Proces nadwyzki finansowej i wstep do prawdopodobienstwa ruiny

Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do
prawdopodobieństwa ruiny
mgr Sebastian Baran
Instytut Matematyki UJ
10 maja 2012
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Plan wykładu
1
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
2
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
3
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
4
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
deszcze, gradobicia i powodzie w okresie wiosennym i letnim
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
deszcze, gradobicia i powodzie w okresie wiosennym i letnim
rabunki mieszkań w czasie wakacji
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
deszcze, gradobicia i powodzie w okresie wiosennym i letnim
rabunki mieszkań w czasie wakacji
wieksza
˛
cz˛estotliwość wypadków samochodowych w okresie
jesienno-zimowym
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
deszcze, gradobicia i powodzie w okresie wiosennym i letnim
rabunki mieszkań w czasie wakacji
wieksza
˛
cz˛estotliwość wypadków samochodowych w okresie
jesienno-zimowym
liczba szkód może zmieniać sie˛ w czasie ze wzgledu
˛
na zmiane˛
uwarunkowań zewnetrznych,
˛
takich jak:
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
deszcze, gradobicia i powodzie w okresie wiosennym i letnim
rabunki mieszkań w czasie wakacji
wieksza
˛
cz˛estotliwość wypadków samochodowych w okresie
jesienno-zimowym
liczba szkód może zmieniać sie˛ w czasie ze wzgledu
˛
na zmiane˛
uwarunkowań zewnetrznych,
˛
takich jak:
nowoczesne sposoby zapobiegania pożarom oraz nowe metody
antywłamaniowe
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
zmienna cz˛estotliwość wystepowania
˛
szkód
deszcze, gradobicia i powodzie w okresie wiosennym i letnim
rabunki mieszkań w czasie wakacji
wieksza
˛
cz˛estotliwość wypadków samochodowych w okresie
jesienno-zimowym
liczba szkód może zmieniać sie˛ w czasie ze wzgledu
˛
na zmiane˛
uwarunkowań zewnetrznych,
˛
takich jak:
nowoczesne sposoby zapobiegania pożarom oraz nowe metody
antywłamaniowe
zmiany w obrebie
˛
technologii
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
trendy
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
trendy
cykle
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
trendy
cykle
wahania krótkookresowe
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
trendy
cykle
wahania krótkookresowe
losowe fluktuacje
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Na co należy zwrócić uwage˛ analizujac
˛ liczbe˛ szkód lub liczbe˛
wypadków ubezpieczeniowych?
trendy
cykle
wahania krótkookresowe
losowe fluktuacje
różna liczba szkód w zależności od regionu ich wystepowania
˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Modele dyskretne liczby szkód
Dobrym modelem opisujacym
˛
liczbe˛ szkód jest zmienna losowa
dyskretna, która˛ oznaczymy symbolem K .
Pr (K = k ) = pk
dla
k = 0, 1, 2, . . . ,
W praktyce ubezpieczeniowej do opisu zmiennej losowej K
najcz˛eściej używamy nastepuj
˛ acych
˛
rozkładów prawdopodobieństwa:
dwumianowy
Poissona
ujemny dwumianowy
logarytmiczny
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dwumianowy liczby szkód
Jeśli portfel składa sie˛ z N jednorodnych rodzajów ryzyka, jeśli
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
szkody w każdym ryzyku jest
równe i wynosi p, a prawdopodobieństwo, że szkoda nie wystapi
˛
wynosi q = 1 − p, to liczbe˛ szkód w portfelu modelujemy
rozkładem dwumianowym
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dwumianowy liczby szkód
Jeśli portfel składa sie˛ z N jednorodnych rodzajów ryzyka, jeśli
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
szkody w każdym ryzyku jest
równe i wynosi p, a prawdopodobieństwo, że szkoda nie wystapi
˛
wynosi q = 1 − p, to liczbe˛ szkód w portfelu modelujemy
rozkładem dwumianowym
pk = Pr (K = k ) = Nk pk q N−k dla k = 0, 1, 2, . . . , N.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dwumianowy liczby szkód
Jeśli portfel składa sie˛ z N jednorodnych rodzajów ryzyka, jeśli
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
szkody w każdym ryzyku jest
równe i wynosi p, a prawdopodobieństwo, że szkoda nie wystapi
˛
wynosi q = 1 − p, to liczbe˛ szkód w portfelu modelujemy
rozkładem dwumianowym
pk = Pr (K = k ) = Nk pk q N−k dla k = 0, 1, 2, . . . , N.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = Np
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dwumianowy liczby szkód
Jeśli portfel składa sie˛ z N jednorodnych rodzajów ryzyka, jeśli
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
szkody w każdym ryzyku jest
równe i wynosi p, a prawdopodobieństwo, że szkoda nie wystapi
˛
wynosi q = 1 − p, to liczbe˛ szkód w portfelu modelujemy
rozkładem dwumianowym
pk = Pr (K = k ) = Nk pk q N−k dla k = 0, 1, 2, . . . , N.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = Np
Wahania liczby szkód wokół tej średniej wyznacza sie˛ za
pomoca˛ wariancji, która˛ obliczamy ze wzoru:
Var (K ) = Npq
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model Poissona liczby szkód
W przypadku dużych portfeli oraz bardzo małego
prawdopodobieństwa wystapienia
˛
szkody w pojedynczym ryzyku
stosuje sie˛ rozkład Poissona
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model Poissona liczby szkód
W przypadku dużych portfeli oraz bardzo małego
prawdopodobieństwa wystapienia
˛
szkody w pojedynczym ryzyku
stosuje sie˛ rozkład Poissona
pk = Pr (K = k ) =
λk −λ
k! e
dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie λ = Np.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model Poissona liczby szkód
W przypadku dużych portfeli oraz bardzo małego
prawdopodobieństwa wystapienia
˛
szkody w pojedynczym ryzyku
stosuje sie˛ rozkład Poissona
pk = Pr (K = k ) =
λk −λ
k! e
dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie λ = Np.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = λ
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model Poissona liczby szkód
W przypadku dużych portfeli oraz bardzo małego
prawdopodobieństwa wystapienia
˛
szkody w pojedynczym ryzyku
stosuje sie˛ rozkład Poissona
pk = Pr (K = k ) =
λk −λ
k! e
dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie λ = Np.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = λ
Wahania liczby szkód wokół tej średniej wyznacza sie˛ za
pomoca˛ wariancji, która˛ obliczamy ze wzoru:
Var (K ) = λ
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model ujemny dwumianowy liczby szkód
Gdy wariancja liczby szkód przekracza średnia˛ stosujemy
rozkład ujemny dwumianowy
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model ujemny dwumianowy liczby szkód
Gdy wariancja liczby szkód przekracza średnia˛ stosujemy
rozkład ujemny dwumianowy
pk = Pr (K = k ) = α+kk −1 q k pα dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie
α ∈ (0,∞), pk - prawdopodobieństwo wystapienia
˛
α-tej kolejnej
szkody po k brakach szkody.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model ujemny dwumianowy liczby szkód
Gdy wariancja liczby szkód przekracza średnia˛ stosujemy
rozkład ujemny dwumianowy
pk = Pr (K = k ) = α+kk −1 q k pα dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie
α ∈ (0,∞), pk - prawdopodobieństwo wystapienia
˛
α-tej kolejnej
szkody po k brakach szkody.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = α
mgr Sebastian Baran
q
p
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model ujemny dwumianowy liczby szkód
Gdy wariancja liczby szkód przekracza średnia˛ stosujemy
rozkład ujemny dwumianowy
pk = Pr (K = k ) = α+kk −1 q k pα dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie
α ∈ (0,∞), pk - prawdopodobieństwo wystapienia
˛
α-tej kolejnej
szkody po k brakach szkody.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = α
q
p
Wahania liczby szkód wokół tej średniej wyznacza sie˛ za
pomoca˛ wariancji, która˛ obliczamy ze wzoru:
Var (K ) = α
mgr Sebastian Baran
q
p2
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model ujemny dwumianowy liczby szkód
Gdy wariancja liczby szkód przekracza średnia˛ stosujemy
rozkład ujemny dwumianowy
pk = Pr (K = k ) = α+kk −1 q k pα dla k = 0, 1, 2, . . . , gdzie
α ∈ (0,∞), pk - prawdopodobieństwo wystapienia
˛
α-tej kolejnej
szkody po k brakach szkody.
