Modeling Market Mechanism with Minority Game Modelowanie

Warszawa, 12.01.2005
Modeling Market Mechanism with
Minority Game
Damien Challet, Matteo Marsili, Yi-Cheng Zhang
Modelowanie Mechanizmów
Rynkowych za pomocą Gry
Mniejszościowej
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Gra Mniejszościowa
N graczy wybiera niezależnie jedną z dwóch pozycji ( 0 lub 1)
Gracze znajdujący się w mniejszości wygrywają
Gracze posługują się strategiami wynikającymi z przeszłych
posunięć
„Pamięć” gracza jest ograniczona – gracz pamięta M
poprzednich gier
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Gra Mniejszościowa
Przykład: ilość możliwych strategii przyjęcia jednej z pozycji w
zależności od M
Przykładowa strategia: M=3
Pamięć
Przewidywanie
000
1
001
0
010
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
0
Mamy 2M = 8 możliwych posunięć w zależności od 3 bitowej pamięci
M
Przy M=3 strategii jest zatem 22 = 256
Odpowiednio dla M= 2,3,4,5 będzie 16, 256, 65536, 655362 strategii
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Gra Mniejszościowa
Po ustaleniu wielkości „pamięci” graczy losujemy każdemu S strategii
Gracz może „próbować” strategie bądź trzymać się jednej
Strategie mogą być analizowane tj. po każdej grze gracz może
analizować która strategia przyniosłaby zysk
Aby grać efektywnie gracz musi analizować cały czas strategie
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Główne założenia
1. Zróżnicowanie strategii - wiele alternatywnych strategii nie występują znaczne
korelacje
2. Dwa typy agentów: producenci i spekulanci. Producenci nie maja alternatywnych
strategii; spekulanci - standardowy model gracza MG. Producenci dostarczają
informacji na rynek
3. Agenci nie są zobowiązane, by grać, jeśli nie widzą możliwości zysku
4. „Kupcy szumiący” – agenci posługujący się przypadkowymi strategiami
5. Są lepsi i gorsi agenci a ich rozkład jest nie Gaussowski
6. Pamięć M każdego z graczy może ulegać zmianom
7. Agentom opłaca się posiadanie wielu strategii choć wykorzystują niewiele z nich
8. Niektórzy agenci mogą dostać nielegalną informację o innych agentach
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
N agentów mogących w danej chwili t kupować bądź sprzedawać
ai (t )  1
- kupno
ai (t )  1
- sprzedaż
Wygrana agenta i-tego będzie dana wzorem:
g i (t )  ai (t ) A(t )
N
gdzie
A(t )   a j (t )
j 1
Wzór ten pokazuje podstawową zależność kiedy to wypłata agenta zależy od
posunięć wszystkich graczy.
Mniejszość graczy zyskuje w ten sposób |A(t)| ; większość traci -|A(t)|
Zawsze jest więcej przegranych niż wygranych
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
Agenci mają dostęp do danych historycznych – μ(t)
μ(t) – liczba całkowita przyjmująca jedną z P wartości
gdzie P = 2M
M w tym przypadku to M wartości znaku A(t)
Czyli np.:
M=2
P=4
Przyjmujemy zapis:
P
1
2
3
4
M
--
-+
+- ++
Jeżeli w chwili t mamy do czynienia z historią A(t) w
postaci +- to P = 3 czyli μ(t)=3
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
W zależności od wartości μ(t) agenci mogą się różnie zachowywać
przez co A(t) zależy także od μ(t) czyli Aμ(t)(t)
Pod wpływem informacji μ(t) agenci rozważają prognozy które dla
każdego μ(t) sugerują decyzje aμ
Jest 2P takich prognozowanych strategii
Agenci losują spośród nich S strategii które będą wykorzystywali
Decyzje i-tego agenta można przedstawić jako:
asi ((tt ),) i
Gdzie si(t) to jedna spośród strategii S
Wygraną można zatem teraz przedstawić jako:
 (t )
si (t ),i
gi (t )  a
Patryk Bąkowski
 (t )
A
(t ) gdzie A
 (t )
N
(t )   asj((tt)), j
j 1
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
Dla uproszczenia przyjmuje się S=2 (↑,↓)
Wprowadzamy nowe zmienne

