Siły centralne

Ruch w polu centralnym
Siły centralne – siłę nazywamy centralną, gdy wszystkie kierunki
Jej działania przecinają się w jednym punkcie – centrum siły
 

F ( r )  f (r ) r
C
a) Siły kulombowskie f (r )  r 21
Pole centralne:
b). Siły sprężystości f (r)  C r
r
C e (  1)
c). Siły jądrowe f (r) 
R
; R  promien jadra atomu
r
d). Siły grawitacji: Fk/Fg~1042
Grawitacja. Prawo powszechnego ciążenia (Newton 1687)– ciała
obdarzone masą przyciągają się wzajemnie z siłą proporcjonalną do
iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości, r
2
r

R
3
2
m m
mm 
F  G 1 2 2  G 1 3 2 r ; G  6,67  10 11[ Nm 2 kg 2 ]
r
r
mM
v2
2r
4 2 r 3
G 2 m ; v
; M
r
r
T
GT 2
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
1
Prawo powszechnego ciążenia.
Pole grawitacyjne. Natężenie pola.
Każde dwa ciała przyciągają się wzajemnie, a siły działające między nimi są siłami
powszechnego ciążenia lub siłami grawitacji. Siły wzajemnego przyciągania punktów
materialnych są skierowane wzdłuż łączącej je prostej. Jeśli wszystkie planety
przyciągają się wzajemnie, to ruchem każdej z nich rządzi nie tylko siła przyciągania
przez Słońce, ale wypadkowa wszystkich sił grawitacji od Słońca i innych planet. Siły
te ulegają ciągłym zmianom – planety oddalają się i przybliżają. Masa Słońca 741 razy
cięższa od masy wszystkich planet, odległości między planetami porównywalne z ich
odległościami od Słońca – środek masy Układu Słonecznego leży wewnątrz Słońca;
można zaniedbać oddziaływania miedzy planetami i ich wpływ na ruch Słońca. Prawa
Keplera wynikają z prawa powszechnego ciążenia. Pierwsze Fg~1/r2, drugie Fg siłą
centralną.
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
2
Pole grawitacyjne. Natężenie pola.
Pole grawitacyjne powstaje w przestrzeni otaczającej masę. Wektor natężenia pola grawitacyjnego jest w każdym punkcie przestrzeni zdefiniowany jako stosunek siły działającej na umieszczony tam punkt materialny, do masy tego punktu: g=F/m=-GM/r2(r/r); g=g na powierzchni Ziemi.
-Każde ciało wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Wektor natężenia pola grawitacyjnego
wokół punktu jest skierowany w stronę tego punktu i ma wartość proporcjonalną do masy M
punktu materialnego i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości od niego:
g=-GM/r2(r/r) [m/s2]
-Na każdy punkt materialny umieszczony w polu grawitacyjnym działa siła równa
iloczynowi masy tego punktu i wektora natężenia pola grawitacyjnego: F=mg.
Przyspieszenie, jakie uzyskuje punkt materialny pod wpływem pola grawitacyjnego jest
równe natężeniu pola grawitacyjnego w aktualnym położeniu tego punktu ma=mg.
Graficzna ilustracja zmian kierunku i zwrotu wektora natężenia pola w przestrzeni –
linie sił pola, w każdym punkcie styczne do wektora natężenia pola, nie krzyżujące się
poza źródłami. Przez każdy punkt przechodzi tylko jedna linia.
Wektor przyspieszenia ziemskiego g jest równy natężeniu jednorodnego pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi.
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
3
Siła ciężkości. Przyspieszenie ziemskie
Ciężar – siła, z jaką Ziemia przyciąga dane ciało. Siła zachowawcza. Praca tej siły
nie zależy od drogi.
mM
gR 2
P  mg  G 2 ; M 
; R  6400km; g  9,81m / s 2 ; M  6 1024 kg
R
G
Przyspieszenie ziemskie – zależy od szerokości geograficznej g=9.78-9.83:
-- spłaszczenie elipsoidy obrotowej na biegunach (geoida)
-- ruch dobowy Ziemi dokoła własnej osi
GM
g

