Linearyzacja

Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Modelowanie i podstawy identyfikacji
- studia stacjonarne
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Wykład 6+7 - 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Linearyzacja
Modele liniowe powstają też w wyniku linearyzacji nieliniowych modeli
zarówno wejście – wyjście jak i przestrzeni stanu w otoczeniu tzw.
trajektorii nominalnej
Skupimy się najpierw na modelach przestrzeni stanu
Weźmy nieliniowy niestacjonarny model przestrzeni stanu
x t   f  x t , ut ,t , x t0   x0
- równanie stanu
y t   h x t , ut ,t 
- równanie wyjścia
gdzie
x  n
- stan
up
- wejście
y  q
- wyjście
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f ,,, h,, - funkcje różniczkowalne w
sposób ciągły względem
swoich argumentów
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Trajektorię nominalną określa się w następujący sposób:
~t ,
Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia u
x t , to trajektoria która spełnia równanie
nominalna trajektoria stanu ~
stanu
~
~t ,t , ~
x t   f  ~
x t , u
x t0   ~
x0
a nominalna trajektoria wyjścia, to trajektoria, która
równanie wyjścia
~
~t ,t 
y t   h~
x t ,u
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
spełnia
3
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała
~t   u  const
u
x t   x  const , jeżeli
trajektoria stanu jest stanem równowagi, ~
spełnia równanie
0  f  x ,u ,t 
dla wszystkich t
Nominalna trajektoria wyjścia staje się trajektorią stałą, która
spełnia równanie
y  h x ,u ,t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Ograniczymy się na tym wykładzie tylko do tego drugiego
przypadku
Odchylenia stanu ( w tym stanu początkowego), wejścia i wyjścia od
ich trajektorii nominalnych (równowagi) oznaczymy
x t   x  x t 
x t   x t   x
u t   ut   u
y t   y t   y
x 0  x 0  x 0

ut   u  u t 
y t   y  y t 
x 0  x 0  x 0
Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie stanu
x  0
x t   x  x  t   f  x  x t , u  u t ,t 
x t   0  x  t   f  x  x t , u  u t ,t 
Rozwijamy funkcję f w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości
nominalnych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
x t   0  x  t   f  x , u ,t  

Modele fenomenologiczne - linearyzacja
f
 x , u ,t   x t   x 
x
f
 x , u ,t  ut   u   R
u
Z definicji trajektorii
równowagi, stanu
nominalnej,
w
szczególności
trajektorii
0  f  x ,u ,t 
i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych
rzędów są spełnione
f
 x , u ,t   x t 
x
f
  x , u ,t   u t 
u
x  t  
Zlinearyzowane równanie stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 x , u ,t     x , u ,t n  n 
x
 x j

 f1
 x  x , u ,t 
 1
 f 2  x , u ,t 
  x1


 f
 n  x , u ,t 
 x1
f1
 x , u ,t   f1
x2
xn
f 2
 x , u ,t   f 2
x2
xn


f n
f n
 x , u ,t  
x2
xn
 x , u ,t 

 x , u ,t 




 x , u ,t 

A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 x , u ,t     x , u ,t n  p 
u
 u j

f1
 f1


x
,
u
,
t
 u
u2
 1
 f 2  x , u ,t  f 2
  u1
u2



 f n  x , u ,t  f n
 u1
u2
B
 x , u ,t 
 x , u ,t 

 x , u ,t 
f1
 x , u ,t 
u p

f 2
 x , u ,t 

u p




f n
 x , u ,t 


u p

x  t   A  x t   B  u t 
Zlinearyzowane równanie stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Podobnie dla równania wyjścia
yt   y  y t   h x  x t , u  u t ,t 
Rozwijamy funkcję h w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości
nominalnych
y t   y  y t 
 h x , u ,t  

h
 x , u ,t    x t   x 
x
h
 x , u ,t   ut   u   R
u
Z definicji trajektorii nominalnej wyjścia
y  h x ,u ,t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych
rzędów są spełnione
h
 x , u ,t   x t 
x
h
 x , u ,t   u t 

u
y t  
Zlinearyzowane równanie wyjścia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 hi

h
 x , u ,t     x , u ,t q  n 
x
 x j

h1
h1
 h1







x
,
u
,
t
x
,
u
,
t

x
,
u
,
t
 x

x2
xn
1



h

h

h
2
2
 2  x , u ,t 


x t , u ,t  
x , u ,t 
  x1

x2
xn






 h

hq
hq
q

 x , u ,t 
 x , u ,t  
 x , u ,t 
x2
xn
 x1

C
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 hi

h
 x , u ,t     x , u ,t q  p 
u
 u j

 h1
 u  x , u ,t 
 1
 h2  x , u ,t 
  u1



 hq  x , u ,t 
 u1

D
h1
 x , u ,t   h1
u2
u p
h2
 x , u ,t   h2
u2
u p


hq
h
 x , u ,t   q
u2
u p
 x , u ,t 

 x , u ,t 



 x , u ,t 

y t   C  x t   D  u t 
Zlinearyzowane równanie wyjścia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
12
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Model szczególny trajektorii nominalnych – stała trajektoria wejścia,
trajektoria stanu = stan równowagi
Model zlinearyzowany w otoczeniu stanu równowagi
x  t   Ax t   Bu t 
x0  x0  x0
y t   Cx t   Du t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład 5a
Linearyzacja modelu stanu SPS z przykładu 4
1
 Rw  iw t   uw t 
f w  x t , ut  
iw t   1  Rw  iw t   u w t 
Lw
Lw
1
it t   1  Rt  it t   G  iw t    t   ut t  f t  x t , ut    Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
Lt
Lt
1
1
f m  x t , ut   G  iw t   it t   M o t 
 t   G  iw t   it t   M o t 
J
J
h xt   t 
a) wskazanie równowagowej trajektorii nominalnej – trajektorii równowagi
Wykazanie, że istnieją rozwiązania układu równań
 Rw  iw  uw  0
 Rt  it  G  iw    ut  0
G  iw  it  M o  0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Układ 3 równań algebraicznych nieliniowych z 6
niewiadomymi
Zakładamy: u w , ut , M o
Obliczamy: iw ,it ,
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Nietrudno pokazać, że takie rozwiązania istnieją, np.
uw
Mo
ut  Rt  it
iw 
 it 
 
Rw
G  iw
G  iw
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
f w  x t , ut  
b) obliczenie macierzy stanu A

 f i
f
 x , u ,t     x , u ,t 3  3
A
x

 x j
1
 Rw  iw t   uw t 
Lw
f t  x t , ut  
1
 Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
Lt
f m  x t , ut  
1
G  iw t   it t   M o t 
J

 f w
f w
f w
 x , u ,t 
 x , u ,t 
 x , u ,t 


it

 iw
f

f

f

t
t


x , u ,t 
x , u ,t 
  t  x , u ,t 

 iw

it

 f
f

f

m
m
m

 x , u ,t 
 x , u ,t 
 x , u ,t 

it

 iw
 Rw
 L
w

G 
 
 Lt
 G i
t

 J
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0
Rt
Lt
G  iw
J




G  iw 

Lt 

0 

0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
f w  x t , ut  
c) obliczenie macierzy wejścia B
 f i

f
 x , u ,t     x , u ,t 3  3
B
u
 u j

 f w
 x , u ,t 

 u w
f
  t  x , u ,t 
 u w
 f
 m  x , u ,t 
 u w
1
L
 w
 0


0

0
1
Lt
0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
1
 Rw  iw t   uw t 
Lw
f t  x t , ut  
1
 Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
Lt
f m  x t , ut  
1
G  iw t   it t   M o t 
J

f w
 x , u ,t  f w  x , u ,t 
ut
M o

f t
 x , u ,t  f t  x , u ,t 
ut
M o

f m
f m
 x , u ,t 
 x , u ,t 
ut
M o


0 

0 

1
 
J
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
d) zlinearyzowane równanie stanu
1
 Rw  iw t   uw t 
iw t  
Lw
1
it t    Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
Lt
1
 t   G  iw t   it t   M o t 
J
 Rw
 
 iw ,   Lw
   G 
 it ,    
Lt
   
    G  it

 J
0
Rt

Lt
G  iw
J
x  t   Ax t   Bu t 

 1


  iw ,   Lw
G  iw    

  it ,    0

Lt   
  

 0
0 



0
0
1
Lt
0
x0  x0  x0

0 
  u w , 

 
0    ut , 
  M  
1
 
J
 iw ,0 ,   iw ,0   iw ,0   iw ,0   iw 

        
 it ,0 ,    it ,0    it ,0    it ,0    it 
             
 0 ,   0   0   0   
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
18
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
e) obliczenie macierzy wyjścia C
h xt   t 
 hi

h
 x , u ,t     x , u ,t 1 3
C
x
 x j

 h

h
h
 x , u ,t 
 x , u ,t 
 x , u ,t 


i

i


t
 w

 0 0 1
f) obliczenie macierzy bezpośredniego przejścia D
 hi

h
 x , u ,t     x , u ,t 1 3
D
u
 u j

 h

 x , u ,t  h  x , u ,t  h  x , u ,t 

ut
M o
 u w

 0 0 0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
d) zlinearyzowane równanie wyjścia
h xt   t 
 iw , 
 uw , 
 


y  0 0 1   it ,   0 0 0   ut , 
 
M 
 
 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Podsumowanie:
- zlinearyzowane równanie stanu
 Rw
 

 iw ,   Lw
   G 
 it ,    
Lt
   
    G  it

 J
0
Rt
Lt
G  iw
J


 1


  iw ,   Lw
G  iw    
  it ,   0

Lt    
  

 0
0 



0
0
1
Lt
0

0 
  u w , 

 
0    ut , 
  M  
1
 
J
 iw ,0 ,   iw ,0   iw ,0   iw ,0   iw 

        
 it ,0 ,    it ,0    it ,0    it ,0    it 
             
 0 ,   0   0   0   
- zlinearyzowane równanie wyjścia
 iw , 
 uw , 
 


y  0 0 1   it ,   0 0 0   ut , 
 
M 
 
 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Podobnie można przedstawić linearyzację modeli wejście - wyjście
Weźmy nieliniowy niestacjonarny model wejście - wyjście


f y n  , , y , um  , , u,t  0
y 0   y0 , , y n 1 0   y0n 1
gdzie
u   p - wejście
y   - wyjście
q
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f ,, - funkcje różniczkowalne w
sposób ciągły względem
swoich argumentów
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
22
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Trajektorię nominalną określa się w analogiczny sposób:
~t ,
Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia u
nominalna trajektoria wyjścia ~
y t , modelu wejście - wyjście
spełnia równanie:


f ~y n  , , ~y , u~ m  , , u~ ,t  0
z warunkami początkowymi:
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
~
y 0   ~
y0 , , ~
y n 1 0   ~
y0n 1
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała
~t   u  const
u
~
nominalna trajektoria wyjścia jest stała, y t   y  const , i spełnia
równanie
0  f  y ,u ,t 
dla wszystkich t
Z określenia trajektorii równowagi:
u    u n   y    y m   0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Odchylenia wejścia i wyjścia (i ich warunków początkowych) od ich
trajektorii równowagi oznaczymy
ut   u  u t 
u t  
u  t 
u t   ut   u
u t   u t   u  u t 


um  t   u m  t   u m   u m  t 
y t   y t   y
y  t   y t   y  y t 

yn  t   y n  t   y n   y n  t 

u m  t   um  t 
y t   y  y t 
y t  
y  t 

y n  t  
yn  t 
u0  u0  u0
u 0  u 0  u 0  u 0

u m 10  u0m 1  u0m 1  u0m 1
y0  y0  y0
y 0  y 0  y 0  y 0

y n 10  y0n 1  y0n 1  y0n 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie wejście - wyjście

0  f yn  t , , y  y t , u m  t , , u  u t ,t
Rozwijamy funkcję
nominalnych
f

w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości
f
f
n 
n 




f
y
,
u
,
t
y
t

y



f  y , u ,t   y t   y 
n 
y
y
f

f  y , u ,t   y t   y 
y
f
f
m 
m 





f
y
,
u
,
t
u
t

u



f  y , u ,t  u t   u 
m 
u
u
f

f  y , u ,t  ut   u 
u
R

0  f  y , u ,t  


Biorąc pod uwagę

0  f  y ,u ,t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione
f
f
n 




f
y
,
u
,
t

y
t



f  y , u ,t   y  t 

n 
y
y
f

f  y , u ,t   y t 
y
f
f
m 





f
y
,
u
,
t

u
t



f  y , u ,t   u  t 

m 

u
u
f

f  y , u ,t   u t   0
u
Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 n   y , u ,t     n   y , u ,t  q  q 
y
 y j

f 1
f 1
 f 1







y
,
u
,
t
y
,
u
,
t

y
,
u
,
t
 y n 

y2n 
yqn 
1


 f 2  y , u ,t  f 2  y , u ,t   f 2  y , u ,t 

  y1n 
y2n 
yqn 









f

f

f
q
q
 q  y , u ,t 



y
,
u
,
t

y , u ,t 

n

n

n
 y1

y2
yq


 M n 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
28
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  q 
y
 y j

 f 1
 y  y , u ,t 
 1
 f 2  y , u ,t 
  y 1



 f q  y , u ,t 
 y 1

 M 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f 1
 y , u ,t   f1
y 2
y q
f 2
 y , u ,t   f 2
y 2
y q


f q
f
 y , u ,t   q
y 2
y q
 y , u ,t 

 y , u ,t 



 y , u ,t 

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  q 
y
 y j

 f 1
 y  y , u ,t 
 1
 f 2  y , u ,t 
  y1



 f q  y , u ,t 
 y1

 M 0 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f 1
 y , u ,t   f1
y2
yq
f 2
 y , u ,t   f 2
y2
yq


f q
f
 y , u ,t   q
y2
yq
 y , u ,t 

 y , u ,t 



 y , u ,t 

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
30
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 m   y , u ,t     m   y , u ,t  q  p 
u
 u j

f 1
f 1
 f 1







y
,
u
,
t
y
,
u
,
t

y
,
u
,
t
 u m 

u2m 
u pm 
1



f

f

f
 2  y , u ,t 
2
2


y , u ,t  
y , u ,t 

m


m


m


  u1
u2
u p









f

f

f
q
q
q




y , u ,t 
y , u ,t  
y , u ,t 

m

m

m
 u1

u2
u p


 N m 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  p 
u
 u j

f 1
 f 1


y
,
u
,
t
 u
u2
 1
 f 2  y , u ,t  f 2
  u1
u2



 f q  y , u ,t  f q
 u1
u2

 N 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
 y , u ,t 
 y , u ,t 

 y , u ,t 
f 1
 y , u ,t 
u p

f 2
 y , u ,t 

u p




f q
 y , u ,t 

u p


Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  p 
u
 u j

f 1
 f 1


y
,
u
,
t
 u
u2
 1
 f 2  y , u ,t  f 2
  u1
u2



 f q  y , u ,t  f q
 u1
u2

 N 0 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
 y , u ,t 
 y , u ,t 

 y , u ,t 
f 1
 y , u ,t 
u p

f 2
 y , u ,t 

u p




f q
 y , u ,t 

u p


Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
M n   yn  t     M 1  y  t   M 0   y t 
 t   N 0   u t   0
 N m   um  t     N 1  u
Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład 5b
Linearyzacja modelu stanu SPS z przykładu 4
1
 Rw  iw t   uw t 
iw t  
Lw
1
it t    Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
Lt
1
 t   G  iw t   it t   M o t 
J
f w  yt , y t , ut   Lw  iw t   Rw  iw t   u w t 
f t  yt , y t , ut   Lt  it t   Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
f m  yt , yt , ut   J   t   G  iw t   it t   M o t 
Musimy policzyć M(1) , M(0) oraz N(0)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
f w  yt , y t , ut   Lw  iw t   Rw  iw t   u w t 
f t  yt , y t , ut   Lt  it t   Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
f m  yt , yt , ut   J   t   G  iw t   it t   M o t 
M
1
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t 3  3

y
 y j

 f w
   y , u ,t 
 iw
f
  t  y , u ,t 
 iw
 f
 m  y , u ,t 
 iw
 Lw 0 0 


  0 Lt 0 
 0 0 J


 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f w
 y , u ,t 

it
f t
 y , u ,t 
it
f m
 y , u ,t 

it

f w
 y , u ,t 


f t
 y , u ,t 


f t
 y , u ,t 



Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
f w  yt , y t , ut   Lw  iw t   Rw  iw t   u w t 
f t  yt , y t , ut   Lt  it t   Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
f m  yt , yt , ut   J   t   G  iw t   it t   M o t 
M 0  


f
 y , u ,t    f i  y , u ,t 3  3
y

 y j
 f w
f w
 y , u ,t 


t
,
u
,
y

it
 iw
f t
f
 y , u ,t 
  t  y , u ,t 
 iw
it
 f
 m  y , u ,t  f m  y , u ,t 
it
 iw
0 
0
 Rw


G  iw 
Rt
  G 
 G i  G i
0 
w
t

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

f w
 y , u ,t 


f t
 y , u ,t 


f t
 y , u ,t 


Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
f w  yt , y t , ut   Lw  iw t   Rw  iw t   u w t 
f t  yt , y t , ut   Lt  it t   Rt  it t   G  iw t    t   ut t 
f m  yt , yt , ut   J   t   G  iw t   it t   M o t 
N 0  


f
 y , u ,t    f i  y , u ,t 3  3
u
 u j

 f w
 y , u ,t 

 u w
f
  t  y , u ,t 
 u w
 f
 m  y , u ,t 
 u w

f w
 y , u ,t  f w  y , u ,t 
ut
M o

f t
f t
 y , u ,t 
 y , u ,t 
ut
M o

f m
f t
 y , u ,t 
 y , u ,t 
ut
M o

 1 0 0 


  0 1 0 
 0 0 1


 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Podsumowanie:
- zlinearyzowane równanie wejście – wyjście: postać macierzowa
M 1  y  t   M 0   y t   N 0   u t   0
 Lw

 0
 0

0
Lt
0
0   iw ,
 
0    it ,
J    
  Rw
 
   G 
  G i
t
 
0
Rt
 G  iw
0   iw ,
 
G  iw    it ,
0   
 1

 0
 0

0
1
0





0   u w ,
 
0    ut ,
1   M o ,


0


- zlinearyzowane równanie wejście – wyjście: postać zwykła
Lw  iw ,  Rw  iw ,  1 u w ,  0
Lt  it ,  G    iw ,  Rt  it ,  G  iw    1 ut ,  0
J     G  it  iw ,  G  iw  M o ,  0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Kategorie otrzymanego modelu
 parametryczny
 dynamiczny
 ciągły
 liniowy
 o parametrach skupionych
 stacjonarny
 deterministyczny
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Modyfikacje modelu podsystemu mechanicznego
Moment oporowy dzielony często na dwie części:
 wewnętrzny – opory strat samego wirnika
 zewnętrzny – od urządzenia napędzanego
M o t   M ow t   M oz t 
Zasadnicza składowa momentu oporowego wewnętrznego – moment oporowy tarcia
lepkiego
M ow t   D   t 
gdzie, D – współczynnik tarcia lepkiego
Równanie momentu oporowego przyjmie w takim przypadku postać:
M o t   D   t   M oz t 
Gdyby interesowało nas położenie wału silnika wyprowadzone modele należy uzupełnić o
t  
d t 
  t 
dt
gdzie, Θ – położenie kątowe wału silnika
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Dziękuję
– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu
Inne przykłady modeli – Dodatek A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Dodatek A
Systemy mechaniczne – przykładowe modele
Przykład D-1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 
M y 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
M y

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
46
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-3
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Systemy elektryczne – przykładowe modele
Przykład D-4
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-5
uwe t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
53
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-6
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
54
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
55
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Z drugiego z ostatnich równań
u we 2 t    R2C f 2
du wy t 
dt

R2
u wy 2 t 
Rf 2
Podstawiając do pierwszego i porządkując otrzymamy
R f 1C f 1 R f 2C f 2
d 2u wy t 
dt 2
 R f 1C f 1  R f 2C f 2 

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Rf 1 Rf 2
R1 R2
du wy t 
dt
 u wy t 
u we t 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
56
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Ustalanie warunków początkowych – przykłady:
systemy elektryczne
W dotychczas przedstawionych przykładach nie skupialiśmy uwagi na
określaniu wartości warunków początkowych dla otrzymywanych r.r.
modelu, gdyż w przykładach tych ich określenie nie powinno
nastręczać trudności. Spotkać można jednak zadania w których
określenie warunków początkowych wymaga pewnego skupienia.
Podamy przykłady takich zadań zaczerpnięte z elektrotechniki
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
57
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przydatne przy określaniu warunków początkowych wskazówki
Przypomnijmy zależności wiążące wartości napięcia i prądu na
podstawowych elementach układów elektrycznych
iR
uR
u R t 
iR t  
 u R t   iR t R
R
- możliwa skokowa zmiana prądu
- możliwa skokowa zmiana napięcia
duC  
1
uC t    iC  d  iC t   C
C0
d  t
t
iC
uC
- możliwa skokowa zmiana prądu
- niemożliwa skokowa zmiana napięcia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
58
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
iL  
1
u L t   L
 iL t    uL  d
d  t
L0
t
iL
uL
- możliwa skokowa zmiana napięcia
- niemożliwa skokowa zmiana prądu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
59
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Przykład WP-1
L
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
iL(t)
uL (t)
u(t)
P
C
uC (t)
uR1 (t)
R1
R2
uR2 (t)
Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili t=0- tuż
przed przełączeniem
przełącznika P, w obwodzie panuje stan
ustalony. W chwili t = 0 zostaje przełączony przełącznik P zgodnie
ze strzałką na rysunku. Zbudować model matematyczny pozwalający
badać zależność przebiegu napięcia na kondensatorze C oraz prądu
pobieranego ze źródła
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
60
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Model systemu
d 2uC t  L duC t 
LC

