STATYSTYKA OPISOWA

STATYSTYKA OPISOWA
Zadanie 1.
Wzrost [cm] pewnej grupy dziewcząt przedstawia się następująco: 150, 151, 151, 151, 152,
152, 152, 152, 153, 153, 153, 153, , 155, 155, 155, 155, 155, 155, 156, 156, 156, 156, 156,
157, 157, 157, 157, 158, 158, 158, 159, 159, 160, 161. Na podstawie danych utworzyć szereg
rozdzielczy punktowy oraz szeregi rozdzielcze przedziałowe o interwale 1 cm oraz 2 cm, w
dwóch wersjach: gdy przedziały klasowe mają wspólne granice oraz gdy nie mają wspólnych
granic.
Zadanie 2.
Wzrost [cm] pewnej grupy chłopców przedstawia się następująco: 170, 171, 171, 171, 172,
172, 172, 172, 173, 173, 173, 173, , 175, 175, 175, 175, 175, 175, 176, 176, 176, 176, 176,
177, 177, 177, 177, 178, 178, 178, 179, 179, 180, 181, 217. Jaki jest przeciętny wzrost w
badanej grupie? Jaką miarę położenia powinniśmy zastosować i dlaczego?
Zadanie 3.
W czteroosobowej rodzinie średnia miesięczna płaca wynosi 1300 zł. Jakie wynagrodzenie
otrzymuje mama, jeżeli ojciec miesięcznie zarabia 1500 zł, syn 1300 zł, a córka 1200 zł?
Zadanie 4.
W małej prywatnej firmie zarobki pięciu zatrudnionych pracowników produkcyjnych
wyniosły po 500 zł, kierownik i księgowa dostali po 2 000 zł, natomiast właściciel: 10 000 zł.
Wyznacz średnią płacę w firmie. Ile osób zarabia poniżej średniej?
Zadanie 5.
Wysokość najważniejszych 11 szczytów w najwyższym pasmach górskich w Polsce
przedstawia się następująco: 1315, 1333, 1346, 1557, 1723, 1894, 1987, 2064, 2301, 2438,
2499. Jaka jest średnia wysokość wymienionych szczytów?
Zadanie 6.
Rozkład braków w 50 partiach samochodów dostarczonych w ciągu trzech kwartałów do
salonu Fiata przedstawiono w poniższej tabeli.
2
3
4
5
6
xi
ni
7
12
16
10
5
Obliczyć średnią, dominantę, medianę, kwartyle oraz zinterpretować otrzymane wyniki.
Zadanie 7.
Średni wiek w n-osobowej grupie uczniów wynosi 11 lat. Najstarszy członek grupy ma 17 lat,
a średnia wieku pozostałych wynosi 10 lat. Ilu uczniów liczy ta grupa?
Zadanie 8.
Przeprowadzone wśród 200 studentów badania ankietowe dotyczące ich sytuacji rodzinnej
dostarczyły informacji na temat liczby posiadanego przez nich rodzeństwa. Okazało się, że
30% studentów nie miało rodzeństwa, a 90% miało nie więcej niż jednego brata lub siostrę.
Natomiast 97% ogółu studentów posiadało nie więcej niż dwoje rodzeństwa oraz w badanej
grupie studentów nie było ani jednego, który miałby więcej niż troje rodzeństwa.
a) Na podstawie powyższych informacji ustalić postać rozkładu studentów według liczby
posiadanego rodzeństwa.
b) Określić i zinterpretować średnią, dominantę, kwartyle (oraz odpowiednio wybrane
kwantyle).
Zadanie 9.
Współczynnik zmienności rozkładu płac w pewnym przedsiębiorstwie wynosi 10%, najwięcej
pracowników otrzymuje pensję 1200 zł netto, połowa otrzymuje nie więcej niż 1300 zł.
Zakładając, że rozkład płac jest umiarkowanie asymetryczny, jak kształtuje się typowa pensja
(netto) w tym przedsiębiorstwie?
Zadanie 10.
W zakładzie produkującym obuwie sportowe zbadano pracowników pod względem wieku
rozpoczęcia pracy w tym zakładzie. Okazało się, że 25% rozpoczęło pracę przed
ukończeniem 20 roku życia. Połowa między 20. a 23. Zakładając, że wartości pozycyjnych
współczynników zmienności są identyczne, podaj w jakim wieku najczęściej rozpoczynał
pracę statystyczny pracownik, a jaki wiek rozpoczęcia pracy charakteryzuje przeciętnego
pracownika. Uzasadnić rozwiązanie.
Zadanie 11.
W punkcie skupu makulatury studenci wykonali projekt ze statystyki badając pewną losowo
wybraną próbę z populacji wagi oddawanej makulatury. Obliczono, że mediana wynosi 12 kg
i umiejscowiona jest w przedziale od 10 kg do 15 kg, którego liczebność wynosi 35. Jaka jest
liczebność badanej próby, jeśli 30 osób z tej próby oddało makulaturę o wadzę mniejszej niż
10 kg?
Zadanie 12.
Rozkład liczby spóźnień na zajęcia 100 losowo wybranych studentów w ostatnim roku
kształtował się w następujący sposób:
Liczba spóźnień
0
1
2
3
4
5 i więcej
Liczba pracowników
10
15
40
15
10
10
Wiedząc dodatkowo, że średnia liczba spóźnień w ostatnim przedziale wynosiła 6,2
scharakteryzować przeciętną liczbę spóźnień pracowników oraz jej zmienność w badanym
okresie.
Zadanie 13.
Zbadano zużycie wody w gospodarstwach domowych w pewnym wieżowcu i otrzymano
następujące dane:
Zużycie w m3/os
2,5 i mniej
2,5-2,7
2,7-2,9
2,9-3,1
3,1-3,3
3,3 i więcej
Liczba osób
3
12
30
42
10
4
Obliczyć:
a) przeciętne zużycie wody przez osobę w tym wieżowcu,
b) medianę,
c) dominantę,
d) kwartyle,
e) wyznaczyć typowy obszar zmienności,
f) określić stopień asymetrii,
g) czy rozkład jest lepto- czy platokurtyczny?
Zadanie 14.