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) = α
q
p
Wahania liczby szkód wokół tej średniej wyznacza sie˛ za
pomoca˛ wariancji, która˛ obliczamy ze wzoru:
Var (K ) = α
q
p2
Gdy α = 1 to pk = pq k otrzymujemy rozkład geometryczny
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model logarytmiczny liczby szkód
Innym rozkładem stosowanym do modelowania liczby szkód jest
rozkład logarytmiczny
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model logarytmiczny liczby szkód
Innym rozkładem stosowanym do modelowania liczby szkód jest
rozkład logarytmiczny
pk = Pr (K = k ) =
pk
k | ln(1 − p)|
mgr Sebastian Baran
dla
k = 1, 2, . . . ,
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model logarytmiczny liczby szkód
Innym rozkładem stosowanym do modelowania liczby szkód jest
rozkład logarytmiczny
pk = Pr (K = k ) =
pk
k | ln(1 − p)|
dla
k = 1, 2, . . . ,
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) =
mgr Sebastian Baran
p
q| ln q|
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model logarytmiczny liczby szkód
Innym rozkładem stosowanym do modelowania liczby szkód jest
rozkład logarytmiczny
pk = Pr (K = k ) =
pk
k | ln(1 − p)|
dla
k = 1, 2, . . . ,
Średnia liczba przewidywanych szkód wynosi:
E(K ) =
p
q| ln q|
Wahania liczby szkód wokół tej średniej wyznacza sie˛ za
pomoca˛ wariancji, która˛ obliczamy ze wzoru:
Var (K ) =
mgr Sebastian Baran
p(| ln q| − p)
q| ln q|2
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model akumulacyjny liczby szkód i roszczeń
Niech zmienna losowa N opisuje liczbe˛ wypadków
ubezpieczeniowych, a zmienna losowa J liczbe˛ szkód
pochodzacych
˛
z jednego wypadku.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model akumulacyjny liczby szkód i roszczeń
Niech zmienna losowa N opisuje liczbe˛ wypadków
ubezpieczeniowych, a zmienna losowa J liczbe˛ szkód
pochodzacych
˛
z jednego wypadku.
pn - prawdopodobieństwo wystapienia
˛
n wypadków, qj prawdopodobieństwo wystapienia
˛
j szkód w jednym wypadku.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model akumulacyjny liczby szkód i roszczeń
Niech zmienna losowa N opisuje liczbe˛ wypadków
ubezpieczeniowych, a zmienna losowa J liczbe˛ szkód
pochodzacych
˛
z jednego wypadku.
pn - prawdopodobieństwo wystapienia
˛
n wypadków, qj prawdopodobieństwo wystapienia
˛
j szkód w jednym wypadku.
Zmienna losowa K opisuje liczbe˛ szkód z wszystkich wypadków.
Rozkład zmiennej K opiszemy nastepuj
˛ aco:
˛
P(K = 0) = p0 ,
P(K = 1) = p1 q1 ,
P(K = 2) = p1 q2 + p2 q12 .
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model akumulacyjny liczby szkód i roszczeń
Dla K = 3 mamy:
P(K = 3) = p1 q3 + p2 2q1 q2 + p3 q13 .
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model akumulacyjny liczby szkód i roszczeń
Dla K = 3 mamy:
P(K = 3) = p1 q3 + p2 2q1 q2 + p3 q13 .
Prawdopodobieństwo wystapienia
˛
3-ech szkód powstaje w
przypadku jednego wypadku z trzema szkodami albo dwóch
wypadków pierwszego z jedna˛ a drugiego z dwoma szkodami,
albo trzy wypadki, każdy z pojedyncza˛ szkoda.
˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model akumulacyjny liczby szkód i roszczeń
Rozkład liczby szkód z wszystkich wypadków określa wzór:
P(K = k ) =
k
X
pn qkn ,
n=0
gdzie qkn - prawdopodobieństwo zdarzenia, że wystapi
˛ k szkód w
n wypadkach
1, jeśli K = 0,
qk1 = qk i qk0 =
0, jeśli K 6= 0.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dynamiczny liczby szkód
Proces Poissona
Uwzglednia
˛
wpływ czasu na proces wystepowania
˛
szkód
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dynamiczny liczby szkód
Proces Poissona
Uwzglednia
˛
wpływ czasu na proces wystepowania
˛
szkód
Zakładamy, że intensywność wystepowania
˛
szkód jest stała i
wynosi λ
e−λt (λt)k
pk (t) = P[K (t) = k ] =
,
k!
gdzie k = 0, 1, 2, .... oraz λ > 0.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Model dynamiczny liczby szkód
Proces Poissona
Uwzglednia
˛
wpływ czasu na proces wystepowania
˛
szkód
Zakładamy, że intensywność wystepowania
˛
szkód jest stała i
wynosi λ
e−λt (λt)k
pk (t) = P[K (t) = k ] =
,
k!
gdzie k = 0, 1, 2, .... oraz λ > 0.
Wartość oczekiwana i wariancja liczby szkód sa˛ równe i
wynosza:
˛ E[K (t)] = D 2 [K (t)] = λt.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Wartość szkody lub roszczenia może być modelowana za
pomoca˛ zmiennej losowej ciagłej
˛
o wartościach X > 0 oraz o
wartości oczekiwanej E(X ) skończonej.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Wartość szkody lub roszczenia może być modelowana za
pomoca˛ zmiennej losowej ciagłej
˛
o wartościach X > 0 oraz o
wartości oczekiwanej E(X ) skończonej.
Określenie postaci dystrybuanty FX lub znalezienie jej podstawowych
parametrów - metody
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Wartość szkody lub roszczenia może być modelowana za
pomoca˛ zmiennej losowej ciagłej
˛
o wartościach X > 0 oraz o
wartości oczekiwanej E(X ) skończonej.
Określenie postaci dystrybuanty FX lub znalezienie jej podstawowych
parametrów - metody
konstrukcja empirycznej dystrybuanty
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Wartość szkody lub roszczenia może być modelowana za
pomoca˛ zmiennej losowej ciagłej
˛
o wartościach X > 0 oraz o
wartości oczekiwanej E(X ) skończonej.
Określenie postaci dystrybuanty FX lub znalezienie jej podstawowych
parametrów - metody
konstrukcja empirycznej dystrybuanty
wyznaczenie analitycznej postaci dystrybuanty i użycie
statystycznych testów istotności typu χ2 lub
Kołmogorowa-Smirnowa, do zweryfikowania hipotezy o postaci
dystrybuanty
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Wartość szkody lub roszczenia może być modelowana za
pomoca˛ zmiennej losowej ciagłej
˛
o wartościach X > 0 oraz o
wartości oczekiwanej E(X ) skończonej.
Określenie postaci dystrybuanty FX lub znalezienie jej podstawowych
parametrów - metody
konstrukcja empirycznej dystrybuanty
wyznaczenie analitycznej postaci dystrybuanty i użycie
statystycznych testów istotności typu χ2 lub
Kołmogorowa-Smirnowa, do zweryfikowania hipotezy o postaci
dystrybuanty
obliczenie na podstawie danych podstawowych parametrów
rozkładu bez szukania postaci dystrybuanty
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Wykorzystywane typy rozkładów
gamma
Pareto
beta
logarytmiczno-normalny
normalny
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład gamma
Funkcja gestości:
˛
f (x) =
1
µγ Γ(γ)
x
x γ−1 e− µ ,
x > 0,
z dwoma parametrami, gdzie µ > 0, a funkcja Γ zadana jest
wzorem:
Z ∞
x γ−1 e−x dx dla γ > 0.
