Document 1327381

Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Linearyzacja
Modele liniowe powstają też w wyniku linearyzacji nieliniowych modeli
przestrzeni stanu w otoczeniu tzw. trajektorii nominalnej
Weźmy nieliniowy niestacjonarny model przestrzeni stanu
x t   f  x t , ut ,t , x t0   x0
- równanie stanu
y t   h x t , ut ,t 
- równanie wyjścia
gdzie
x  n
- stan
u  m
- wejście
y p
- wyjście
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f ,,, h,, - funkcje różniczkowalne w
sposób ciągły względem
swoich argumentów
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
1
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Trajektorię nominalną określa się w następujący sposób:
~t ,
Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia u
x t , spełnia równanie stanu
nominalna trajektoria stanu ~
~
~t ,t , ~
x t   f  ~
x t , u
x t0   ~
x0
i nominalna trajektoria wyjścia spełnia równanie wyjścia
~
~t ,t 
y t   h~
x t ,u
Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała
~t   u
~  const
u
trajektoria stanu jest stanem równowagi ~
x , który spełnia równanie
~t ,t 
0  f ~
x t , u
dla wszystkich t
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
2
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Odchylenia stanu ( w tym stanu początkowego), wejścia i wyjścia od
ich trajektorii nominalnych oznaczymy
x t   ~
x t   x t 
x t   x t   ~
x t 


~ t 
u t   ut   u

~ t   u t 
ut   u

y t   y t   ~y t 
y t   ~y t   y t 
x0   x 0  ~
x0
x0  ~
x0  x0 
Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie stanu
~t   u t ,t 
x t   ~
x t   x  t   f  ~
x t   x t , u

Rozwijamy funkcję f
w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości
nominalnych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
3
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
~ t ,t   f  ~
~ t ,t    x t   ~
x t   ~
x t   x t   f  ~
x t , u
x t , u
x t 
x

f ~ ~
 x t , u t ,t   ut   u~ t   R
u
Z definicji trajektorii nominalnej stanu
~
~ t ,t 
x t   f  ~
x t , u
i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych
rzędów są spełnione
x  t  
f ~ ~
 x t , u t ,t   x t 
x

f ~ ~
 x t , u t ,t   u t 
u
Zlinearyzowane równanie stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
4
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i ~ ~

f ~ ~
 x t , u t ,t     x t , u t ,t n  n 
x
 x j

 f 1 ~ ~
 x  x t , u t ,t 
 1
~ t ,t 
 f 2  ~
x t , u
  x1


 f
~ t ,t 
x t , u
 n ~
 x1
f 1
x2
f 2
x2
 ~x t , u~ t ,t 
 ~x t , u~ t ,t 

f n ~ ~
 x t , u t ,t 
x2
f 1
xn
f 2

xn

f n

xn

 ~x t , u~ t ,t 

 ~x t , u~ t ,t 




~
~
 x t , u t ,t 

 At 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
5
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i ~ ~

f ~ ~
 x t , u t ,t     x t , u t ,t n  m 
u
 u j

f 1
 f 1 ~ ~






x
t
,
u
t
,
t
 u
u 2
 1
~ t ,t  f 2
 f 2  ~
x t , u
  u1
u 2


 f
~ t ,t  f n
x t , u
 n ~
u 2
 u1
 ~x t , u~ t ,t 
 ~x t , u~ t ,t 

 ~x t , u~ t ,t 
f 1
u m
f 2

u m

f n

u m

 ~x t , u~ t ,t 

 ~x t , u~ t ,t 




~
~
 x t , u t ,t 

 B t 
x  t   At  x t   Bt  u t 
Zlinearyzowane równanie stanu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
6
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Podobnie dla równania wyjścia
~t   u t ,t 
yt   ~y t   y t   h ~
x t   x t , u

Rozwijamy funkcję h w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości
nominalnych
y t   ~y t   y t 
~ t ,t   h  ~
~ t ,t    x t   ~
 h ~
x t , u
x t , u
x t 
x

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
h ~ ~
 x t , u t ,t   ut   u~ t   R
u
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
7
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Z definicji trajektorii nominalnej wyjścia
~
~t ,t 
y t   h~
x t ,u
i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych
rzędów są spełnione
h ~ ~


 x t , u t ,t   x t 
y t 
x

h ~ ~
 x t , u t ,t   u t 
u
Zlinearyzowane równanie wyjścia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
8
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 hi ~ ~

h ~ ~
 x t , u t ,t     x t , u t ,t  p  n 
x
 x j

 h1 ~ ~
 x  x t , u t ,t 
 1
~ t ,t 
 h2  ~
x t , u
  x1


 h
~ t ,t 
 p ~
x t , u
 x1
h1
x2
h2
x2
 ~x t , u~ t ,t 
 ~x t , u~ t ,t 

h p ~ ~
 x t , u t ,t 
x2
h1 ~ ~
 x t , u t ,t 
xn

h2 ~ ~
 x t , u t ,t 


xn




h p ~ ~
 x t , u t ,t 

xn


 C t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
9
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 hi ~ ~

h ~ ~
 x t , u t ,t     x t , u t ,t  p  m 
u
 u j

 h1 ~ ~
 u  x t , u t ,t 
 1
~ t ,t 
 h2  ~
x t , u
  u1


 h
~ t ,t 
 p ~
x t , u
 u1
h1
u2
h2
u2
 ~x t , u~ t ,t 
 ~x t , u~ t ,t 

h p ~ ~
 x t , u t ,t 
u2
h1
um
h2

um

h p

um

 ~x t , u~ t ,t 

 ~x t , u~ t ,t 




~
~
 x t , u t ,t 

 Dt 
y t   C t   x t   Dt   u t 
Zlinearyzowane równanie wyjścia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
10
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Przykład
Ruch kulki toczącej się w wyżłobionej belce
(patrz rysunek) opisywany jest równaniami
 Jk

2
 2  m  pt   mg sin  t   mpt t   0
r

mpt   J  J t   2mpt p t t   mgpt cos t    t 
2
k
Zmienne
pt 
 t 
 t 
- położenie kulki (wyjście)
- kąt pochylenia belki (wyjście)
- przyłożony moment obrotowy (wejście)
Parametry
g
- przyśpieszenie ziemskie
J
m
r
Jk
- moment bezwładności belki
- masa kulki
- promień kulki
- moment bezwładności kulki
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
11
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Definiujemy zmienne stanu
x1 t   p t 
Wejście
x2 t   p t 
ut    t 
Wyjście
x3 t    t 
yt   pt 
x4 t   t 
Równania stanu
x1 t  
dpt 
 x2 t 
dt
2
d 2 pt 
mg sin  t   mpt t 
m
t 2  g sin  t 


x2 t  




p
t

dt 2
 Jk

 Jk


m
 2

 2  m
r

r





2
2
 k pt t   g sin  t   kx1 t x4 t   kg sin x3 t 
gdzie
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
k
m
 Jk

 2  m
r

12
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
x3 t  
Technologie modelowania - linearyzacja
d t 
 x4 t 
dt
d 2 t   2mpt  p t t   mgpt  cos  t    t 
x4 t  

2
2
dt
mpt   J  J k



 2mx1 t x2 t x4 t   mgx1 t  cos x3 t   u t 
2
mx1 t   J  J k
Równanie wyjścia
yt   x1 t 
Interesuje nas sterowanie w sytuacji: belka w położeniu ustalonym poziomym i kulka
poruszająca się ruchem jednostajnym. Przyjmując, że obserwację rozpoczynamy w
chwili t0, położenie początkowe wynosi p0, zaś prędkość ruchu jednostajnego v0,
możemy napisać
~
x1 t   ~
p t   v0 t  t0   p0
~
x2 t   ~
p t   v0
~
~
x3 t    t   0
~
~
x4 t    t   0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
13
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Podstawmy te ustalenia do równań stanu
x1 t   x2 t 
~
x1 t   ~
p t   v0 t  t0   p0
2
x 2 t   kx1 t x4 t   kg sin x3 t 
~
x2 t   ~
p t   v0
x3 t   x4 t 
~
~
x3 t    t   0
x4 t  
~
~
x4 t    t   0
 2 mx1 t x2 t x4 t   mgx1 t  cos x3 t   u t 
2
mx1 t   J  J k
~
x1 t   v0
~
x1 t   v0
~
x 2 t   0
~
x2 t   k v0 t  t0   p0   0  kg sin 0  0
~
x3 t   0
~
x3 t   0
~
x4 t   0
~
~
x t    2mv0 t  t0   p0   v0  0  mg v0 t  t0   p0  cos 0  u t 
4
2
mv0 t  t0   p0   J  J k
 mg v0 t  t0   p0   u~ t 

2
mv0 t  t0   p0   J  J k
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
14
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Dla przyjętej trajektorii stanu, aby spełniała ona wymagania definicji trajektorii
nominalnej
~
~
x t    mgv0 t  t0   p0   u t   0
4
2
mv0 t  t0   p0   J  J k
czyli
 mgv0 t  t0   p0   u~t   0
u~ t   mgv0 t  t0   p0   mg~
x1 t 
Podsumowanie:
Nominalna trajektoria wejścia
u~t   ~t   mg~
x1 t 
Nominalna trajektoria stanu
~
x1 t   ~
p t   v0 t  t0   p0
~
x2 t   ~
p t   v0
~
~
x3 t    t   0
~
~
x4 t    t   0
Nominalna trajektoria wyjścia
~
y t   ~
p t   ~
x1 t   v0 t  t0   p0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
15
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Definiujemy zmienne przyrostowe w otoczeniu trajektorii nominalnych
- wejścia
- stanu
u t   ut   u~ t    t   mg~
x1 t    t   mg~
p t 
x1 t    p t   ~
p t   p t   ~
p t 
 x1 t   ~






~
~
~


 x t   x2 t   p t   p t   p t   p t 
x t    2

~ 
~

x3 t   x3 t 
 t    t 
 t  

 

~  

 x t   ~



x4 t    t    t     t  
 4
- wyjścia
y t   yt   ~
y t   x1 t   ~
x1 t   pt   ~
p t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
16
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Funkcje f(x(t), u(t)) i h(x(t), u(t))



f  x ,u   



f 1  x ,u   
 
f 2  x , u  

f 3  x ,u  
 
f 4  x ,u  
x2 t 


f 1  x1 , x2 , x3 , x4 ,u   

2
 
kx1 t x4 t   kg sin x3 t 

f 2  x1 , x2 , x3 , x4 ,u 


x4 t 

f 3  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  

   2 mx1 t x2 t x4 t   mgx1 t  cos x3 t   u t  
f 4 x1 , x2 , x3 , x4 ,u  
2



mx
t
 J  Jk
1


h x ,u   h1  x ,u   h1 x1 , x2 , x3 , x4 ,u   x1 t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
17
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Jakobiany
 f i

f
 x t ,u t     x t ,u t 4  4 
x
 x j

 f 1
 x  x t ,u t 
 1
 f 2  x t ,u t 
 x
 1
f
 3  x t ,u t 
 x1
 f 4
 x  x t ,u t 
 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f 1
x2
f 2
x2
f 3
x2
f 4
x2
 x t ,u t 
 x t ,u t 
 x t ,u t 
 x t ,u t 
f 1
x3
f 2
x3
f 3
x3
f 4
x3
 x t ,u t 
 x t ,u t 
 x t ,u t 
 x t ,u t 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
f 1
x4
f 2
x4
f 3
x4
f 4
x4
 x t ,u t 

 x t ,u t 


 x t ,u t 


 x t ,u t 

18
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015







Technologie modelowania - linearyzacja
x2


f 1  x1 , x2 , x3 , x4 ,u   

2
 
kx1 x4  kg sin x3

f 2  x1 , x2 , x3 , x4 ,u 


x4 t 

f 3  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  

   2mx1 x2 x4  mgx1 cos x3  u 
f 4  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  
2

mx
1  J  Jk


f 1
 x ,u   0
x1
f 1
 x ,u   1
x2
f 2
 x ,u   kx4 2
x1
f 2
 x ,u   0
x2
f 2
 x ,u   kg cos x3
x3
f 2
 x ,u   2kx1 x4
x4
f 3
 x ,u   0
x1
f 3
 x ,u   0
x2
f 3
 x ,u   0
x3
f 3
 x ,u   1
x4
f 1
 x ,u   0
x4
f 1
 x ,u   0
x3


f 4
 x ,u    2mx2 x4  mg cos x3  mx1  J  J2 k   2mx2 1 x2 x4  mgx1 cos x3  u 2mx1 
x1
mx1  J  J k
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
2


Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
19
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015







Technologie modelowania - linearyzacja
x2


f 1  x1 , x2 , x3 , x4 ,u   

2
 
kx1 x4  kg sin x3

f 2  x1 , x2 , x3 , x4 ,u 


x4 t 

f 3  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  

   2mx1 x2 x4  mgx1 cos x3  u 
f 4  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  
2

mx
1  J  Jk


f 4
 2mx1 x4
 x ,u   2
x2
mx1  J  J k
f 4
1 sin x3
 x ,u   mgx
2
x3
mx1  J  J k
f 4
 x ,u    22mx1 x2
x4
mx1  J  J k
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
20
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
f
 x t ,u t    f i  x t ,u t 4  1
u
 u








x2


f 1  x1 , x2 , x3 , x4 ,u   

2
 
kx1 x4  kg sin x3

f 2  x1 , x2 , x3 , x4 ,u 


x4 t 

f 3  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  

   2mx1 x2 x4  mgx1 cos x3  u 
f 4  x1 , x2 , x3 , x4 ,u  
2

mx
 J  Jk
1


f 1
 x ,u   0
u
f 2
 x ,u   0
u
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f 3
 x ,u   0
u
 f 1







x
t
,
u
t
 u

 f

2

 x t ,u t 

  u
 f 3  x t ,u t 
 u

 f

4
 x t ,u t 

 u

f 4
 x ,u   2 1
u
mx1  J  J k
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
21
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 h

h
 x t ,u t     x t ,u t 1  4 
x
 x j

 h

h
h
h
 x t ,u t 
 x t ,u t 
 x t ,u t 
 x t ,u t 

x2
x3
x4
 x1

h
 x t ,u t    h  x t ,u t 1  1
u
 u

 h

   x t ,u t 
 u

h x ,u   h1  x ,u   h1 x1 , x2 , x3 , x4 ,u   x1 t 
h
 x ,u   1
x1
h
 x ,u   0
x2
h
 x ,u   0
x3
h
 x ,u   0
x4
h
 x ,u   0
u
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
22
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Wartości jakobianów na trajektoriach nominalnych
 f i ~ ~ 
f ~ ~
 x t ,u t     x t ,u t 4  4 
At  
x
 x j

0


0


0

 mg
 ~ 2
 mp t   J  J k
f 1
 x ,u   0
x1
f 2
 x ,u   kx4 2
x1
f 3
 x ,u   0
x1
0
0  kg
0
0
0
0
f 1
 x ,u   0 f1  x ,u   0
x3
x4
f 1
 x ,u   1
x2
f 2
 x ,u   0
x2
f 3
 x ,u   0
x2
1
f 2
 x ,u   kg cos x3
x3
f 3
 x ,u   0
x3

f 2
 x ,u   2kx1 x4
x4
f 3
 x ,u   1
x4

f 4
 x ,u    2mx2 x4  mg cos x3  mx1  J  J2 k   2mx2 1 x2 x4  mgx1 cos x3  u 2mx1 
x1
mx1  J  J k
f 4
 x ,u    22mx1 x4
x2
mx1  J  J k
2

f 4
1 sin x3
 x ,u   mgx
2
x3
mx1  J  J k
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.



