Wyklad 6 - Pole elektryczne
advertisement
Cztery fundamentalne oddziaływania: 1. 2. 3. 4. Grawitacyjne Elektromagnetyczne Słabe jądrowe Silne Elektromagnetyzm Elektryczność r E Magnetyzm r B, QM , Q Równania Maxwella Wykład 6 2015/16 1 ELEKTROSTATYKA Wykład 6 2015/16 2 Kwantyzacja ładunku Każdy elektron ma masę = me i ładunek = -e p e=1,602·10-19 C Każdy proton ma masę = mp i ładunek = e Ładunek elementarny Każdy inny ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego |Q|= Ne Wykład 6 2015/16 3 Zasada zachowania ładunku Całkowity ładunek układu odosobnionego, tzn. algebraiczna suma dodatnich i ujemnych ładunków występujących w dowolnej chwili, nie może ulegać zmianie. p Qcałk=const Qcałk= Qe + Qp =-e+e p Wykład 6 -e =0 2015/16 4 Przykłady zasady zachowania ładunku Rozpad promieniotwórczy jądra 238 234 4 92 U → 90 Th + 2 He Emisja cząstki α Liczba atomowa Z=92 oznacza 92 protony w jądrze i ładunek 92e Z zasady zachowania ładunku Wykład 6 92e=90e+2e 2015/16 5 Przykłady zasady zachowania ładunku Proces anihilacji elektronu e- i antycząstki pozytonu e+ − + e +e → γ+γ Emisja dwóch kwantów promieniowania elektromagnetycznego Proces kreacji pary Wykład 6 − γ →e +e 2015/16 + 6 Empiryczne prawo Coulomba r k q1 q2 1 q1 q2 ˆ F1, 2 = 2 rˆ1, 2 = r 1, 2 2 4 πε r1, 2 o r1, 2 2 1 −12 C k= gdzie ε o = 8.85 ⋅10 4 πε o Nm 2 1785 – waga skręceń Charles Coulomb 1736-1806 F1,2 = -F2,1 Wykład 6 III zasada dynamiki 2015/16 7 POLE ELEKTROSTATYCZNE A POLE GRAWITACYJNE PODOBIEŃSTWA r F= r m1 m 2 F = − G 2 rˆ r 1 q1 q 2 rˆ 2 4 πε o r PRAWO COULOMBA k= PRAWO NEWTONA 1 = 8,99 ⋅109 N ⋅ m 2 /C 2 4 πε o G=6,67·10-11 N ·m2/kg2 Oddziaływanie grawitacyjne jest dużo słabsze niż elektrostatyczne Wykład 6 2015/16 8 ZASADA SUPERPOZYCJI r r F cał = ∑ Fi i FR qL FL q0 qR oś x r r r kq 0 (q L − q R ) F 0 = FR + FL = xˆ x2 Ładunki qL, q0 i qR są tego samego znaku Wykład 6 2015/16 9 Zadanie domowe 1-1 Znajdź wartość i kierunek siły wypadkowej działającej na ładunek q0 Wykład 6 2015/16 10 Definicja wektora natężenia pola elektrycznego E q r r r F E= q0 ładunek próbny q0 >0 Natężenie pola ładunku punktowego r kq E = 2 rˆ r Natężenie pola pochodzące od wielu ładunków punktowych (rozkład dyskretny) r r kq E = ∑ Ei = ∑ rˆi 2 r i i i Wykład 6 2015/16 11 Linie pola – linie równoległe do wektora natężenia pola Pole ładunku punktowego Symetria sferyczna Wykład 6 2015/16 12 Linie pola Dwa jednoimienne ładunki punktowe Wykład 6 2015/16 13 Linie pola Dipol elektryczny-dwa różnoimienne ładunki w bardzo małej odległości Wykład 6 moment dipolowy 2015/16 14 Zadanie domowe 1-2 (a) Znajdź natężenie pola w punkcie P gdy x > a (b) Rozważ przypadek graniczny x >> a Wykład 6 2015/16 15 Ciągły rozkład ładunku Dla ładunku, dq, natężenie pola elektrycznego w punkcie P dane jest zgodnie z prawem Coulomba jak dla ładunku punktowego r kdq d E = 2 rˆ r Dla ładunków dyskretnych pole wypadkowe E jest sumą r r