Γ(γ) =
0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład gamma
Funkcja gestości:
˛
f (x) =
1
µγ Γ(γ)
x
x γ−1 e− µ ,
x > 0,
z dwoma parametrami, gdzie µ > 0, a funkcja Γ zadana jest
wzorem:
Z ∞
x γ−1 e−x dx dla γ > 0.
Γ(γ) =
0
Wartość oczekiwana i wariancja:
E(X ) = µγ,
mgr Sebastian Baran
D 2 (X ) = µ2 γ.
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład gamma
Funkcja gestości:
˛
f (x) =
1
µγ Γ(γ)
x
x γ−1 e− µ ,
x > 0,
z dwoma parametrami, gdzie µ > 0, a funkcja Γ zadana jest
wzorem:
Z ∞
x γ−1 e−x dx dla γ > 0.
Γ(γ) =
0
Wartość oczekiwana i wariancja:
E(X ) = µγ,
D 2 (X ) = µ2 γ.
Jeśli γ = 1, to rozkład wykładniczy.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład gamma
Funkcja gestości:
˛
f (x) =
1
µγ Γ(γ)
x
x γ−1 e− µ ,
x > 0,
z dwoma parametrami, gdzie µ > 0, a funkcja Γ zadana jest
wzorem:
Z ∞
x γ−1 e−x dx dla γ > 0.
Γ(γ) =
0
Wartość oczekiwana i wariancja:
E(X ) = µγ,
D 2 (X ) = µ2 γ.
Jeśli γ = 1, to rozkład wykładniczy.
Rozkład gamma o γ ≤ 1 dobrze opisuje sytuacje˛ dużej ilości
małych roszczeń, zaś gdy γ > 1 wówczas wiecej
˛
jest roszczeń o
dużych wartościach.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład Pareto
Dystrybuanta rozkładu:
F (x) = 1 −
1
dla x ≥ 0 i 0 < α < ∞.
(1 + x)α
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład Pareto
Dystrybuanta rozkładu:
F (x) = 1 −
E(X ) =
1
dla x ≥ 0 i 0 < α < ∞.
(1 + x)α
1
dla α > 1,
α−1
mgr Sebastian Baran
E(X 2 ) =
2
dla α > 2.
(α − 1)(α − 2)
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład beta
Funkcja gestości:
˛
f (x) =
Γ(α + β) α−1
x
(1 − x)β−1 ,
Γ(α)Γ(β)
gdzie:
0 < α < ∞,
mgr Sebastian Baran
0 < β < ∞.
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład beta
Funkcja gestości:
˛
f (x) =
Γ(α + β) α−1
x
(1 − x)β−1 ,
Γ(α)Γ(β)
gdzie:
0 < α < ∞,
E(X ) =
α
,
α+β
0 < β < ∞.
E(X 2 ) =
mgr Sebastian Baran
α(α + 1)
.
(α + β)(α + β + 1)
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład logarytmiczno-normalny
Funkcja gestości:
˛
f (x) = √
(ln x − µ)2
· exp −
,
2σ 2
2πσx
1
gdzie 0 < y < ∞ oraz −∞ < µ < ∞, 0 < σ < ∞.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład logarytmiczno-normalny
Funkcja gestości:
˛
f (x) = √
(ln x − µ)2
· exp −
,
2σ 2
2πσx
1
gdzie 0 < y < ∞ oraz −∞ < µ < ∞, 0 < σ < ∞.
E(X ) = eµ+
σ2
2
,
mgr Sebastian Baran
2
2
D 2 (X ) = e2µ+σ (eσ − 1).
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład normalny
Funkcja gestości:
˛
f (x) = √
1
2πσ
mgr Sebastian Baran
e−
(x−µ)2
2σ 2
dla σ > 0.
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rozkład normalny
Funkcja gestości:
˛
f (x) = √
1
2πσ
e−
(x−µ)2
2σ 2
dla σ > 0.
Wartość oczekiwana i wariancja dla tego rozkładu:
E(X ) = µ,
mgr Sebastian Baran
D 2 (X ) = σ 2 .
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rysunek: Funkcja gestości
˛
rozkładu wykładniczego dla µ = 1. Źródło:
opracowanie własne.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rysunek: Funkcja gestości
˛
rozkładu Gamma dla µ = 1, γ = 0.9. Źródło:
opracowanie własne.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Modele dyskretne liczby szkód
Model akumulacyjny liczby szkód
Model dynamiczny liczby szkód
Rozkład wartości indywidualnej szkody lub roszczenia
Rysunek: Funkcja gestości
˛
rozkładu Gamma dla µ = 1, γ = 1.5. Źródło:
opracowanie własne.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Znajduje zastosowanie w ubezpieczeniach osobowych
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Znajduje zastosowanie w ubezpieczeniach osobowych
Rozważamy portfel złożony z n polis.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Znajduje zastosowanie w ubezpieczeniach osobowych
Rozważamy portfel złożony z n polis.
Założenia
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Znajduje zastosowanie w ubezpieczeniach osobowych
Rozważamy portfel złożony z n polis.
Założenia
Ryzyko wystepuj
˛ ace
˛ w portfelu jest statystycznie niezależne,
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Znajduje zastosowanie w ubezpieczeniach osobowych
Rozważamy portfel złożony z n polis.
Założenia
Ryzyko wystepuj
˛ ace
˛ w portfelu jest statystycznie niezależne,
W każdym ryzyku w portfelu odszkodowanie może wystapić
˛ co
najwyżej raz.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Całkowite odszkodowanie wypłacone z portfela złożonego z n
niezależnych polis
Z = X1 + . . . + Xn ,
gdzie Xi - odszkodowanie pochodzace
˛ z i-tej polisy
Podstawowe parametry
wartość oczekiwana
E(Z ) = E(X1 ) + . . . + E(Xn )
wariancja
D 2 (Z ) = D 2 (X1 ) + . . . + D 2 (Xn )
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Wyznaczenie dystrybuanty całkowitego odszkodowania-metoda
splotów
Jeśli X i Y sa˛ ciagłymi
˛
zmiennymi losowymi o dystrybuantach
FX (x) = P(X ≤ x) i FY (y ) = P(Y ≤ y ) to splot dystrybuant ma
+∞
Z
postać:
(FX ∗ FY )(z) =
FY (z − x)dFX (x)
−∞
i jest dystrybuanta˛ sumy Z = X + Y zmiennych losowych.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Wyznaczenie dystrybuanty całkowitego odszkodowania-metoda
splotów
Jeśli X i Y sa˛ ciagłymi
˛
zmiennymi losowymi o dystrybuantach
FX (x) = P(X ≤ x) i FY (y ) = P(Y ≤ y ) to splot dystrybuant ma
+∞
Z
postać:
(FX ∗ FY )(z) =
FY (z − x)dFX (x)
−∞
i jest dystrybuanta˛ sumy Z = X + Y zmiennych losowych.