Wzrost [w cm] 50 uczniów w pewnej szkole przedstawia się następująco: 160; 161; 161; 162;
162; 163; 163 163; 163; 163; 164; 164; 164; 164; 164; 165; 165; 165; 165; 166; 166; 166;
167; 167; 167; 168; 168; 168 169; 169; 170; 170; 170; 171; 171; 171; 172; 172; 173; 173;
174; 174; 175; 176; 176; 177; 178; 178; 179 180. Informacje o wadze [w kg] tych uczniów
zawarto w tabeli:
Waga
Odsetek uczennic
45-50
10
50-55
34
55-60
32
60-65
20
65-70
2
70-75
2
a) Utworzyć z szeregu szczegółowego szeregi rozdzielcze o rozpiętości równej 5, przyjmując
za dolną granicę pierwszego przedziału wartość 160.
b) Obliczyć średni wzrost uczennic wykorzystując dane z wszystkich szeregów. Uzasadnić
przyczynę różnic w otrzymanych wartościach.
c) Który z rozkładów cechuje większe zróżnicowanie, który większa asymetria, a który
większe skupienie wartości wokół średniej?
Zadanie 15.
Skoczek narciarski A uzyskał na obiekcie o punkcie konstrukcyjnym 120 następujące wyniki
(w metrach): 117; 117,5; 117,5; 118; 118; 119; 121,5; 121,5; 122; 123. Przeciętny skok
skoczka B na tym samym obiekcie wynosił 119,7 m. , natomiast suma kwadratów długości
skoków wyniosła 143320 (m. kw.). Obaj sportowcy oddali taką samą liczbę skoków. Który z
nich skakał „równiej”?
Zadanie 16.
Analiza długości dziennych rozmów telefonicznych przyjętych do realizacji w ciągu jednego
dnia w centrali pewnej firmy dostarczyła następujących informacji: [w min]
Czas trwania rozmów
Dystrybuanta empiryczna
Poniżej
3000
0,08
3400
0,21
3800
0,26
4200
0,31
4600
0,36
5000
0,48
5400
0,89
5800
1,00
Wiedząc, że najkrótszy czas trwania dziennych rozmów wynosił 2600 min, za pomocą
klasycznych miar określić przeciętny poziom i zróżnicowanie czasu trwania dziennych
rozmów.
Zadanie 17.
Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej struktury wzrostu uczniów w dwóch klasach
na podstawie danych zawartych w poniższej tablicy (wzrost w cm):
Od
Do
Liczba uczniów w klasie B
Liczba uczniów w klasie A
158
161
3
2
161
164
5
3
164
167
8
6
167
170
15
8
170
173
6
15
173
176
3
6
Zadanie 18.
Obliczyć średnią prędkość pociągu między stacjami A i F, jeżeli na trasie są stacje B, C, D i
E. Dane podane są w tabeli.
Odcinek trasy
Odległość między stacjami [w
km]
Średnia prędkość na odcinku [w km/h]
A–B
12
40
B–C
08
60
C–D
15
50
D–E
24
60
E–F
12
30
a) Czy większą część drogi pociąg jechał z prędkością większą od przeciętnej na trasie?
Odpowiedź uzasadnić.
b) Czy dłużej pociąg jechał z prędkością większą od średniej? Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 19.
Zbadano wiek pracowników cywilnych WKU na Śląsku. Okazało się, że 25% pracowników
ma mniej niż 30 lat. Połowa jest między 30. a 40. rokiem życia. Zakładając, że rozkład jest
symetryczny podaj jak kształtuje się typowy wiek pracownika, wiedząc, że współczynnik
zmienności wynosi 20%.
Zadanie 20.
W oddziale pewnego banku największa liczba klientów instytucjonalnych zaciągnęła kredyt
w wysokości 200 tys. złotych. Połowa zaciągnęła kredyt poniżej 500 tys. zł. Określ kierunek
asymetrii.
Zadanie 21.
W oddziale stat-Banku co czwarty klient instytucjonalny zaciągnął kredyt nie większy nić 150
tys. zł. Połowa klientów zaciągnęła więcej niż 150 tys. zł. i mniej niż 600 tys. zł, a co drugi
klient więcej niż 500 tys. zł. Natomiast w oddziale math-Banku połowa zaciągnęła kredyt
wysokości 450 tys. zł. Co czwarty zaciągnął więcej niż 200 tys. zł., a trzech klientów z
czterech zaciągnęło kredyt mniejszy niż 550 tys. zł. Który z rozkładów udzielonych kredytów
cechuje silniejsza asymetria?
Zadanie 22.
Dane są rozkłady wieku dzieci w dwóch wieżowcach przedstawione w poniższych tabelach.
Wiek dzieci w
latach
Liczba dzieci w
wieżowcu A
0–4
7
4–8
13
8 – 12
15
12 i więcej
5
Wiek dzieci w
latach
Liczba dzieci w
wieżowcu B
0–3
6
3–6
7
a) Czy można porównać siłę asymetrii tych
rozkładów? Uzasadnić odpowiedź jeśli nie
6–9
9
można, a w przeciwnym przypadku podać,
9 – 12
14
który rozkład cechuje silniejsza asymetria.
b) W którym wieżowcu jest większe
12 i więcej
4
zróżnicowanie wieku dzieci? Odpowiedź
uzasadnić.
Zadanie 23.
W oddziale math-Banku najwięcej pracowników zarabia netto 1800 zł. Połowa zarabia
przynajmniej 1900 zł. Jeżeli współczynnik zmienności pensji w tym oddziale banku wynosi
10% oraz asymetria jest umiarkowana, podaj jak kształtuje się typowa pensja netto w tym
oddziale math-Banku.
Zadanie 24.
Oblicz średnią prędkość samochodu, jeśli wiadomo, że:
a) samochód jechał 30 minut z prędkością 100 km/h i 45 minut z prędkością 60 km/h.
b) samochód jechał 50 km z prędkością 100 km/h i 45 km z prędkością 60 km/h.
Jakie średnie należy zastosować i dlaczego?
Zadanie 25.
Gęstość zaludnienia w dwóch pięćdziesięciotysięcznych miastach wynosiła: w pierwszym
1500 os./km2, a w drugim: 500 os./km2. Oblicz średnią gęstość zaludnienia obu tych miast.
Zadanie 26.
W Statlandii wyprodukowano pewien materiał w trakcie kilku procesów. W pierwszym
procesie otrzymano 2 kg materii o gęstości 10 g/cm3, w drugim 3 kg materii o gęstości 20
g/cm3, a w trzecim 1 kg materii o gęstości 15 g/cm3. W ostatnim procesie zmieszano tak
otrzymaną matrię i uzyskano 6kg gotowego materiału. Jaka jest średnia gęstość otrzymanego
matriału? Jaką ma objetość uzyskany materiał?
Zadanie 27.
Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas
zmiany kształtuje się następująco:
18 15 14 13 17 19 17 21 17 17 12 18 15 16 17 17 17 17 16 14 15 16 16 12 19 20 19 12 20 18
Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielczy punktowy i rozdzielczy przedziałowy (o
interwale równym 2) i na ich podstawie określić średnia arytmetyczną, dominantę i kwartyle.
Zadanie 28.
