RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista nr 4
Zadanie 1.
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest zadana w poniższej tabeli. Obliczyć EX i V arX.
x
F (x)
(−∞, 1)
0
[1, 3)
0.15
[3, 7)
0.25
[7, 10)
0.4
[10, 15)
0.85
[15,∞)
1
Zadanie 2.
Zmienna losowa X ma gȩstość
f (x) =
Acosx
0
dla
poza odcinkiem
x ∈ (−π/2, π/2),
(−π/2, π/2).
Obliczyć
a) parametr A
b) P (π/6 < X < π/4)
c) E(X) i V ar(X).
d) Narysować dystrybuantȩ X.
Zadanie 3.
Ziarna groszku ogrodowego sa̧ żółte lub zielone. W pewnej krzyżówce odmian groszku stosunek liczby roślin żółtymi
ziarnami do liczby roślin z zielonymi ziarnami jest jak 3:1. Losujemy cztery rośliny z tej populacji. Jakie jest p-stwo, że
(a) trzy rośliny bȩda̧ miały żółte ziarna a jedna zielone ?
(b) wszystkie cztery bȩda̧ miały ziarna tego samego koloru ?
Zadanie 4.
Pewne lekarstwo leczy 90% przypadków pewnej choroby. Poddajemy kuracji 20 losowo wybranych chorych. Znajdź
p-stwo tego, że
(a) wszyscy chorzy w naszej próbie zostaną wyleczeni
(b) wyleczymy wszystkich oprócz jednego
(c) wyleczymy dokładnie 18 chorych
(d) wyleczymy dokładnie 90% chorych w naszej próbie.
Zadanie 5.
Pewne lekarstwo uszkadza wa̧trobȩ u 1% pacjentów. Testujemy lekarstwo na 50 pacjentach. Oblicz p-stwo, że
(a) żaden pacjent nie dozna uszkodzenia choroby
(b) co najmniej jeden pacjent dozna uszkodzenia wa̧troby
Zadanie 6.
W rolniczym eksperymencie duże pole obsiano jedna̧ odmiana̧ żyta. Pole podzielono na wiele równych poletek i w
każdym z nich zmierzono masȩ ziarna. Rozkład masy ziarna z każdego poletka jest w przybliżeniu normalny ze srednią
88 kg i odchyleniem standardowym 7 kg. Oszacuj na jakiej czȩści poletek zebrano
(a) ponad 90 kg ziarna?
(c) nie wiȩcej niż 75 kg ziarna?
(d) pomiȩdzy 75 a 90 kg ?
(e) pomiȩdzy 90 a 100 kg?
Niech Y oznacza masȩ ziarna zebrana̧ na losowo wybranym poletku. Wyznacz
(g) P (Y > 90)
(h) P (75 < Y < 90).
1
Zadanie 7.
Poziomy cholesterolu w pewnej populacji chłopców maja̧ rozkład normalny ze średnia̧ 176 mg/dl i odchyleniem 30
mg/dl . Jaka czȩść chłopców ma poziom cholesterolu
a) powyżej 186 mg/dl ?
b) poniżej 156 mg/dl ?
c) poniżej 216 mg/dl ?
d) powyżej 121 mg/dl ?
e) pomiȩdzy 186 mg/dl a 216 mg/dl ?
f) pomiȩdzy 121 mg/dl a 156 mg/dl ?
g) pomiȩdzy 156 mg/dl a 186 mg/dl ?
Oblicz nastȩpuja̧ce kwantyle rozkładu poziomu cholesterolu
h) kwantyl rzȩdu 0.8
i) kwantyl rzȩdu 0.2.
Zadanie 8.
W pewnej populacji muszek owocówek liczba włosków na pojedynczej muszce ma w przybliżeniu rozkład normalny
ze średnia̧ 38.5 and i odchyleniem standardowym. Stosuja̧c korektȩ na cia̧głość oszacuj
a) jaka czȩść muszek ma co najmniej 40 włosków
b) jaka czȩść muszek ma dokładnie 40 włosków
c) jaka czȩść muszek ma co najmniej 35 i nie wiȩcej niż 40 włosków.
Zadanie 9.
W pewnej populacji kur grubość skorupki jajka ma w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią 0.38 mm i odchyleniem
standardowym 0.03 mm. Mówimy, że jajko ma cienka̧ skorupkȩ, jeżeli jej grubość jest nie wiȩksza niż 0.32 mm.
a) Jaka czȩść jajek ma cienka̧ skorupkȩ ?
b) Duża̧ liczbȩ jajek losowo zapakowano do pudełek mieszcza̧cych po 12 jajek. Oszacuj jaka czȩść pudełek bȩdzie
zawierała co najmniej jedno jajko z cienka̧ skorupka̧.
Zadanie 10.
Skorupka ślimaka Limocolaria martensia może być gładka lub mieć paski. W pewnej populacji tych ślimaków 60%
ma paski. Losujemy 10 ślimaków z tej populacji i niech p̂ bȩdzie frakcja̧ tych ślimaków w naszej próbie, które maja̧ paski.
Oblicz
(a) P (p̂ = 0.5)
(b) P (p̂ = 0.6)
(c) P (p̂ = 0.7)
(d) P (0.5 ¬ p̂ ¬ 0.7)
(e) W jakim procencie losowych próbek składaja̧cych siȩ z 10 ślimaków p̂ bȩdzie różniło siȩ od prawdziwej wartości p
o nie wiȩcej niż o 0.1.
2