i
 
a,i  a,i
i 
2
a,i  a,i
2
Reakcja agenta i na historie jest zatem wyrażona:
asi ,i  i  i si 
a,i  a,i
2

a,i  a,i
2
si  a,i si
A co za tym idzie:
N
   i

i 1
Patryk Bąkowski

N
N
A (t )   asi (t ),i      i si (t )

i 1


i 1
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna
W celu przewidywania efektywności strategii agent posługuje się
tzw. „indeksem wiarygodności” strategii :
U s,i (t  1)  U s,i (t )  A (t ) (t )as,i(t )
Indeks ten mówi agentowi jaką wypłatę otrzymałby gdyby cały czas grał daną strategią.
U(t) – jest skumulowaną wirtualną wypłatą
Agent musi brać jednak pod uwagę że w rzeczywistości grając jedną strategią zmieniło
by się A(t)
Biorąc pod uwagę wirtualną wypłatę agenci będą posługiwali się najbardziej
efektywną strategią czyli tą dla której U(t) będzie największe :
si (t )  arg max U i ,s (t )
s{,}
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna
Alternatywnie w celu wyznaczenia najbardziej efektywnej strategii wprowadza się:
i (t )  Ui,  Ui,
Której zmienność w czasie:
 i (t  1)   i (t )  A (t ) (t )i (t )
A najefektywniejsza strategia:
si (t )  sign  i (t )
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Notacja Średnich
Zapis średnich stosowany w dalszej części:
1 T
R  lim  R(t )
T  T
t 1
Uwzględniając historie czyli także zmienną zależną od czasu:
R

P T
 lim  R(t )  (t ), 
T  T
t 1
  (t ),  
1
P
Uśredniając R po historii:
1 P 
R  R
P  1
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne
Wprowadzamy parametr:

P
N
Wyprowadzamy wariancje:
N
  A    2 i si si   i j si s j
2
2
2
i 1
i, j
Będzie to całkowita średnia strata wszystkich agentów:
  gi   2
i
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne
W modelu standardowym MG średnie A będzie wynosić 0, jednak dla
pewnych μ zdarza się:
A  0
Aby uwzględnić tą asymetrie wprowadzamy:
N
H  A  2  2 i si si  i j si s j
2
i 1
i, j
Na tej podstawie możemy napisać że:
N
  H    i 2 (1  si )
2
2
i 1
Dla H>0 gra będzie asymetryczna
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne
Dla długich szeregów czasowych, wcześniej wprowadzony
parametr opisujący efektywność strategii przybiera postać:
 i  vi t
Gdzie:
i  (t  1)   i (t )  2 A  i
Jeżeli teraz vi≠0 to agent będzie się trzymać jednej strategii
Jeżeli natomiast vi=0 będzie się posługiwał obiema strategiami na zmianę
Globalną miarą fluktuacji w wyborze strategii przez agentów jest:
1
Q
N
Patryk Bąkowski
N
2
m
 i
i 1
gdzie
mi  si
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami
W modelu standardowym MG agenci wybierają strategie losowo i niezależnie.
Komplikując model przyjmujemy że dla S=2 agent losuje pierwszą strategie
natomiast drugą obarcza kryteriami które uważa za najlepsze.
Np. agent może wybrać tylko jedną strategie uważając ją za wystarczającą.
W naszym modelu przyjmujemy że każdy agent wybiera drugą strategie stosując
zasadę:


P(     )  c

Gdzie parametr c można określić jako średnią korelację między obiema strategiami
Przypadek gdy c=1/2 to standardowy model MG gdy obie strategie są niezależne
Gdy c=1 agent po prostu wybrał tylko jedną strategie (faza asymetryczna)
Gdy c=0 agent ma dwie przeciwne strategie (faza symetryczna)
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami
W zależności od parametru alfa możemy wyznaczyć diagram fazowy
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Agentów dzielimy na dwie grupy:
Producenci – agenci posiadający jedną strategie gry, uczestniczą w rynku w celu
zabezpieczenia swych inwestycji i nie spekulują na rynku
Spekulanci – uczestniczą w rynku aby wygrać jak najwięcej
Obie grupy żyją w symbiozie: producenci sprawiają że rynek jest bardziej stabilny,
dostarczają informacje na rynek, spekulanci zaś wykorzystują informacje jednak
znając reguły gry nie podejmują pochopnych decyzji sprawiając że producenci
czują się bezpieczniej.
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
W modelu producenci to agenci o jednej strategii, spekulanci normalni agenci MG
Producenci mają ustalony wzór zachowania się na rynku przez co obserwując ich
spekulanci mogą wykorzystywać te informacje do planowania kolejnych ruchów.
W dalszej części przyjmujemy:
N spekulantów
ρN producentów
Rezultat takiej gry możemy zapisać jako:


A  Aspec
 Aprod
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Chcemy sprawdzić zyski agentów gdy c≠0
Wprowadzamy:
Gspec  Gprod   2
Co pozwala nam wyprowadzić po kilku prostych przekształceniach 
średnie zyski producentów i spekulantów:
G prod
N
Gspec
N
Patryk Bąkowski


1
1 
c    (1  c)Q


(
1

c
)(
1

Q
)

(1   ) 2
1 
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Ustalamy N=641 c=0 M=8 S=2 α=0.4 i wykreślamy zysk agentów w
zależności od liczby producentów
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Podobnie tworzymy wykresy w zależności od liczby spekulantów:
l.prod.=64 c=0 M=8 S=2
l.prod.=256 c=0 M=6 S=2
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Diagram fazowy zależności α((1+ρ)/(1-c))
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Diagram fazowy zależności zysku spekulantów w zależności o liczby
spekulantów i liczby producentów przy założeniu c=0
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Średni zysk na agenta w zależności od liczby producentów przy założeniach
N=107, M=5, α=0.3, S=2, c=1/2
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Średnia ilość spekulantów zależności od liczby producentów przy założeniach
N=107, M=5, alfa=0.3, S=2, c=1/2
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci, Producenci i „Kupcy szumiący”
„Kupcy szumiący” to tacy spekulanci opierający swoje decyzje zamiast na
obserwacjach rynku (tak jak spekulanci) na np. astrologii 
Ich decyzje podejmowane są całkowici przypadkowo przez co wariancja
σ2 wzrasta, czyli ogólne straty wszystkich agentów zwiększają się
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Rozpatrzymy trzy typy uprzywilejowania agenta:
- gdy agent ma do dyspozycji więcej strategii
- gdy agent ma większą pamięć M
- gdy agent ma dostęp do nielegalnych informacji
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Agent ma do dyspozycji więcej strategii
Zakładamy że agent ma S’ strategii S’>S
Skupiamy się na fazie asymetrycznej (w fazie symetrycznej nie ma znaczenia
ile agent posiada strategii)
Wprowadzamy wirtualny zysk dla każdej strategii agenta:
1 P  
u s   as A   as A
P  1
s  1,...., S
Rozkład Gaussa dla tej zmiennej przy średniej 0 będzie miał wariancje:
1 P
Var (us )  2 Var (as ) A
P  1
Patryk Bąkowski
2

H
P
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’
Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 0.5
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’
Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 1
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Agent z większą pamięć niż pozostali agenci
Patryk Bąkowski
M’>M
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Agenci z dostępem do nielegalnych informacji
Zakładamy że agent b zna znak s  skumulowanych akcji agentów ze zbioru β
Niech B=| β | liczba agentów zbioru β
wtedy
s (t )  sign i ai (t )
W zależności od znaku s  agent posiada dla każdej ze swoich strategii dwie
możliwości U  (t ) U  (t )
b,s
b, s
Jeżeli agent wie ze s  =+1 wybiera U b, s (t ) a na tej podstawie wybiera strategie
sb (t )  arg max U b,s (t )
s 1,...., S
Analogicznie dla s  =-1
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Wypłaty agentów szpiegującego i pozostałych N=1001 NB=3
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Wypłaty agenta szpiegującego w zależności od liczby szpiegowanych agentów
N=1001 α=0.15
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku
KONIEC
Patryk Bąkowski
. . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .