teoria cienkiego profilu lotniczego

AERODYNAMIKA I
WYKŁAD 3
TEORIA CIENKIEGO PROFILU
LOTNICZEGO
AERODYNAMIKA I
TEMATYKA I CEL WYKŁADU:
 Przedstawić koncepcję modelowania dwuwymiarowego przepływu potencjalnego
płynu nieściśliwego bazującego na wykorzystaniu rozłożonych nośników
cyrkulacji
 Zastosować to podejście do przepływu w otoczeniu cienkiego profilu lotniczego
 Wyprowadzić i przedyskutować znaczenie formuł opisujących siłę i moment
aerodynamiczny oraz współczynniki aerodynamiczne
 Określić położenie środka parcia i środka aerodynamicznego
 Zademonstrować wykorzystanie teorii cienkiego profilu do profilu w klapą
AERODYNAMIKA I
1. Pole prędkości indukowane przez linię wirową na płaszczyźnie
Wyprowadziliśmy wcześniej prawo indukcji pola prędkości dla
punktowego wiru potencjalnego.
W zapisie zespolonym prawo to ma postać (środek wiru
położony jest w punkcie z0  x0  iy0 )
V ( z )  i

 1
 z  z0
 x  x0  i ( y  y0 )
 i


i

2
2
2
2 z  z0
2 z  z0
2 ( x  x0 )  ( y  y0 )
y  y0
x  x0



i
 u  i
2
2
2
2
2 ( x  x0 )  ( y  y0 )
2 ( x  x0 )  ( y  y0 )
Zatem, składowe kartezjańskie indukowanego pola prędkości wyrażają się następująco
u  
y  y0

2 ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2
,
 
x  x0

2 ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2
AERODYNAMIKA I
Rozważmy teraz pole prędkości indukowane
przez cyrkulację rozłożoną w sposób ciągły na
linii opisanej równaniami x  X ( s), y  Y ( s)
.
Liniowa gęstość cyrkulacji na tej linii opisana
jest funkcją    ( s) .
Pole prędkości indukowane przez linię wirową zadane jest wzorami
1
 ( s)[ y  Y (s)]
u  
2
2 ds

2 0 [ x  X ( s)]  [ y  Y (s)]
S
1
 (s)[ x  X (s)]
 
2
2 ds

2 0 [ x  X (s)]  [ y  Y (s)]
S
,
AERODYNAMIKA I
Jeżeli prędkość indukowana przez linię wirową w pewnym punkcie leżącym na tej linii jest
skończona to:
 Prędkość normalna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w
tym punkcie zmienia się w sposób ciągły.
 Prędkość styczna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w
tym punkcie zmienia się skokowo, przy czym wielkość skoku składowej stycznej jest
równa wartości funkcji  w tym punkcie linii.
Uzasadnienie ostatniego stwierdzenia polega na
wykorzystaniu Twierdzenia Stokesa zastosowanego do
zacieniowanego obszaru na rysunku
υ  ds  

ABCD
ABCD
s2
 dxdy    (s)ds
s1
oraz ciągłości prędkości normalnej.
Ćwiczenie: przeprowadź rozumowanie prowadzące do wniosku, że w punkcie na LW mamy
 lim υ  lim υ 
X P
X P
P
  ( sP )
AERODYNAMIKA I
Model profilu o niewielkiej grubości
Wariant 1
Opływ profilu modelowany jest przez linię wirową o kształcie takim jak linia szkieletowa (LS)
profilu. Rozkład cyrkulacji wzdłuż tej linii przyjmujemy tak, aby była ona linią prądu.
Jeśli wygięcie LS jest małe to można przyjąć dalsze uproszczenia ułatwiające rachunki …
AERODYNAMIKA I
Wariant 2 (docelowy)
 Cyrkulacja rozłożona jest wzdłuż cięciwy profilu tj. na odcinku [0, c] położonym na osi
Ox
 Z uwagi na małe wygięcie linii szkieletowej uznajemy że prędkość indukowana przez
wirowość rozłożoną wzdłuż cięciwy w punkcie [ x, Y ( x)] jest równa z przybliżeniu
prędkości indukowanej w punkcie [ x,0].
AERODYNAMIKA I
W konsekwencji przyjętych założeń upraszczających, prędkość indukowana normalna do linii
szkieletowej w punkcie [ x, Y ( x)] jest w przybliżeniu równa
w ,n[ x,Y ( x)]  u [ x,0]nx[ x,Y ( x)]   [ x,0]ny[ x,Y ( x)]
Jednostkowy wektor normalny w punkcie [ x, Y ( x)] linii szkieletowej jest równy
nx 
Zatem
Y ( x)
1  [Y ( x)]
2
 Y ( x) ,
ny 
1
1  [Y ( x)]
2
1
w ,n[ x,Y ( x)]  u [ x,0]nx[ x,Y ( x)]   [ x,0]n y [ x,Y ( x)] 
 u [ x,0]Y ( x)   [ x,0]   [ x,0] 
Warunek nieprzenikalności profilu
szkieletowej, czyli
1  ( )d
2 0 x  
c
- całkowity wektor prędkości jest styczny do linii
V,n  w ,n  0
AERODYNAMIKA I
Z rysunku wynika, że
V,n  V sin(   )  V (   )  V{  arctg[Y ( x)]}  V [  Y ( x)]
Warunek nie przenikalności przyjmuje postać (r-nie podstawowe teorii cienkiego profilu)
1  ( ) d
V [  Y ( x)] 
0

