funkcje trygonometryczne kąta ostrego

trygonometria
Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.
Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch
boków trójkąta prostokątnego.
Przypomnijmy, jakie występują boki i kąty w trójkącie prostokątnym:
Ważne! Naprzeciwko mniejszego kąta ostrego w trójkącie leży krótsza z przyprostokątnych.
Na poziomie maturalnym obowiązuje znajomość trzech funkcji trygonometrycznych:
- sinus (sin),
- cosinus (cos), czytamy: kosinus
- tangens (tg),
Funkcje trygonometryczne to stosunki boków danego trójkąta. Liczymy je dla konkretnego
kąta ostrego.. W każdym trójkącie prostokątnym mamy dwa kąty ostre; zazwyczaj oznaczane
jako
i .
W powyższych wzorach
jest przyprostokątną : przeciwległą do kąta
jest przyprostokątną : przeciwległą do kąta
i przyległą do kąta .
i przyległą do kąta .
1
trygonometria
Słowami, w trójkącie prostokątnym:
1) sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do
przeciwprostokątnej;
2) cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przyległej do tego kąta do
przeciwprostokątnej;
3) tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej przeciwległej do
przyprostokątnej przyległej;
Ponieważ sinus i cosinus kąta jest stosunkiem przyprostokątnej do przeciwprostokątnej,
więc sinus i cosinus kąta jest zawsze liczbą mniejszą od jedności, tangens zaś może
przybierać różne wartości, większe lub mniejsze od 1.
Wyznaczając funkcje trygonometryczne należy zawsze określać, tak jak to przedstawiono
powyżej. Nie możemy zapamiętywać ich „wzrokowo”. Podany w zadaniu trójkąt może mieć
inne oznaczenia boków, różne położenia, np. być „obrócony”.
Przykład:
Wyznacz funkcje trygonometryczne kąta
w następującym trójkącie:
R:
2
trygonometria
Zadanie.
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla podanych trójkątów:
a)
b)
Tablice trygonometryczne*
* ostatnia strona wzorów maturalnych
Jeśli znamy miarę kąta, to wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta możemy odczytać z
tablic trygonometrycznych. I na odwrót – jeśli znamy wartość dowolnej funkcji
trygonometrycznej danego kąta, możemy znaleźć jego miarę w tablicach.

Znamy kąt odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych dla tego kąta.
Przykład:
Podaj wartość sinusa, cosinusa i tangensa kąta o mierze
.
Dla podanego kąta i funkcji, odczytujemy kolejne wartości z tablicy.
:
Możemy więc zapisać, że:
sin 150 = 0,2588
cos 150 = 0,9659
tg 150 = 0,2679
3
trygonometria

mamy podaną wartość funkcji trygonometrycznej odczytujemy miarę kąta.
Przykład 1:
Podaj miarę kąta, którego cosinus wynosi 0,6023.
Szukamy w kolumnie funkcji cosinus podanej wartości (0,6023), a jeżeli nie ma jej w
tabeli, szukamy wartości najbliższej do danej (dla naszego przykładu będzie to wartość
0,6018), a następnie w ostatniej kolumnie ( bo cos odczytujemy miarę kąta .
Kąt ma więc w przybliżeniu miarę
.
Przykład 2:
Podaj miarę kąta, którego tangens wynosi 2,5.
Szukamy w kolumnie funkcji tangens podanej wartości (2,5000), a jeżeli nie ma jej w
tabeli, szukamy wartości najbliższej do danej (dla naszego przykładu będzie to wartość
2,4751), a następnie w pierwszej kolumnie ( bo tg odczytujemy miarę kąta .
Kąt ma więc w przybliżeniu miarę 680.
Zadania
4
trygonometria
WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH DLA KĄTÓW
,
,
Wartości funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów możemy odczytać z tabeli, ale są to
wartości mniej lub bardziej przybliżone.
Gdy mamy do czynienia z kątami:
,
,
, należy podstawiać dokładną wartość
funkcji trygonometrycznych. Są one zawarte w tablicach matematycznych.
Powyższe wartości pozwalają otrzymać dokładne wyniki obliczeń.
Przykład 1:
Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta:
Dane: b = 6 cm
c=?
Rozwiązanie:
Aby obliczyć długość
przeciwprostokątnej (c), mając
daną przyprostokątną przy
kącie 300 , musimy
wykorzystać funkcję cosinus
Wnioski:
5
trygonometria
Przykład:
Przykład :
6
trygonometria
Wyznaczanie długości boków i kątów w trójkątach prostokątnych przy użyciu funkcji
trygonometrycznych nazywamy rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych.
Na zakończenie zadanie i króciutki test
Zadanie: W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych stanowi 40%
przeciwprostokątnej. Wyznacz kąty tego trójkąta z dokładnością do 10.
7