+∞
R
P(X + Y ≤ z) =
P(X + Y ≤ z|X = x)dFX (x)
−∞
+∞
+∞
Z
Z
P(Y ≤ z − x)dFX (x) =
FY (z − x)dFX (x)
=
−∞
−∞
= (FX ∗ FY )(z)
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Wyznaczenie dystrybuanty całkowitego odszkodowania-metoda
splotów
Suma n niezależnych zmiennych losowych o tej samej dystrybuancie
F ma dystrybuante˛ w postaci nastepuj
˛ acego
˛
n-tego splotu
F ∗ F ∗ . . . ∗ F = F ∗n
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Podstawowe parametry rozkładu
k -ty moment zwykły dla zmiennej losowej X
mk = E(X k )
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Podstawowe parametry rozkładu
k -ty moment zwykły dla zmiennej losowej X
mk = E(X k )
k -ty moment centralny dla zmiennej losowej X
µk = E((X − E(X ))k )
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Podstawowe parametry rozkładu
k -ty moment zwykły dla zmiennej losowej X
mk = E(X k )
k -ty moment centralny dla zmiennej losowej X
µk = E((X − E(X ))k )
najważniejsze w matematyce aktuarialnej to
E(X ) = m, D 2 (X ) = µ2 , σ =
mgr Sebastian Baran
q
D 2 (X ), γ =
E((X − m)3 )
σ3
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Funkcje generujace
˛ momenty
Wykorzystywane do obliczania momentów
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Funkcje generujace
˛ momenty
Wykorzystywane do obliczania momentów
Funkcja tworzaca
˛ momenty zmiennej losowej X określona jest
wzorem:
φX (t) = E(etX )
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Funkcje generujace
˛ momenty
Wykorzystywane do obliczania momentów
Funkcja tworzaca
˛ momenty zmiennej losowej X określona jest
wzorem:
φX (t) = E(etX )
Własności:
φX (0) = 1
(n)
φX (0) = E(X n )
jeśli X i Y sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi to
φX +Y (t) = φX (t)φY (t)
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego.
Niech X1 , X2 , ... bedzie
˛
ciagiem
˛
niezależnych zmiennych
losowych o rozkładach F1 (x), F2 (x), ... oraz o wartościach
oczekiwanych µ1 , µ2 , . . . i wariancjach σ12 , σ22 , . . .. Niech:
Z = X1 + . . . + Xn , µ = µ1 + . . . + µn , σ 2 = σ12 + . . . + σn2
Warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby
z −µ
lim P
≤ x = N(x)
n→∞
σ
gdzie N jest dystrybuanta˛ standaryzowanego rozkładu
normalnego, jest, aby dla każdego t > 0 zachodziła nastepuj
˛ aca
˛
równość:
n Z
1 X
lim
(y − µj )2 dFj (y ) = 0.
n→∞ σ 2
|y |>tσ
j=1
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego.
Warunek ten nazywa sie˛ warunkiem Lindeberga i oznacza, że
dla dowolnego > 0 i wszystkich n dostatecznie dużych
zachodzi:
σj
> , j = 1, . . . , n
σ
W wiekszości
˛
zastosowań aktuarialnych ten ostatni warunek jest
spełniony, dlatego można stosować powyższe twierdzenie.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 1 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Pewien zakład ubezpieczeń sprzedaje trzy rodzaje ubezpieczeń od
kosztów leczenia. Na podstawie danych z poprzednich lat zakład
ubezpieczeń przecietnie
˛
w ciagu
˛ roku z jednej polisy wypłaca dla
pierwszej grupy ubezpieczeń 250 euro, z odchyleniem standardowym
120 euro, dla drugiej grupy ubezpieczeń 150 euro z odchyleniem
standardowym 80 euro, a dla trzeciej grupy 360 euro z odchyleniem
standardowym 240 euro. W bieżacym
˛
roku zakład ubezpieczeń
sprzedał 340 polis z pierwszej grupy, 650 polis z drugiej grupy oraz
130 polis z trzeciej grupy.
Korzystajac
˛ ze wzorów na wartość oczekiwana˛ i wariancje˛
otrzymamy:
E(Z ) = 340 · 250 + 650 · 150 + 130 · 360 = 229300
D 2 (Z ) = 340 · 14400 + 650 · 6400 + 130 · 57600 = 1654400,
czyli σ = 4067, 43.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 1 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Zakład ubezpieczeń chce mieć informacje,
˛ jakie jest
prawdopodobieństwo, że całkowita kwota świadczeń z tytułu
ubezpieczeń od kosztów leczenia w danym roku przekroczy 240000
euro.
Aby odpowiedzieć na to pytanie, korzystamy z centralnego
twierdzenia granicznego i wymóg ten zapisujemy wzorem:
P(Z > 240000) = 1 − P(Z ≤ 240000) = 1 − FZ (240000),
gdzie:
FZ (x) = N
x − 229300
4067, 43
,
a N jest dystrybuanta˛ rozkładu normalnego standaryzowanego.
Korzystajac
˛ z tablic rozkładu normalnego, otrzymamy:
1 − FZ (240000) = 1 − N(2, 63) = 0, 0043.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 2 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Tysiac
˛ młodych meżczyzn
˛
wykupiło polise˛ na życie na rok.
Prawdopodobieństwo, że nastapi
˛ śmierć w ciagu
˛ roku dla każdego
meżczyzny
˛
wynosi 0,001, a świadczenie w przypadku śmierci
wyniesie 1 jednostk˛e. Jakie jest prawdopodobieństwo, że całkowite
świadczenie z tego portfela wyniesie co najmniej 4 jednostki?
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 2 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Całkowite świadczenie jako wielkość losowa ma w tym przypadku
rozkład dwumianowy (1000; 0,001), który przybliżamy rozkładem
Poissona dla λ = np = 1. Otrzymujemy:
P(Z ≥ 3, 5) = 1 − e−1 − e−1 −
1 −1 1 −1
e − e = 0, 01899.
2
6
Zauważmy, że dokładne prawdopodobieństwo w tym przypadku z
rozkładu dwumianowego wyniesie 0,01899. Natomiast jeśli
zastosujemy aproksymacje˛ za pomoca˛ centralnego twierdzenia
granicznego, to wtedy µ = E(Z ) = 1 i σ 2 = 1 oraz otrzymamy:
Z −µ
3, 5 − µ
P(Z ≥ 3, 5) = 1 − P
≥
= 1 − N(2, 5) = 0, 0062.
σ
σ
Jak widać, aproksymacja rozkładem normalnym jest gorsza, a wynika
to ze zbyt dużej skośności zmiennej Z, gdyż γZ = 1.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 2 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
W takich sytuacjach jak ta wystepuj
˛ aca
˛ w przykładzie, proponuje sie˛
przybliżenie Z przesunietym
˛
rozkładem gamma. W przypadku gdy
asymetria jest prawostronna, czyli γ > 0, to do przybliżenia rozkładu
prawdopodobieństwa Z stosuje sie˛ rozkład gamma trój
parametryczny G(α, β, γ), gdyż trzeci moment centralny tego
rozkładu jest dodatni i asymetria jest również dodatnia. Stosuje sie˛
tutaj zmienna˛ losowa˛ przesuniet
˛ a˛ o odległość x0 , czyli sume˛ Z
przybliżamy zmienna˛ S + x0 , gdzie zmienna S ma rozkład gamma
G(α, β)). Wybieramy parametry α, β, x0 , tak aby pierwsze trzy
momenty były takie same jak dla Z. Aproksymacja przesunietym
˛
rozkładem gamma ma postać:
FZ (z) ' G(z − x0 ; α, β), gdzie
Z x
1
y α−1 β α e−βy dy ,
G(x; α, β) =
Γ(α) 0
mgr Sebastian Baran
x ≥ 0.
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 2 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Należy zapewnić taki wybór α, β i x0 , żeby trzy pierwsze momenty
były zgodne, stad:
˛
µ = x0 +
α
,
β
σ2 =
α
,
β2
2
γ=√ ,
α
które musza˛ spełniać równania:
α=
4
,
γ2
β=
2
,
γσ
mgr Sebastian Baran
x0 = µ −
2σ
.
γ
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Przykład 3 - Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Jeśli Z ma rozkład Poissona z parametrem 1, czyli µ = σ = γ = 1, to
α = 4, β = 2 i x0 = −1.
Zatem:
P(Z ≥ 3, 5) ' 1 − G[3, 5 − (−1); 4, 2] = 0, 0212,
czyli uzyskuje sie˛ tu lepsze przybliżenie niż rozkładem normalnym.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model
Całkowita˛ sume˛ roszczeń w modelu łaczonego
˛
ryzyka określa wzór:
Z = X1 + X2 + . . . + XK ,
gdzie: K - zmienna losowa określajaca
˛ liczbe˛ roszczeń
(odszkodowań) dla badanego portfela
Xi - zmienna losowa określajaca
˛ wartość i-tego odszkodowania
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model
Całkowita˛ sume˛ roszczeń w modelu łaczonego
˛
ryzyka określa wzór:
Z = X1 + X2 + . . . + XK ,
gdzie: K - zmienna losowa określajaca
˛ liczbe˛ roszczeń
(odszkodowań) dla badanego portfela
Xi - zmienna losowa określajaca
˛ wartość i-tego odszkodowania
Założenia
X1 , X2 , . . . - zmienne losowe o identycznych rozkładach
K , X1 , X2 , . . . - wzajemnie niezależne
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Stosowany w ubezpieczeniach majatkowych
˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Stosowany w ubezpieczeniach majatkowych
˛
Proces ryzyka oparty jest na całym portfelu jako całości, nie
identyfikujemy polisy, z której pochodzi szkoda.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Stosowany w ubezpieczeniach majatkowych
˛
Proces ryzyka oparty jest na całym portfelu jako całości, nie
identyfikujemy polisy, z której pochodzi szkoda.
Wystepuje
˛
tu podwójna losowość, tzn. rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z zależy od rozkładu
zmiennej losowej K i rozkładu zmiennych losowych Xi , gdzie
i = 1, 2, . . . , K .
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Stosowany w ubezpieczeniach majatkowych
˛
Proces ryzyka oparty jest na całym portfelu jako całości, nie
identyfikujemy polisy, z której pochodzi szkoda.
Wystepuje
˛
tu podwójna losowość, tzn. rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z zależy od rozkładu
zmiennej losowej K i rozkładu zmiennych losowych Xi , gdzie
i = 1, 2, . . . , K .
W praktyce odszkodowanie nie musi pokrywać roszczenia
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Podstawowe parametry
wartość oczekiwana
E(Z ) = E(E(Z |K )) = E(KE(X )) = E(K )E(X )
wariancja
D 2 (Z ) = D 2 (K )(E(X ))2 + D 2 (X )E(K )
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Podstawowe parametry
funkcja generujaca
˛ momenty
φZ (t)
∞
X
= E(etZ ) = E(E(etZ |K )) =
E(e
t(X1 +...+XK )
|K = k )P(K = k ) =
k =0
∞
X
E(et(X1 +...+Xk ) )P(K = k )
k =0
=
∞
X
(φX (t))k P(K = k ) = E((φX (t))K ) = E((eln φX (t) )K )
k =0
= φK (ln φX (t))
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metody używane w celu uzyskania rozkładu całkowitego roszczenia
(odszkodowania) Z
metoda splotów rozkładów,
metoda analityczna,
metoda rekurencyjna,
metoda funkcji charakterystycznej,
metody aproksymacyjne,
metody symulacyjne.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda splotów
FZ (x) = P(X1 + . . . + XK ≤ x)
∞
X
=
P(X1 + . . . + XK ≤ x|K = k )P(K = k )
k =0
=
∞
X
P(X1 + . . . + Xk ≤ x)P(K = k ) =
k =0
∞
X
FX∗k (x)pk
k =0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda splotów
FZ (x) = P(X1 + . . . + XK ≤ x)
∞
X
=
P(X1 + . . . + XK ≤ x|K = k )P(K = k )
k =0
=
∞
X
P(X1 + . . . + Xk ≤ x)P(K = k ) =
k =0
∞
X
FX∗k (x)pk
k =0
Dla liczby szkód o rozkładzie Poissona mamy
FZ (x) =
∞
X
k =0
mgr Sebastian Baran
e−λ
λk ∗k
F (x)
k! X
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
Zakładamy, że indywidualne roszczenia sa˛ zmiennymi niezależnymi o
jednakowych rozkładach wykładniczych z parametrem µ1 , a liczba
szkód ma rozkład Poissona z parametrem λ.
x
Dystrybuanta roszczeń ma postać F (x) = 1 − e− µ
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
Zakładamy, że indywidualne roszczenia sa˛ zmiennymi niezależnymi o
jednakowych rozkładach wykładniczych z parametrem µ1 , a liczba
szkód ma rozkład Poissona z parametrem λ.
x
Dystrybuanta roszczeń ma postać F (x) = 1 − e− µ
Gestość
˛
roszczeń ma postać dF (x) =
mgr Sebastian Baran
x
1 −µ
dx
µe
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
Zakładamy, że indywidualne roszczenia sa˛ zmiennymi niezależnymi o
jednakowych rozkładach wykładniczych z parametrem µ1 , a liczba
szkód ma rozkład Poissona z parametrem λ.
x
Dystrybuanta roszczeń ma postać F (x) = 1 − e− µ
Gestość
˛
roszczeń ma postać dF (x) =
(
F (x − y ) =
x
1 −µ
dx
µe
x−y
1 − e− µ dla 0 ≤ y ≤ x
0 dla y > x
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
Zakładamy, że indywidualne roszczenia sa˛ zmiennymi niezależnymi o
jednakowych rozkładach wykładniczych z parametrem µ1 , a liczba
szkód ma rozkład Poissona z parametrem λ.
x
Dystrybuanta roszczeń ma postać F (x) = 1 − e− µ
Gestość
˛
roszczeń ma postać dF (x) =
(
F (x − y ) =
P(X1 + X2 ≤ x) =
x
+∞
R
x
1 −µ
dx
µe
x−y
1 − e− µ dla 0 ≤ y ≤ x
0 dla y > x
F (x − y )dF (y ) =
0
+∞
R 0
1 − e−
x−y
µ
y
1 −µ
dy
µe
= 1 − (1 + µx )e− µ dla x ≥ 0.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
FX∗n (x) = P(
n
P
x
Xk ≤ x) = 1 − e− µ
k =1
n−1
P
k =1
mgr Sebastian Baran
xk
µk k !
= Gn ( µx )
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
FX∗n (x) = P(
n
P
x
Xk ≤ x) = 1 − e− µ
k =1
FZ (x) =
∞
P
n=0
n−1
P
k =1
n
e−λ λn! Gn ( µx ),
xk
µk k !
= Gn ( µx )
dla x > 0,
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Metoda analityczna - przykład. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
FX∗n (x) = P(
n
P
x
Xk ≤ x) = 1 − e− µ
k =1
FZ (x) =
∞
P
n=0
n−1
P
k =1
n
e−λ λn! Gn ( µx ),
xk
µk k !
= Gn ( µx )
dla x > 0,
Wartość oczekiwana i wariancja sumy n roszczeń wynosza˛
wówczas
!
!
n
n
X
X
2
E
Xk = nµ , D
Xk = nµ2
k =1
mgr Sebastian Baran
k =1
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera - założenia. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Prawdziwy jest nastepuj
˛ acy
˛ wzór rekurencyjny:
pk = (a +
b
)pk −1
k
dla
k = 1, 2, . . .
gdzie p0 , a i b sa˛ charakterystyczne dla poszczególnych
rozkładów;
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera - założenia. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Prawdziwy jest nastepuj
˛ acy
˛ wzór rekurencyjny:
pk = (a +
b
)pk −1
k
dla
k = 1, 2, . . .
gdzie p0 , a i b sa˛ charakterystyczne dla poszczególnych
rozkładów;
wartości odszkodowań powinny być nieujemne i równoodległe, a
ich rozkład powinien być dyskretny. To znaczy
Xi = iC,
i = 1, 2, . . . , r ,
k = 1, 2, . . .
gdzie C jest dodatnia˛ stała,
˛ zwana˛ długościa˛ kroku.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera - założenia. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Prawdziwy jest nastepuj
˛ acy
˛ wzór rekurencyjny:
pk = (a +
b
)pk −1
k
dla
k = 1, 2, . . .
gdzie p0 , a i b sa˛ charakterystyczne dla poszczególnych
rozkładów;
wartości odszkodowań powinny być nieujemne i równoodległe, a
ich rozkład powinien być dyskretny. To znaczy
Xi = iC,
i = 1, 2, . . . , r ,
k = 1, 2, . . .
gdzie C jest dodatnia˛ stała,
˛ zwana˛ długościa˛ kroku.
rozkłady Poissona, dwumianowy, ujemny dwumianowy,
logarytmiczny spełniaja˛ pierwszy warunek
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera - założenia. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Prawdziwy jest nastepuj
˛ acy
˛ wzór rekurencyjny:
pk = (a +
b
)pk −1
k
dla
k = 1, 2, . . .
gdzie p0 , a i b sa˛ charakterystyczne dla poszczególnych
rozkładów;
wartości odszkodowań powinny być nieujemne i równoodległe, a
ich rozkład powinien być dyskretny. To znaczy
Xi = iC,
i = 1, 2, . . . , r ,
k = 1, 2, . . .
gdzie C jest dodatnia˛ stała,
˛ zwana˛ długościa˛ kroku.
rozkłady Poissona, dwumianowy, ujemny dwumianowy,
logarytmiczny spełniaja˛ pierwszy warunek
rozkłady ciagłe
˛
oraz inne rozkłady, które nie spełniaja˛ warunku
drugiego, można aproksymować rozkładem dyskretnym
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
si = P(X = iC), gdzie si = 0 dla i < 0 lub i > r
zaś r = max{i : si > 0}.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
si = P(X = iC), gdzie si = 0 dla i < 0 lub i > r
zaś r = max{i : si > 0}.
Zakładamy, że Z można dyskretyzować, tzn. przyjać,
˛ że jej
wartości sa˛ równe wielokrotnościom długości kroków C i sa˛
dodatnie. To znaczy fj = P(Z = jC), j = 0, 1, 2, . . .
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska,
W. Ronka-Chmielowiec [1]
si = P(X = iC), gdzie si = 0 dla i < 0 lub i > r
zaś r = max{i : si > 0}.
Zakładamy, że Z można dyskretyzować, tzn. przyjać,
˛ że jej
wartości sa˛ równe wielokrotnościom długości kroków C i sa˛
dodatnie. To znaczy fj = P(Z = jC), j = 0, 1, 2, . . .
Prawdopodobieństwa te można obliczyć z nastepuj
˛ acych
˛
równań
rekurencyjnych:
fj =
min(j,r ) X
1
ib
a+
si fj−1 ,
1 − as0
j
j = 1, 2, . . . , n,
i=0
gdzie

 p0 , gdy s0 = 0,
∞
P
f0 =
pi s0 , gdy s0 > 0.

i=1
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera - warunek poczatkowy
˛
f0 = eλs0 −λ dla rozkładu Poissona
− a+b
a
0)
f0 = 1 + aλ(1−s
dla rozkładu ujemnego dwumianowego
a+b
a+b
a
dla rozkładu dwumianowego
f0 = asa−1
−1
0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda rekurencyjna Panjera - warunek poczatkowy
˛
f0 = eλs0 −λ dla rozkładu Poissona
− a+b
a
0)
f0 = 1 + aλ(1−s
dla rozkładu ujemnego dwumianowego
a+b
a+b
a
dla rozkładu dwumianowego
f0 = asa−1
−1
0
Dystrybuanta H rozkładu zmiennej losowej Z
H(z) = H(jC) =
j
X
fi
i=0
H jest funkcja˛ schodkowa,
˛ określona˛ również dla każdego z
spełniajacego
˛
nierówność jC < z < (j + 1)C.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Funkcja charakterystyczna zmiennej Z ma postać
ΦZ (t) = E(eitZ ) = PK (ΦX (t))
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Funkcja charakterystyczna zmiennej Z ma postać
ΦZ (t) = E(eitZ ) = PK (ΦX (t))
Metoda funkcji charakterystycznych wykorzystuje transformate˛
Fouriera i odwrotna˛ transformate˛ Fouriera.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Funkcja charakterystyczna jest transformata˛ Fouriera gestości
˛
funkcji f . W przypadku ciagłej
˛
zmiennej losowej Z transformata
Fouriera nastepuj
˛ aco
˛ określa funkcje˛ charakterystyczna:
˛
+∞
Z
Φ(t) =
f (x)eitx dx
−∞
a odwrotna transformata Fouriera daje nastepuj
˛ ace
˛
przekształcenie:
f (x) =
1
2π
+∞
Z
Φ(t)e−itx dx
−∞
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Gdy Z jest zmienna˛ dyskretna,
˛ to f (z) sa˛ funkcjami
prawdopodobieństwa tej zmiennej i jeśli fx oznacza funkcje˛
okresowa˛ określona˛ dla wszystkich całkowitych wartości x z
okresem długości n (fx+n = fx dla wszystkich x) wtedy dyskretna
transformata Fouriera przekształca wektor (f0 , f1 , ..., fn−1 ) w Φk
dla k = . . . , −1, 0, 1, . . . według wzoru:
Φk =
n−1
X
j=0
fj exp
2πi
jk
n
,
k = . . . , −1, 0, 1, . . .
Odwrotna transformata Fouriera daje nastepuj
˛ ace
˛
przekształcenie dajace
˛ oryginalna˛ funkcje˛ rozkładu
n−1
1X
2πi
fj =
Φk exp −
jk ,
n
n
k = . . . , −1, 0, 1, . . .
k =0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych - kroki. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
1
Dyskretyzacja rozkładu odszkodowań w wyniku której
otrzymujemy dyskretne rozkłady (fX (0), fX (1), . . . , fX (n − 1)),
gdzie n jest liczba˛ punktów wskazanych w rozkładzie fZ (x)
zagregowanych odszkodowań.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych - kroki. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
1
Dyskretyzacja rozkładu odszkodowań w wyniku której
otrzymujemy dyskretne rozkłady (fX (0), fX (1), . . . , fX (n − 1)),
gdzie n jest liczba˛ punktów wskazanych w rozkładzie fZ (x)
zagregowanych odszkodowań.
2
Zastosowanie transformaty Fouriera do wyżej otrzymanego
wektora wartości, w wyniku której otrzymujemy funkcje˛
charakterystyczna˛ zdyskretyzowanego rozkładu ΦX (t).
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych - kroki. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
1
Dyskretyzacja rozkładu odszkodowań w wyniku której
otrzymujemy dyskretne rozkłady (fX (0), fX (1), . . . , fX (n − 1)),
gdzie n jest liczba˛ punktów wskazanych w rozkładzie fZ (x)
zagregowanych odszkodowań.
2
Zastosowanie transformaty Fouriera do wyżej otrzymanego
wektora wartości, w wyniku której otrzymujemy funkcje˛
charakterystyczna˛ zdyskretyzowanego rozkładu ΦX (t).
3
Skorzystanie kolejno ze wzorów:
PK (t) = E(t K ) =
∞
X
pk t k ,
PK (ΦX (t)) = ΦZ (t)
k =0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metoda funkcji charakterystycznych - kroki. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
1
Dyskretyzacja rozkładu odszkodowań w wyniku której
otrzymujemy dyskretne rozkłady (fX (0), fX (1), . . . , fX (n − 1)),
gdzie n jest liczba˛ punktów wskazanych w rozkładzie fZ (x)
zagregowanych odszkodowań.
2
Zastosowanie transformaty Fouriera do wyżej otrzymanego
wektora wartości, w wyniku której otrzymujemy funkcje˛
charakterystyczna˛ zdyskretyzowanego rozkładu ΦX (t).