2 0 x  
c
AERODYNAMIKA I
Wprowadzimy sprytną zmianę współrzędnych …
  12 c(1 cos ) , x  12 c(1  cos0 )
Wówczas d  c sin 
1
2
  0  1  cos  0    0 pkt. natarcia

  c  1  cos  2     pkt. splywu
oraz
Rozważmy przypadek cienkiego profilu symetrycznego (w tej teorii jest nieodróżnialny od
płaskiej płytki) tj. przyjmijmy, że Y ( x)  0 .
Podstawowe równanie teorii przyjmuje postać

1  ( )sin  d
 V

2 0 cos  cos0
Z rozważań nt. prędkości indukowanej przez LW wynika, że musimy postawić warunek
 ( )  0
W przeciwnym razie prędkość styczna w punkcie wpływu ma skok czyli nie spełnia
warunku Kutty-Żukowskiego!
AERODYNAMIKA I
Poszukiwanie rozwiązanie zaczniemy od wprowadzenia tzw. całek Glauerta …

sin n 0
cos n
0 cos  cos0 d   sin 0
, n  0,1, 2,...

sin n sin 
0 cos  cos0 d   cos n0
, n  0,1, 2,...

cos
0 cos  cos0 d  
W szczególności …
 1 ( )  K cos / sin 
Rozważmy funkcję

Mamy

1  1 ( )sin  d K
cos d
K


2 0 cos  cos 0 2 0 cos  cos 0 2
Jeśli dobrać stałą K tak, aby
1
2
K  V  K  2V to funkcja
 1( )  2V cos / sin  2V cot
spełnia równanie!
AERODYNAMIKA I
Niestety, funkcja  1 ( ) nie spełnia warunku K-Ż !!!!
Ze względu na liniowość problemu, otrzymany rozkład można zmodyfikować o dowolną
funkcję  2 ( ) , byle spełniała ona równość

 2 ( )sin  d
0 cos  cos0  0
Pierwszy typ całki Glauerta dla n  0 daje

1
0 cos  cos0 d  0
K
Wobec tego, poszukiwana funkcja to  2 ( ) 
. Pełny rozkład cyrkulacji ma postać
sin 
 ( )  2V
cos
K

sin  sin 
Spełnienie warunku Kutty-Żukowskiego zapewnia wybór
K  2V .
AERODYNAMIKA I
Ostatecznie, rozkład gęstości cyrkulacji zadany jest wzorem
2cos2 ( 12  )
cos  1
1 )
 ( )  2V
 2V


2
V

cot(

2
sin 
2sin( 12  )cos( 12  )
Zauważmy, że na krawędzi natarcia gęstość cyrkulacji staje się nieograniczona!!!
Obliczmy całkowity ładunek cyrkulacji. Mimo osobliwości, ładunek ten jest skończony


