rozdział 1. - Helion Edukacja

ROZDZIAŁ 1.
LICZBY CAŁKOWITE
1.1. Powtórzenie wiadomości o liczbach naturalnych s. 11
1.2. Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych s. 17
1.3. Obliczenia przy pomocy kalkulatora s. 20
1.4. Zaokrąglanie liczb naturalnych s. 22
1.5. Liczby całkowite s. 27
1.6. Porównywanie liczb całkowitych s. 31
1.7. Dodawanie liczb całkowitych s. 33
1.8. Odejmowanie liczb całkowitych s. 38
1.9. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych s. 43
ćwiczenie
przykład
definicja
zwróć
uwagę
zadania
trudniejsze
zadania
testowe
zadania
grupowe
zapamiętaj
ciekawostka
Rozdział 1. Liczby całkowite
łamigłówka
9
Najwyższe i najniższe punkty wysokościowe
McKinley
6195 m n.p.m.
Mont Blanc
AMERYKA PN.
AZJA
EUROPA
Nizina Nadkaspijska
4810 m n.p.m.
–28 m n.p.m.
Mount Everest
Morze Martwe
Dolina Śmierci
8848 m n.p.m.
–418 m n.p.m.
–86 m n.p.m.
AFRYKA
Kibo
AMERYKA PD.
jezioro Assal
–153 m n.p.m.
5895 m n.p.m.
AUSTRALIA I OCEANIA
Aconcagua
6960 m n.p.m.
jezioro Eyre
Laguna del Carbon
–15 m n.p.m.
–105 m n.p.m.
10
Jaya
4884 m n.p.m.
Część świata
Najwyższy punkt
wysokościowy
Najniższy punkt
wysokościowy
Azja
8848 m n.p.m.
–418 m n.p.m.
Ameryka Pd.
6960 m n.p.m.
–105 m n.p.m.
Ameryka Pn.
6195 m n.p.m.
–86 m n.p.m.
Afryka
5895 m n.p.m.
–153 m n.p.m.
Europa
4810 m n.p.m.
–28 m n.p.m.
Australia
i Oceania
4884 m n.p.m.
–15 m n.p.m.
Rozdział 1. Liczby całkowite
Część świata
Najwyższy
Najniższy punkt
punkt względem względem
poziomu morza poziomu morza
Azja
Mount Everest
Afryka
Kibo
Ameryka Pd.
Aconcagua
Ameryka Pn.
McKinley
Europa
Mont Blanc
Australia
i Oceania
Jaya
Morze Martwe
1. Jaką wysokość ma najwyższy
szczyt Europy?
2. Jaka jest wysokość góry Kibo?
Laguna del Carbon
3. Jak nazywa się najwyższa góra
świata? W jakiej części świata
Dolina Śmierci
leży?
Nizina
4. Czy nazwy gór w tabeli są
Nadkaspijska
zapisane w kolejności od
jezioro Eyre
najwyższej do najniższej?
jezioro Assal
1.1. Powtórzenie wiadomości
o liczbach naturalnych
W klasach IV i V, a nawet wcześniej uczyliśmy się wykonywania działań
na liczbach naturalnych. Dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić można
w pamięci lub sposobem pisemnym.
Przykład 1.1.
Oblicz.
a) 754 + 46 275 + 9538 b) 5604 – 936 c) 458 ˜ 630
a)
754
46275
+ 9538
56567
b)
–
5604
936
4668
d) 27 588 : 38
Aby dodać lub odjąć liczby sposobem pisemnym,
należy je zapisać tak, aby jedności znajdowały
się pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami,
setki pod setkami itd. Następnie dodajemy lub
odejmujemy kolejne cyfry, zaczynając od rzędu
jedności.
Rozdział 1. Liczby całkowite
11
c)
458
· 630
1 3 74
+ 274 8
2 8 8 54 0
Aby pomnożyć liczby sposobem pisemnym,
należy zapisać liczby tak jak przy dodawaniu
i odejmowaniu. Wyjątek stanowią liczby zakończone
zerami. Wygodnie jest zapisać je w sposób pokazany
w przykładzie obok. Końcowych zer nie mnożymy,
tylko dopisujemy je wszystkie do ostatecznego
wyniku.
d)
726
27588:38
–266
98
–76
228
–228
= ==
Dzielenie sposobem pisemnym wykonujemy,
zaczynając od lewej strony dzielnej.
koniec przykładu 1.1.
Niektóre działania na liczbach wielocyfrowych możemy wykonywać
w pamięci, wykorzystując tabliczkę mnożenia i stosując prawa działań.
Przykład 1.2.
Oblicz.
a) 348 + 156 + 252 = (348 + 252) + 156 = 600 + 156 = 756
Przy wykonywaniu tego działania wykorzystaliśmy przemienność
i łączność dodawania.
b) 836 ˜ 4 800 ˜ 4 30 ˜ 4 6 ˜ 4 3200 120 24 3200 144 3344
Przy wykonywaniu tego działania wykorzystaliśmy rozdzielność
mnożenia względem dodawania oraz łączność dodawania.
koniec przykładu 1.2.
12
Rozdział 1. Liczby całkowite
Ćwiczenie 1.
Oblicz w pamięci lub sposobem pisemnym.
a) 1 + 144 + 255
b) 102 – 35
74 + 328 + 913
2854 – 1992
458 + 945 + 45 + 10
7600 – 800
1357 + 200 + 3
5491 – 756
266 + 457 + 5778
458 – 61
c) 754 ˜ 7
254 ˜ 138
92 ˜ 467
560 ˜ 80
90 ˜ 300
d) 8118 : 33
2400 : 4
4312 : 14
7232 : 8
48 000 : 600
Ćwiczenie 2.
Wskaż pary liczb, których:
a) suma wynosi 342,
b) różnica wynosi 162,
c) iloczyn wynosi 832,
25
278
15
990
16
92
38
178
254
4
52
164
d) iloraz wynosi 66.
Aby ustrzec się błędów w obliczeniach, dobrze jest przed wykonaniem
działania oszacować jego wynik.
Przykład 1.3.
Czy poniższe działania są wykonane prawidłowo?
a) 5172 + 768 = 12 852
b) 7254 – 338 = 3874
c) 51 ˜ 32 512
d) 420 : 5 = 104
Nie, ponieważ wynik nie powinien
przekroczyć liczby 6000.
Nie, ponieważ wynik powinien być większy
niż 6000, a mniejszy niż 7000.
Nie, ponieważ wynik powinien być większy
niż 1500 (czyli 50 ˜ 30 ).
Nie, ponieważ wynik powinien być mniejszy
od 100.
koniec przykładu 1.3.
Rozdział 1. Liczby całkowite
13
Ćwiczenie 3.
Wiedząc, że w każdym podpunkcie tylko jedno działanie zostało
wykonane prawidłowo, odnajdź poprawne rozwiązanie (nie obliczając,
ale szacując wynik) i przepisz do zeszytu działanie wraz z wynikiem.
a) 764 + 1256 = 2020
764 + 1256 = 920
764 + 1256 = 8896
c) 82 ˜ 36 3612
82 ˜ 36 2142
82 ˜ 36 2952
b) 1832 – 1674 = 1242
1832 – 1674 = 258
1832 – 1674 = 158
d) 1611 : 9 = 89
1611 : 9 = 179
1611 : 9 = 219
Kolejnym działaniem, które poznaliście w klasie IV, jest potęgowanie,
czyli wielokrotne mnożenie jednakowych czynników, np.
tyle jednakowych czynników mnożymy
72
ta liczba jest wielokrotnym czynnikiem
Przykład 1.4.
