r
1
1F
1C
1C2
1C2
- stała dielektryczna próżni,= = =
1m 1V ⋅ 1m 1J ⋅1m 1N ⋅1m 2
Pole elektryczne
Pole elektryczne pośredniczy w oddziaływaniu pomiędzy ładunkami elektrycznymi pozostającymi w spoczynku. W celu wykrycia i zbadania pola elektrycznego posługujemy się ładunkiem „próbnym”.

 1 q  
F = q pr 
e
2 r 
 4π ε 0 r

Pole elektryczne w próżni 2
Pole elektryczne, cd.
Natężenie pola
elektrycznego

 F
E=
q pr
- Stosunek siły działającej na ładunek próbny w danym punkcie do
wartości tego ładunku.
- Wektor natężenia pola elektrycznego.
Jednostka natężenia pola elektrycznego ma nazwę wolt na metr i oznaczana jest przez
V
.
m
1V
1J
1N
= =
1m 1C ⋅ 1m 1C
Pole elektryczne ładunku punktowego
Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy jest proporcjonalne
do wytwarzającego je ładunku i maleje proporcjonalnie do kwadratu odległości od niego.

E=
q 
e
2 r
4π ε 0 r
1
Pole elektryczne w próżni 3
Pole układu ładunków
Zasada superpozycji


E = ∑ Ei
i
Natężenie pola układu ładunków równe jest wektorowej sumie natężeń pól, które wytwarzałby każdy z ładunków układu osobno.
Graficzne przedstawienie pola elektrycznego za pomocą linii sił
Pole elektryczne można opisać za pomocą linii pola

Linie pola (linie E , linie sił) prowadzi się tak, by styczna
do tych linii w każdym punkcie pokrywała się z kierun
kiem wektora E .
Pole elektryczne w próżni 4
Graficzne przedstawienie pola elektrycznego za pomocą linii sił, cd.
Gęstość linii sił (liczba linii sił na jednostkę powierzch
ni prostopadłej do E ) jest z założenia równa modu
łowi wektora E .
Linie sił zaczynają się lub kończą na ładunku, bądź zmierzają do nieskończoności. Całkowita
liczba linii sił w dowolnej odległości od ładunku jest zawsze taka sama (nie zależy od r ).
=
n E=
S
q
q
2
4
π
=
r
4π ε 0 r 2
ε0
1
Potencjał pola elektrycznego
Potencjał pola elektrycznego określa się jako stosunek energii poten-
ϕ=
Ep
q pr
cjalnej ładunku próbnego, umieszczonego w danym punkcie pola, do
wielkości tego ładunku.
Pole elektryczne w próżni 5
Potencjał pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy
Rozpatrzmy pole nieruchomego ładunku punktowego q . Siła działająca na punktowy ładunek próbny q pr

F=
q q pr 
er
2
4π ε 0 r
1
(Ładunek q nieruchomy + siła centralna ⇒ pole zachowawcze)
W polu zachowawczym można określić energię potencjalną E p
W12 =
−( E p 2 − E p1 )
E=
E p1 − W12
p2
Obliczmy W12 i określmy E p
2
q q pr 2 dr
q q pr  1 1 
 