Zbadano 50 wyrobów pewnej firmy pod względem ilości braków i otrzymano następujące
dane:
xi
0
1
2
3
4
5
ni
15
20
9
3
2
1
Jakie wyroby przeważają w badanej produkcji: o ilości braków wyższej czy niższej od
średniej?
Zadanie 29.
Płace pewnej firmy podlegają następującemu rozkładowi:
Płace w setkach zł
Liczba osób
1–3
4
3–5
10
5–7
30
7–9
40
9 – 11
10
11 – 13
6
Wokół jakiej kwoty skupiają się płace najliczniejszej grupy pracowników? Jakie osoby
przeważają: z płacą niższą, czy wyższą od średniej?
Zadanie 30.
Zbadano staż pracy w pewnym zakładzie, dane przedstawiono w tabeli:
Grupa wiekowa
Staż w latach
Liczba pracowników
Najstarsi
10 – 20
30
Średni
5 10
40
Najmłodsi
2 5
30
Przyjmuje się, że należy zwolnić 25% pracowników, jako kryterium przyjęto staż pracy i
zwalniani są pracownicy o najniższym stażu pracy. Wyznacz staż pracy, do którego należy
zwolnić pracownika.
Zadanie 31.
W pewnej prywatnej firmie wypłacono miesięczne premie uznaniowe wg następującego
klucza: 5% ogółu zatrudnionych pracowników otrzymało po 200 zł, 60% dostało po 300 zł,
25% po 400 zł i 10% po 500 zł Obliczyć średnią premię przypadającą na jednego
zatrudnionego w firmie.
Zadanie 32.
Dany jest uporządkowany zbiór wartości zmiennej X={21, 35, 49, 63, 77, 93, 100}. Które z
hipotetycznych wartości średniej należy od razu (bez liczenia) wykluczyć? Hipotetyczne
wartości średniej: 14, 15, 19, 25, 34, 54, 60, 100, 104, 105. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 33.
W firmie pracuje 25 osób. Cztery osoby zarabiają nie więcej niż 400 zł, osiem zarabia nie
więcej niż 800 zł, piętnaście otrzymuje nie więcej niż 1200 zł oraz dwadzieścia jeden dostaje
nie więcej niż 1600 zł. Pozostałe osoby stanowią ścisłe kierownictwo firmy, jednak żadna z
nich nie zarabia więcej niż 3000 zł. Jaka jest wysokość przeciętnej płacy miesięcznej w
przedsiębiorstwie?
Zadanie 34.
Zbadano rozkład średnich ocen ze statystyki na przestrzeni 10 lat na pewnym wydziale jednej
z polskich uczelni. Wyniki przedstawiono w tabeli:
Lata
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
Średnia ocena
3,1
3,2
3,2
3,5
3,4
3,4
3,0
3,2
3,3
3,3
Liczba
studentów
150
150
100
100
100
75
75
75
50
50
Jaka jest średnia ocen ze statystyki z 10 lat? Jaka jest średnia ze statystyki z ostatnich 5 lat?
Zadanie 35.
W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników „fizycznych” i 25 „umysłowych”.
Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia
wieku pracowników umysłowych wynosi 25 lat. Typowy wiek wszystkich pracowników
kształtuje się od 27 do 39 lat. Co można powiedzieć o wieku pana Heńka, który jest
pracownikiem umysłowym?
Zadanie 36.
Uzupełnić dane dotyczące wzrostu (w cm) w dwóch klasach.
Średnia
160
Typowy obszar zmienności
(157;165)
Współczynnik zmienności
Dominanta
160
Współczynnik asymetrii
-0,2
Wariancja
25
Zadanie 37.
Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod
względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij
pozostałe.
Wiek
Średnia
Staż
40
Typowy obszar zmienności
15-25
Wariancja
49
Zadanie 38.
W punkcie skupu zwierząt rzeźnych przeprowadzono badania próbne wagi cieląt. Wiadomo,
że mediana wagi cieląt wynosi 46 kg i jest umiejscowiona w przedziale [40 kg, 50 kg], do
którego należy 30 cieląt. Ponadto wiadomo, że w badanej zbiorowości jest 40 cieląt o wadze
poniżej 40 kg. Ile liczy cała zbiorowość próbna?
Zadanie 39.
Czternastoosobowa grupa studentów pisała pracę kontrolną z matematyki. Wyniki
sprawdzianu przedstawiają się następująco: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5.
Podaj średnią ocenę ze sprawdzianu ora wskaż dominantę.
Oceń stopień zróżnicowania wyników sprawdzianu.
Zadanie 40.
Wydajność pracy pewnej grupy robotników podana w sztukach wyprodukowanych podczas
zmiany kształtuje się następująco:
19
15
14
13
17
19
17
20
17
17
13
18
15
16
17
17
17
17
16
14
15
16
16
12
19
20
19
12
20
18
Z powyższych danych utworzyć szeregi rozdzielcze punktowy i przedziałowy (o interwale
równym 2) i na ich podstawie określić średnią arytmetyczną, dominantę i kwartyle. Przy
obliczaniu przeciętnych pozycyjnych wykorzystać również metodę graficzną.
Zadanie 41.
Czas rozwiązania pewnego zadania (w minutach) przez grupę 220 uczniów charakteryzuje
poniższy rozkład:
Czas rozwiązania zadania
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
Liczba uczniów
1
15
53
87
51
12
1
Wyznaczyć liczbowe granice obszaru zmienności dla typowych jednostek badanej
zbiorowości.
Zadanie 42.
Zbadano 100 małżeństw pod względem liczby dzieci (cecha X) i czasu trwania małżeństwa
(cecha Y). Wiedząc, że średnia arytmetyczna wartości kwadratów cechy Y wynosi 116 oraz
x = 2, y = 10, Sx = 1. Ocenić pod względem, której cechy badane małżeństwa są bardziej
zróżnicowane.
Zadanie 43.
W pewnym sklepie dokonano obserwacji wielkości zakupów dokonywanych przez
poszczególnych klientów. Okazało się, że każdy zakup był wyższy od 5 zł, 25% ogółu
zakupów nie przekraczało sumy 50 zł, a 75% było niższe od 150 zł, na klienta. Jednocześnie
wiadomo, że żaden zakup nie przekraczał sumy 300 zł. Wyznaczyć pozycyjny współczynnik
zmienności.
Zadanie 44.
W dwóch przedsiębiorstwach przeprowadzono badanie robotników pod względem stażu
pracy w zakładzie. Otrzymano następujące dane:
Przedsiębiorstwo I x1 = 15 lat V1 = 20%
Przedsiębiorstwo II x 2 = 10 lat V2 = 25%
Obliczyć x , S i V dla całej zbiorowości pracowników wiedząc, że liczba robotników w
przedsiębiorstwie I wynosiła 120 osób a w drugim 80 osób.