Oblicz.
a) 72
b) 53
c) 105
7 ˜7
49
5 ˜ 5 ˜ 5 125
10 ˜ 10 ˜ 10 ˜ 10 ˜ 10 100 000
koniec przykładu 1.4.
Ćwiczenie 4.
Oblicz:
a) kwadrat każdej z liczb: 8, 12, 34, 40, 100,
b) sześcian każdej z liczb: 2, 4, 9, 11, 30.
14
Rozdział 1. Liczby całkowite
Zadania
\1 Korzystając z mapki na stronie 10, oblicz różnicę wysokości
najwyższych szczytów:
a) Azji i Europy,
b) Ameryki Północnej i Europy,
c) Afryki i Europy,
d) Ameryki Południowej i Europy,
e) Australii i Oceanii oraz Europy.
\2 Na szkolną wycieczkę pojechało 87 uczniów klas IV, 66 z klas V i 59
z klas VI.
a) Ilu uczniów wzięło udział w wycieczce?
b) Podczas wycieczki jeden nauczyciel powinien mieć pod opieką nie
więcej niż 15 uczniów. Ilu nauczycieli musi jechać na tę wycieczkę?
c) W jednym autokarze jest 48 miejsc siedzących. Iloma autokarami
uczniowie i nauczyciele pojadą na tę wycieczkę?
\3 W przejściu podziemnym pod dworcem kolejowym
znajdują się kioski handlowe.
48 m
WYJŚCIE
DO MIASTA
56 m
73 m
98 m
A
C
E
G
PRASA
PIECZYWO
APTEKA
PAMIĄTKI
BILETY
ART. SPOŻYWCZE KWIATY
B
78 m
D
69 m
BILETY
F
63 m
WEJŚCIE
NA PERON
H
77 m
52 m
Korzystając z rysunku, odpowiedz na pytania.
a) Jaka jest długość przejścia podziemnego?
b) Jaka jest odległość między kioskiem z prasą a kioskiem
z pamiątkami?
c) Jaka jest odległość między dwoma punktami sprzedaży biletów?
d) Jaka jest odległość między kioskiem z pieczywem a apteką?
e) Który z kiosków: E czy F znajduje się dalej od wyjścia do miasta?
O ile metrów dalej od wyjścia jest ten kiosk?
f) Który z kiosków: C czy D znajduje się bliżej wejścia na peron?
O ile metrów bliżej od wejścia jest ten kiosk?
Rozdział 1. Liczby całkowite
15
\4 Oblicz iloczyn liczb będących współrzędnymi punktów A i B oraz
sumę liczb będących współrzędnymi punktów C i D.
a)
A
0
C
B
D
10
b)
A
70
B
C
D
78
\5 Trzej chłopcy wyruszyli z tego samego miejsca oznaczonego na
rysunku punktem P. Andrzej i Kamil poruszali się w jednym kierunku,
a Jacek w przeciwnym. Kamil szedł pieszo, pozostali chłopcy jechali na
rowerach.
K
5427 m
22 365 m
A
J
P
W ciągu godziny Kamil przeszedł 5427 m, a Jacek przejechał 22 365 m.
Droga przebyta przez Andrzeja była 3 razy dłuższa od drogi przebytej
przez Kamila.
a) Ile metrów w ciągu godziny przejechał Andrzej?
b) Który z chłopców: Andrzej czy Jacek przejechał więcej metrów
i o ile więcej?
c) Oblicz odległości dzielące poszczególnych chłopców po godzinie
od wyruszenia (kolejno: Andrzeja i Kamila, Andrzeja i Jacka,
Kamila i Jacka).
\6 Liczbę 4116 podzielono przez 7, otrzymany iloraz podzielono
ponownie przez 7 i wynik podzielono przez 7 po raz trzeci. Ile razy
otrzymana liczba jest mniejsza od początkowej? O ile jest mniejsza?
A. 343 razy mniejsza i o 4128 mniejsza
B. 343 razy mniejsza i o 4104 mniejsza
C. 49 razy mniejsza i o 4128 mniejsza
D. 49 razy mniejsza i o 4104 mniejsza
16
Rozdział 1. Liczby całkowite
\7 Jaką liczbę należy:
a) dodać do 325, aby otrzymać 520,
b) odjąć od 450, aby otrzymać 167,
c) pomnożyć przez 32, aby otrzymać 512,
d) podzielić przez 25, aby otrzymać 48?
Zapisz odpowiednie równania i rozwiąż je.
Łamigłówka
Znajdź dwie różne liczby takie, że ich
iloczyn jest 2 razy większy od ich sumy.
1.2. Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych
Przykład 1.5.
Oblicz.
a) 56 – 32 17 24 17
b) 12 ˜ 4 : 6
41
48 : 6 8
c) 28 36 : 4 28 9 37
d) 11 ˜ 6 21 66 21 45
e) 43 ˜ 5 64 ˜ 5 320
f) 84 82
84 64 20
g) 38 25 ˜ 3 13 ˜ 3 39
h) 4 ˜ 56 : 7 4 ˜ 8 32
Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko dodawanie
i odejmowanie lub tylko mnożenie i dzielenie,
działania wykonujemy w takiej kolejności,
w jakiej są one zapisane, od lewej do prawej.
Jeżeli w wyrażeniu oprócz dodawania
i odejmowania występuje mnożenie i dzielenie,
obliczenia zaczynamy od mnożenia i dzielenia.
Jeżeli w wyrażeniu występuje potęgowanie,
wykonujemy je przed pozostałymi
działaniami.
Jeżeli w wyrażeniu występują nawiasy,
obliczenia zaczynamy od działań w nawiasach.
koniec przykładu 1.5.
Rozdział 1. Liczby całkowite
17
Ćwiczenie 1.
Oblicz, pamiętając o kolejności wykonywania działań.
a) 75 33 15
28 46 53 9
58 25 41 36
d) 72 2 3
3
b) 240 : 30 ˜ 4
25 ˜ 3 : 5 ˜ 5
144 : 6 ˜ 72 : 9
e) 27 33
10 : 5
202 43
62 : 4
f) 58 38 : 8
42 36 ˜ 15 16 121 125 85 : 61 54 13 125
2
2
c) 200 153 : 3
47 12 ˜ 5 78
132 : 11 18 ˜ 7 99
Ciekawostka
^ª¬ 4 3 5 1 º¼ ª¬6 4 8 7 º¼ 4` ˜10
Oprócz znanych Ci nawiasów zwanych okrągłymi w wyrażeniach arytmetycznych
mogą występować też nawiasy kwadratowe […] lub klamrowe {…}, np.
2
2
3
.
W takim przypadku obliczenia należy wykonywać, zaczynając od działań
w nawiasach wewnętrznych, czyli najpierw okrągłych, następnie kwadratowych,
a na końcu klamrowych.
Czy potrafisz podać wynik powyższego wyrażenia?
Zadania
\1 Zapisz w postaci jednego wyrażenia i oblicz.
a) Do liczby 5287 dodaj iloraz liczb 8970 i 26.
b) Od iloczynu liczb 76 i 45 odejmij 564.
c) Sumę liczb 426, 184 i 361 zmniejsz o iloczyn liczb 28 i 16.
d) Sumę liczb 835 i 799 pomnóż przez różnicę tych liczb.
\2 Marcin pracuje, roznosząc gazetki promocyjne. Jednego dnia rozdał
84 gazetki sklepu ALFA i 224 gazetki sklepu BETA. Pierwsza z gazetek
ważyła 8 dag, a druga 6 dag. Ile ważyły razem gazetki rozdane przez
Marcina?
A. 2 kg 16 g
18
Rozdział 1. Liczby całkowite
B. 2 kg 16 dag
C. 201 kg 6 dag
D. 20 kg 16 dag
\3 Korzystając z rysunku, odpowiedz na poniższe pytania. Przedstaw
każde z rozwiązań w jednym zapisie.
a) Ile trzeba zapłacić za 3 storczyki
i 4 kaktusy?
b) Ile reszty ze 100 zł otrzyma
klientka kupująca 1 paproć
i 2 kaktusy?
c) O ile droższe są 3 paprocie
od 2 storczyków?
d) Ile złotych zabraknie klientowi, który ma 82 zł, a chciałby kupić
2 storczyki, 2 paprocie i 2 kaktusy?
\4 Uczniowie klasy VIA w poniedziałki i środy mają po 7 lekcji,
we wtorki i w czwartki po 6, a w piątek 5 lekcji. Korzystając z kalendarza
na bieżący rok, oblicz, ile lekcji będą mieli we wrześniu.
Aby zaszyfrować wiadomość, przyporządkuj podstawowym
literom alfabetu kolejne liczby:
5
A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5, F = 6, G = 7, H = 8, I = 9, J = 10, K = 11,
L = 12, Ł = 13, M = 14, N = 15, O = 16, P = 17, R = 18, S = 19, T = 20,
U = 21, W = 22, Y = 23, Z = 24 (litera Ą jest traktowana jako A, Ć jako C,
litery Ż i Ź jako Z itd.).
Na podstawie powyższego szyfru prześlij koledze lub koleżance
jednowyrazową wiadomość. Każdą literę tej wiadomości zapisz jako
działanie, którego wynik jest liczbą przyporządkowaną literze.
Na przykład, aby przesłać wyraz KOT, należy zapisać trzy działania,
40
których wynikami są kolejno: 11, 16, 20, np. 5 + 6, 2 ˜ 8 ,
.
2
Sprawdź, czy adresat prawidłowo odczytał Twoją wiadomość.
Rozdział 1. Liczby całkowite
19
1.3. Obliczenia przy pomocy kalkulatora
Najczęściej używanymi klawiszami kalkulatora są, oprócz klawiszy
z cyframi, znane Wam klawisze ze znakami podstawowych działań.
Popularny kalkulator (zwany kalkulatorem prostym) ma również inne
klawisze, np.
Potrafimy przy użyciu
kalkulatora wykonywać
obliczenia zawierające
4 podstawowe działania.
Teraz poznamy
zastosowanie klawiszy
oznaczonych literą M,
które mają związek
z zapamiętywaniem
wybranych liczb.
Przykład 1.6.
Oblicz, używając kalkulatora.
a) 35 ˜ 49 13 ˜ 42
Czynność wykonywana Przyciski
Mnożymy 35 ∙ 49.
Wprowadzamy liczbę
do pamięci kalkulatora.
Kasujemy wynik na
wyświetlaczu.
Mnożymy 13 ∙ 42.
Dodajemy zapamiętaną
liczbę.
Usuwamy z pamięci
liczbę 1715.
20
Rozdział 1. Liczby całkowite
Wyświetlacz
Zauważ, że dla ułatwienia obliczeń zmieniona została kolejność
dodawanych liczb — do wyniku 546 dodaliśmy zapamiętany wynik
wcześniejszego mnożenia — 1715. Pozwala nam na to prawo
przemienności dodawania.
b) 524 – 3654 : 9
Czynność wykonywana Przyciski
Wyświetlacz
Dzielimy 3654 : 9.
Wprowadzamy liczbę
do pamięci kalkulatora.
Kasujemy wynik na
wyświetlaczu.
Odejmujemy od 524
zapamiętaną liczbę 406.
Usuwamy z pamięci
liczbę 406.
koniec przykładu 1.6.
Zapamiętaniu liczby służy klawisz
, a kasowaniu
.
, jej wywołaniu — klawisz
Ćwiczenie 1.
Oblicz, używając kalkulatora prostego. W podpunkcie b) podkreślone
działania należy wykonać w pierwszej kolejności i zastosować funkcję
zapamiętywania.
a) 256 ˜ 83 3928
1342 2876 599
3762 1794 ˜ 35
588 ˜ 27 : 36
1272 : 53 1888
3452 3716 : 128
b) 4568 654 2566 734 3849 ˜ 8003 7956 547 2014 : 53
18 094 38 ˜ 49
4781 7352 2456 7320 5024 : 184 144 Rozdział 1. Liczby całkowite
21
Zadania
\1 Oblicz sumę 5 kolejnych liczb parzystych, z których najmniejszą jest
396.
\2 Oblicz iloczyn największej liczby trzycyfrowej i największej liczby
czterocyfrowej.
\3 Oblicz sześcian liczby pierwszej większej od 11 i jednocześnie
mniejszej od 17.
\4 Zapisz działania, jakie wykonasz, przyciskając następujące klawisze:
a)
b)
c)
d)
Ciekawostka
Liczba 142 857 ma bardzo ciekawą własność.
Pomnóż ją (możesz to zrobić, używając kalkulatora) kolejno przez: 3, 2, 6, 4, 5.
Zauważ, jak zmieniają się cyfry i liczby.
1.4. Zaokrąglanie liczb naturalnych
Wyraz „około” oznacza, że
opisane liczby nie są dokładne,
ale bliskie rzeczywistym.
Są to liczby podane
w zaokrągleniu, wartości
przybliżone.
22
Rozdział 1. Liczby całkowite
W rzeczywistości pani Anna otrzymuje za swoją pracę pensję w wysokości
3852 zł, a pan Michał 3145 zł. Pani Anna, zaokrąglając, podała nieco
wyższą kwotę, a pan Michał — trochę niższą. Można powiedzieć, że oboje
podali wynagrodzenie w zaokrągleniu do pełnych tysięcy.
Ćwiczenie 1.
Oto tabela przedstawiająca
zarobki kilku innych osób
pracujących z panią Anią
i panem Michałem.
Kto w przybliżeniu podał
kwotę wyższą od rzeczywistej,
a kto niższą?
Jak sądzisz, dlaczego?
Dokładna kwota Kwota wynagrodzenia
wynagrodzenia w zaokrągleniu do
(w zł)
tysięcy (w zł)
Pan Roman
4020
4000
Pani Ewelina
3952
4000
Pani Marta
3247
3000
Pan Wojciech
2854
3000
Pan Adam
6113
6000
Pani Danuta
5925
6000
Ćwiczenie 2.
Jaką kwotę w zaokrągleniu do tysięcy podaliby:
a) pan Marek zarabiający 3728 zł,
b) pan Robert zarabiający 4121 zł,
c) pan Andrzej zarabiający 5317 zł,
d) pan Jacek zarabiający 6999 zł?
Czy potrafisz określić zasadę, według której należało podać odpowiedzi?
Symbolem zaokrąglenia jest § (czytamy jako „równa się w zaokrągleniu”
lub „równa się w przybliżeniu”).
Rozdział 1. Liczby całkowite
23
Zaokrąglanie podajemy zawsze z pewną określoną dokładnością.
Możemy zaokrąglać z dokładnością do dziesiątek, setek, tysięcy itd.
Przy zaokrąglaniu do dziesiątek cyfrę jedności zastępujemy zerem.
Natomiast cyfra dziesiątek może zostać zmieniona w zależności od tego,
jaka była cyfra jedności w liczbie.
zaokrąglamy do
liczby mniejszej
czyli do 20
zaokrąglamy do
liczby większej
czyli do 30
zaokrąglamy do
liczby mniejszej
czyli do 30
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Jeżeli cyfrą jedności jest 1, 2, 3, 4,
to zaokrąglając do dziesiątek,
zmniejszamy liczbę do najbliższej
pełnej dziesiątki (mówimy wtedy,
że zaokrąglamy w dół).
Jeżeli cyfrą jedności jest 5, 6, 7, 8, 9,
to zaokrąglając do dziesiątek,
powiększamy liczbę do najbliższej
pełnej dziesiątki (mówimy wtedy,
że zaokrąglamy w górę).
141 | 140
3274 | 3270
377 | 380
5165 | 5170
23 | 20
28 | 30
Przy zaokrąglaniu do setek cyfry dziesiątek i jedności zastępujemy
zerami.
Jeżeli cyfrą dziesiątek jest 0, 1,
2, 3, 4, to zaokrąglając do setek,
zmniejszamy liczbę do najbliższej
pełnej setki (mówimy wtedy, że
zaokrąglamy w dół).
725 | 700
3508 | 3500
125 441 | 125 400
Jeżeli cyfrą dziesiątek jest 5, 6,
7, 8, 9, to zaokrąglając do setek,
powiększamy liczbę do najbliższej
pełnej setki (mówimy wtedy, że
zaokrąglamy w górę).
362 | 400
2583 | 2600
74 890 | 74 900
W podobny sposób zaokrąglamy z dokładnością do tysięcy, dziesiątek
tysięcy itd.
24
Rozdział 1. Liczby całkowite
Ogólnie zasadę zaokrąglania możemy pokazać następująco:
Przykład 1.7.
Zaokrąglij liczby 54 169 i 27 842 z dokładnością do tysięcy.
Ustalamy dokładność zaokrąglenia — ważne są cyfry tysięcy i wyższych rzędów,
a setki i cyfry niższych rzędów zastępujemy zerami.
Gdy cyfra setek wynosi 0, 1, 2, 3 lub 4,
cyfra tysięcy pozostaje bez zmian.
Gdy cyfra setek wynosi 5, 6, 7, 8 lub 9,
cyfra tysięcy musi być powiększona o 1.
54 163
te cyfry zastępujemy zerami
27 842
te cyfry zastępujemy zerami
Zapisujemy zaokrąglenie:
54 163 | 54 000
27 842 | 28 000 .
koniec przykładu 1.7.
Ćwiczenie 3.
Zaokrąglij liczby 192, 247, 364, 453, 529, 638, 271, 885:
a) z dokładnością do dziesiątek,
b) z dokładnością do setek.
Ćwiczenie 4.
Podaj po 3 zaokrąglenia (z różną dokładnością) podanych liczb.
a) 15 728
b) 100 825
c) 5919
d) 64 759
Przykład 1.8.
a) Zaokrąglij liczbę 399 z dokładnością do dziesiątek.
Ponieważ cyfra jedności wynosi 9, cyfrę dziesiątek należy
powiększyć o 1. W ten sposób otrzymujemy 10 dziesiątek, czyli
1 setkę. W miejscu dziesiątek wpisujemy zatem 0, a cyfrę setek
powiększamy o 1.
399 | 400
b) Zaokrąglij liczbę 952 z dokładnością do setek.
Ponieważ cyfra dziesiątek wynosi 5, cyfrę setek należy powiększyć
o 1. W ten sposób otrzymujemy 10 setek, czyli tysiąc. W rzędzie
setek wpisujemy 0, a w rzędzie tysięcy 1.
952 | 1000
Rozdział 1. Liczby całkowite
25
c) Zaokrąglij liczbę 51 z dokładnością do setek.
Ponieważ cyfra dziesiątek wynosi 5, cyfrę setek wynoszącą 0 należy
powiększyć o 1. Cyfry dziesiątek i jedności zastępujemy zerami.
51 | 100
koniec przykładu 1.8.
Ćwiczenie 5.
Podane liczby zaokrąglij z dokładnością do setek.
a) 4981, 16 952, 999, 9999
b) 7024, 1002, 47, 3
Zadania
\1 W Antoninowie mieszka 27 368 osób, w Bogdanowie 31 187 osób,
a w Cezarowie 19 732 osoby. Podaj liczby mieszkańców tych miejscowości
w zaokrągleniu do tysięcy.
\2 W wyborach do samorządu miasta wzięły udział 2863 osoby.
Na kandydata nr 1 głosowało 86 osób, na kandydata nr 2 — 1564 osoby,
a pozostałe głosy zdobył kandydat nr 3. Podaj liczbę głosujących na
każdego z kandydatów w zaokrągleniu do setek.
\3 Liczby występujące w tekstach podaj w zaokrągleniu do dziesiątek.
Wieża Eiffla w Paryżu została zbudowana w 1889 r. Konstrukcja wieży
składa się z 18 083 części metalowych. Obecnie ma wysokość 324 m.
Na wysokościach 57 m, 115 m i 275 m znajdują się tarasy widokowe.
Pałac Kultury i Nauki w Warszawie został oddany do użytku w 1955 r.
Z iglicą i wspornikiem antenowym ma wysokość 237 m. Na wysokości
114 m znajduje się taras widokowy.
Łamigłówka
Jaka liczba w zaokrągleniu do dziesiątek,
do setek oraz do tysięcy wynosi 1000?
Czy istnieje tylko jedna liczba spełniająca
powyższe warunki?
26
Rozdział 1. Liczby całkowite
1.5. Liczby całkowite
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
–28
Potocznie mówi się „5 stopni poniżej zera”, a prawidłowo
powinno być „minus 5 stopni Celsjusza”, co zapisuje się
–5°C.
132
Na niektórych mapach zaznaczona jest wysokość
przedstawionego terenu. Ta wysokość jest podawana
w odniesieniu do poziomu morza, np. 170 m n.p.m.
(nad poziomem morza). Istnieją jednak miejsca
położone poniżej poziomu morza (depresje). Spójrz
na fragment mapy i zauważ, jak zapisana jest ich
wysokość.
M. K
ASP
IJSK
IE
AZ
UK
KA
Czy potrafisz odczytać, jaką temperaturę pokazuje
termometr?
Notowane są one liczbami ze znakiem „minus”, np.
–28 m oznacza 28 m p.p.m. (poniżej poziomu morza).
Obejrzyj mapkę umieszczoną na początku tego
rozdziału. Znajdziesz tam informację o największych
depresjach świata.
W budynku, w którym oprócz parteru
i 7 pięter znajdują się 3 poziomy podziemne,
kursuje winda. Przyciski w windzie tego
budynku mogą być oznaczone następująco:
7. piętro
6. piętro
5. piętro
4. piętro
3. piętro
2. piętro
1. piętro
parter
1. poziom podziemny
2. poziom podziemny
3. poziom podziemny
Rozdział 1. Liczby całkowite
27
Liczby wskazujące temperaturę poniżej zera, wysokość poniżej poziomu
morza czy piętra poniżej powierzchni ziemi są przykładami liczb ujemnych
i zapisujemy je ze znakiem „minus” przed liczbą, np.: –3, –7, –42, –56.
Ćwiczenie 1.
Zapisz, jaką temperaturę wskazują termometry.
a)
b)
ºC
c)
ºC
1
0
1
0
d)
ºC
1
0
e)
ºC
1
0
ºC
1
0
Ćwiczenie 2.
Spośród liczb: –5, 7, 4, –12, 0, 6, –8 wypisz liczby ujemne.
Ćwiczenie 3.
Kasia, która chodzi do 4 klasy i nie zna liczb ujemnych, notowała przez
kilka dni temperaturę pokazywaną o godzinie 8 rano przez termometr
za oknem.
1 stycznia
2°C poniżej zera
2 stycznia
1°C poniżej zera
3 stycznia
3°C poniżej zera
4 stycznia
2°C powyżej zera
5 stycznia
6°C poniżej zera
6 stycznia
11°C poniżej zera
Zapisz te temperatury, stosując — jeśli jest taka potrzeba — liczby
ujemne.
28
Rozdział 1. Liczby całkowite
Jeżeli położysz termometr tak, aby rosnące temperatury były skierowane
w prawą stronę, układ liczb na termometrze będzie taki sam jak na osi
liczbowej.
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Liczby ujemne
Liczby dodatnie
Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.
Ćwiczenie 4.
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej trzy punkty o współrzędnych
dodatnich oraz trzy punkty o współrzędnych ujemnych.
Ćwiczenie 5.
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej punkty o współrzędnych:
–10, –7, –1, 0, 2, 8.
Ćwiczenie 6.
Odczytaj współrzędne punktów zaznaczonych na osiach liczbowych.
a)
b)
A
B
C
D
E F
–12 –10
–5
c)
I
d)
N
J
K
–4
L
0
M
G H
5
OP
R
S
–20 –10
Ćwiczenie 7.
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej dwa punkty leżące po
przeciwnych stronach punktu 0 i w równych od niego odległościach.
Zapisz ich współrzędne.
Liczby zapisane przez Ciebie w ćwiczeniu 7., to para liczb przeciwnych.
Rozdział 1. Liczby całkowite
29
Liczby przeciwne to dwie liczby, które leżą na osi liczbowej
w tej samej odległości od zera, ale po przeciwnych jego stronach.
Liczbą przeciwną do 0 jest 0.
Liczby naturalne i liczby do nich przeciwne
tworzą zbiór liczb całkowitych.
Ćwiczenie 8.
Dopisz liczbę przeciwną do każdej z podanych liczb.
a) –10
b) 6
c) –2
d) –154
e) 18
f) –47
Ćwiczenie 9.
O ile jednostek od punktu 0 oddalone są zaznaczone punkty?
A
B
–5
–2
0
C
D
3
8
Z odległością na osi liczbowej związane jest nowe pojęcie matematyczne
— wartość bezwzględna.
Punkt A = (–5) jest oddalony o 5 jednostek na lewo od punktu 0.
Mówimy, że wartość bezwzględna liczby –5 równa się 5.
−5 = 5
czytamy: wartość bezwzględna
Punkt B = (–2) jest oddalony o 2 jednostki na lewo od punktu 0.
2 2
Punkt C = (3) jest oddalony o 3 jednostki na prawo od punktu 0.
3 3
Punkt D = (8) jest oddalony o 8 jednostek na prawo od punktu 0.
8 8
30
Rozdział 1. Liczby całkowite
Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od liczby zero.
Ćwiczenie 10.
Podaj wartości bezwzględne liczb.
a) 6
b) 6
c) 9
d) 15
e) 25
f)
0
1.6. Porównywanie liczb całkowitych
Jeżeli przyjrzymy się liczbom na osi liczbowej, łatwo jest określić, która
z nich jest większa, a która mniejsza. Zwrot (strzałka) na osi liczbowej
pokazuje, w którą stronę wzrastają liczby, zatem im bardziej po prawej
stronie położona jest liczba, tym jest ona większa.
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Jeżeli musimy porównać liczby mniejsze lub większe od tych pokazanych
na osi liczbowej, możemy wyobrażać sobie np. termometr i temperatury
— im cieplej, tym większa jest liczba.
Przykład 1.9.
Porównaj liczby.
a) –16 i –2
Wyobraźmy sobie temperatury –16°C i –2°C. Wyższa z temperatur
to –2°C, zatem liczba –2 jest większa niż –16.
Zatem –16 < –2.
b) 7 i –7
Wyższą temperaturą jest 7°C, niższą –7°C. Zatem: 7 > –7.
koniec przykładu 1.9.
Rozdział 1. Liczby całkowite
31
Ćwiczenie 1.
Przepisz pary liczb i wstaw pomiędzy nie znak < lub >.
a) –9 i 16
–28 i 4
35 i –15
–12 i 7
10 i –10
b) –14 i –17
–6 i –25
–30 i –10
–52 i –49
–15 i –16
c) –8 i 0
4i0
0 i –20
0 i – 19
–65 i 0
Ćwiczenie 2.
Podane liczby ustaw w kolejności rosnącej, czyli od najmniejszej do
największej.
a) –16, –9, 6, –8, 0, –12, 3, –7
b) –10, 0, –2, 4, –20, –11, –1, –5
c) 15, –42, –15, 5, –51, –35, –24, –56
Ćwiczenie 3.
Jaka jest największa liczba całkowita ujemna?
Zadania
\1 Napisz 5 liczb całkowitych:
a) większych od –20,
b) mniejszych od –20,
c) większych od –40 i jednocześnie mniejszych od –30,
d) większych od –21 i jednocześnie mniejszych od –14,
e) ujemnych większych od –6.
\2 Napisz 5 kolejnych (w kolejności rosnącej) liczb całkowitych, takich że:
a) najmniejszą z nich jest liczba –3,
b) największą z nich jest liczba 2.
\3 Zapisz wszystkie liczby całkowite większe od –8 i mniejsze od 3.
\4 Które z liczb: –7, –18, 7, –23, –15, 0, –43, –2, 8, –9:
a) są mniejsze od –15,
b) są większe od –10,
32
Rozdział 1. Liczby całkowite
c) są większe od –8 i mniejsze od 0,
d) są mniejsze od –14 i większe od –25?
\5 Na terenie stacji meteorologicznej wykonuje się m.in. pomiary
temperatur. Oto wyniki pomiarów notowane przez tydzień, o godz. 6.00,
12.00 i 24.00.
Dzień
6.00
12.00
24.00
Poniedziałek –9°C
Wtorek
–11°C
Środa
–13°C
Czwartek
–10°C
Piątek
–8°C
Sobota
–6°C
Niedziela
–3°C
–1°C
0°C
–3°C
–4°C
–1°C
0°C
2°C
–6°C
–9°C
–12°C
–8°C
–4°C
–5°C
–2°C
a) Jaka jest najwyższa, a jaka najniższa
odnotowana temperatura?
b) Kiedy odnotowano temperaturę niższą
niż –10°C?
c) Ile razy zanotowano temperaturę
wyższą niż –3°C?
d) Którego dnia wystąpiła najniższa
temperatura o godz. 6.00, a którego
najniższa o godz. 12.00?
e) Którego dnia odnotowano najwyższą
temperaturę o godz. 24.00?
1.7. Dodawanie liczb całkowitych
Pewnego dnia o godz. 8.00 temperatura wynosiła –8°C. Przez dwie
kolejne godziny wzrosła o 5°C, a przez dwie następne wzrosła jeszcze
o 4°C. Jaką temperaturę wskazywał termometr o godz. 10.00, a jaką
o 12.00?
+4 ºC
+5 ºC
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
Patrząc na rysunek termometru, można łatwo
obliczyć, że o godz. 10.00 temperatura wynosiła
–3°C, a o 12.00 wynosiła 1°C.