1  cos c
    ( )d  2V 
sin  d  Vc  (1  cos ) d  Vc
2
0
0 sin 
0
c
AERODYNAMIKA I
Siła i moment aerodynamiczny w teorii cienkiego profilu
Ze wzoru Kutty-Żukowskiego wynika, że siła nośna równa jest
L  V  ( sin  ex  cos e y )
L
czyli wartość tej siły to
L   V2c  CL 12 V2 c  CLqc
q
Współczynnik siły nośnej równy jest
CL  2
Nachylenie (liniowej) charakterystyki CL  CL ( )
dCL
 2
d
UWAGA: w tradycji polskiej współczynnik siły nośnej oznaczany jest zazwyczaj symbolem
C z (a współczynnik oporu - C x ).
AERODYNAMIKA I
Obliczymy moment aerodynamiczny względem krawędzi natarcia.
Dla małych kątów natarcia mamy
c
c
c
c
0
0
0
0
M 0   x dL( x)   x L( x) dx   V  x  ( x) dx   V  x  ( x) dx 


1  cos 1
1 V 2c 2 sin 2  d 
  V  12 c(1  cos )(2V )
c
sin

d



2
2

sin

0
0
 12  12 V2c 2  14 c  V2c  14 c L
Z przeprowadzonego rachunku wynika, że dla małych kątów natarcia punkt przyłożenia siły
aerodynamicznej (tzw. środek parcia) na cienkim profilu symetrycznym jest położony w
odległości ¼ cięciwy od noska profilu.
AERODYNAMIKA I
UWAGA:
W aerodynamice lotniczej przyjęła się umowa odnośnie znaku momentu – moment obracający
profil odwrotnie zegarowo (czyli opuszczający nosek, a więc zmniejszający kąt natarcia) uznaje
się za ujemny. Wg tej umowy moment działający na profil symetryczny pod dodatnim kątem
natarcia jest ujemny.
Dostosowanie otrzymanej wcześniej formuły do w/w umowy sprowadza się do zmiany znaku
M 0   14 c L
Współczynnik momentu aerodynamicznego definiujemy następująco
1cL
M0
1 L
1
4
Cm,0 






CL
2
2
4 qc
4
qc
qc
Moment względem innego punktu P o współrzędnej x  xP obliczamy następująco
c
c
0
0
M P    ( x  xP )dL( x)    x dL( x)  xP L  ( 14 c  xP ) L
M0
AERODYNAMIKA I
W terminach współczynników aerodynamicznych …
( 14 c  xP ) L
1
Cm,P 
 (  xP )CL  Cm,0  xPCL
2
4
qc
W szczególności, dla xP 
1
4
, mamy oczywiście Cm,c /4  0
Widzimy, że współczynnik momentu aerodynamicznego względem xP 
parcia) nie zależy (w zakresie małych kątów natarcia) od kąta natarcia czyli
1
4
(czyli środka
dCm,c /4
0
d
Wynika z tego, że środek parcia jest – dla cienkiego profilu symetrycznego – jednocześnie
środkiem aerodynamicznym (SA), tj. takim punktem, że moment aerodynamiczny (względem
SA) nie zależy od kąta natarcia.
AERODYNAMIKA I
Rozszerzmy rozważania – rozważmy teraz opływ cienkiego profilu niesymetrycznego.
Podstawowe równanie teorii ma teraz postać
V[  Y ( x)] 
1  ( ) d
0

2 0 x  
c
a – po zastosowaniu tej samej co poprzednio zamiany zmiennych

1  ( )sin d
 V  VY [ x(0 )]

2 0 cos  cos0
Rozwiązanie tego przypadku jest bardziej złożone. Poszukujemy rozkładu cyrkulacji w postaci
szeregu
 cos  1 

 ( )  2V  A0
 An sin n 
sin


n1

AERODYNAMIKA I
Po podstawieniu do równania podstawowego otrzymujemy


cos  1
1 
sin n sin 
d


A
d    Y [ x( 0 )]

n

 0 cos  cos0
 n1 0 cos  cos 0
A0
Wykorzystując wprowadzone wcześniej całki Glauerta, otrzymujemy

sin n sin 
0 cos  cos0 d   cos n0



cos  1
1
cos 
d


d


0 cos  cos0
0 cos  cos0
0 cos  cos0 d  
0

pierwsza calka Glauerta
dla n1
Równanie teorii cienkiego profilu sprowadza się do