Zadanie 45.
Określ kierunek skośności (asymetrii) rozkładu zmiennej X, której obserwacje przedstawia
szereg:
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8,
8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11.
Zadanie 46.
Na podstawie poniższych danych dotyczących pensji otrzymywanych w dwóch
przedsiębiorstwach A i B oceń który rozkład cechuje silniejsza asymetria.
Pensja w j.p.
Przedsiębiorstwo A
Przedsiębiorstwo B
1-2
19
16
2-3
21
24
3-4
25
30
5-6
30
28
7-8
15
2
Zadanie 47.
Stu pracowników pewnego przedsiębiorstwa (60 mężczyzn i 40 kobiet) zbadano pod
względem wieku, otrzymując następujące informacje:
mężczyźni: x = 40 lat, D=35 lat AS = + 0,5
kobiety: x = 30 lat, D=33 lata AS = - 0,5
Obliczyć x ,S i V dla całej zbiorowości 100 pracowników.
Zadanie 48.
Dokonać analizy porównawczej rozkładu wieku studentów studiów dziennych i zaocznych
mając następujące dane:
studia dzienne D = 19 lat, x = 20 lat , V = 10%
studia wieczorowe Me = D = 25 lat, S = 2 lata
Zadanie 49.
W dwóch grupach pracowników liczących po 50 osób każda, zbadano przeciętne miesięczne
wydatki na papierosy. Otrzymano następujące dane:
grupa I: Me = 2800 zł. VQ= 24% Q1 = 1500 zł
grupa II: Q3 = 3100 zł VQ = 25% Me = 2300 zł.
Porównać dyspersję wydatków w obu grupach. Porównać siłę i kierunek asymetrii.
Zadanie 50.
Badano w zakładzie staż zatrudnionych pracowników. Całą społeczność podzielono na dwie
grupy pracowników: umysłowych i fizycznych. Pracowników umysłowych było 50 a
fizycznych 4 razy tyle, co umysłowych. Średni staż pracy pracowników umysłowych wyniósł
15 lat, a fizycznych 12. Odchylenie standardowe dla staży pracowników fizycznych wynosi 4
lata, a dla umysłowych 5 lat. Obliczyć średni staż pracy i odchylenie standardowe dla ogółu
pracowników.
Zadanie 51.
W przedsiębiorstwie A ma miejsce następujący rozkład płac:
Płace z zł
Fundusz płac w zł
590 – 650
2480
650 – 710
6800
710 – 770
11100
770 – 830
16000
830 – 890
5160
W przedsiębiorstwie B płaca przeciętna wynosi 755 zł, bezwzględne zróżnicowanie płac
wynosi ±99,50 zł. Najliczniejsza grupa pracowników ma płacę 730,50 zł. W którym
przedsiębiorstwie chciałbyś pracować w A czy B? Odpowiedź uzasadnić.
BADANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK
Zadanie 52.
W celu zbadania zależności stażu pracy od wydajności pracownika w dużym
przedsiębiorstwie wylosowano w sposób niezależny stu pracowników. Wyniki podaje tabela:
Liczba sztuk na godzinę
Staż
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
0–2
15
5
-
-
2–4
10
10
5
-
4–6
-
10
10
5
6–8
-
-
10
5
8 – 10
-
-
5
10
Wyznaczyć równanie regresji II rodzaju. Wykreślić empiryczną linie regresji I i funkcję
regresji II rodzaju.
Czy zasadne jest przyjęcie liniowej zależności między badanymi cechami.
Zadanie 53.
Przeprowadzono analizę statystyczną przedsiębiorstwa przemysłowego Statprod pod
względem stażu pracy i wieku pracowników. Na podstawie wpisanych danych uzupełnij
pozostałe.
Wiek
Średnia
Staż
40
Typowy obszar zmienności
15-25
Wariancja
49
Wiedząc, że średnia iloczynu wieku i stażu pracy wynosi 807 oblicz współczynnik korelacji
liniowej Pearsona oraz napisz równanie regresji stażu pracy do wieku
pracowników.
Zadanie 54.
Typowa płaca w pewnym przedsiębiorstwie kształtuje się między 1800 zł a 2200 zł. Typowy
miesięczny przychód firmy kształtuje się między 780 tys. zł. a 1780 tys. zł. 81% informacji o
miesięcznej pensji pracownika jest wyjaśnianych przez zmienną opisującą miesięczny
przychód firmy. Ile wynosi kowariancja między płacą w firmie, a jej przychodem?
Zadanie 55.
Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę artykułów
spożywczych ( w kg): ziemniaki A i buraki B. Otrzymano następujące wyniki:
Spożycie A
10
20
25
30
40
45
60
Spożycie B
20
25
35
30
45
50
60
a) Wyznaczyć proste regresji spożycia wymienionych artykułów metoda najmniejszych
kwadratów.
b) Obliczyć współczynnik korelacji między tymi zmiennymi.
Zadanie 56.
8 studentów rozwiązywało 2 testy ze statystyki. Wyniki testów (w punktach) kształtowały się
następująco:
Test A
20
18
18
17
15
10
10
8
Test B
15
15
14
14
14
12
12
10
Czy istnieje silna zależność między wynikami testów?
Zadanie 57.
Dana jest tablica korelacyjna stażu pracy (Y) pracowników w pewnym zakładzie oraz liczby
pobranych przez nich pożyczek (X) z kasy zapomogowo-pożyczkowej.
Liczba
pożyczek
Staż pracy w latach
0–4
4-8
8 - 12
1–2
30
3
-
3–4
4
18
12
5–6
-
1
8
a) Porównać zmienność cechy X ze zmiennością cechy Y.
b) Obliczyć współczynnik korelacji między stażem pracy pracowników a liczbą pobranych
pożyczek.
c) Wyznaczyć empiryczne linie regresji i przedstawić je na wykresie.
d) Wyznaczyć parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i ocenić
dokładność dopasowania danych do linii regresji.
Zadanie 58.
Związek korelacyjny dwóch zmiennych określają następujące wielkości:
rxy = 0,8 exy2 = 0,82 S2(x) = 81 S2 ( j) = 60
Czy korelacja miedzy zmiennymi ma charakter prostoliniowy czy krzywoliniowy?
Zadanie 59.
W fabryce zbadano, jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu
nieprzerwanej pracy
Czas pracy w godz.
1
2
3
4
5
6
7
Wydajność w szt./godz.
20
22
20
18
15
13
12
a) Określić rodzaj zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i obliczyć
współczynnik korelacji.
b) Oszacować, ile sztuk na godziną może przeciętnie wyprodukować robotnik pracujący
nieprzerwanie osiem godzin.
