Statystyka – zadania 3

Statystyka – zadania 4
Janusz Górczyński
1
Zadanie 1
Rozkład prawdopodobieństw ocen egzaminacyjnych ze
statystyki w grupie studentów studiów dziennych i zaocznych
można przedstawić w postaci takiej tabelki:
Dzienne
Zaoczne
2
0,06
0,11
3
0,12
0,14
3,5
0,15
0,12
4
0,09
0,07
4,5
0,05
0,03
5
0,03
0,03
Przyjmując umownie, że rodzaj studiów jest zmienną losową X
o wartościach odpowiednio 1 (dzienne) i 2 (zaoczne), a oceny
reprezentują zmienną losową Y otrzymujemy f.r.p
dwuwymiarowej zmiennej losowej.
2
Zadanie 1 - cd
Funkcję rozkładu p-stwa tak zdefiniowanej dwuwymiarowej
zmiennej losowej XY (gdzie wartości zmiennej Y są
„naturalne”, a zmiennej X „sztuczne”) można przedstawić w
poniższej tabelce.
X\Y
x=1
x=2
p.j
2
0,06
0,11
0,17
3 3,5
4
0,12 0,15 0,09
0,14 0,12 0,07
0,26 0,27 0,16
4,5
0,05
0,03
0,08
5
0,03
0,03
0,06
pi.
0,50
0,50
1
W tabelce tej podano także rozkłady brzegowe obu
zmiennych losowych.
3
Zadanie 1 – co chcemy wiedzieć?
Interesują nas odpowiedzi na następujące pytania:
Jaki jest rozkład ocen dla ogółu studentów?
Jakie są charakterystyki tego rozkładu (średnia,
wariancja, odchylenie standardowe, dominanta itd).
Czy rozkład ocen w obu grupach studenckich jest taki
sam?
Jeżeli nie, to jaka jest przeciętna ocena w obu grupach
studenckich?
4
Zadanie 1 – rozkład dla ogółu studentów
Interesuje nas rozkład zmiennej Y niezależnie od tego, jakie
wartości przyjmuje zmienna X.
X\Y
x=1
x=2
p.j
2
0,06
0,11
0,17
3 3,5
4
0,12 0,15 0,09
0,14 0,12 0,07
0,26 0,27 0,16
4,5
0,05
0,03
0,08
5
0,03
0,03
0,06
pi.
0,50
0,50
1
Zielony prostokąt „przykrył” niepotrzebne w tym momencie pstwa pozostawiając tylko p-stwa brzegowe zmiennej Y.
Korzystając ze znanych wzorów wyznaczamy potrzebne
charakterystyki.
5
Zadanie 1 – rozkład dla ogółu studentów
X\Y
x=1
x=2
p.j
2
0,06
0,11
0,17
3 3,5
4
0,12 0,15 0,09
0,14 0,12 0,07
0,26 0,27 0,16
4,5
0,05
0,03
0,08
5
0,03
0,03
0,06
pi.
0,50
0,50
1
m01  EY  2  0,17  3  0,26  ...  5  0,06  3,365
m02  EX  2  0,17  ...  5  0,06  12,008
2
2
2
02  D Y  EY  EX  12,008  3,365  0,6843
2
2
2
2
DY  0,6843  0,8272
6
Zadanie 1 – rozkład dla ogółu studentów
Wyznaczoną wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y można
zinterpretować następująco:
przeciętna (średnia) ocena egzaminacyjna ze statystyki dla
ogółu studentów to 3,365.
Przeciętne zróżnicowanie ocen (wokół wartości średniej)
jest równe 0,8272.
Dominującą oceną egzaminacyjną jest 3,5
7
Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?
Rozkład ocen będzie taki sam w obu grupach studenckich
wtedy, jeżeli zmienne losowe będą niezależne. Musimy
więc sprawdzić, czy rzeczywiście nasze zmienne są
niezależne. Jedna z metod to wyznaczenie kowariancji,
jeżeli zmienne są niezależne, to CXY jest równa 0.
Jeżeli CXY będzie różne od zera, to będziemy mogli
wyznaczyć jeszcze miarę siły związku między obu
zmiennymi, czyli wsp. korelacji.