wektorów natężenia Ei czyli E = ∑E i Dla ciągłego rozkładu ładunku pole wypadkowe jest całką: Wykład 6 r i E = 2015/16 ∫ r d E = ∫ Q kdq r 2 rˆ 16 Ciągły rozkład ładunku W zależności od rozkładu ładunku rozróżniamy: •gęstość liniową ładunku λ, + + + + + x dq λ= dx •gęstość powierzchniową ładunku σ, + + + dS + + dq σ= dS •gęstość objętościową ładunku ρ dq ρ= dV + Dla ciągłego rozkładu ładunku, w zależności od rodzaju gęstości ładunku, pole wypadkowe może być całką liniową, powierzchniową lub objętościową: Wykład 6 2015/16 r E = r ∫dE = ∫ V k ρ dV rˆ 2 r 17 Przykład 1-1 Liniowy rozkład ładunku Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w punkcie P na osi liniowego rozkładu ładunku Z prawa Coulomba r dE x = kdq (x − x o ) 2 xˆ Z definicji gęstości liniowej ładunku dq = λdx Wykład 6 2015/16 r k λd x dE x = xˆ 2 (x − x o ) 18 Wypadkowe natężenie pola jest sumą pól pochodzących od ładunków elementarnych dq: L E = ∫ dE x = ∫ k λdx 2 (x − x) o 0 Wykład 6 kλ L = x o (x o − L) 2015/16 19 Zadanie domowe 1-3 Wykazać, że (a) wartość wypadkowego wektora natężenia pola elektrycznego na symetralnej pręta od długości L, naładowanego jednorodnie o całkowitym ładunku Q wynosi 1 Q E= 2 πε o y 4 y 2 + L2 (b) Przeprowadzić analizę otrzymanego wzoru dla L→∞ Wykład 6 2015/16 20 STRUMIEŃ Φ - szybkość przepływu (powietrza, cieczy) przez powierzchnię A czyli objętość płynu przepływającego w jednostce czasu przez ramkę A v strumień zależy od prędkości płynu v i orientacji płaszczyzny ramki Wykład 6 2015/16 21 WEKTOR POWIERZCHNI r A - wektor powierzchni n̂ - wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni r A r b Wykład 6 n̂ r A = Anˆ Pole powierzchni A oblicza się zgodnie ze wzorem na pole równoległoboku r r A = a×b r a 2015/16 22 STRUMIEŃ WIELKOŚCI WEKTOROWEJ Strumień wielkości powierzchnię A r v przez r r Φ vr = v o A = vAcos θ r r Φ E = E o A = EAcosθ Strumień pola elektrycznego r r ΦE = E o A pole prędkości Jednostka 1Nm2/C Strumień pola magnetycznego r r ΦB = B o A Wykład 6 Jednostka 1 Wb (weber) = 1 T (tesla) m2 2015/16 23 Przypadki szczególne: gdy θ=0 r A Φ vr max = vA v gdy θ=π/2 r A Wykład 6 v 2015/16 r r A⊥v Φ vr = 0 24 STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO – definicja dla dowolnej powierzchni r r ΔΦ Er = E o ΔA r r Φ Er = ∑ E o ΔA r r Φ Er = ∫ E o dA W prawie Gaussa występuje strumień przez powierzchnię zamkniętą Wykład 6 definicja r r ∫ E o dA 2015/16 25 PRAWO GAUSSA Dla ładunku punktowego, E~1/r2 Szacujemy strumień pola przez powierzchnię kuli ΦE r 1 Q Q 2 ΦE = E A = 4π r = 2 4 πε o r εo Pole powierzchni kuli A ~ r2 W miarę oddalania się od źródła pola, zwiększa się powierzchnia A ale maleje E, tak, że strumień pola (EA) pozostaje stały Wykład 6 2015/16 26 PRAWO GAUSSA Całkowity strumień pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą zależy wyłącznie od ładunku elektrycznego zawartego wewnątrz tej powierzchni. Powierzchnię