0


1
~
 2mp t v0 

2
m~
p t   J  J k 
0
~
x1 t   ~
p t   v0 t  t0   p0
~
x2 t   ~
p t   v0
~
~
x3 t    t   0
~
~
x4 t    t   0
u~t   ~
pt   mg~
x1 t 
f 4
 x ,u    22mx1 x2
x4
mx1  J  J k
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
23
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Bt  
Technologie modelowania - linearyzacja
f ~ ~
 x t ,u t    f i  ~x t ,u~ t 4  1
u
 u

0




0




0


1
 ~ 2



m
p
t

J

J
k 

f 1
 x ,u   0
u
f 2
 x ,u   0
u
f 3
 x ,u   0
u
f 4
 x ,u   2 1
u
mx1  J  J k
~
x1 t   ~
p t   v0 t  t0   p0
~
x2 t   ~
p t   v0
~
~
x3 t    t   0
~
~
x4 t    t   0
u~t   ~
pt   mg~
x1 t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
24
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 h ~ ~ 
h ~ ~
 x t ,u t     x t ,u t 1  4 
C t  
x
 x j

 1 0 0 0 
h
h
h
h
 x ,u   0 x  x ,u   0
 x ,u   0
 x ,u   1
x3
x2
4
x1
Dt  
h ~ ~
 x t ,u t    h  ~x t ,u~ t 1  1
u
 u

 0 
h
 x ,u   0
u
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
25
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Model nieliniowy
x1 t   x2 t 
2
x 2 t   kx1 t x4 t   kg sin x3 t 
x3 t   x4 t 
x4 t  
 2 mx1 t x2 t x4 t   mgx1 t  cos x3 t   u t 
2
mx1 t   J  J k
yt   x1 t 
Model zlinearyzowany w otoczeniu wybranej trajektorii nominalnej
x  t   At x t   B t u t 
0


0


0

 mg
 ~ 2
 mp t   J  J k
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
1
0
0  kg
0
0
0
0
0
 x t   

1


 
0
0
 x 2 t  




 u t 
1
0



x
t

 2m~
p t v0   3  
1





2
2
p t   J  J k 
m~
p t   J  J k  x 4 t   m~
0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
26
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
y t   C t x t   Dt u t 
 x 1 t  




x
t


 1 0 0 0    2   0  u t 
x t 
 3 
 x t 
 4 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
27
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Model szczególny trajektorii nominalnych – stała trajektoria wejścia, trajektoria
stanu = stan równowagi
v0  0  ~
p t   p0
~
x1 t   ~
p t   p0
~
x2 t   ~
p t   0
Sprawdzić czy jest to stan równowagi!
~
x3 t    t   0
~
~
~
x4 t    t   0
u~t   ~t   mg~
x1 t   mgp0
0


0

At   
0

 mg
 ~ 2
 mp t   J  J k
1
0
0  kg
0
0
0
0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.


0


1
 2m~
p t v0 

2
m~
p t   J  J k 
0
0


0

A
0

 mg

2
 mp0  J  J k
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
0
0  kg 0 
0
0
1

0
0
0

1
0
28
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
0




0


B

0


1


2
mp

J

J
k 
 0
0




0


B t   

0


1
 ~ 2

 mp t   J  J k 
C t   1 0 0 0
C  1 0 0 0
Dt   0
D  0
Model zlinearyzowany w otoczeniu stanu równowagi
x  t   Ax t   Bu t 
0