A0   An cos n0    Y [ x(0 )]
n1
AERODYNAMIKA I
Równoważnie

Y [ x(0 )]  (  A0 )   An cos n0
n1
Pomysł na wyznaczenie współczynników Aj , j  0,1,2,... jest prosty i sprowadza się do:
 wyrażenia funkcji Y   Y ( x) jako zależności od współrzędnej  w przedziale [0,  ] ,
 obliczenia współczynników cosinusowego szeregu Fouriera tak otrzymanej funkcji.
Oznaczmy zatem P(0 )  Y [ x(0 )]. Rozwijamy funkcję P( 0 ) w szereg

P( 0 )  B0   Bn cos n0
n 1
Z teorii szeregów Fouriera wynika, że


0
0
B0  1  P( )d , Bn  2  P( )cos n d
AERODYNAMIKA I
Otrzymujemy zatem związki


0
0
  A0  B0  1  P( )d  A0    1  P( )d

An  Bn  2  P( )cos n d
0
W ten sposób wyznaczyliśmy rozkład cyrkulacji (warunek Kutty-Żukowskiego  ( )  0 jest
automatycznie spełniony!)
 cos  1 

 ( )  2V  A0
 An sin n 
sin 
n1



Całkowita cyrkulacja związana z profilem to





c
    ( )d  2   ( )sin  d  cV  A0  (1  cos )d   An  sin n sin  d 
n1
 0

0
0
0
c

AERODYNAMIKA I
Ponieważ
 (1  cos )d  
  2 gdy n  1
0 sin n sin  d   0 gdy n  1


,
0
to całkowita cyrkulacja zadana jest wzorem
   cV ( A0  12 A1)
Stąd, siła nośna L i jej współczynnik CL są równe
L  V   2 ( A0  12 A1) 12 V2c  2 ( A0  12 A1) qc
Konkretnie …
CL  2 ( A0  12 A1)



1
CL  2    P( )(cos 1) d 


0

AERODYNAMIKA I
Jak widać, nachylenie charakterystyki
dCL
 2 , czyli nie zależy od wygięcia linii
d
szkieletowej.
Komentarz: w Wykładzie 2 pojawiło się zadanie polegające na wykazaniu, że nachylenie
charakterystyki wsp. siły nośnej dla wygiętego profilu Żukowskiego o zerowej grubości (łuk
dCL
okręgu) jest równe
 2 (1  2 f 2 ) . Zauważmy, że poprawka jest proporcjonalna do
d
kwadratu względnego wygięcia profilu, czyli dla małych wartości tego wygięcia jest bardzo
mała. Zaprezentowana teoria cienkiego profilu „nie widzi” tej poprawki (dlaczego?!)
Otrzymana formuła dla współczynnika siły nośnej może być zapisana w postaci
CL  2 ( 0 )

gdzie
 0   1  P( )(cos 1) d
0
jest (ujemnym) kątem natarcia, przy którym wygięty profil nie wytwarza siły nośnej.
AERODYNAMIKA I
Obliczmy dalej moment aerodynamiczny względem punktu (krawędzi) natarcia
c
c

0
0
0
M 0   V  x  ( x) dx   V  x  ( x) dx   14 Vc 2  (1  cos )  ( )sin  d 




cos


1
1
2
(1  cos )  A0
 An sin n  sin  d 
sin 
n1


0





2 2
2
1
 2 V c  A0 (1  cos  )d  An (1  cos )sin n sin  d 
n1
 0

0
V2c 2


 