tę nazywamy powierzchnią Gaussa Q wew ΦE = εo Prawo Gaussa dla pola elektrycznego w postaci całkowej Jedno z równań Maxwella r r Q wew ∫S E o dA = ε o Wykład 6 2015/16 27 Właściwości powierzchni Gaussa: •Powierzchnia Gaussa jest tworem hipotetycznym, matematyczną konstrukcją myślową, •Jest dowolną powierzchnią zamkniętą, lecz w praktyce powinna mieć kształt związany w symetrią pola, •Powierzchnię Gaussa należy tak poprowadzić aby punkt, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego leżał na tej powierzchni. Wykład 6 2015/16 28 Prawo Gaussa stosujemy do obliczania natężenia pola elektrycznego gdy znamy rozkład ładunku lub do znajdowania rozkładu ładunku gdy znamy pole. Prawo Gaussa możemy stosować zawsze ale sens ma to tylko w tym przypadku gdy pole elektryczne wykazuje symetrię (sferyczną, cylindryczną). Aby skutecznie skorzystać z prawa Gaussa trzeba coś wiedzieć o polu elektrycznym na wybranej powierzchni Gaussa. Korzystając z prawa Gaussa można wykazać równoważność prawa Gaussa z empirycznym prawem Coulomba Wykład 6 2015/16 29 Od prawa Gaussa do prawa Coulomba dA r dA = nˆdA 1. Ładunek punktowy q otaczamy powierzchnią Gaussa – sferą o promieniu r (dlaczego?). Bo wiemy, że pole ładunku punktowego ma symetrię sferyczną (A co to znaczy?) E II nˆ cos 0 = 1 E = const. na pow. sfery 2. Obliczamy całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa r r ΦE = ∫ E o d A Wykład 6 2015/16 = ∫ E cosθ dA = ∫ EdA 30 Od prawa Gaussa do prawa Coulomba r dA = nˆdA 3. Korzystamy z faktu, że E jest stałe co do wartości na powierzchni Gaussa dA Φ E = E ∫ dA = E(4 πr 2 ) 4. Korzystamy z prawa Gaussa q ΦE = εo 5. Porównujemy stronami: q E(4 πr ) = εo 2 q E(r) = 4 πε o r 2 Prawo Coulomba Wykład 6 2015/16 31 ZASTOSOWANIA PRAWA GAUSSA W praktyce zastosowanie prawa Gaussa jest ograniczone do konkretnych przypadków - symetrii: a) pole (jednorodne) od naładowanej nieskończonej płaszczyzny (powierzchniowy rozkład ładunku) b) pole (o symetrii cylindrycznej) od nieskończenie długiego pręta (liniowy rozkład ładunku) lub walca (powierzchniowy rozkład ładunku – walec przewodzący, objętościowy rozkład ładunku - walec nie przewodzący) c) pole (o symetrii sferycznej) od naładowanej kuli lub powierzchni sferycznej Wykład 6 2015/16 32 JAK KORZYSTAĆ Z PRAWA GAUSSA? 1. Wybrać właściwą powierzchnię Gaussa – dopasowaną do symetrii rozkładu ładunku. Uzasadnić ten wybór. Wykonać odpowiedni rysunek 2. Obliczyć strumień pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa (lewa strona prawa Gaussa). 3. Znaleźć ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa (prawa strona prawa Gaussa). 4. Porównać obie strony prawa Gaussa wyznaczając wartość wektora natężenia pola elektrycznego E. Wykład 6 2015/16 33 Przykład 1-2. Pole elektryczne nieskończonej powierzchni Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa ΦE = 2 E S Z prawa Gaussa Q σS ΦE = = εo εo Wartość wektora natężenia pola σ E= 2ε o Wykład 6 2015/16 34 Przykład 1-3. Pole elektryczne liniowego rozkładu ładunku Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa Φ E = 2 π rhE Całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa Q λh ΦE = = εo εo Wartość wektora natężenia pola elektrycznego λ 1 E= 2 πε o r Wykład 6 2015/16 symetria cylindryczna 35 Zadanie domowe 1-4. Bardzo długi walcowy pręt przewodzący o długości L całkowitym ładunku +q jest otoczony przewodzącą walcową powłoką (także o długości L) i całkowitym ładunku -2q (jak na rysunku). Korzystając z prawa Gaussa, znajdź: (a) natężenie pola elektrycznego w punktach na zewnątrz przewodzącej powłoki, (b) rozkład ładunku na powłoce, (c) natężenie pola elektrycznego w obszarze między powłoką i prętem Wykład 6 2015/16 36 Przykład 1-4. Pole elektryczne sferycznego rozkładu ładunku – powłoka sferyczna Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa będącą sferę o promieniu r wynosi: Φ E = 4 π r 2E Z prawa Gaussa: Φ E = Q Q εo Ładunek całkowity Q jest rozłożony tylko na powierzchni sfery o promieniu R Ze względu na rozkład ładunku rozważmy dwa przypadki: r>R Wykład 6 Q E= 4 πε o r 2 Pole na zewnątrz pustej powłoki sferycznej jest takie jakby cały ładunek był skupiony w środku kuli 2015/16 37 Przykład 1-4 cd r<R wewnątrz powierzchni Gaussa tj. sfery o promieniu r nie ma ładunku Q czyli Q=0, ΦE=0 a zatem E=0 Pole wewnątrz naładowanej powłoki sferycznej wynosi zero Wykład 6 2015/16 38 Rozkład natężenia pola E(r) dla pustej powłoki sferycznej, o promieniu R, jednorodnie naładowanej (Q-ładunek całkowity) Wykład 6 2015/16 39 Pole elektryczne przewodnika Wykład 6 Ładunek znajduje się tylko na powierzchni przewodnika Wewnątrz przewodnika Q=0, a zatem E=0 Na powierzchni przewodnika wektor natężenia pola E jest prostopadły do tej powierzchni 2015/16 40 Pole elektryczne na powierzchni przewodnika Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa Φ E = EA Z prawa Gaussa Q σA ΦE = = εo εo Wartość wektora natężenia pola σ E= εo Wykład 6 2015/16 41 Związek strumienia z operatorem dywergencji Definicja operatora dywergencji r div E = lim r div E V→0 r r ∫EodA V jest w granicy nieskończenie małej objętości V, strumieniem wychodzącym ze źródła i określa jego wydajność Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego V r r r ∫ Eo d A = ∫∫∫divE dV S Wykład 6 V 2015/16 42 PRAWO GAUSSA w postaci RÓŻNICZKOWEJ Korzystamy z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego: r r r ∫ E o d A = ∫∫∫div E dV S V Z prawa Gaussa w postaci całkowej: r Qwew 1 r ∫S E o d A = εo = εo Porównując wyrażenia podcałkowe: Wykład 6 2015/16 ∫∫∫ρdV V r ρ div E = εo 43 POTENCJAŁ Wektor natężenia pola –istnieje zawsze r r F Ε= qo definicja Potencjał (skalar) – istnieje tylko dla pól zachowawczych (potencjalnych) V= Wykład 6 Ep qo 2015/16 definicja 44 Wielkości charakteryzujące: siła r F r F= energia potencjalna