Zadanie 60.
Dana jest tablica korelacyjna:
Wzrost ucznia [cm]
Waga ucznia
[kg]
140 – 150
150 – 160
160 – 170
170 i więcej
40 – 45
18
-
-
-
45 – 50
30
6
-
-
50 – 55
15
18
3
-
55 – 60
1
7
4
1
60 i więcej
-
-
1
2
a) Jaka jest średnia waga, a jaki średni wzrost uczniów? Wyznaczyć równanie regresji II
rodzaju.
b) Czy zasadne jest przyjęcie liniowego modelu regresji? Wykreślić linię regresji I rodzaju.
Zadanie 61.
W fabryce zbadano jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu
nieprzerwanej pracy.
Czas pracy [h]
Wydajność [szt/h]
1
2
3
4
5
6
7
19 22 19 17 15 13 14
a) określ rodzaj badanej zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i oblicz
współczynnik korelacji
b) jakiej wydajności należy oczekiwać od pracownika pracującego nieprzerwanie 9 godzin?
w jakim stopniu wydajność pracownika zależy od czasu nieprzerwanej pracy a w jakim od
innych czynników?
Zadanie 62.
Przeprowadzono w wybranej grupie studenckiej badania statystyczne dotyczące wyniku
egzaminu końcowego ze statystyki (Y- w punktach), ilorazu inteligencji (X- w jednostkach
IQ) i liczby godzin poświęconych na naukę przedmiotu (Z- w godzinach). Uzyskane dane
przedstawia tablica
Y
83
77
95
49
63
80
91
79
36
58
93
84
X 112 115 129 103 117 115 124 113 106 114 136 127
Z
9
6
14
4
8
12
10
9
5
7
8
3
a) ustal, które z cech wykazują największą wewnętrzną zmienność
b) oblicz współczynniki korelacji liniowej Pearsona między cechami X i Y, X i Z oraz Y i Z
zbadaj współzależność cech za pomocą współczynnika Spearmana
Zadanie 63.
Zbadano wykształcenie małżonków w 9 rodzinach. Otrzymano następujące wyniki (Wwykształcenie wyższe, S-średnie, N- niższe)
Żona
W
W
Ś
Ś
W
Ś
Ś
Ś
W
Mąż
Ś
W
Ś
Ś
Ś
Ś
W
Ś
W
Jak silna jest zależność między poziomem wykształcenia męża i żony?
Zadanie 64.
Porównaj współczynnik korelacji wyznaczony wg miary Pearsona ze współczynnikiem
korelacji Spearmana dla następujących danych:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
9
10
7
8
6
1
2
5
4
3
Zadanie 65.
Jeżeli współczynnik determinacji liczby łóżek i liczby pokoi w 22 hotelach warszawskich
wyniósł 94,5%, to na jakim poziomie oszacowano współczynnik korelacji tych zmiennych?
Zadanie 66.
Badając zależność korelacyjną pomiędzy liczbą godzin spędzonych na oglądaniu kreskówek
(X) i liczbą godzin poświęconą na oglądanie „Wiadomości” (Y) Bolek i Lolek stwierdzili, że
cov(x,y)=-2, Sx=1, y =4, Sy=1. Tola przyjaciółka chłopców jest zdania, że popełnili oni błąd.
Kto ma rację i dlaczego?
Zadanie 67.
Producent napojów chłodzących zgromadził dane o ilości zamówień (tys. l] i średniej
temperaturze dobowej (w oC) w ciągu 10 wybranych dni. Wyniki przedstawia tabelka
Średnie temperatury dobowe
18
24
29
20
35
18 14
27
30
22
Wielkość zamówienia
50
93
119
60
160
52 35
105
120
71
a) czy istnieje zależność między ilością zamówień i temperaturą dobową. Jeśli tak jaka jest jej
siła i kierunek?
b) zbudować odpowiedni model regresji liniowej i ocenić poziom jego dopasowania do
danych
c) określić w jakim stopniu ilość zamówienia zależy od temperatury
w jakim stopniu wzrośnie ilość zamówień, gdy temperatura wzrośnie o 1 oC?
Zadanie 68.
Wyznacz reszty równania x*=-2y+8. Czy może to być równanie oszacowane KMNK?
xi
1
3
5
7
9
12
yj
5
4
3
4
2
1
Zadanie 69.
Zbadano zależność między ilością reklam pewnego wyrobu emitowanych dziennie w TV (X),
a wysokością obrotu [10 tys. zł] ze sprzedaży rozważanego wyrobu (Y). Dane przedstawia
poniższa tablica
X\Y
10-14 14-18 18-22 22-26
0-4
8
4-8
4
8
6
8-12
8
5
4
12-16
4
4
3
a) wyznacz rachunkowo i graficznie funkcje regresji I-go rodzaju dla obu zmiennych
b) oceń siłę związków korelacyjnych między zmiennymi i zinterpretuj otrzymane wyniki
Zadanie 70.
Tablica przedstawia średnie dzienne wydatki [zł]na słodycze i inne przekąski 80 dzieci w
wieku od 11 do 16 lat.
Wiek\wydatki
0-4
4-8
10-12
34
3
12-14
4
18
12
1
8
14-16
8-12
a) oblicz współczynnik korelacji pomiędzy zbadanymi wielkościami
b) wyznacz parametry regresji liniowej stażu pracy względem liczby pożyczek i oceń
dokładność dopasowania danych do linii regresji
Zadanie 71.
Analiza spożycia artykułu C zależnie od dochodu w losowej próbie gospodarstw domowych
dostarczyła następujących informacji:
– średnie spożycie artykułu C na jedną osobę wynosi 2,5 [kg]
– średni miesięczny dochód na 1 osobę wynosi 540 [tys. zł]
– współczynnik zmienności dochodu wynosi 15%, a spożycia 20%
– poziom kowariancji równa się 27
a) wypowiedzieć się na temat siły i kierunku zależności
b) oszacować parametry funkcji regresji spożycia względem wielkości dochodów
c) obliczyć poziom spożycia dla rodzin o dochodach średnich wynoszących 600[tys. zł]
d) czy wysokość dochodu wpływa na poziom spożycia silniej niż inne czynniki?
Zadanie 72.
W badaniu zależności między wielkością opłat za zużycie energii elektrycznej (Y) a
wielkością gospodarstw domowych (X) dla 80 wylosowanych wynika, ze cov(x,y)=32, x =4
[osoby], Sx=0,8, y =300 [zł], Sy=150 [zł].
a) oszacować parametry liniowej funkcji regresji wysokości opłat za zużycie energii
elektryczne j względem wielkości gospodarstw domowych.
b) jaka jest siła tej zależności?
Zadanie 73.
W pewnym zakładzie pracy przeprowadzono badanie zależności między stażem pracy (X) i
odsetkiem braków w produkcji (Y) wykonywanej przez 135 robotników i otrzymano
następujące wyniki:
x =8 [lat], y =10
Vx=30%, Vy=25%
Współczynnik regresji odsetka braków względem stażu pracy wynosi -0,62
Co można powiedzieć o kierunku i sile korelacji między tymi zmiennymi
Zadanie 74.
Właściciel zakładu badał zależność między płacą (X), a liczbą braków (Y). W styczniu na
podstawie losowo wybranej próby 20 pracowników, u których zaobserwowano liczbę
elementów wadliwych od 20 do 60 i zarobki od 1,5 [mln. zł] do 4,2 [mln. zł] wyznaczono
równania regresji:
y=-12,79x-62,19 i x=-0,059y+4,28
a) wykreślić przedstawione linie regresji
b) obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji oraz określić jakiego poziomu braków
można się spodziewać u pracowników mających wynagrodzenie na poziomie 5 [mln. zł]
c) w jakim stopniu liczba braków jest zależna od wysokości wynagrodzenia?
d) jak zmieni się wynagrodzenia jeśli liczba braków wzrośnie o 1
e) jak zmieni się liczba braków, gdy wynagrodzenia wzrosną o 1 [mln. zł]
Zadanie 75.
Liczba dzieci (X) oraz wysokość wydatków [w 100 zł] (Y) dla 20 wybranych rodzin
kształtowały się następująco:
X\Y
100-300
300-700
0
1
1
1
2
2
3
700-1100
2
5
4
1100-1900
3
2
a) Na podstawie diagramu korelacyjnego dokonaj wzrokowej oceny charakteru zależności X i
Y.
b) Zbadaj siłę zależności krzywoliniowej zmiennych
Zadanie 76.
Dwa zakłady produkują identyczny wyrób. Modele kosztów miesięcznych są następujące (Xwielkość produkcji [tys. sztuk], Y- koszty [tys. zł])
I: y=0,4x+15,5
II: y=0,58x+15,5
Który z tych zakładów produkuje oszczędniej? Uzasadnij odpowiedź.
Zadanie 77.
W zakładach odzieżowych przeprowadzono badania w celu ustalenia zależności między
długością serii produkcji [tys. sztuk] (X), a jednostkowym kosztem produkcji wyrobu [tys. zł]
(Y). W rezultacie otrzymano następujące równania regresji: x=-0,003y+1,7, y=-270x+5160
a) podać interpretację współczynników regresji a1, b1
b) co można powiedzieć o kierunku i sile zależności pomiędzy tymi cechami?
c) jaki jest teoretyczny poziom kosztu jednostkowego przy długości serii 10 [tys. sztuk]
d) jak zmieni się koszt jednostkowy jeśli długość serii wydłużymy o 1 [tys. sztuk]
Zadanie 78.
Mamy dane : a1=1,6, Sx=6, Sy=10. Oblicz współczynnik determinacji.
Zadanie 79.
Które z poniższych wyników są niewiarygodne i dlaczego?
a1=-0,2, rxy=0,8
a1=0,75, b1=2,5
rxy=-0,75, b1=-0,23
Zadanie 80.
Dla pewnej grupy gospodarstw domowych zbadano roczne spożycie na osobę maki i
tłuszczów [kg]. Otrzymano następujące wyniki:
Spożycie mąki [kg]
10
20
25
30
40
45
60
Spożycie tłuszczów [kg]
20
25
35
30
45
50
60
a) wyznacz proste regresji spożycia wymienionych artykułów metodą najmniejszych
kwadratów
b) oblicz współczynnik korelacji między tymi zmiennymi
Zadanie 81.
Dane są zmienne: X- koszt produkcji detalu [tys. zł], Y- liczba produkowanych detali [tys.
sztuk]. Wiadomo, że : x =10, Sx=3, y =12, Vy=30%, a1=720 [sztuk/tys. zł]
a) ustalić siłę i kierunek współzależności cech
b) oszacować koszt przy produkcji 10 [tys. sztuk]
c) jak dużej produkcji należy się spodziewać przy założonym koszcie produkcji 12 [tys.
sztuk]?
d) określić poziom niedopasowania zmiennych
Zadanie 82.
Na podstawie przeprowadzonych badań dotyczących absencji chorobowej pracowników i ich
wieku wiadomo, że: rxy=0,53, Sx=15 [lat], cov(x,y)=12,24, Sy2=12,24. czy przedstawiona
sytuacja jest możliwa?
Zadanie 83.
Badając zależność pomiędzy powierzchnią użytkową mieszkania [m2] a liczbą osób w
gospodarstwie rodzinnym dla losowo wybranej grupy 15 mieszkań otrzymano następujące
rezultaty:
- średnia liczba osób 3,6; odchylenie standardowe liczby osób 1,4
- średnia powierzchnia 50,7 [m2]; odchylenie standardowe powierzchni 10,6 [m2]
- kowariancja powierzchni i liczby osób wynosi 1,21.
Gospodarstwo rodzinne pana Kowalskiego liczy 4 osoby i zajmuje powierzchnię 52,3 [m2].
Czy pan Kowalski może być zadowolony ze swojego mieszkania w stosunku do badanej
grupy?
Zadanie 84.
Radzieccy uczeni stwierdzili, że równanie regresji opisujące zależność pomiędzy liczbą
kupionych karpi (X), a liczbą otrzymanych prezentów (Y) wygląda następująco: y=-2x+10
(dla odpowiednich dodatnich wartości Y). Pozostałe parametry: cov(x,y)=2, x =2, y =6.
Święty Mikołaj nie zgadza się z tymi wyliczeniami. Kto ma rację i dlaczego?
Zadanie 85.
Dla poniższych danych wyznacz linie regresji I-go i II-go rodzaju
X\Y
2
1
10
2
5
3
4
5
20
5
10
Zadanie 86.
W wyniku pewnego badania statystycznego otrzymano następujące wyniki rxy=0,25,
cov(x,y)=15, Sx=10, a wariancja wewnątrzgrupowa zmiennej X wyniosła 33,75. Oblicz exy.
Co można powiedzieć o otrzymanych wynikach?
Zadanie 87.
W wyniku pewnego doświadczenia otrzymano następujące obserwacje zmiennych X i Y.
X\Y
0
2
0
0,15
0,4
2
0,25
0,2
Określić zależność korelacyjną pomiędzy tymi zmiennymi.
Zadanie 88.
Zbadaj niezależność zmiennych X i Y jeśli ich rozkłady są następujące:
X\Y
<1;3)
<3;5)
1
0,2
0,1
2
0,1
0,3
<5;7)
<7;10)
0,1
3
0,2
BADANIE DYNAMIKI ZJAWISK
Zadanie 89.