Te obliczenia możemy zapisać następującymi
działaniami:
–8 + 5 = –3
–3 + 4 = 1
Rozdział 1. Liczby całkowite
33
Działania podobne do powyższych można wykonać intuicyjnie,
wyobrażając sobie temperatury. Można też początkowo pomagać sobie
rysunkiem termometru lub osi liczbowej. Dodawanie liczby dodatniej do
liczby ujemnej na osi liczbowej będzie wyglądało następująco:
+5
+4
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
Jak widać, dodawanie liczby dodatniej odpowiada przesunięciu punktu
w prawo (zgodnie ze zwrotem osi).
Znając sposób dodawania liczby dodatniej do liczby ujemnej, można też
dodawać liczbę ujemną do liczby dodatniej, np.:
2 + (–7) =
Korzystając z przemienności dodawania, zmieniamy ten zapis na:
–7 + 2 = –5
(temperatura wynosiła –7°C, wzrosła o 2°C, zatem termometr wskazuje
–5°C).
Zwróć uwagę na zapis liczby ujemnej w działaniu 2 + (–7).
Nawias nie jest informacją o kolejności wykonywania działań, ale
oddziela liczbę ujemną od pozostałej części zapisu. Liczbę ujemną
zapisujemy w nawiasie wtedy, gdy znak działania i znak liczby
znajdują się bezpośrednio obok siebie.
Ćwiczenie 1.
Oblicz sumy liczb. W podpunktach c) i d) zastosuj prawo przemienności
dodawania.
a) 9 5
b) 6 9
10 4
1 7
6 4
8 7
3 3
34
Rozdział 1. Liczby całkowite
4 10
5 8
2 6
c) 2 (1)
7 (3)
8 (6)
10 (8)
5 (2)
d) 6 (7)
4 (9)
5 (11)
2 (8)
9 (10)
Inny sposób rozumowania, jakie można przeprowadzić przy dodawaniu
liczb całkowitych, pokazano w poniższym zadaniu.
Na konkursie matematycznym uczestnikom zadano po 20 pytań.
Za dobrą odpowiedź otrzymują oni 1 punkt (dodatni), a za niepoprawną
−1 punkt (ujemny). Za brak odpowiedzi nie otrzymują żadnego punktu,
ale muszą odpowiedzieć na co najmniej 10 pytań. Tabela pokazuje liczbę
punktów zdobytych przez niektórych uczestników.
Punkty
dodatnie
Punkty
ujemne
Michał
8
–11
Agnieszka
6
–10
Iwona
6
–7
Maciek
8
–10
Ewelina
11
–8
Jacek
10
–2
Imię
Graficzne
przedstawienie
punktów
Rezultat
Aby obliczyć, ile punktów zdobył każdy z uczestników, należy dodać
zdobyte przez niego punkty dodatnie (plusy) i punkty ujemne (minusy).
Michał
Agnieszka
Iwona
Maciek
Ewelina
Jacek
8 (11)
6 (10)
6 (7)
8 (10)
11 (8)
10 (2)
3
4
1
2
3
8
Zatem dodając liczbę dodatnią i liczbę ujemną, można wyobrażać
sobie plusy i minusy. Wystarczy wówczas zastanowić się, ile z nich się
zredukuje, a ile pozostanie.
Rozdział 1. Liczby całkowite
35
Ćwiczenie 2.
Wykonaj dodawanie.
a) 12 (9)
b) 14 (20)
16 4 48 50 24 13 31 20 25 19 c) 22 11
100 30
54 21
62 60
35 38 17 27 27 35 47 17
d) 31 40
45 56
84 100
19 20
50 73
Wróćmy do opisanego na s. 35 konkursu matematycznego: w drugim
etapie uczestnicy ponownie odpowiadali na pytania na takich samych
zasadach. Wyniki I i II etapu przedstawiono w tabeli.
Imię
I etap
II etap
Michał
–3
–2
Agnieszka
–4
–5
Iwona
–1
4
Maciek
–2
–4
Ewelina
3
–5
Jacek
8
–2
Graficzne
przedstawienie punktów
Rezultat
Zapis działań pokazujących liczbę punktów zdobytych przez każdego
z uczestników konkursu:
Michał
Agnieszka
Iwona
Maciek
Ewelina
Jacek
36
3 (2) 5
4 (5) 9
1 4 3
2 (4) 6
3 (5) 2
8 (2) 6
Rozdział 1. Liczby całkowite
Działania dotyczące punktów
zdobytych przez Michała,
Agnieszkę i Maćka pokazują,
w jaki sposób dodajemy do siebie
dwie liczby ujemne.
Ćwiczenie 3.
Oblicz sumy dwóch liczb ujemnych.
a) 5 (8)
12 (4)
9 (8)
2 (2)
10 (12)
b) 8 (6)
7 (13)
6 (11)
20 (3)
c) 16 (5)
24 (13)
45 (21)
60 (13)
15 (5)
38 (20)
Ciekawostka
W jaki sposób można ułatwić sobie dodawanie?
Mamy 3 osie liczbowe: dwie (czarne) jednakowe oraz jedną (czerwoną) o odcinku jednostkowym
2 razy krótszym od pozostałych. Ułożone są w równej odległości od siebie i tak, że ich punkty
zerowe znajdują się jeden pod drugim. Jak wykorzystać te osie do dodawania?
Chcąc wykonać działanie −4 + (−2), znajdujemy na górnej osi pierwszy składnik, czyli –4, na
dolnej drugi składnik, czyli –2, i łączymy je odcinkiem (na rysunku oznaczony kolorem zielonym).
Ten odcinek przecina oś środkową w punkcie, którego współrzędna jest szukanym wynikiem.
Zatem −4 + (−2) = −6.
Podobnie, chcąc obliczyć sumę −2 + 5, znajdujemy składniki na górnej i dolnej osi i łączymy je
odcinkiem (niebieskim). Punkt przecięcia tego odcinka ze środkową osią pokazuje wynik równy 3.
Jakie działanie i jaki wynik pokazuje żółty odcinek?
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
–6
0
–5
–4
–3
–2
–1
1
1
2
1
2
3
4
2
3
5
6
3
4
7
8
4
5
6
7
9 10 11 12 13 14
5
6
Rozdział 1. Liczby całkowite
7
37
Zadania
\1 Stan konta bankowego jest podawany w liczbach dodatnich lub
ujemnych (jeżeli właściciel konta ma dług). W tabeli podane są stany
kont czterech osób.
Osoba
Stan konta
Pan Aleksander
400
Oblicz sumy stanów kont:
a) pana Aleksandra i pana Bogdana,
Pan Bogdan
–600
b) pana Bogdana i pana Czesława,
Pan Czesław
100
c) pana Czesława i pana Dariusza,
Pan Dariusz
–300
d) wszystkich wymienionych osób.
\2 Znajdź 2 liczby całkowite, takie że:
a) ich suma jest równa 1,
b) ich suma jest równa −1,
c) ich suma jest równa 0,
d) ich suma jest równa −8.
\3 Pani Magdalena miała w banku 600 zł długu, a pani Aneta 300 zł
długu. Każda z nich wpłaciła do banku 200 zł. Jaki był stan konta każdej
z pań po tej wpłacie?
\4 O ile stopni wzrosła temperatura, jeżeli początkową temperaturą było
−13°C, a końcową:
a) −8°C,
b) −4°C,
c) 0°C,
d) 2°C?
\5 W poniedziałek Kamila pożyczyła od Ani 12 zł. We wtorek oddała jej
3 zł, ale już w środę znów pożyczyła od Ani 7 zł. W czwartek oddała Ani
8 zł. Zapisz, posługując się liczbami całkowitymi, działanie pozwalające
obliczyć dług Kamili.