Z kolei w sytuacji, gdy CXY będzie równe zero, to dalsze
pytania nie mają już sensu (rozkład ocen w obu grupach
jest dokładnie taki sam!).
8
Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?
Wyznaczenie CXY wymaga wcześniejszego wyznaczenia
innych potrzebnych charakterystyk. Wcześniej już
wyznaczyliśmy EY=3,365 oraz D2Y=0,6843. Musimy
jeszcze wyznaczyć EX, D2X, EXY.
X\Y
x=1
x=2
p.j
2
0,06
0,11
0,17
3 3,5
4
0,12 0,15 0,09
0,14 0,12 0,07
0,26 0,27 0,16
EX  1 0,5  2  0,5  1,5
4,5
0,05
0,03
0,08
5
0,03
0,03
0,06
pi.
0,50
0,50
1
EX 2  120,5  220,5  2,5
D 2 X  2,5  1,52  0,25
9
Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?
Obliczenie EXY wymaga wykorzystania f.r.p.
dwuwymiarowej zmiennej losowej:
X\Y
x=1
x=2
p.j
2
0,06
0,11
0,17
3 3,5
4
0,12 0,15 0,09
0,14 0,12 0,07
0,26 0,27 0,16
4,5
0,05
0,03
0,08
5
0,03
0,03
0,06
pi.
0,50
0,50
1
EXY  1 2  0,06  1 3  0,12  ...  2  5  0,03  4,99
Możemy już obliczyć CXY:
CXY  4,99  1,5  3,365   0,0575
10
Zadanie 1 – czy taki sam rozkład?
Jak widzimy CXY=-0,0575 jest różne od zera, tym
samy zmienne losowe są zależne.
W praktyce oznacza to tyle, że rozkłady ocen w obu
grupach studenckich są inne, tym samym mogą być też
inne ich charakterystyki.
Wyznaczymy jeszcze miarę siły związku między
zmiennymi:
 0,0575
 0,0575


 0,139
0,4136
0,25  0,6843
11
Zadanie 1 – rozkłady warunkowe
Wiemy już, że rozkłady ocen są różne, wyznaczymy
więc warunkowe funkcje rozkładu p-stwa zmiennej
losowej Y przy założeniu, że X=xi
X\Y
Y/x=1
Y/x=2
2
0,12
0,22
3 3,5
4
0,24 0,3 0,18
0,28 0,24 0,14
4,5
0,1
0,06
5
0,06
0,06
1,00
1,00
Łatwo zauważyć, że rozkłady te różnią się np. dominantą, która
w grupie studentów dziennych (X=1) jest równa 3,5 , a w
grupie studentów zaocznych (X=2) odpowiednio 3.
12
Zadanie 1 – rozkłady warunkowe
A tak wyglądają wykresy obu warunkowych f.r.p
0,35
0,30
Y/x=1
0,25
Y/x=2
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
2
3
3,5
4
4,5
5
13
Zadanie 1 – funkcja regresji I rodzaju
Wiemy już, że rozkłady ocen są różne, mamy wyznaczone
warunkowe funkcje rozkładu p-stwa, możemy więc dla
każdej z nich wyznaczyć wartość oczekiwaną.
X\Y
Y/x=1
Y/x=2
2
0,12
0,22
3 3,5
4
0,24 0,3 0,18
0,28 0,24 0,14
4,5
0,1
0,06
5
0,06
0,06
1,00
1,00
E (Y / X  1)  2  0,12  ...  5  0,06  3,48
E (Y / X  2)  2  0,22  ...  5  0,06  3,25
14
Zadanie 1 – funkcja regresji I rodzaju
Wyznaczoną funkcję regresji I rodzaju można
przedstawić graficznie:
E(Y/X=xi)
3,50
3,45
3,40
3,35
3,30
3,25
3,20
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
15
Zadanie 1 – funkcja regresji I rodzaju
Wyznaczoną funkcję regresji I rodzaju można także zapisać
w postaci wzoru:
3,48 dla
m( x )  
3,25 dla
x 1
x2
a wyznaczonym warunkowym wartościom
oczekiwanym nadać interpretację:
W grupie studentów dziennych średnia ocena
egzaminacyjna jest równa 3,48
W grupie studentów zaocznych średnia ocena jest równa
3,25
16