Topologia obliczeniowa - Przestrzenie skierowane i trwale

Topologia obliczeniowa
Przestrzenie skierowane i trwale homologie
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Seminarium magisterskie 2013/2014
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa
Przestrzenie skierowane
Definicja
~ )), gdzie
Przestrzeń skierowana to para (X , P(X
X jest przestrzenią topologiczną,
~ ) jest rodziną dróg na X zwanych drogami skierowanymi,
P(X
która spełnia następujące warunki:
stałe drogi są skierowane,
rosnące reparametryzacje dróg skierowanych są skierowane,
złączenia (konkatenacje) dróg skierowanych są drogami
skierowanymi.
Zastosowanie:
Punkty to stany w których może znajdować się program
Drogi to możliwe (częściowe) wykonania programu
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa
Przestrzenie skierowane - niezmienniki
Celem seminarium będzie omówienie własności przestrzeni
skierowanych i badanie ich algebraicznych niezmienników m.in.
Kategoria podstawowa (odpowiednik grupy podstawowej)
Kategoria składowych (odpowiednik zbioru składowych
spójności przestrzeni)
Przestrzenie dróg skierowanych (odpowiednik przestrzeni pętli)
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa
Przykład: procesy używające semaforów
Procesy: A1 : Pa Va,
A2 : Pa Va
A2
Vb
Va
Pa
Pb
A1
Pa
Pb
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Vb
Va
Topologia obliczeniowa
Trwałe homologie (Persistent homology)
Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a h : X → R funkcją
ciągłą. Zdefiniujmy
Xc = {x ∈ X : f (x) ¬ c}.
Problem: W jaki sposób zmieniają się typy homotopijne przestrzeni
Xc w zależności od parametru c ∈ R?
Niech A(Xc ) będzie pewnym niezmiennikiem homotopijnym
przestrzeni Xc . Można zdefiniować trwałość elementu α ∈ A(Xc ),
która mierzy, dla jakiego przedziału wartości c ∈ [c − r , c + r 0 ]
element α jest zachowywany.
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu
Dany jest pewien zwarty zbiór K ⊆ R2 . Losujemy pewną ilość
punktów x1 , . . . , xn należących do K .
Zadanie
Odtworzyć kształt zbioru K na podstawie punktów x1 , . . . , xn .
Idea rozwiązania: Przyjmujemy X = R2 ,
f (x) = odległość od najbiższego w punktów xi
i badamy trwałość elementów grup homologii przestrzeni Xc .
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (2)
X0.2 :
dim H0 (X0.2 ) = 50
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X0.2 ) = 0
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (3)
X1 :
dim H0 (X1 ) = 36
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X1 ) = 0
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (4)
X2 :
dim H0 (X2 ) = 13
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X2 ) = 2
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (5)
X3 :
dim H0 (X3 ) = 4
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X3 ) = 1
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (6)
X4 :
dim H0 (X4 ) = 1
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X4 ) = 0
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (7)
X5 :
dim H0 (X5 ) = 1
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X5 ) = 1
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (8)
X6 :
dim H0 (X6 ) = 1
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
dim H1 (X6 ) = 1
Topologia obliczeniowa
Przykład - analiza obrazu (9)
Ostatecznie otrzymujemy dwa generatory (jeden w H0 i jeden w
H1 ), które mają ”dużą” trwałość. Wobec tego badany zbiór
punktów ma kształt zbliżony do okręgu.
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa
Literatura dotycząca przestrzeni skierowanych
M. Grandis
Directed Homotopy Theory, I. The Fundamental Category
Cah. Topol. Géom. Diff. Catég. 44 (2003), 281-316
M. Grandis
Directed Homotopy Theory, II. Homotopy Constructs
Theory and Applications of Categories 10 (2002) no. 14, pp.
369–391
L. Fajstrup, M. Raussen, E. Goubault, E. Haucourt
Components of the Fundamental Category
Applied Categorical Structures 12 (2004) no. 1, pp, 81-108
M. Raussen
Invariants of Directed Spaces
Applied Categorical Structures 15 (2007) no. 4 pp 355–386
Andrzej Weber, Krzysztof Ziemiański
Topologia obliczeniowa