Grawitacja Zad. 1 Ile musiałby wynosić okres obrotu kuli ziemskiej

Grawitacja
Zad. 1 Ile musiałby wynosić okres obrotu kuli ziemskiej wokół własnej
osi, aby siła odśrodkowa bezwładności zrównoważyła na równiku siłę grawitacyjną? Dane są promień Ziemi i przyspieszenie grawitacyjne.
Zad. 2 Przenosząc ciało o masie 10 kg z punktu A o potencjale równym
J
VA = −10 kg
do punktu B wykonaliśmy pracę W=40 J. Oblicz potencjał pola
grawitacyjnego w punkcie B pola.
Zad. 3 Wokół Ziemi poruszają się dwa satelity: jeden z nich w odległości
r1 od środka Ziemi, drugi w odległości r2 > r1 . Który z nich ma większą
szybkość liniową i kątową?
Zad. 4 Oblicz czas obiegu satelity poruszającego się na wysokości h=500
km nad powierzchnią Ziemi.
Zad. 5 W jakiej odległości od środka Ziemi musi znajdować się satelita
stacjonarny? Okres obrotu Ziemi wokół własnej osi T= 23 godziny 56 minut.
Zad. 6 Oblicz wartość drugiej prędkości kosmicznej na Księżycu pamiętając, że jego promień wynosi 1740 km, a przyspieszenie grawitacyjne gk = 16 g.
Zad. 7 Pocisk o masie 1 kg został wystrzelony z powierzchni Ziemi pionowo do góry z prędkością o wartości równej drugiej prędkości kosmicznej
vII . Przyjmujemy, że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi 9, 81 sm2 , promień Ziemi R= 6370 km.
a) Na jakiej wysokości h nad Ziemią będzie znajdował się punkt A, w którym
prędkość pocisku będzie co do wartości równa pierwszej prędkości kosmicznej
wyznaczonej dla odległości równej promieniowi Ziemi R.
b) Oblicz wartość energii kinetycznej pocisku w p-cie A.
c) W jakiej odległości h1 do powierzchni Ziemi pocisk miał energię kinetyczną
o 1/4 mniejszą od początkowej wartości.
d) Oblicz wartość siły grawitacji działającej na ciało o masie 1 kg umieszczone w odległości h1 od powierzchni Ziemi.
e) Znajdź odległość r < R od środka Ziemi takiego punktu B, w którym
wektor siły grawitacji będzie taki sam jak w punkcie odległym o h1 od powierzchni Ziemi.
1
f) W jakim czasie ciało puszczone swobodnie z p-tu znajdującego się w odległości h1 od powierzchni Ziemi przebędzie drogę długości 1m? Zakładamy,
że na tym odcinku nie ma zmiany przyspieszenia.
Zad. 8 Ciało o masie 1 kg zostało wyrzucone z pow. Ziemi pionowo do
góry z prędkością o wartości 1 km
.
s
a) Oblicz wartość siły grawitacji F działającej an ciało w najwyższym p-cie
A toru jego ruchu, czyli w odległości rA od środka Ziemi.
b) Oblicz wartość pracy W, jaką wykona siła grawitacji F, przemieszczając
ciało z p-tu A do środka Ziemi.
c) Podaj zależność siły grawitacji od odległości od środka Ziemi i przestaw
wykres siły grawitacji działającej na ciało dla odległości r ∈ (0, ra ).
d) Podaj wartość prędkości v1 , którą należałoby nadać ciału aby poruszało
się po orbicie o promieniu rA .
e) Zapisz wzory na obliczanie energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej w
zależności od odległości od środka Ziemi satelity o znanej masie poruszającego się po orbicie. Przedstaw zależności wszystkich energii od odległości r
w jednym układzie.
Zad. 9 Ciało o masie 100 kg porusza się po orbicie na wysokości 160 km
nad powierzchnią Ziemi. Niech wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi
9, 81 sm2 , promień Ziemi R= 6370 km.
a) Oblicz wartość prędkości vI ciała.
b) Jaką pracę W należałoby wykonać, aby przenieść ciało z orbity znajdującej się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi na orbitę znajdującą się na
wysokości h1 = 300km od powierzchni?
c) Podaj zależność okresu T1 obiegu satelity na orbicie bliższej i okresu T2
2
obiegu satelity na orbicie dalszej.
d) Jaką pracę W1 należałoby wykonać nad ciałem poruszającym się po orbicie w odległości h od powierzchni Ziemi, aby opuściło ono pole grawitacyjne
Ziemi?
Zad. 10 W p-tach K i L oddalonych od siebie o 2r znajdują się punktowe
masy mK = m i mL = 10m.
a) Wyznacz, korzystając z rysunku, natężenie pola grawitacyjnego w ptach A, B, C.
b) Na prostej przechodzącej przez środki ciał znajduje się punkt X, w którym natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od obu mas jest równe zero.