1.8. Odejmowanie liczb całkowitych
O godz. 15.00, temperatura wynosiła 4°C, po trzech godzinach spadła
o 6°C, a po następnych trzech jeszcze o 3°C. Jakie temperatury pokazywał
termometr o godz. 18.00 i 21.00?
38
Rozdział 1. Liczby całkowite
-6 ºC
-3 ºC
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
Korzystając z rysunku termometru, odczytujemy,
że o godz. 18.00 temperatura wynosiła –2°C,
a o godz. 21.00 spadła do –5°C.
Działania odpowiadające tym obliczeniom to:
46
2
2 3 5
Powyższe zagadnienie pokazuje, w jaki sposób, wyobrażając sobie
termometr, od liczby całkowitej (dodatniej lub ujemnej) odejmujemy
liczbę dodatnią.
Przy tego typu odejmowaniu może być też pomocna oś liczbowa.
–3
–6
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
Odejmowaniu liczby dodatniej odpowiada przesunięcie punktu w lewo
(przeciwnie do zwrotu osi).
Ćwiczenie 1.
Oblicz różnice.
a) 4 7
6 10
1 9
58
03
b) 2 6
3 4
10 2
5 7
4 6
Ćwiczenie 2.
Wykonaj wskazane działania.
a) 10 2 i 10 (2)
c) 15 4
9 20
1 45
14 6
27 30
b) 20 4 i 20 (4)
d) 24 50
24 50
48 6
16 12
34 43
c) 7 13 i 7 (13)
Rozdział 1. Liczby całkowite
39
Zauważ, że działania 4 – 6 i 4 + (–6) dają taki sam wynik.
46
4 (6) 2
Pierwszym działaniem jest odejmowanie liczby 6.
Ponieważ dodawanie i odejmowanie to działania odwrotne, drugim
działaniem jest dodanie liczby przeciwnej do 6, czyli −6.
Zatem odejmowanie liczby daje taki sam wynik, jak dodawanie liczby do
niej przeciwnej.
„Odjąć liczbę” oznacza to samo co „dodać liczbę przeciwną”.
Przykład 1.10.
Oblicz:
a) −12 − (−7) = –12 + 7 = − 5
Zamiast odejmować liczbę −7, dodamy liczbę przeciwną do −7,
czyli 7.
b) −10 − (−16) = −10 + 16 = 6
Zamiast odejmować liczbę −16, dodamy liczbę przeciwną do −16,
czyli 16.
c) 7 − (−4) = 7 + 4 = 11
Zamiast odejmować liczbę −4, dodamy liczbę przeciwną do −4,
czyli 4.
koniec przykładu 1.10.
Ćwiczenie 3.
Zamień odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej i oblicz.
a) 3 (5)
8 (12)
7 (20)
12 (18)
9 (16)
40
Rozdział 1. Liczby całkowite
b) 13 (4)
10 (19)
24 (13)
15 (8)
6 (6)
c) 4 (5)
1 (9)
0 (3)
16 (15)
50 (23)
Jeżeli przed nawiasem, w którym znajduje się liczba całkowita,
jest znak +, to po opuszczeniu nawiasu znak liczby pozostaje taki sam.
......... + (–.........) = ......... – .........
Np. 6 + (–8) = 6 – 8
Jeżeli przed nawiasem, w którym znajduje się liczba całkowita,
jest znak –, to po opuszczeniu nawiasu znak liczby zmienia się na przeciwny.
......... – (–.........) = ......... + .........
Np. – 4 – (–2) = – 4 + 2
Ćwiczenie 4.
Opuść nawiasy i wykonaj działania.
a) 6 (13)
5 (9)
4 (15)
7 (13)
8 (7)
b) 4 (6) (7)
2 (8) (4)
6 (5) (10)
10 (12) (5)
7 (7) (7)
Zadania
\1 Do każdego z poleceń napisz odpowiednie działanie i wykonaj je.
a) Do sumy liczb 15 i −24 dodaj −16.
b) Od sumy liczb −9 i −13 odejmij −10.
c) Do różnicy liczb 5 i −11 dodaj −25.
d) Od różnicy liczb −2 i 8 odejmij −18.
Rozdział 1. Liczby całkowite
41
\2 W czasie bardzo mroźnej doby
obserwowano temperatury powietrza
i zapisywano jej wzrost lub spadek.
6.00
temperatura wynosiła –24°C
10.00
wzrost o 8°C
14.00
wzrost o 6°C
18.00
spadek o 3°C
2.00
spadek o 7°C
Podaj wskazania termometru o każdej
22.00 spadek o 4°C
zapisanej godzinie.
\3 Oblicz różnice temperatur
w dzień i w nocy dla każdego
z miast zaznaczonych na mapie.
W którym mieście ta różnica
jest największa, a w którym
najmniejsza?
Szczecin
13ºC
–2ºC
Gdańsk 11ºC
–3ºC
10ºC
–3ºC
Poznań
8ºC
–9ºC
Białystok
Warszawa
11ºC
–5ºC
Kraków
12ºC
–3ºC
\4 Powierzchnia niektórych
jezior położona jest poniżej poziomu morza.
POZIOM MORZA
GŁĘBOKOŚĆ
JEZIORA
WYSOKOŚĆ
LUSTRA WODY
WYSOKOŚĆ
NAJNIŻSZEGO
PUNKTU DNA
a) Morze Kaspijskie ma lustro wody na wysokości −26 m n.p.m., a jego
najniżej położony punkt znajduje się na wysokości −1053 m n.p.m.
Jaka jest głębokość tego jeziora?
b) Lustro wody Morza Martwego znajduje się na wysokości
−408 m n.p.m., a jego najniżej położone miejsce —
na wysokości −786 m n.p.m. Oblicz jego głębokość.
c) Jezioro Miedwie (Polska) ma lustro wody powyżej poziomu
morza, na wysokości 14 m n.p.m. Wykonaj odpowiedni rysunek
pomocniczy i oblicz, na jakiej wysokości znajduje się jego najniżej
położony punkt, jeżeli maksymalna głębokość jeziora wynosi 44 m.
42
Rozdział 1. Liczby całkowite
Ciekawostka
Największą głębiną na Ziemi jest Rów Mariański na Oceanie Spokojnym.
Jego głębokość to 10 994 m. Najwyższym szczytem na powierzchni Ziemi
jest Mount Everest o wysokości 8848 m n.p.m.
Czy potrafisz obliczyć różnicę wysokości między Mount Everestem a Rowem
Mariańskim?
1.9. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych
Przypomnimy sposób mnożenia liczb, który poznałeś w klasie IV.
5 ⋅ (3 + 6) = 5 ⋅ 9 = 45
lub 5 ⋅ (3 + 6) = 5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 = 15 + 30 = 45
=9
Ten sam sposób wykorzystamy do wyjaśnienia, jak należy mnożyć liczby
całkowite.
Oblicz: 4 ˜ 2 .
Przykład 1.11.
Działanie 4 ˜ 2 2 obliczamy dwoma sposobami, które muszą dać
taki sam wynik. Pierwszy sposób polega na wykonaniu w pierwszej
kolejności działania w nawiasie. Drugi sposób polega na zastosowaniu
rozdzielności mnożenia względem dodawania. Otrzymujemy w nim
dwa iloczyny. Pierwszy 4 ˜ 2 8 oraz nieznany nam jeszcze iloczyn liczby
ujemnej przez dodatnią 4 ˜ (2) . Ponieważ, według obliczenia pierwszym
sposobem, suma obu iloczynów musi wynosić 0, zatem wynik mnożenia
4 ˜ (2) 8
4 ⋅ (2 + (−2)) = 4 ⋅ 0 = 0 lub
=0
4 ⋅ (2 + (−2)) = 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ (−2) = 0
=8
=?
