IV Planimetria - Staszewski.net

IV Planimetria
1. Podstawowe definicje dotyczące planimetrii
2. Klasyfikacja trójkątów, podstawowe własności i wzory
3. Klasyfikacja czworokątów, podstawowe definicje i wzory
1. Podstawowe definicje dotyczące planimetrii
Planimetria jest działem geometrii (słowo "geometria" pochodzi od słów greckich: ge - ziemia i metreo - mierzę), która zajmuje się
własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny. Planimetria zbudowana na jednej płaszczyźnie stosuje
się do każdej innej płaszczyzny.
Do podstawowych pojęć zaliczamy:
 przestrzeń – zbiór wszystkich punktów (Ω)
 punkt – pojęcie pierwotne (bez definiowania) – najmniejsza figura geometryczna przez którą można poprowadzić nieskończenie wiele
prostych zwanych pękiem prostych. Punkt A nazywamy wierzchołkiem pęku






prosta – granica przecięcia dwóch płaszczyzn, do której należy nieskończenie wiele punktów:
 przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna prosta lub nieskończenie wiele nakładających się na siebie,
 proste są równoległe, gdy nie mają punktu wspólnego (a ║ b);
 proste przecinają się, gdy mają jeden punkt wspólny (częścią wspólną obu prostych jest punkt A.
półprosta – część prostej, wyznaczona przez punkt A, zwany początkiem półprostej. Do półprostej należą wszystkie punkty prostej
leżące po jednej stronie punktu A. Półprosta ma nieskończoną długość.
figura płaska – dowolny zbiór punktów zawartych na płaszczyźnie;
odcinek - odcinkiem AB nazywamy figurę utworzoną z dwóch różnych punktów A i B(zwanych jego końcami) oraz wszystkich punktów
leżących między nimi na prostej wyznaczonej przez te punkty.
łamana - łamaną nazywamy figurę geometryczną, składającej się ze skończonej liczby odcinków, takich że żadne dwa następujące po
sobie odcinki nie leżą na jednej prostej. Koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego ...
a koniec przedostatniego początkiem ostatniego.
 jeśli początek pierwszego odcinka pokrywa się z końcem ostatniego, to łamaną nazywamy zamkniętą;
 jeżeli początek pierwszego odcinka nie pokrywa się z końcem ostatniego, to łamaną nazywamy otwartą.
 jeżeli odcinki nie przecinają się (nie mają punktów wspólnych poza wierzchołkami), to łamaną nazywamy zwyczajną. W
przeciwnym razie mówimy o łamanej wiązanej. Odcinki łamanej nazywamy bokami, a ich końce wierzchołkami.
kąt - każda z dwóch części płaszczyzny ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku (wierzchołek kąta) wraz z tymi
półprostymi (ramiona kąta). Kąt oznaczamy literami alfabetu greckiego: α, β γ:
 Kąt o tej własności, że odcinek łączący dwa dowolne punkty na różnych ramionach kąta zawiera się wewnątrz kąta nazywamy kątem
wypukłym. Kąt, który nie ma tej własności nazywamy kątem wklęsłym.
 dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli go na dwa przystające kąty. Dwusieczną jest również osią symetrii kąta, a każdy
punkt dwusiecznej kąta jest równo odległy od obu ramion kąta.
Klasyfikacja kątów ze względu na ich rozwartość
Klasyfikacja kątów ze względu na ich wzajemne położenie