Przeciętne zatrudnienie w pewnym przedsiębiorstwie w ostatnich czterech latach
przedstawiało się się następująco:
Kolejne lata
1
2
3
4
Przeciętne zatrudnienie
12153
11375
10405
9575
a) Obliczyć przyrosty absolutne i względne: jednopodstawowe (dla t=1) i łańcuchowe
b) Dokonać zamiany przyrostów na indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe
c) Ocenić dynamikę zatrudnienia i ustalić przeciętne tempo zmian zatrudnienia w badanym
okresie
d) Obliczyć wielkość zatrudnienia w bieżącym roku (t=5) wiedząc, że indeks dynamiki
zatrudnienia w bieżącym roku wyniósł 75%
Zadanie 90.
Indeksy dynamiki produkcji (jednopodstawowe) w kolejnych kwartałach ubiegłego roku
przedstawiały się następująco: (pierwszy kwartał = 100): 100%, 116%, 102%, 119%. O ile
procent wzrosła produkcja w IV kwartale w stosunku do III, a o ile procent w stosunku do II?
Zadanie 91.
Dynamika dostaw odtwarzaczy mp3 do sklepów w pewnym mieście w ostatnich latach
mierzona indeksami jednopodstawowymi kształtowała się następująco: 100%, 104%, 117%,
135%, 156%, 174%. Obliczyć indeksy łańcuchowe dostaw oraz wyznaczyć średnie roczne
tempo wzrostu sprzedaży odtwarzaczy mp3 w badanym okresie.
Zadanie 92.
W jednym z punktów gastronomicznych objętych badaniem utarg w grudniu ubiegłego roku
stanowił 220% utargu z grudnia roku poprzedniego, przy czym indeks mierzący zmiany w
strukturze ilości sprzedawanych tam artykułów wyniósł 130%.O ile procent zmienił się utarg
z tytułu zmian cen?
Zadanie 93.
Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyresa wyniósł 90%, indeks cen zaś według
formuły Paaschego 130%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w badanym okresie.
Zadanie 94.
W fabryce opon samochodowych indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 180%, a
indeks wartości wynosił 90%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki.
Zadanie 95.
Średnie roczne tempo wzrostu produkcji odtwarzaczy mp3 w pewnym zakładzie w ostatnich
3 latach wynosiło 4%. Wyznaczyć wielkość produkcji odtwarzaczy w kolejnym roku, jeżeli
wiadomo, że w drugim roku zakład produkował 10000 odtwarzaczy.
Zadanie 96.
Przedsiębiorstwo produkujące meble kuchenne, na podstawie oceny własnych możliwości
(zmiany cen surowców i energii) i badań marketingowych (oceny możliwości popytowych
nabywców), zaplanowało zmiany w strukturze produkcji i cen. Strukturę i asortyment
produkowanych mebli oraz prognozy przedstawia tabela:
Okres podstawowy
Okres prognozowany
Asortyment
Liczba sztuk
Cena jedn. (w zł)
Liczba sztuk
Cena jedn. (w zł)
Stoły okrągłe
800
1200
500
1600
Stoły
prostokątne
500
870
1200
900
Krzesła typu A
2000
440
1000
600
Krzesła typu B
1000
690
1000
720
Krzesła typu C
300
240
500
300
a) Wykorzystując agregatowe indeksy wartości cen i ilości dokonać oceny proponowanych
zmian.
b) Wyznaczyć średnie ceny jednostkowe krzesła i stołu w okresach: badanym i
prognozowanym.
c) Wyznaczyć dynamikę cen przeciętnych.
d) Podać interpretację wszystkich wyznaczonych indeksów.
Zadanie 97.
Spożycie chleba w ostatnich 5 latach (1997-2002) w miejscowości A kształtowało się
następująco: 200, 220, 190, 215, 240 ton w miejscowości B relacja zmian z roku na rok
kształtowała się: 1.2, 1.5, 0.9, 1.1. W miejscowości C relacja zmian w porównaniu z rokiem
1997 kształtowała się: 1.1, 1.8, 0.9, 1.3. Oblicz i porównaj średnie tempo zmian w
poszczególnych miastach.
Zadanie 98.
Agregatowy indeks dynamiki ilości formuły Laspeyersa wyniósł 90%, indeks cen zaś według
formuły Paaschego 130%. Ocenić zmiany wartości sprzedaży artykułów w dwóch badanych
okresach.
Zadanie 99.
Tabela przedstawia ceny oraz wielkości produkcji towarów A i B w latach 2000 i 2002.
Ustalić dynamikę wzrostu łącznej wartości wyrobów A i B.
Wyrób
Produkcja
Ceny
2000
2002
2000
2002
A
10
20
5
1
B
12
24
5
0,5
Zadanie 100.
Pewna spółka składa 3 rodzaje komputerów A, B , C, tabela przedstawia wielkość produkcji
poszczególnych komputerów w tys. szt. oraz koszty jednostkowe produkcji w PLN. Jak
zmieniły się koszty produkowanych komputerów w porównywanych okresach? Jaki wpływ
na zmianę miała dynamika kosztów, a jaki dynamika ilości produkowanych komputerów?
Wyrób
Produkcja
Koszty
2001
2002
2001
2002
A
0.8
1.2
24
29
B
1.0
1.4
18
29
C
1.5
1.3
30
35
Zadanie 101.
W fabryce obuwia indeks cen według konstrukcji Paaschego wynosił 190%, a indeks wartości
wynosił 80%. Ocenić dynamikę zmian ilościowych w produkcji tej fabryki.
Zadanie 102.
Dwa zakłady obuwnicze Z1 i Z2 produkują te same asortymenty obuwia. Zakłady dokonały
zmian ilościowych w wielkości produkcji poszczególnych asortymentów obuwia w roku 2002
w stosunku do roku poprzedniego. Zmiany te przedstawione zostały w tabeli.
Asortyment
obuwia
Wartość produkcji rocznej w tys. PLN
Zakład Z1
Zakład Z2
2001
2002
2001
2002
I
100
400
50
100
II
200
100
100
50
III
400
300
200
300
IV
300
250
150
100
Który z zakładów dokonał głębszych zmian w strukturze asortymentowej swojej produkcji?
Zadanie 103.
Dysponujemy informacjami o wielkościach sprzedaży badanej firmy w 2001 i 2002 roku.
Wartość obrotów w tys. Zł
2001 r.
2002 r.