Jaką liczbę należy dodać do liczby 8,
aby otrzymać liczbę 0?
Zatem: 4 ˜ 2 8 .
Odpowiedź: −8.
koniec przykładu 1.11.
Rozdział 1. Liczby całkowite
43
Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach
(liczby dodatniej i liczby ujemnej) jest liczbą ujemną.
W podobny sposób pokażemy, jak pomnożyć dwie liczby ujemne.
Oblicz: 5 ˜ 3 .
Przykład 1.12.
Obserwując rozwiązywanie dwoma sposobami działania 5 ˜ (3 (3))
i przeprowadzając rozumowanie takie, jak w poprzednim przykładzie,
możemy podać wynik działania 5 ˜ 3 .
−5 ⋅ (3 + (−3)) = 5 ⋅ 0 = 0
=0
lub
−5 ⋅ (3 + (−3)) = −5 ⋅ 3 + (−5) ⋅ (−3) = 0
= −15
=?
Jaką liczbę należy dodać
do liczby –15, aby otrzymać
liczbę 0?
Zatem: 5 ˜ 3 15 .
Odpowiedź: 15
koniec przykładu 1.12.
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.
44
Rozdział 1. Liczby całkowite
Ćwiczenie 1.
Oblicz iloczyny.
a) 3 ˜ 7
6 ˜ 8
5 ˜ 9
10 ˜ 6
13 ˜ 3
b) 8 ˜ 7 4 ˜ 6 9 ˜ 3 12 ˜ 4 25 ˜ 3 c) 4 ˜ 7 3 ˜ 8 9 ˜ 9 15 ˜ 3 7 ˜ 11
Wykorzystując wiadomości zawarte w definicjach, można obliczać
iloczyny więcej niż dwóch liczb, co pokazuje poniższy przykład.
Przykład 1.13.
Oblicz: 4 ˜ 2 ˜ 10 ˜ 7 ˜ 2 .
Mnożenie wykonujemy w kolejności zapisu:
−4 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −10 ) ⋅ 7 ⋅ ( −2 ) = 8 ⋅ ( −10 ) ⋅ 7 ⋅ ( −2 ) = −80 ⋅ 7 ⋅ ( −2 ) = −560 ⋅ ( −2 ) = 11120
=8
= −80
= −560
koniec przykładu 1.13.
Ćwiczenie 2.
Oblicz.
a) 5 ˜ 1 ˜ 1 ˜ 4 b) 3 ˜ 7 ˜ 2 ˜ 100 c) 4 ˜ 4 ˜ 4 d) 5 ˜ 6 ˜ 2 ˜ 20 e) 10 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 1 ˜ 3 f) (6)2
g) (3)3
h) (1)3 ˜ (8)2
Rozdział 1. Liczby całkowite
45
Aby dowiedzieć się, kiedy iloraz dwóch liczb będzie dodatni, a kiedy
ujemny, wystarczy przyjrzeć się grafom ilustrującym fakt, że dzielenie jest
działaniem odwrotnym do mnożenia.
·(–4)
·8
–4
–32
–5
·(–5)
20
20 : 4 5
:(–4)
:8
32 : 8 4
§ dzielna ujemna ·
¨
¸
¨ dzielnik dodatni ¸
¨ iloraz ujemny ¸
©
¹
§ dzielna dodatnia ·
¨
¸
¨ dzielnik ujemny ¸
¨ iloraz ujemny ¸
©
¹
6
–30
30 : 5 6
:(–5)
§ dzielna ujemna ·
¨
¸
¨ dzielnik ujemny ¸
¨ iloraz dodatni ¸
©
¹
Iloraz dwóch liczb o różnych znakach (liczby dodatniej
i liczby ujemnej) jest liczbą ujemną.
Iloraz dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.
Ćwiczenie 3.
Oblicz ilorazy.
a) 15 : 3
28 : 7
56 : 8
140 : 20
88 : 11
b) 36 : 4 72 : 9 100 : 25 350 : 7 60 : 4 c) 42 : 6 54 : 9 137 : 1
320 : 80 84 : 4 Ćwiczenie 4.
Zapisz pary równych iloczynów.
4 ˜ 6 , 8 ˜ 2 , 4 ˜ 6 , 5 ˜ 9 , 9 ˜ 5 , 7 ˜ 8 , 8 ˜ 2 , 9 ˜ 5 ,
8 ˜ 2 , 8 ˜ 7 , 6 ˜ 4 , 7 ˜ 8 .
Ćwiczenie 5.
Jaką liczbą: dodatnią czy ujemną jest iloczyn:
46
a) trzech liczb ujemnych,
b) czterech liczb ujemnych,
c) siedmiu liczb ujemnych,
d) dziesięciu liczb ujemnych?
Rozdział 1. Liczby całkowite
Zadania utrwalające
\1 Które działania są wykonane poprawnie?
I. 9 6 5 4 15 9 6
II. 8 ˜ 5 : 4 ˜ 2
40 : 4 ˜ 2 10 ˜ 2 20
III. 7 8 ˜ 4 15 ˜ 4 60
IV. 28 : 2 2 28 : 4 7
A. II i IV
C. I i III
B. tylko II
D. I, II i III
\2 Liczba 7989 zaokrąglona do setek jest równa:
A. 7900
B. 7000
C. 8000
D. 7800
\3 Która cyfra w wyniku jest napisana błędnie?
I
7925
468
+ 339
9732
A. 9
B. 7
C. 3
D. 2
A. 4
B. 6
C. 7
D. 3
5 9 11 10
II
6020
– 1357
4673
\4
B. 15 375 ˜ 400
Działaniem obliczanym na kalkulatorze prostym w powyższy sposób jest:
A. 15 375 ˜ 400
C. 15 375 ˜ 400 D. 375 ˜ 400 15
\5 Na osi liczbowej zaznaczono kolorem zielonym punkt o współrzędnej:
0
A. –3
B. –6
C. –12
12
D. –18
\6 W którym wyrażeniu znak nierówności jest zapisany prawidłowo?
A. –6 – 7 < 0
B. –6 – (–7) < 0
C. 6 – 7 > 0
D. –6 + (–7) > 0
Rozdział 1. Liczby całkowite
47
7
Które ze zdań są prawdziwe?
I. Wartość bezwzględna liczby nigdy nie jest liczbą ujemną.
II. Najmniejszą liczbą całkowitą ujemną jest liczba –1.
III. Wartość bezwzględna liczby nie może być zerem.
IV. Najmniejszą liczbą całkowitą jest 0.
A. wszystkie
B. tylko I
C. tylko II
D. I, II i IV
Który z ilorazów ma wartość ujemną? Odpowiedz bez wykonywania
obliczeń.
8
A. 144 : 3 : 1 : 2 C. 144 : 3 : 1 : 2 9
A. 24 56 100
B. 4 2 15 2
D. 13 1 2 10
Jaka liczba wpisana w miejsce kratki da równość prawdziwą?
16 21
A. –5
48
D. 144 : 3 : 1 : 2
Które wyrażenie ma wartość dodatnią?
C. 1 8 36 40
10
B. 144 : 3 : 1 : 2
Rozdział 1. Liczby całkowite
B. 5
C. –37
D. 37