odległość punktu od prostej - to długość odcinka AB ( odległość to długość odcinka prostopadłego do prostej) - rysunek powyżej.
2. Klasyfikacja trójkątów, podstawowe własności i wzory, wzajemne położenie trójkąta i okręgu
Trójkąt – wielokąt o trzech bokach; najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i
niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).
Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest
jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.
Nierówność trójkąta
W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a, b, c zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:
a < b + c; b < c + a; c < a + b
Powyższe twierdzenie można też zapisać:
Podział trójkątów ze względu długości boków
 trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
 trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
 trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.
Podział trójkątów ze względu na mary kątów
 trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;
 trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki
tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest
dłuższa od każdej przyprostokątnej;
 trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.
Definicje związane z pojęciem trójkąta
 wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Słowem "wysokość"
często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego
odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.
 środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które
przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem ciężkości (środkiem masy, barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze
środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego
barycentrum ze środkiem boku.
 symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków,
przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
 dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
wysokości i ortocentrum1
środkowe i barycentrum2
symetralne i okrąg opisany
dwusieczne i okrąg wpisany
Ortocentrum - punkt przecięcia wysokości wspomniany w powyższym twierdzeniu nazywany jest ortocentrum. Wyznaczone jest ono już przez dwie z nich (co można
było zaobserwować w dowodach). Ortocentrum jest również jednym z punktów wyznaczających prostą Eulera.
2
Barycentrum - środek ciężkości ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.
Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego pojęcia te często są mylone lub wręcz utożsamiane. W
geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.
1
Przystawanie i podobieństwo trójkątów
 Trójkątami (figurami) przystającymi nazywamy figury, których:
o stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
o odpowiadające sobie kąty są przystające,
o stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
 Trójkątami (figurami) podobnymi nazywamy figury, które posiadają ten sam kształt ale różnią się wielkością3
Podstawowe wzory dotyczące trójkątów
Przyjmując dla trójkąta
następujące oznaczenia:
— długości boków;
— wysokości opuszczone na boki odpowiednio
— kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio
— pole powierzchni;
— promień okręgu opisanego;
— promień okręgu wpisanego;
— połowa obwodu;
;
;
;
dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni:
Podana definicja jest definicją intuicyjną, formalnie brzmi: – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności
utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.
3
(wzór Herona);
Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:
Podstawowe twierdzenia dotyczące trójkątów
1. Twierdzenie Pitagorasa
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość
Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych
na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Trójka pitagorejska - w teorii liczb takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa;
Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika np. (3; 4; 5), (5; 12; 13), (7; 24; 25) ...
2. Twierdzenie Menelaosa
Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta ABC i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich
boków) punkty D, E, F w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi
długości trzech pozostałych, czyli
3. Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snelliusa)
W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy
okręgu opisanego na trójkącie.
Zależność tę można zapisać następująco:
4. Twierdzenie cosinusów (inaczej wzór cosinusów, twierdzenie Carnota)
W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych
boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
.
Dla dowolnego trójkąta o bokach o długości: a, b, c i kątach leżących naprzeciw nich odpowiednio: α, β, γ zachodzą zależności:
5. Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana
Jeśli a i b są długościami boków trójkąta, a α i β są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas
prawdziwa jest zależność:
6. Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są
proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.
Dla powyższych rysunków zachodzi:
Zastosowanie trygonometrii w trójkącie prostokątnym i dowolnym
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta
prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):
Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji
 sinus – oznaczany sin – stosunek długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku α) i długości przeciwprostokątnej
c;
 cosinus (lub kosinus) – oznaczany cos – stosunek długości przyprostokątnej przyległej b do tego kąta α i przeciwprostokątnej c;
 tangens – oznaczany tg – stosunek długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw tego kąta α i długości przyprostokątnej b przyległej do
tego kąta;
 cotangens (kotangens) – oznaczany ctg – stosunek długości przyprostokątnej b przyległej do tego kąta α i długości przyprostokątnej a
leżącej naprzeciw tego kąta.
Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego
tg 
sin 
; tg  ctg  1; sin 2   cos 2   1
cos 
Wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych

miara
stopniowa
00
15 0
30 0
45 0
60 0
75 0
90 0
miara
radianowa
0

12

6

4

3
5
12

2
sin 
0
6 2
4
1
2
2
2
3
2
6 2
4
1
cos 
1
6 2
4
3
2
2
2
1
2
6 2
4
0
tg
0
2 3
3
3
1
3
2 3
2 3
3
1
3
3
2 3
ctg
0
3. Klasyfikacja czworokątów, podstawowe własności i wzory, wzajemne położenie okręgu i
czworokąta
Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach. Odcinek łączący dwa niesąsiednie wierzchołki czworokąta nazywamy przekątną czworokąta.
Każdy czworokąt ma dwie przekątne.




Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360°.
W czworokąt da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Na czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów wewnętrznych są sobie równe.
W okrąg można wpisać tylko czworokąt wypukły.
Podział czworokątów
Czworokąty ogólnie dzielą się na trapezy, latawce i trapezoidy. Szczególnym przypadkiem latawców są deltoidy oraz romby. Romby można
także zaklasyfikować do zbioru równoległoboków, które z kolei są podzbiorem trapezów.
Do rodziny równoległoboków zaliczamy prostokąty, a kwadraty możemy zaliczyć zarówno do prostokątów jak i rombów.
Własności czworokątów szczególnych:
Trapezoid
Trapezoid to czworokąt, który nie ma żadnej pary boków równoległych i równych.
Własności:
 ma dwie przecinające się przekątne,
 trapezoid nie ma osi symetrii.
Latawiec
Latawiec to czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równych. Latawiec, którego wszystkie kąty są wypukłe, to deltoid.
Własności:
 mając dwie pary równych boków mają oś symetrii, przechodzi ona przez wspólne końce sąsiednich, równych boków;
 mają dwie przekątne, przecinające się pod kątem prostym (deltoid);
 mają przynajmniej jedną parę kątów przystających
Czworokąt wklęsły
Czworokąt wypukły
Trapez
Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedna parę boków równoległych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, zaś pozostałe
boki - ramionami trapezu.
Własności:
 ma dwie przecinające się przekątne;
 odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw
|EF| = 1/2(|AB| + |CD|
Trapez prostokątny
Trapez równoramienny
Trapez prostokątny to trapez, który ma dokładnie
dwa kąty proste.
Trapezem równoramiennym nazywamy trapez, który ma oś
symetrii przechodzącą przez środki obu podstaw.
Własności:
 przekątne trapezu równoramiennego mają równe długości;
 kąty przylegające do każdej podstawy trapezu
równoramiennego mają równe miary;
 na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg;
 wysokość trapezu równoramiennego o podstawach a i b (a
> b), poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego, dzieli
dłuższą podstawę na odcinki o długościach 1/2(a - b),
1/2(a + b);
Równoległobok
Równoległobok to trapez, który ma dwie pary boków równoległych.
Własności:
 ma dwie przekątne;
 boki równoległe są równe;
 kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary;
 suma miar sąsiednich kątów wynosi 180o;
 przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy;
 punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii równoległoboku;
Wzór na obwód równoległoboku
Długości przekątnych równoległoboku
Długości boków równoległoboku
Romb
Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równe.
Własności:
 boki są parami równoległe i równe;
 kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary;
 suma miar sąsiednich kątów wynosi 180o;
 przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy;
 przekątne są prostopadłe;
 przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów;
 każdy romb jest równoległobokiem;
W każdy romb można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w romb jest punkt przecięcia przekątnych, a jego promień ma długość równą
połowie długości wysokości rombu.
Pole powierzchni,
Obwód,
Promień okręgu wpisanego,
Długości przekątnych wyrażone za pomocą długości boków:
Prostokąt
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.
Własności:
 boki są parami równoległe i równe;
 przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy;
 przekątne są równe;
 punkt przecięcia przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego;
 prostokąt jest równoległobokiem;
Pole powierzchni prostokąta:
Obwód prostokąta:
Długość przekątnej prostokąta:
Kwadrat
Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równe.
Własności:
 przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość;
 punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części;
 punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu;


przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów;
każde dwa kwadraty są do siebie podobne;
Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne, drugie dwie to symetralne boków.
Pole powierzchni,
Obwód,
Promień okręgu wpisanego,
Promień okręgu opisanego,
Długość boku,
Długość przekątnej,
4. Wielokąty foremne, położenie okręgu i wielokąta foremnego4
Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości.
 Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi,
 Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny,
 Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły
odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 00,
 Czworokąt foremny to inaczej kwadrat,
 Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne,
 Na każdej figurze foremnej można opisać okrąg i w każdą figurę foremną można wpisać okrąg.
Ciekawe własności wielokątów:
 Liczba przekątnych w n - kącie (czyli wielokącie o n wierzchołkach) wynosi
.
 Liczba boków wielokąta o p przekątnych wynosi
Podstawowe wzory dotyczące wielokątów foremnych

- liczba boków wielokąta foremnego;
4
Pentagram – pięciokąt gwiaździsty foremny, figura geometryczna w wielu kulturach uważana za symbol magiczny, gwiazda pitagorejska.
. Kąt wewnętrzny pentagramu ma miarę 36°.
Gwiazda Dawida zwana też Tarczą Dawida – sześcioramienna gwiazda (heksagram) złożona z dwóch zachodzących na siebie pionowo trójkątów równoramiennych
(najczęściej równobocznych) odwróconych od siebie wierzchołkami. Wierzchołki Gwiazdy Dawida leżą na okręgu w punktach odpowiadających parzystym godzinom na
tarczy zegara. Przez Żydów zwana tarczą Dawida, w pseudonaukach ezoterycznych znana jest jako pieczęć Salomona
.

- długość jednego boku wielokąta.
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
Miarę kąta środkowego (czyli kąt pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:
Promień koła wpisanego w wielokąt foremny:
Wzory na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:
Długość boku wielokąta foremnego wpisanego w okrąg :
Obwód wielokąta foremnego:
Pole powierzchni wielokąta foremnego:
Długość przekątnych wielokąta foremnego:
gdzie
Lista najprostszych wielokątów foremnych.
Nazwa
Grafika
Liczba
boków
Trójkąt
równoboczny
3
Kwadrat
4
Pięciokąt
foremny
5
Pole
Miara kąta
wewnętrznego
Sześciokąt
foremny
6
Siedmiokąt
foremny
7
Ośmiokąt
foremny
8
Dziewięcioką
t foremny
9
Dziesięciokąt
foremny
10
P=S