Zmiana ilości sprzedaży w roku 2002 w
stosunku do 2001
A
220
250
Wzrost o 15%
B
200
100
Bez zmian
C
180
50
Spadek o 10%
Artykuł
Dokonać analizy agregatowej wartości obrotów, cen badanych artykułów i ilości sprzedaży.
ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁADY
Zadanie 104.
 1
0≤ y<2
 4y
 x
0≤ x<1
 1
1
1
1
f(x)=  x−
3≤ x≤a
f( y)=  y−
2≤ x≤b
9
3
4
2


poza tym
poza tym
 0
 0

a) Znaleźć wartości a i b tak, aby funkcje f(x) oraz f(y) były funkcjami gęstości
prawdopodobieństwa zmiennych losowych x i y.
b) Który rozkład cechuje silniejsza asymetria?
Zadanie 105.
W urnie znajduje się 100 losów, a wśród nich jedna wygrana za 250 zł, dwie po 150 zł, dwie
po 100 zł, pięć po 50 zł oraz dziesięć po 20 złotych. Zmienną losową X jest wartość
wygranej.
a) Zapisać rozkład zmiennej losowej X,
b) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
c) znaleźć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej X,
d) określić stopień zmienności tej zmiennej,
e) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie 106.
Dany jest rozkład zmiennej losowej X:
X=xi
-2
-1
0
4
6
P(X=xi)
1
9
2
9
1
3
5
18
1
18
a) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X,
b) znaleźć wartość wariancji oraz odchylenia standardowego zmiennej losowej X,
c) znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zadanie 107.
Uzupełnij dane wiedząc, że E(X) = 0
X=xi
-5
-2
0
P(X=xi)
1
5
1
2
1
5
Zadanie 108.
Na podstawie danych z poprzedniego zadania oblicz wariancję i odchylenie standardowe
zmiennej losowej X.
Zadanie 109.
Na podstawie poniższych danych znaleźć rozkład zmiennej losowej Y=X2
X=xi
-2
-1
0
1
2
P(X=xi)
1
9
2
9
1
3
5
18
1
18
Zadanie 110.
Na podstawie danych z poprzedniego zadania znaleźć rozkład zmiennej losowej: U=
1
X2 − 2
X
Zadanie 111.
Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest postaci:
 0
x≤0
1 3
F ( x) =  x 0 < x ≤ 3 ,
 27
x>3
 1
a) znaleźć funkcję gęstości zmiennej losowej X,
2
1
b) obliczyć prawdopodobieństwo P < x <  .
3
3
Zadanie 112.
Obliczyć wartości parametrów: E(X) oraz D2(X) dla funkcji gęstości otrzymanej w
poprzednim zadaniu.
Zadanie 113.
Masa ciała w populacji studentów Politechniki Śląskiej ma rozkład normalny N(75, 12).
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowo napotkanego studenta należy
do przedziału:
a) (60; 65),
b) (78; 85),
c) (74; 76),
d) (108; 120).
Zadanie 114.
Masa jabłek w pewnym sadzie ma rozkład normalny N(150, 25). Obliczyć
prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150.
Zadanie 115.
Zmienna losowa X ma w populacji rozkład N(m,30). Znajdź m wiedząc, ze P(X<80)=0,6915
Zadanie 116.
Jaki procent produkcji zakładów obuwniczych powinno stanowić obuwie o rozmiarach od
27do 33, jeżeli wiadomo, ze długość stopy u dorosłego człowieka jest zmienną losową o
rozkładzie N(29,3).
Zadanie 117.
Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
xi
-3
-2
0
1
3
5
pi
0,1
0,2
0,1
C
0,3
0,1
Wyznaczyć:
a) stałą c
b) wykres funkcji prawdopodobieństwa i jej histogram
c) dystrybuantę i jej wykres
d) prawdopodobieństwa: P(x=3), P(x=5), P(-2≤x≤1) dwoma sposobami: z funkcji
prawdopodobieństwa oraz z dystrybuanty
e) podane prawdopodobieństwa zilustrować na wykresie
Zadanie 118.
1
 x dla 0 ≤ x ≤ c
Niech zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: f ( x ) =  4
 0
poza tym
Wyznaczyć:
a) stałą c,
b) wartość oczekiwaną,
c) medianę
d) modę.
Zadanie 119.
6 x( 1 − x ) dla 0 ≤ x ≤ 1
Zmienna losowa ma rozkład o gęstości: f ( x ) = 
0
poza tym

a) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X ,
b) zmiennej Y=2X-1
c) zmiennej Y=2X-1.
Zadanie 120.
 x
0≤ x≤k
 k2
 x − k
Znaleźć taką liczbę a, aby funkcja: f ( x ) =  2
k<x≤a
 k
poza tym
 0

była funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej x.
Zadanie 121.
Pociągi kolejki miejskiej odjeżdżają ze stacji co 6 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na stację jest jednostajny, obliczyć oczekiwaną wartość czasu oczekiwania
na pociąg oraz wariancję czasu oczekiwania na pociąg.
Zadanie 122.
Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer
będzie czekał co najmniej 2 minuty.
Zadanie 123.
Z pewnego przystanku trolejbusy odjeżdżają co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu
przybycia pasażera na przystanek jest wykładniczy z wartością oczekiwaną wynoszącą 2,5
minuty, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 2 minuty.
Zadanie 124.
Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia energetycznego ma rozkład wykładniczy o
wartości oczekiwanej 100 godzin. Obliczyć:
a) medianę,
b) prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy urządzenia wynosi co najmniej 100
godzin.
Zadanie 125.
Czas obsługi pojedynczego klienta przez kasjerkę pewnego hipermarketu ma rozkład
wykładniczy. Ustalono, że obsługa jednego klienta trwa średnio przez 3 minuty. Wyznaczyć
prawdopodobieństwo, że klient zostanie obsłużony krócej niż w 4 minuty.
Zadanie 126.
Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną
losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale <20;40> minut.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut,
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i
nie krócej niż 25 min.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?
d) Jakie będą dane prawdopodobieństwa, gdy czas mycia będzie zmienną losową o rozkładzie
normalnym z wartości oczekiwaną i odchyleniem standardowym takimi samymi jak przy
rozkładzie jednostajnym?
Zadanie 127.
Czas mycia samochodu w myjni samochodowej na pewnej stacji benzynowej jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym +(30 minut, 10 minut).
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu potrwa krócej niż 25 minut,
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mycie samochodu będzie trwało nie dłużej niż 30 min i
nie krócej niż 25 min.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że mycie potrwa dłużej niż 35 minut?
d) Jak zmienią się odpowiednie prawdopodobieństwa, gdy czas mycia samochodu będzie
zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale < m − 3σ ; m + 3σ > , gdzie m oraz σ
są parametrami rozpatrywanego w zadaniu rozkładu normalnego?