0


0

 mg

2
mp
 0  J  Jk
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
0  x t  
0

 1 

0  kg 0  x t  
0

 2 

 u t 
0
0
1 x t  
0
  3  

1
0
0
0  x t  

2
4


mp

J

J
k 

 0
1
0
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
29
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
y t   Cx t   Du t 
 x 1 t  




x
t


 1 0 0 0    2   0  u t 
x t 
 3 
 x t 
 4 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
30
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Podobnie można przedstawić linearyzację modeli wejście - wyjście
Weźmy nieliniowy niestacjonarny model wejście - wyjście


f y n  , , y , um  , , u,t  0
y 0   y0 , , y n 1 0   y0n 1
gdzie
u   p - wejście
y   - wyjście
q
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f ,, - funkcje różniczkowalne w
sposób ciągły względem
swoich argumentów
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
31
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Trajektorię nominalną określa się w analogiczny sposób:
~t ,
Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia u
nominalna trajektoria wyjścia ~
y t , modelu wejście - wyjście
spełnia równanie:


f ~y n  , , ~y , u~ m  , , u~ ,t  0
z warunkami początkowymi:
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
~
y 0   ~
y0 , , ~
y n 1 0   ~
y0n 1
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
32
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała
~t   u  const
u
~
nominalna trajektoria wyjścia jest stała, y t   y  const , i spełnia
równanie
0  f  y ,u ,t 
dla wszystkich t
Z określenia trajektorii równowagi:
u    u n   y    y m   0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
33
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Odchylenia wejścia i wyjścia (i ich warunków początkowych) od ich
trajektorii równowagi oznaczymy
ut   u  u t 
u t  
u  t 
u t   ut   u
u t   u t   u  u t 


um  t   u m  t   u m   u m  t 
y t   y t   y
y  t   y t   y  y t 

yn  t   y n  t   y n   y n  t 

u m  t   um  t 
y t   y  y t 
y t  
y  t 

y n  t  
yn  t 
u0  u0  u0
u 0  u 0  u 0  u 0

u m 10  u0m 1  u0m 1  u0m 1
y0  y0  y0
y 0  y 0  y 0  y 0

y n 10  y0n 1  y0n 1  y0n 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
34
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie wejście - wyjście

0  f yn  t , , y  y t , u m  t , , u  u t ,t
Rozwijamy funkcję
nominalnych
f

w szereg Taylor’a w otoczeniu wartości
f
f
n 
n 




f
y
,
u
,
t
y
t

y



f  y , u ,t   y t   y 
n 
y
y
f

f  y , u ,t   y t   y 
y
f
f
m 
m 





f
y
,
u
,
t
u
t

u



f  y , u ,t  u t   u 
m 
u
u
f

f  y , u ,t  ut   u 
u
R

0  f  y , u ,t  


Biorąc pod uwagę

0  f  y ,u ,t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
35
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione
f
f
n 




f
y
,
u
,
t

y
t



f  y , u ,t   y  t 

n 
y
y
f

f  y , u ,t   y t 
y
f
f
m 





f
y
,
u
,
t

u
t



f  y , u ,t   u  t 

m 

u
u
f

f  y , u ,t   u t   0
u
Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
36
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i

f
 n   y , u ,t     n   y , u ,t  q  q 
y
 y j

f 1
f 1
 f 1







y
,
u
,
t
y
,
u
,
t

y
,
u
,
t
 y n 

y2n 
yqn 
1


 f 2  y , u ,t  f 2  y , u ,t   f 2  y , u ,t 

  y1n 
y2n 
yqn 









f

f

f
q
q
 q  y , u ,t 



y
,
u
,
t

y , u ,t 

n

n

n
 y1

y2
yq


 M n 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
37
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  q 
y
 y j

 f 1
 y  y , u ,t 
 1
 f 2  y , u ,t 
  y 1



 f q  y , u ,t 
 y 1

 M 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f 1
 y , u ,t   f1
y 2
y q
f 2
 y , u ,t   f 2
y 2
y q


f q
f
 y , u ,t   q
y 2
y q
 y , u ,t 

 y , u ,t 



 y , u ,t 

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
38
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  q 
y
 y j

 f 1
 y  y , u ,t 
 1
 f 2  y , u ,t 
  y1



 f q  y , u ,t 
 y1

 M 0 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
f 1
 y , u ,t   f1
y2
yq
f 2
 y , u ,t   f 2
y2
yq


f q
f
 y , u ,t   q
y2
yq
 y , u ,t 

 y , u ,t 



 y , u ,t 

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
39
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i

