Wykorzystanie_uklado..

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
„Nie można oprzeć się wrażeniu, że formuły
matematyczne mają niezależny od nas byt i
inteligencję, że są mądrzejsze niż my sami,
nawet mądrzejsze niż ich odkrywcy, i że
możemy wywnioskować z nich więcej niż
poprzednio w nich zawarto.”
Heinrich Rudolph Hertz
WYKORZYSTANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ
TEKSTOWYCH
Układy równań służą nam do rozwiązywania
praktycznych problemów, a te najczęściej formułuje się w
postaci tzw. zadań tekstowych. W tej lekcji
przedstawiliśmy kilka przykładów rozwiązywania zadań
tekstowych z użyciem układów równań.
CO NALEŻY ZROBIĆ ABY ROZWIĄZAĆ
ZADANIE TEKSTOWE.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Przeczytaj uważnie treść zadania
Oznacz niewiadome w zadaniu
Przeanalizuj treść zadania
Ułóż równania
Rozwiąż układ równań
Sprawdź poprawność rozwiązania i jego zgodność z
treścią zadania
7. Sformułuj odpowiedź
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 12.
Gdybyśmy przestawili cyfry tej liczby, to otrzymalibyśmy
liczbę o 18 większą. O jakiej liczbie mowa?
Analiza zadania:
a – cyfra dziesiątek szukanej liczby
b – cyfra jedności szukanej liczby
10a + b – szukana liczba
10b + a – liczba otrzymana po przestawieniu cyfr
szukanej liczby
a + b = 12 – „ Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej
wynosi 12”
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
10b + a = 10a + b + 18 – „ Gdybyśmy przestawili cyfry tej
liczby, to otrzymalibyśmy liczbę
o 18 większą”
Układ równań i jego rozwiązanie:
Niewiadome w drugim równaniu
przenosimy na lewą stronę i
porządkujemy.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Rozwiązujemy układ równań metodą
przeciwnych współczynników
18b = 126 |: 18
b=7
a + 7 = 12
a = 12 – 7 = 5
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: a = 5, b = 7.
Szukana liczba to 57.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Sprawdzenie rozwiązania z treścią zadania.
5 + 7 = 12
75 – 57 = 18
Odpowiedź: Szukana liczba to 57.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Jacek i Paweł zbierają znaczki. Jacek ma o 30 znaczków
więcej niż Paweł. Razem mają 350 znaczków. Ile
znaczków ma Paweł?
Analiza zadania:
J – ilość znaczków Jacka
P – ilość znaczków Pawła
J = P + 30 – „ Jacek ma o 30 znaczków więcej niż Paweł”
J + P = 350 – „ Razem mają 350 znaczków”
Układ Równań i jego rozwiązanie:
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Rozwiązujemy układ równań metodą
podstawiania
P + 30 + P = 350
2P = 350 – 30
2P = 320 |: 2
Ilość znaczków Pawła
P = 160
J = 160 + 30 = 190 Ilość znaczków Janka
Sprawdzenie wyniku z treścią zadania:
160 + 190 = 350
190 – 160 = 30
Odpowiedź: Paweł ma 160 znaczków.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 3.
Woda królewska powstaje przez zmieszanie kwasu
solnego i kwasu azotowego w stosunku 3 : 1. Jest to
bardzo silnie żrąca substancja potrafiąca rozpuścić
nawet metale szlachetne. Ile kwasu azotowego a ile
solnego znajduje się w 20 litrach wody królewskiej?
Analiza zadania:
s – ilość kwasu solnego w 20 l wody królewskiej
a - ilość kwasu azotowego w 20 l wody królewskiej
s + a = 20 – po zmieszaniu mamy 20 l wody królewskiej
s : a = 3 – stosunek zawartości kwasu solnego do
zawartości kwasu azotowego wynosi 3 : 1 (co
daje nam liczbę 3)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Układ równań i jego rozwiązanie:
Układ równań rozwiązujemy metodą podstawiania.
Zaczynamy od wyznaczenia s z drugiego równania.
Założenie a ≠ 0 wynika z treści zadania.
3a + a = 20
4a = 20 | : 4
a=5
s + 5 = 20
s = 20 – 5 = 15
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: s = 15, a = 5.
Sprawdzenie wyniku z treścią zadania:
15 + 5 = 20
Odpowiedź: W 20 litrach wody królewskiej jest 15 litrów
kwasu solnego i 5 litrów kwasu azotowego.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Pan Jan ulokował na giełdzie 1000 zł, kupując aukcje
firm Zysk i Super zysk. Po roku ta inwestycja przyniosła
10% zysku przy czym wartość akcji firmy Zysk wzrosła o
20%, a wartość akcji firmy Super Zysk spadła o 20%. Ile
pieniędzy pan Jan ulokował w akcjach firmy Super Zysk?
x – wartość akcji firmy Zysk w momencie zakupu
1,2x – wartość akcji firmy Zysk po roku (100% z x + 20% z
x to 120% z x, czyli 1,2x)
y - wartość akcji firmy Super Zysk w momencie zakupu
0,8y - wartość akcji firmy Super Zysk po roku
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
1000 + 0,1 ∙ 1000 = 1000 + 100 = 1100 – wartość
wszystkich akcji po roku
x + y = 1000 – wartość akcji przy zakupie
1,2x + 0,8y = 1100 – wartość akcji po roku
Układ równań i jego rozwiązanie:
Rozwiązujemy układ równań metodą
przeciwnych współczynników.
-0,4y = -100 |: (-0,4y)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
y = 250
x + 250 = 1000
x = 1000 – 250 = 750
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 750,
y = 250.
Sprawdzenie wyniku z treścią zadania:
750 + 250 = 1000
250 – 0,2 ∙ 250 = 250 – 50 = 200
750 + 0,2 ∙ 750 = 750 + 150 = 900
900 + 200 = 1100
Odpowiedź: Akcje firmy Super Zysk kosztowały 250 zł.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 5.
Ile należy wziąć trzydziestoprocentowego roztworu
kwasu, a ile sześćdziesięcioprocentowego, aby po
zmieszaniu
otrzymać
200
g
roztworu
czterdziestoprocentowego.
Analiza zadania:
x – ilość (w gramach) roztworu o stężeniu 30%
y – ilość (w gramach) roztworu o stężeniu 60%
x + y = 200
0,4 ∙ 200 = 80 – ilość substancji rozpuszczonej w
roztworze o stężeniu 40%
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 5 – ciąg dalszy.
0,3x – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o
stężeniu 30%
0,6y – ilość substancji rozpuszczonej w roztworze o
stężeniu 60%
0,3x + 0,6y = 80
Układ równań i jego rozwiązanie:
0,3y = 20 | : 0,3
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 5 – ciąg dalszy.
y=
≈ 67
x+
= 200
x = 200 -
=
≈ 133
Odpowiedź: Aby otrzymać 200 g roztworu
czterdziestoprocentowego, należy zmieszać około 133 g
roztworu trzydziestoprocentowego i około 67 g
roztworu sześćdziesięcioprocentowego.