3
Skorzystanie kolejno ze wzorów:
PK (t) = E(t K ) =
∞
X
pk t k ,
PK (ΦX (t)) = ΦZ (t)
k =0
4
Zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera. W wyniku tej
operacji otrzymamy wektor, którego wartości przedstawiaja˛
rozkład zdyskretyzowanej zmiennej Z .
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Stosowane w przypadkach, gdy portfel ubezpieczeń jest bardzo
duży, gdy mamy duża˛ liczbe˛ obserwacji oraz gdy dystrybuanty
maja˛ bardzo długie ogony
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Stosowane w przypadkach, gdy portfel ubezpieczeń jest bardzo
duży, gdy mamy duża˛ liczbe˛ obserwacji oraz gdy dystrybuanty
maja˛ bardzo długie ogony
Klasyczna aproksymacja korzysta z centralnego twierdzenia
granicznego i przybliżanie rozkładem normalnym
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Stosowane w przypadkach, gdy portfel ubezpieczeń jest bardzo
duży, gdy mamy duża˛ liczbe˛ obserwacji oraz gdy dystrybuanty
maja˛ bardzo długie ogony
Klasyczna aproksymacja korzysta z centralnego twierdzenia
granicznego i przybliżanie rozkładem normalnym
Rozkład normalny jest symetryczny, a w praktyce ubezpieczeń
niezwykle rzadko wystepuj
˛ a˛ rozkłady symetryczne
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Stosowane w przypadkach, gdy portfel ubezpieczeń jest bardzo
duży, gdy mamy duża˛ liczbe˛ obserwacji oraz gdy dystrybuanty
maja˛ bardzo długie ogony
Klasyczna aproksymacja korzysta z centralnego twierdzenia
granicznego i przybliżanie rozkładem normalnym
Rozkład normalny jest symetryczny, a w praktyce ubezpieczeń
niezwykle rzadko wystepuj
˛ a˛ rozkłady symetryczne
Dystrybuanta całkowitej sumy szkód zazwyczaj charakteryzuje
sie˛ duża˛ skośnościa˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne. Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W.
Ronka-Chmielowiec [1]
Stosowane w przypadkach, gdy portfel ubezpieczeń jest bardzo
duży, gdy mamy duża˛ liczbe˛ obserwacji oraz gdy dystrybuanty
maja˛ bardzo długie ogony
Klasyczna aproksymacja korzysta z centralnego twierdzenia
granicznego i przybliżanie rozkładem normalnym
Rozkład normalny jest symetryczny, a w praktyce ubezpieczeń
niezwykle rzadko wystepuj
˛ a˛ rozkłady symetryczne
Dystrybuanta całkowitej sumy szkód zazwyczaj charakteryzuje
sie˛ duża˛ skośnościa˛
Gdy skośność jest mała można stosować aproksymować
rozkładem normalnym
z − µZ
FZ (z) ' N
σZ
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - procedury symetryzacyjne. Źródło: P.
Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Stosujemy transformacje˛ v (Z ), taka˛ aby skonstruować nowa˛
zmienna˛ losowa˛ Y = v (Z ) o zerowym współczynniku skośności.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - procedury symetryzacyjne. Źródło: P.
Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Stosujemy transformacje˛ v (Z ), taka˛ aby skonstruować nowa˛
zmienna˛ losowa˛ Y = v (Z ) o zerowym współczynniku skośności.
Standaryzujemy otrzymany rozkład, tak aby:
µY = 0,
mgr Sebastian Baran
σY = 1,
γY = 0.
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - procedury symetryzacyjne. Źródło: P.
Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Stosujemy transformacje˛ v (Z ), taka˛ aby skonstruować nowa˛
zmienna˛ losowa˛ Y = v (Z ) o zerowym współczynniku skośności.
Standaryzujemy otrzymany rozkład, tak aby:
µY = 0,
σY = 1,
γY = 0.
Dystrybuante˛ zmiennej losowej Z przybliżamy dystrybuanta˛
standaryzowanego rozkładu normalnego, tzn:
FZ (z) ' N(y )
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - NP aproksymacja. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Wybieramy funkcje˛ odwrotna˛ do transformacji v −1 (y ), która jest
wielomianem drugiego stopnia
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - NP aproksymacja. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Wybieramy funkcje˛ odwrotna˛ do transformacji v −1 (y ), która jest
wielomianem drugiego stopnia
Zachodzi nastepuj
˛ acy
˛ wzór:
z=
Z − µZ
γZ 2
=y+
(y − 1) dla Z > µZ
σZ
σZ
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - NP aproksymacja. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Wybieramy funkcje˛ odwrotna˛ do transformacji v −1 (y ), która jest
wielomianem drugiego stopnia
Zachodzi nastepuj
˛ acy
˛ wzór:
z=
Z − µZ
γZ 2
=y+
(y − 1) dla Z > µZ
σZ
σZ
Rozwiazuj
˛ ac
˛ powyższe równanie otrzymujemy y = v (z)
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - NP aproksymacja. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Wybieramy funkcje˛ odwrotna˛ do transformacji v −1 (y ), która jest
wielomianem drugiego stopnia
Zachodzi nastepuj
˛ acy
˛ wzór:
z=
Z − µZ
γZ 2
=y+
(y − 1) dla Z > µZ
σZ
σZ
Rozwiazuj
˛ ac
˛ powyższe równanie otrzymujemy y = v (z)
Zachodzi nastepuj
˛ ace
˛ przybliżenie:
FZ (z) ' N(v (z)) = N
3
−
+
γZ
mgr Sebastian Baran
s
9
6 |z − µZ |
+1+
γZ
σZ
γZ2
!
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Metody aproksymacyjne - NP aproksymacja. Źródło: P. Kowalczyk, E.
Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
Wybieramy funkcje˛ odwrotna˛ do transformacji v −1 (y ), która jest
wielomianem drugiego stopnia
Zachodzi nastepuj
˛ acy
˛ wzór:
z=
Z − µZ
γZ 2
=y+
(y − 1) dla Z > µZ
σZ
σZ
Rozwiazuj
˛ ac
˛ powyższe równanie otrzymujemy y = v (z)
Zachodzi nastepuj
˛ ace
˛ przybliżenie:
FZ (z) ' N(v (z)) = N
3
−
+
γZ
s
9
6 |z − µZ |
+1+
γZ
σZ
γZ2
!
Metode˛ NP stosujemy dopóki γZ < 1.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Proces nadwyżki
Proces nadwyżki (wysokości środków własnych) ubezpieczyciela jest
to pewna (losowa) funkcja czasu U(t), która˛ definiuje sie˛ nastepuj
˛ aco:
˛
U(t) = u + ct − X (t), t ≥ 0,
gdzie u ≥ 0 - kapitał poczatkowy
˛
c - suma składki zebranej za jednostkowy okres czasu (stała
intensywność składek)
X (t) = Y1 + . . . + YN(t) jest łaczn
˛ a˛ wartościa˛ odszkodowań za szkody
zaistniałe w okresie (0, t]
N(t) - liczba szkód zaistniałych w okresie (0, t]
Yi - wartość odszkodowania za i-ta˛ szkode˛
Przyjmujemy, że N(0) = 0 oraz X (0) = 0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Moment ruiny
Moment czasu, w którym nastapi
˛ ruina ubezpieczyciela (tzn.
zdarzenie polegajace
˛ na utracie wypłacalności), oznacza sie˛ przez T
i definiuje nastepuj
˛ aco
˛
T = inf{t ≥ 0 : U(t) < 0}
Rysunek: Przykładowy przebieg procesu ryzyka. Źródło [3].