-- niejednorodności budowy Ziemi
2
R
Obserwowane w niektórych miejscach na Ziemi lokalne zmiany wartości
i kierunku wektora g – anomalia grawitacyjne – skutek tego, że Ziemia
jest tylko w przybliżeniu kulą. Pole grawitacyjne jest przyczyną zmian
właściwości geometrycznych przestrzeni wokół ciał materialnych. W
przestrzeni tej przestaje obowiązywać geometria Euklidesowa (odstępstwa
od prostoliniowego biegu promieni świetlnych w pobliżu wielkich mas).
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne
4
Energia potencjalna. Potencjał pola
grawitacyjnego
Praca wykonana przez pole grawitacyjne podczas przesunięcia masy m z
punktu A do nieskończoności: W   Fd r   Fdr; F  GMm; W  G Mm
r
r
Energia potencjalna: E (r )  G Mm
r
Potencjał pola: stosunek energii potencjalnej do m (q):
 


A
2
ro
A
ro
o
p
V (r ) 
E p (r )
m
GM J m2

[ 
]
r kg s 2
Prędkości kosmiczne: pierwsza – najmniejsza prędkość, jaką musi mieć
ciało, aby móc krążyć po orbicie wokółziemskiej:
mv
Mm
GM
druga – minimalna prędkość, z jaką trzeba
G
; v 
; r  R; v  7,9km / s
r
r
r
wystrzelić ciało z powierzchni Ziemi, aby
mogło oddalić się w nieskończoność:
2
1
2
1
1
2GM S
1 2
Mm
Mm
2GM
mv  G
 G
; vII 
 11,2km / s; vIII 
 42km / s
2
R
RH
R
RSZ
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
5
Zagadnienie dwóch ciał
Prawa Keplera
(1571-1630):
Orbita każdej planety jest elipsą, a Słońce znajduje się w jednym z jej ognisku,
e=0,01672;vp=30,3 km/s; va=29,3 km/s
2. Promień wodzący planety zakreśla w równych przedziałach czasu równe pola
3. Kwadraty okresów obiegu planet wokół Słońca są wprost proporcjonalne do T12 a13

sześcianów ich wielkich półosi (średnich odległości od Słońca)
T22 a23
1.
Położenie środka masy:




d r1
M 1M 2
d r2
M 1M 2 


G
r
;
M

G
r;
2
dt 2
r2
dt 2
r2
2
M1


M r1 M 2 r 2
R sm  1
M1  M 2

2

masa zredukowana:
1


1
1

M1 M 2
Środek masy Układu Słonecznego leży
wewnątrz Słońca
d r
M 1M 2 


G
r
dt 2
r2
2
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
6
Energia ciała w polu siły centralnej
1
dr 2 2 d 2
d d
J
1 dr 2
J2
GMm
2
Ek  m[( )  r ( ) ]; J | r  mv | r m
;

;
E
c 
m
(
)


2
dt
dt
dt dt mr 2
2 dt
2mr 2
r
1. E≥0, r≥rm – tor hiperbola (E>0), parabola (E=0)
2. Emin<E<0, r1≤r≤r2, tor elipsa
3. E=Emin, tor okrąg
4. E<Emin, ruch nie może się odbywać
J=0
ruch prostoliniowy przechodzący przez centrum siły (drgający)
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
7
Mmg
Masa bezwładna i masa grawitacyjna
r2
Zasada równoważności grawitacji i bezwładności: w układzie
poruszającym się ruchem jednostajnie przyspieszonym, z dala od mas
wytwarzających grawitację, siły bezwładności możemy uważać za
siły grawitacji.
F  mb a; F  G
Elementy ogólnej teorii względności (grawitacji):
siły grawitacji wynikają ze specyficznej struktury czasoprzestrzeni,
wywołanej obecnością ciał obdarzonych masą. Zakrzywiona
przestrzeń Riemanna. Interwał: ds   g dx dx promień Schwarzschilda
Rg=2GM/c2 – promień ciała o
masie M, z którego
prędkość ucieczki jest równa prędkości światła.
Rg/RZ=1,5*10-9; Rg/RS=4,3*10-6; Rg/RG=10-7; Rg/R>1 – czarna dziura.
Stadium czarnej dziury osiąga gwiazda o M=3MS
3
3
2
i 0 j 0
ij
i
j
Zasada równoważności Einsteina: Inercjalny układ odniesienia U w jednorodnym
polu grawitacyjnym g jest równoważny nieinercjalnemu układowi odniesienia UN poruszającemu się z
przyspieszeniem a=g. Wszystkie obserwacje w obu układach muszą być jednakowe.
___________________________________________________________________________________________________________________________
8. Siły centralne. Ruch w polu sił centralnych
8