Pojawiły się następujące całki


0
0
2
2
(1

cos

)
d


sin

  d  12 
  2 gdy n  1
1 sin n sin 2 d    4 gdy n  2
(1

cos

)sin
n

sin

d


sin
n

sin

d



2
0
0
0
 0 gdy n {1, 2}




AERODYNAMIKA I
Otrzymujemy wzór
M 0  14 V2c2 ( A0  A1  12 A2 )
Ponownie, dostosowując konwencje znaków do „zwyczajów aerodynamicznych” mamy
M 0   14 V2c2 ( A0  A1  12 A2 )   12  ( A0  A1  12 A2 ) qc 2
Współczynnik momentu aerodynamicznego jest zatem równy
Cm,0   12  ( A0  A1  12 A2 )   14 [CL   ( A1  A2 )]
Z wcześniejszych rozważań wynika, że
Cm,c/4  Cm,0  14 CL   4 ( A1  A2 )  4 ( A2  A1)
Otrzymana wartość momentu nie zależy od kąta natarcia. Wnioskujemy, że punkt x  14 c
nie jest tym razem środkiem parcia (bo moment aerodynamiczny względem tego punktu
nie jest na ogół równy zeru), ale jest środkiem aerodynamicznym.
AERODYNAMIKA I
Współrzędna środka parcia to taka wartość xP , że
 qc 2 ( A0  A1  12 A2 ) 12  c[ A0  12 A1  12 ( A1  A2 )]
xP 


1
1
2 ( A0  2 A1 ) qc
2 ( A0  2 A1 )
1
2
CL

c c 
c 
 
( A1  A2 )  1  ( A1  A2 ) 
4 4 CL
4  CL

AERODYNAMIKA I
Cienki profil symetryczny z klapą
Na koniec omówimy krótko prosty model cienkiego profilu symetrycznego z klapą (zakładamy,
że wychylenie klapy jest niewielkie)
Linia szkieletowa i jej pochodna
gdy x  [0, x f ]
 0
Y ( x)  
tg ( x  x f ) gdy x  ( x f , c]
,
 0 gdy x  [0, x f )
Y ( x)  
tg gdy x  [ x f , c]
x f  (1  f )c
AERODYNAMIKA I
Stosujemy - jak poprzednio - zmianę współrzędnych x   .
Wyznaczamy wartość współrzędnej kątowej odpowiadającej punktowi obrotu (zawiasowi)
klapy
x f  (1  f )c  12 c(1  cos f )  (1  f )c
cos f  2 f 1
Stąd
Np. dla f  0.15 mamy  f  arccos(0.7)  134.430 .
Funkcja P( ) opisana jest następująco
 0 gdy  [0, f )
P( )  Y [ 12 c(1  cos )]  
tg gdy  [ f , ]
AERODYNAMIKA I
Obliczymy współczynniki Fouriera występujące we wzorach na siłę nośną i moment
aerodynamiczny. Mamy
 f
 P( )d   (tg )d   1 


0
f

1


1


 tg

A0    (1   f  )tg
Zatem
I dalej …


0
f
A1  2  P( )cos d  2 (tg )  cos d  2 (tg )( sin  f )  2 sin  f tg


0
f
A2  2  P( )cos 2 d  2 (tg )  cos 2 d  1 (tg )( sin 2 f )  1 sin 2 f tg
AERODYNAMIKA I
Współczynnik siły nośnej symetrycznego cienkiego profilu z klapą jest zadany wzorem
CL  2 ( A0  12 A1)  2  2 (1   f   1 sin f )tg 
 2  2(   f  sin f )
Współczynnik momentu aerodynamicznego jest równy
Cm,0   12  ( A0  A1  12 A2 )
Po podstawieniu otrzymujemy
Cm,0   2   12 [   f  (2  cos f )sin f ]
Obliczmy wartości współczynników przy kącie wychylenia klapy dla profilu w klapą 15%
(czyli f  0.15 ). Wiemy, że  f  134.40 .
2(   f  sin f )  3.02
  f  (2  cos f )sin f ]  1.36
1[
2
AERODYNAMIKA I
Otrzymaliśmy następujące zależności
CL  2  3.02
,
Cm,0   2  1.36
Współczynnik momentu Cm,c /4
Cm,c/4  4 ( A2  A1)  4 ( 1 sin 2 f tg  2 sin  f tg ) 
 14 (sin 2 f  sin f )
Dla klapy 15%
Cm,c/4  0.395
Zadanie: Przeprowadź analogiczna analizę dla cienkiego profilu symetrycznego z klapą
przednią (slotem). Przyjmij, że zawias klapy znajduje się w odległości f  c od noska profilu.
Wyznacz wartość liczbową współczynników stojących w wyrażeniach na CL i Cm,c /4 przy
kącie wychylenia slotu  (zakładamy, że jest on niewielki, zatem tg   ). Porównaj wpływ
slotu i klapy tylnej na charakterystyki aerodynamiczne.