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Prawdopodobieństwo ruiny
Prawdopodobieństwo ruiny (w nieskończonym horyzoncie
czasowym) oznacza sie˛
Ψ(u) = P(T < ∞)
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Model Lundberga
Y1 , Y2 , . . . sa˛ zmiennymi niezależnymi o rozkładzie danym
dystrybuanta˛ FY
N(t) jest procesem Poissona z parametrem λ
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Wzgledny
˛
ładunek bezpieczeństwa θ
θ=
c
−1
λm1
stad
˛
(1 + θ)λm1 = c
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Współczynnik dostosowania (dopasowania)
Współczynnikiem dostosowania procesu U(t) nazywamy (jeśli
istnieje) dodatnie (silnie) rozwiazanie
˛
równania:
1 + (1 + θ)m1 r = MY (r ),
gdzie MY to funkcja generujaca
˛ momenty zmiennej Y . Jeśli istnieje
współczynnik dopasowania to oznaczamy go R.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Lemat
Jeśli istnieje współczynnik dopasowania R to
E(e−RU(t) ) = e−Ru .
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Twierdzenie Lundberga-Cramera
Jeśli istnieje współczynnik dopasowania R, spełnione sa˛ założenia
modelu Lundberga to dokładny wzór na prawdopodobieństwo ruiny
ma postać:
e−Ru
, u>0
Ψ(u) =
E(e−RU(T ) )|T < ∞)
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Nierówność Lundberga
Prawdopodobieństwo ruiny spełnia nastepuj
˛ ac
˛ a˛ nierówność:
Ψ(u) ≤ e−Ru , u ≥ 0
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Przykład
Jeśli Y ∼ Exp(β) to Ψ(u) =
− uβθ
1
1+θ
1+θ e
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Uwagi:
Ruina jest pojeciem
˛
czysto teoretycznym, nie oznacza
faktycznego bankructwa zakładu ubezpieczeń.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Uwagi:
Ruina jest pojeciem
˛
czysto teoretycznym, nie oznacza
faktycznego bankructwa zakładu ubezpieczeń.
Firmy ubezpieczeniowe oprócz działalności ubezpieczeniowej
prowadza˛ też działalność inwestycyjna˛ pozwalajac
˛ a˛ zwiekszyć
˛
przychody firmy
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Uwagi:
Ruina jest pojeciem
˛
czysto teoretycznym, nie oznacza
faktycznego bankructwa zakładu ubezpieczeń.
Firmy ubezpieczeniowe oprócz działalności ubezpieczeniowej
prowadza˛ też działalność inwestycyjna˛ pozwalajac
˛ a˛ zwiekszyć
˛
przychody firmy
Zakład ubezpieczeń w rzeczywistości może ingerować w proces
ryzyka, np. poprzez podniesienie składek ubezpieczeniowych,
reasekuracje˛ portfeli ubezpieczeniowych, wstrzymanie wypłaty
dywidend
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Uwagi:
Ruina jest pojeciem
˛
czysto teoretycznym, nie oznacza
faktycznego bankructwa zakładu ubezpieczeń.
Firmy ubezpieczeniowe oprócz działalności ubezpieczeniowej
prowadza˛ też działalność inwestycyjna˛ pozwalajac
˛ a˛ zwiekszyć
˛
przychody firmy
Zakład ubezpieczeń w rzeczywistości może ingerować w proces
ryzyka, np. poprzez podniesienie składek ubezpieczeniowych,
reasekuracje˛ portfeli ubezpieczeniowych, wstrzymanie wypłaty
dywidend
Ruina jest pojeciem
˛
czysto matematycznym, a nie
ekonomicznym. Dla ekonomisty nie ma wiekszego
˛
znaczenia
czy pozostało mu 1 zł na minusie czy na plusie jednak w
przypadku modelu ruiny ma to kolosalne znaczenie bo w
pierwszym przypadku doszło do ruiny, a w drugim nie.
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Uwagi:
Ruina jest pojeciem
˛
czysto teoretycznym, nie oznacza
faktycznego bankructwa zakładu ubezpieczeń.
Firmy ubezpieczeniowe oprócz działalności ubezpieczeniowej
prowadza˛ też działalność inwestycyjna˛ pozwalajac
˛ a˛ zwiekszyć
˛
przychody firmy
Zakład ubezpieczeń w rzeczywistości może ingerować w proces
ryzyka, np. poprzez podniesienie składek ubezpieczeniowych,
reasekuracje˛ portfeli ubezpieczeniowych, wstrzymanie wypłaty
dywidend
Ruina jest pojeciem
˛
czysto matematycznym, a nie
ekonomicznym. Dla ekonomisty nie ma wiekszego
˛
znaczenia
czy pozostało mu 1 zł na minusie czy na plusie jednak w
przypadku modelu ruiny ma to kolosalne znaczenie bo w
pierwszym przypadku doszło do ruiny, a w drugim nie.
Model ruiny nie rozróżnia wielkości strat, tzn. czy jesteśmy 1 mln
zł na minusie czy 1 zł na minusie i tak model identyfikuje ruine˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Prawdopodobieństwo ruiny jako wygodne narz˛edziem pozwalajace
˛
miedzy
˛
innymi na:
mierzenie ryzyka portfela polis ubezpieczeniowych,
Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Prawdopodobieństwo ruiny jako wygodne narz˛edziem pozwalajace
˛
miedzy
˛
innymi na:
mierzenie ryzyka portfela polis ubezpieczeniowych,
ocene˛ stabilności portfeli ubezpieczeniowych,
Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Prawdopodobieństwo ruiny jako wygodne narz˛edziem pozwalajace
˛
miedzy
˛
innymi na:
mierzenie ryzyka portfela polis ubezpieczeniowych,
ocene˛ stabilności portfeli ubezpieczeniowych,
identyfikacje˛ portfeli mniej i bardziej ryzykownych dla działalności
zakładu ubezpieczeń,
Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Prawdopodobieństwo ruiny jako wygodne narz˛edziem pozwalajace
˛
miedzy
˛
innymi na:
mierzenie ryzyka portfela polis ubezpieczeniowych,
ocene˛ stabilności portfeli ubezpieczeniowych,
identyfikacje˛ portfeli mniej i bardziej ryzykownych dla działalności
zakładu ubezpieczeń,
kalkulacje˛ składki ubezpieczeniowej (składk˛e ustala sie˛ na takim
poziomie, aby prawdopodobieństwo ruiny nie przekroczyło
zadanej z góry, akceptowanej przez zakład ubezpieczeń
wartości),
Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Prawdopodobieństwo ruiny jako wygodne narz˛edziem pozwalajace
˛
miedzy
˛
innymi na:
mierzenie ryzyka portfela polis ubezpieczeniowych,
ocene˛ stabilności portfeli ubezpieczeniowych,
identyfikacje˛ portfeli mniej i bardziej ryzykownych dla działalności
zakładu ubezpieczeń,
kalkulacje˛ składki ubezpieczeniowej (składk˛e ustala sie˛ na takim
poziomie, aby prawdopodobieństwo ruiny nie przekroczyło
zadanej z góry, akceptowanej przez zakład ubezpieczeń
wartości),
optymalizacje˛ kontraktów reasekuracyjnych.
Źródło: P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec [1]
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Literatura
P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec, Metody
aktuarialne, Wydawnictwo Naukowe PWN
W. Ronka-Chmielowiec, Modelowanie ryzyka w ubezpieczeniach.
Wybrane zagadnienia., Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej
we Wrocławiu
A. Janik, Wykład z ubezpieczeń majatkowych,
˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny
Model ryzyka ubezpieczeniowego typu non-life
Model indywidualnego ryzyka ubezpieczeniowego
Model kolektywnego ryzyka ubezpieczeniowego
Proces nadwyżki finansowej i teoria ruiny
Proces nadwyżki finansowej w zakładzie ubezpieczeń
Dziekuj
˛ e˛ za uwage˛
mgr Sebastian Baran
Proces nadwyżki finansowej i wstep
˛ do prawdopodobieństwa ruiny