f
 m   y , u ,t     m   y , u ,t  q  p 
u
 u j

f 1
f 1
 f 1







y
,
u
,
t
y
,
u
,
t

y
,
u
,
t
 u m 

u2m 
u pm 
1



f

f

f
 2  y , u ,t 
2
2


y , u ,t  
y , u ,t 

m


m


m


  u1
u2
u p









f

f

f
q
q
q




y , u ,t 
y , u ,t  
y , u ,t 

m

m

m
 u1

u2
u p


 N m 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
40
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  p 
u
 u j

f 1
 f 1


y
,
u
,
t
 u
u2
 1
 f 2  y , u ,t  f 2
  u1
u2



 f q  y , u ,t  f q
 u1
u2

 N 1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
 y , u ,t 
 y , u ,t 

 y , u ,t 
f 1
 y , u ,t 
u p

f 2
 y , u ,t 

u p




f q
 y , u ,t 

u p


Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
41
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
 f i

f
 y , u ,t     y , u ,t q  p 
u
 u j

f 1
 f 1


y
,
u
,
t
 u
u2
 1
 f 2  y , u ,t  f 2
  u1
u2



 f q  y , u ,t  f q
 u1
u2

 N 0 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
 y , u ,t 
 y , u ,t 

 y , u ,t 
f 1
 y , u ,t 
u p

f 2
 y , u ,t 

u p




f q
 y , u ,t 

u p


Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
42
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
M n   yn  t     M 1  y  t   M 0   y t 
 t   N 0   u t   0
 N m   um  t     N 1  u
Zlinearyzowane równanie wejście - wyjście
Dodatek A – Przykłady innych modeli
fenomenologicznych
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
43
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Dziękuję
– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
44
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Dodatek A
Systemy mechaniczne i inne – przykładowe modele
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
45
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Linearyzacja w otoczeniu punktu równowagi
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
46
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
47
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
48
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
49
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Inne przykłady – Dodatek A
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
50
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Dodatek A
Systemy mechaniczne – przykładowe modele
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
51
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
52
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 
M y 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
M y

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
53
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
54
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
55
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
56
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
57
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
58
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
59
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
60
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
uwe t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
61
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
62
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
63
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Z drugiego z ostatnich równań
u we 2 t    R2C f 2
du wy t 
dt

R2
u wy 2 t 
Rf 2
Podstawiając do pierwszego i porządkując otrzymamy
R f 1C f 1 R f 2C f 2
d 2u wy t 
dt 2
 R f 1C f 1  R f 2C f 2 

 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Rf 1 Rf 2
R1 R2
du wy t 
dt
 u wy t 
u we t 
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
64
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Ustalanie warunków początkowych – przykłady:
systemy elektryczne
W dotychczas przedstawionych przykładach nie skupialiśmy uwagi na
określaniu wartości warunków początkowych dla otrzymywanych r.r.
modelu, gdyż w przykładach tych ich określenie nie powinno
nastręczać trudności. Spotkać można jednak zadania w których
określenie warunków początkowych wymaga pewnego skupienia.
Podamy przykłady takich zadań zaczerpnięte z elektrotechniki
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
65
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Przydatne przy określaniu warunków początkowych wskazówki
Przypomnijmy zależności wiążące wartości napięcia i prądu na
podstawowych elementach układów elektrycznych
iR
uR
u R t 
iR t  
 u R t   iR t R
R
- możliwa skokowa zmiana prądu
- możliwa skokowa zmiana napięcia
duC  
1
uC t    iC  d  iC t   C
C0
d  t
t
iC
uC
- możliwa skokowa zmiana prądu
- niemożliwa skokowa zmiana napięcia
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
66
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
iL  
1
u L t   L
 iL t    uL  d
d  t
L0
t
iL
uL
- możliwa skokowa zmiana napięcia
- niemożliwa skokowa zmiana prądu
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
67
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Przykład 1
Technologie modelowania - linearyzacja
L
iL(t)
uL (t)
u(t)
P
C
uC (t)
uR1 (t)
R1
R2
uR2 (t)
Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili t=0- tuż
przed przełączeniem
przełącznika P, w obwodzie panuje stan
ustalony. W chwili t = 0 zostaje przełączony przełącznik P zgodnie
ze strzałką na rysunku. Zbudować model matematyczny pozwalający
badać zależność przebiegu napięcia na kondensatorze C oraz prądu
pobieranego ze źródła
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
68
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Model systemu
d 2uC t  L duC t 
LC