 uC t   u t   0
dt
R2 dt
Potrzebne warunki początkowe
uC 0

duC 0  
?
dt
?
Dla wejściowego oczka, dla każdej chwili t
ut   uL t   uC t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
61
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
W szczególności
u0   u0    u0    E  E  0
uL 0   uL 0    uL 0    uL 0  
uC 0   uC 0    uC 0    0  uC 0    uC 0    E
Stąd
uC 0    E
oraz
u L 0    0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
62
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Dalej
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Prąd i nie może zmienić się skokowo („nagle”) a jego wartość jest
równa
it   iC t   iRo t 
Mamy
i0   i0    i0    0
iC 0   iC 0    iC 0    iC 0  








u
0
u
0




u
0
u
0
R2
R1


iRo 0   iR0 0   iR0 0  



R2
R1
R2
R1
E E


R2 R1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
63
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Zatem
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
E E
0  iC 0  

R2 R1

E E
iC 0  

R1 R2

i ostatecznie
duC 0   1
1  E E  E R2  R1

 iC 0      
dt
C
C  R1 R2  C R1 R2
duC 0   E R2  R1

dt
C R1 R2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
64
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Przykład WP-2
i (t)
W
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
io (t)
iC (t)
uw (t)
u(t)
C
uC (t)
L0
uL (t)
uR (t)
R0
Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili tuż
przed wyłączeniem (t=0-) wyłącznika W w obwodzie panował stan
ustalony. W chwili t = 0 zostaje wyłączony wyłącznik W. Zbudować
model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia
na zaciskach wyłącznika uw (t) przy zadanym napięciu u(t)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
65
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Model systemu
d 2uW t 
duW t 
LoC
 RoC
 uW t   ut   0
dt
dt
Potrzebne warunki początkowe
uW 0

duW 0  
?
dt
?
Napięcie na kondensatorze nie może się skokowo zmienić, więc
uC 0    uC 0    u 0    E
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
66
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Napięcie na wyłączniku
uW t   ut   uC t 
Równanie spójności dla wejściowego oczka, dla chwil przed
wyłączeniem
ut   uC t 
Stąd
uW 0    u 0    uC 0    E  E  0
uW 0    0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
67
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
duW 0   d
 u 0    uC 0  
dt
dt
Mamy zależność
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Ponieważ
oraz
it   io t   iC t   0


 E
u
0
i0   i 0    i 0    0 
Ro
Ro
u 0   E
io 0   io 0   io 0   0  io 0   io 0  

Ro
R0




iC 0   iC 0    iC 0    iC 0  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
68
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Stąd
Modele fenomenologiczne - linearyzacja



u
0
E

iC 0   

Ro
Ro
Ponieważ



duW 0   d
du
0
d



C
 u 0   uC 0   E  uC 0   
dt
dt
dt
dt
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Stąd
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
duW 0  
1

E
dt
RoC
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
69
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Przykład WP-3
i (t)
R
uR (t)
u(t)
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
L
uL (t)
uRo (t)
iR (t)
R0
iC (t)
uC (t)
C
Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili tuż
przed wyłączeniem (t=0- ) wyłącznika W w obwodzie panował stan
ustalony. W chwili t = 0 zostaje wyłączony wyłącznik W. Zbudować
model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia
na zaciskach odbiornika Ro przy zadanym napięciu u(t)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
70
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Model systemu
d 2uC t  
L  duC t  
R
LC
  RC  
  1  uC t   ut 
dt
Ro  dt
Ro 


Oczywiście, dla t>0
u Ro t   uC t 
Potrzebne warunki początkowe
uC 0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

?
duC 0  
?
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
71
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Ponieważ napięcie na kondensatorze nie może się „nagle” zmienić
uC 0    uC 0  
Z stanu ustalonego przed załączeniem wynika
uC 0    E  uC 0    E
Dla znalezienia drugiego warunku początkowego
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Z równania dla węzła
it   iC t   iRo t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
72
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Prąd w cewce nie może zmienić się skokowo, więc
i0    i0    0
Stąd
iC 0

  i 0 

Ro
E
 iRo 0  
Ro

Zatem
duC 0   1
1

 iC 0   
E
dt
C
RoC
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
73
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Systemy hydrauliczne – przykładowe modele
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
74
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-7
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
75
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
76
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-8
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
77
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
78
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Przykład D-9
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
79
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
80
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Modele fenomenologiczne - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
81