Ep natężenie oddziaływanie pomiędzy ładunkami punktowymi pole elektrostatyczne 1 q1 q 2 rˆ 2 4 πε o r 1 q1 q 2 Ep = 4 πε o r r r F Ε= qo r Ε V= potencjał V Wykład 6 2015/16 Ep qo 45 pole grawitacyjne Wykład 6 pole elektrostatyczne ładunku ujemnego 2015/16 46 Związek potencjału z natężeniem pola Dla dowolnej siły zachowawczej, zmiana energii potencjalnej dEp dana jest: r r r r dE p = −F o d l = −q o E o d l praca dW r r dV = −E o d l Z definicji potencjału: dV = d Ep qo b r r Vb − Va = − ∫ E o d l r E = − grad V Wykład 6 a 2015/16 47 b r r Vb − Va = − ∫ E o d l a W ΔV = Vb − Va = − qo Różnica potencjałów ∆V między dwoma punktami jest równa wziętej z przeciwnym znakiem pracy W wykonanej przez siłę elektrostatyczną, przy przesunięciu jednostkowego ładunku z jednego punktu do drugiego. Różnicę potencjałów nazywamy napięciem U=∆V Wykład 6 2015/16 48 Jednostki Na postawie wzoru V= Ep qo jednostką potencjału jest wolt 1 V = 1 J/C elektronowolt 1 eV jako jednostka energii w skali atomowej Jest to energia równa pracy, potrzebnej do przesunięcia pojedynczego ładunku elementarnego e, na przykład elektronu lub protonu, między punktami o różnicy potencjałów równej jednemu woltowi 1 eV= e (1V) = (1,6 ·10-19 C) (1 J/C) = 1,6 ·10-19 J Na podstawie wzoru b r r Vb − Va = − ∫ E o d l a • nowa jednostka natężenia pola elektrycznego 1 V/m Wykład 6 2015/16 49 Powierzchnie ekwipotencjalnepowierzchnie stałego potencjału Wykład 6 2015/16 50 Potencjał pola jednorodnego Va>Vb a Potencjał wyższy Va b Potencjał niższy Vb d b b b r r Vb − Va = − ∫ E o d l = − ∫ Edl = − E ∫ dl = − E (b − a ) = − Ed a Wykład 6 a a 2015/16 51 Potencjał pola ładunku punktowego Przesuwamy ładunek próbny qo z punktu P do nieskończoności r r E o d s = E ds cosθ ∞ ∞ r r V∞ − VP = − ∫ E o d s = − ∫ Edr R R E= 1 q 4 πε o r 2 Przyjmujemy V∞=0 V(r) = Wykład 6 2015/16 1 q 4 πε o r 52 Potencjał dla dyskretnego rozkładu ładunku Wypadkowy potencjał V układu n ładunków punktowych qi obliczamy korzystając z zasady superpozycji n 1 V = ∑ Vi = 4 πε o i =1 n qi ∑ i =1 ri Zadanie domowe 1-5 Na rysunku przedstawiono trzy układy, zawierające po dwa protony. Uszereguj te układy według wypadkowego potencjału pola, wytworzonego przez protony w punkcie P, zaczynając od największego. a. + + Wykład 6 + b. + 2015/16 + c. + 53 Potencjał ciągłego rozkładu ładunku Dla naładowanej ładunkiem powierzchniowym Q powłoki sferycznej gdy r<R, E=0, czyli potencjał V jest wielkością stałą, niezależną od r. Dla r>R, V zanika z odległością r jak 1/r Zadanie domowe 1-6 Pokazać (obliczając), że potencjał dla powłoki sferycznej wykazuje taką zależność V(r) jak na powyższym wykresie Wykład 6 2015/16 54 POJEMNOŚĆ Definicja Q C= ΔV Jednostką pojemności jest 1F (farad). W praktyce używamy μF, pF, nF Analogia między kondensatorem mającym ładunek q i sztywnym zbiornikiem o objętości V , zawierającym n moli gazu doskonałego: V q = CΔV n= p RT