Wyznacz jego położenie.
c) W którym miejscu na tej prostej należy umieścić masę punktową mY =
2m, aby ciało mK pozostało w spoczynku?
d) Zakładamy, że ciała o masach mK i mL zaczęły się poruszać pod wpływem
działania sił wzajemnego oddziaływania grawitacyjnego. Wyznacz stosunek
ich przyspieszeń w chwili, gdy zaczynają się poruszać.
kg
Zad. 11 W ołowianej kuli o gęstości ρ = 11, 3 ∗ 103 m
3 i promieniu R=100
cm jest zrobione kuliste wydrążenie o promieniu rw = 50cm.
a) Powierzchnia wydrążenia jest styczna do powierzchni kuli - rys.1. W
p-cie A który znajduje się w odległości d=150 cm od środka ołowianej kuli
umieszczono kulkę o masie m=100 g. Środki ołowianej kuli, wydrążenia i
kulki o masie m leżą na jednej prostej. Jaką siłą F ołowiana kula przyciąga
tą o masie m?
b) Środek kulistego wydrążenia pokrywa się ze środkiem kuli - rys.2. Wyznacz, a następnie narysuj wykres zależności wartości natężenia pola grawitacyjnego γ kuli z wydrążeniem do odległości r od jej środka.
3
Zad. 12 Wszystkie ciała na Ziemi poruszają się po orbitach kołowych związane jest to z jej ruchem obrotowym.
a) W kierunku południka ziemskiego wystrzelono poziomo pocisk. Wystrzał
nastąpił na szerokości geograficznej północnej φ = 55◦ z lufy skierowanej na
południe. Wartość prędkości wynosiła 800 ms . W którą stronę odchyli się tor
pocisku do kierunku południka? W jakiej odległości ∆s od południka znajduje się pocisk po 1 s lotu?
b) Jaki musiałby być okres T1 obrotu Ziemi wokół własnej osi, aby na równiku przyspieszenie Ziemskie było równe zeru? R=6378 km.
c) Stosunek ciężaru ciała umieszczonego na równiku pewnej planety do ciękg
żaru tego ciała na biegunie wynosi 12 . Gęstość planety wynosi ρ = 3 ∗ 103 m
3.
Wyznacz okres obrotu planety dookoła własnej osi. Promienie równikowy i
biegunowy są sobie równe.
Zad. 13 Weźmy niewielką metalową kulkę. Zawieśmy ją na nieważkiej
nici - otrzymamy wahadło matematyczne. Przyjmijmy, że mamy wahadło o
długości l1 = 0, 95m i wykonujemy nim 5 pomiarów, a potem skracamy jego
długość o 0,20 m i ponownie wykonujemy 5 pomiarów. Dokładność długości
nici wynosi 0,01 m. Wyniki zawarte są w tabeli:
4
a) Uzupełnij poprawnie tabelę.
b) Oblicz wartości średnie okresów dla obu długości nici i ich błędy.
c) Zapisz równanie, za pomocą którego można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g i za jego pomocą policz wartości przyspieszenia dla obu
wahadeł.
d) Spróbuj policzyć błąd bezwzględny policzonej wielkości i wyraź go w procentach.
Rzut ukośny
Zad. 1 W odległości d=10 m stoją naprzeciw siebie 2 domy. Z okna
jednego znajdującego się na wysokości 30 m została wyrzucona w kierunku
poziomym piłeczka.
5
Ruch piłeczki opisuje układ równań:
y(t) = 30 − 5t2 ,
x(t) = 5t.
(0.1)
Piłeczka wpadła przez okno w drugim domu na pewnej wysokości nad ziemią.
a) Jakim ruchem porusza się piłeczka? Jakie wielkości go charakteryzują?
b) Wyznacz równanie toru ruchu piłeczki i dokończ rysunek.
c) Na jakiej wysokości nad ziemią znajduje się okno, przez które wpadła piłeczka?
d) Wyznacz prędkość piłeczki (wektor) i oblicz jej wartość w momencie wpadania przez okno do drugiego domu.
Zad. 2 Dwa ciała rzucono jednocześnie z tego samego miejsca z jednakową
prędkością początkową v0 = 25 ms . Ciało A rzucono do góry pod kątem 30◦
do poziomu, natomiast ciało B rzucono do dołu pod kątem 30◦ do poziomu.
Jaka będzie różnica wysokości między ciałami po upływie 2 s?
Zad. 3 Chłopiec kopnął piłkę pod kątem 45◦ do poziomu z prędkością
początkową v0 = 10 ms ; piłka uderzyła w ścianę znajdującą się w odległości
3 m od chłopca. Na jakiej wysokości i z jaką prędkością uderzyła piłka w
ścianę?
Zad. 4 Z wysokosci 3,94 m rzucono w dół pod kątem 60◦ do poziomu piłkę
z prędkością początkową v0 = 5 ms . Znajdź odległość między dwoma kolejnymi miejscami, w których odbiła się piłka, jeżeli jej odbicia były całkowicie
pozbawione strat energii.
6