(
)
(
)
W12 =
F
r
e
dl
F
r
dr
=
=
=
−
 − 
r
2
∫1
∫1
∫
4π ε 0 1 r
4 π ε 0  r2 r1 
2
Ep2
q q pr  1 1 
E p1 +
=
 − 
4 π ε 0  r2 r1 
Przyjmując r1 = ∞ , r2 = r oraz że wtedy E p1 =E p1 (r1 =∞) =0 , E p 2 = E p , otrzymujemy
Ep =
1
q q pr
4π ε 0
r
ϕ=
1
q
4π ε 0 r
Pole elektryczne w próżni 6
Potencjał pola wytworzonego przez układ ładunków punktowych
Potencjał pola wytworzonego przez układ ładunków jest równy al-
ϕ=
N
qi
∑
4 π ε 0 i =1 ri
1
gebraicznej sumie potencjałów wytworzonych przez każdy ładunek oddzielnie.
Praca sił pola, jeśli znany jest potencjał
Załóżmy, że w polu o potencjale ϕ ( x, y, z ) przemieszczany jest ładunek q . Energia potencjalna tego ładunku wynosi E p ( x, y, z ) = q ϕ ( x, y, z )
Praca, jaką wykonują siły pola przy przesunięciu ładunku q z punktu 1 do punktu 2:
W12 =−( E p 2 − E p1 ) =− q (ϕ 2 − ϕ1 ) =− q ∆ϕ12
Gdy ładunek q z punktu o potencjale ϕ przemieszczany jest do nieskończoności, to
ϕ1 = ϕ ( x, y, z ) , ϕ2 = 0 i wykonywana jest praca W∞ ( x, y, z ) = q ϕ ( x, y, z ) .
Potencjał jest równy liczbowo pracy, jaką wykonują siły pola przy
ϕ=
W∞
q
przesunięciu jednostkowego ładunku dodatniego z danego punktu pola do nieskończoności.
Pole elektryczne w próżni 7
Jednostka potencjału
ϕ=
Ep
q pr
,
ϕ=
W∞
q
⇒
[ϕ=]
1J
= 1V
1C
Związek między natężeniem pola i potencjałem

a) Zależność E od ϕ
Korzystamy ze znanego z mechaniki związku energii potencjalnej z siłami pola


 ∂E p  ∂E p  ∂E p  
F = −
ex +
ey +
ez  = −∇E p 
∂
∂
∂
x
y
z







F = qE
 ⇒ q E = −∇(q ϕ )

Ep = qϕ




 ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  
E = −∇ϕ = − 
ex +
ey +
ez 
x
y
z
∂
∂
∂



Pole elektryczne można opisać za pomocą wektorowej wielkości E lub/oraz (gdy jest stałe w
czasie) równoważnie za pomocą skalarnej wielkości ϕ .
Pole elektryczne w próżni 8
Związek między natężeniem pola i potencjałem, cd.

b) Zależność ϕ od E
 
W12 = ∫ q E dl



1
− q (ϕ 2 − ϕ1 ) 
W12 =
2
 
ϕ2 − ϕ1 =
− ∫ E dl
2
⇒
1
 
ϕ2 =−
ϕ1 ∫ E dl
2
⇒
1
Potencjalność pola elektrostatycznego
Skalarny potencjał ϕ można określić tylko dla pola zachowawczego. W takim polu praca sił
pola W12 związana z przeniesieniem jakiegoś obiektu z punktu 1 do 2 nie zależy od kształtu
drogi, a tylko od współrzędnych tych punktów. W dziale „mechanika” pokazaliśmy, że jest to
równoważne takiej własności pola, że sumaryczna praca sił pola związana z przesunięciem
obiektu po dowolnej trajektorii zamkniętej jest równa zeru. To prowadzi do warunku
 
∫ E dl = 0
Można pokazać, że takie równanie może być spełnione tylko w polu stałym w czasie. Powyż
sza całka nosi nazwę cyrkulacji wektora E . W przypadku polu elektrostatycznego cyrkulacja

wektora E jest zawsze równa zeru. Nie musi to zachodzić w polu zmiennym.
Pole elektryczne w próżni 9
Graficzne przedstawienie pola elektrycznego za pomocą powierzchni ekwipotencjalnych
Powierzchnia
ekwipotencjalna
- Powierzchnia, której wszystkie punkty mają jednakowy potencjał.
Jej równanie ma postać ϕ ( x, y, z ) = const
Linie natężenia są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych
w dowolnym punkcie pola.
Na rysunkach przyjmuje się, że odstęp ∆ϕ między sąsiednimi
powierzchniami ekwipotencjalnymi dla wszystkich przedstawianych powierzchni jest stały.
Dipol elektryczny
Dipol elektryczny
- Układ dwóch równych co do wartości, lecz przeciwnego znaku ładunków punktowych, + q i − q znajdujących się w odległości l która
jest dużo mniejsza niż odległość do punktów, gdzie wyznaczane jest
pole tego układu.
Pole elektryczne w próżni 10