Przy ustalonej temperaturze T, pojemność kondensatora C pełni podobną funkcję jak objętość zbiornika Wykład 6 2015/16 55 Kondensator Służy do magazynowania energii Stanowi istotny element obwodu Linie pola elektrycznego Wykład 6 2015/16 56 POJEMNOŚĆ KONDENSATORA PŁASKIEGO Powierzchnia Gaussa σ q Eo = = εo εoA q = Eo εoA Dla pola jednorodnego pokazaliśmy, że V = E od z definicji pojemności εoA C= d Pojemność zależy tylko od parametrów geometrycznych: A-powierzchni okładki, d-odległości okładek Wykład 6 2015/16 57 Przykład 1-5: Jaka musiałaby być powierzchnia okładki kondensatora płaskiego, aby, przy odległości okładek d=1 mm, uzyskać pojemność C=1 F? εoA C= d Cd A= εo 1 F⋅10 −3 m 8 2 A= = 1,13 ⋅10 m 2 −12 2 8,85 ⋅10 C /N⋅ m mało praktyczne rozwiązanie!!! Wykład 6 2015/16 58 Zadanie domowe 1-7 Udowodnić, że pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża się wzorem 2 πε o L C= ln (R 2 R 1 ) Wykład 6 2015/16 59 Energia zmagazynowana w polu elektrycznym Praca W wykonana przy ładowaniu kondensatora zostaje zmagazynowana w postaci elektrycznej energii potencjalnej EE, w polu elektrycznym między okładkami. Praca elementarna dW wykonana gdy zostaje przeniesiony dodatkowy ładunek dq wynosi q dW = Vdq = dq C q 1 Q2 W = ∫ dW = ∫ dq = C 2 C 1 Q2 1 1 W = EE = = QV = CV2 2 C 2 2 Wykład 6 2015/16 60 Gęstość energii Gęstość energii uE jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkę objętości EE C V2 uE = = Ad 2 Ad A C = εo d 1 ⎛V⎞ u E = εo ⎜ ⎟ 2 ⎝d⎠ 2 1 2 u E = εoE 2 Wykład 6 2015/16 61 Kondensator w obwodzie Przykład 1-6: Kondensator o pojemności C=6 μF jest podłączony do zacisków 9 V baterii. Jaki ładunek zgromadzi się na okładkach kondensatora? + - C Q=CV=54 μC Wykład 6 2015/16 62 Połączenie równoległe kondensatorów Va − Vb = U1 = U 2 = U Q1 Q 2 Q = = =U C1 C 2 C Q = Q1 + Q2 = C1U + C2U = (C1 + C2 )U C = C1 + C 2 Pojemność kondensatora zastępczego Wykład 6 2015/16 63 Połączenie szeregowe kondensatorów Q Q U = U1 + U 2 = + C1 C2 1 1 1 = + C C1 C2 Pojemność kondensatora zastępczego Wykład 6 2015/16 64 Zadanie domowe 1-8 (a) (b) Wykład 6 Znajdź pojemność zastępczą układu kondensatorów przedstawionych na rysunku Znajdź ładunek i spadek potencjału na każdym kondensatorze jeżeli układ podłączono do baterii 6V. 2015/16 65 PODSUMOWANIE Elektrostatyka opisuje pola statyczne utworzone przez ładunki elektryczne w spoczynku. Pole elektrostatyczne jest zachowawcze (potencjalne). Pole to jest charakteryzowane przez wektor natężenia pola i potencjał. Wartość natężenia pola pochodzącego od konkretnych rozkładów ładunku obliczamy bądź z zasady superpozycji i prawa Coulomba bądź z prawa Gaussa. Kondensator jest urządzeniem, w którym magazynowana jest potencjalna energia elektrostatyczna. Gęstość energii zmagazynowanej jest proporcjonalna do kwadratu pola E. Prawo Gaussa w postaci całkowej lub różniczkowej stanowi jedno z równań Maxwella Wykład 6 2015/16 66