 uC t   u t   0
dt
R2 dt
Potrzebne warunki początkowe
uC 0

duC 0  
?
dt
?
Dla wejściowego oczka, dla każdej chwili t
ut   uL t   uC t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
69
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
W szczególności
u0   u0    u0    E  E  0
uL 0   uL 0    uL 0    uL 0  
uC 0   uC 0    uC 0    0  uC 0    uC 0    E
Stąd
uC 0    E
oraz
u L 0    0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
70
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Dalej
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Prąd i nie może zmienić się skokowo („nagle”) a jego wartość jest
równa
it   iC t   iRo t 
Mamy
i0   i0    i0    0
iC 0   iC 0    iC 0    iC 0  








u
0
u
0




u
0
u
0
R2
R1


iRo 0   iR0 0   iR0 0  



R2
R1
R2
R1
E E


R2 R1
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
71
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Zatem
Technologie modelowania - linearyzacja
E E
0  iC 0  

R2 R1

E E
iC 0  

R1 R2

i ostatecznie
duC 0   1
1  E E  E R2  R1

 iC 0      
dt
C
C  R1 R2  C R1 R2
duC 0   E R2  R1

dt
C R1 R2
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
72
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Przykład 2
i (t)
W
Technologie modelowania - linearyzacja
io (t)
iC (t)
uw (t)
u(t)
C
uC (t)
L0
uL (t)
uR (t)
R0
Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili tuż
przed wyłączeniem (t=0-) wyłącznika W w obwodzie panował stan
ustalony. W chwili t = 0 zostaje wyłączony wyłącznik W. Zbudować
model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia
na zaciskach wyłącznika uw (t) przy zadanym napięciu u(t)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
73
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Model systemu
d 2uW t 
duW t 
LoC
 RoC
 uW t   ut   0
dt
dt
Potrzebne warunki początkowe
uW 0

duW 0  
?
dt
?
Napięcie na kondensatorze nie może się skokowo zmienić, więc
uC 0    uC 0    u 0    E
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
74
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Napięcie na wyłączniku
uW t   ut   uC t 
Równanie spójności dla wejściowego oczka, dla chwil przed
wyłączeniem
ut   uC t 
Stąd
uW 0    u 0    uC 0    E  E  0
uW 0    0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
75
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
duW 0   d
 u 0    uC 0  
dt
dt
Mamy zależność
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Ponieważ
oraz
it   io t   iC t   0



u
0
E


i0   i0   i0   0 

Ro
Ro
io 0   io 0    io 0    0  io 0    io 0  
iC 0   iC 0    iC 0    iC 0  
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
76
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Stąd
Technologie modelowania - linearyzacja



u
0
E

iC 0   

Ro
Ro
Ponieważ



duW 0   d
du
0
d



C
 u 0   uC 0   E  uC 0   
dt
dt
dt
dt
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Stąd
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
duW 0  
1

E
dt
RoC
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
77
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Przykład 3
i (t)
Technologie modelowania - linearyzacja
R
uR (t)
u(t)
L
uL (t)
uRo (t)
iR (t)
R0
iC (t)
uC (t)
C
Do zacisków układu podłączone jest napięcie u(t)=E. W chwili tuż
przed wyłączeniem (t=0- ) wyłącznika W w obwodzie panował stan
ustalony. W chwili t = 0 zostaje wyłączony wyłącznik W. Zbudować
model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia
na zaciskach odbiornika Ro przy zadanym napięciu u(t)
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
78
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Model systemu
d 2uC t  
L  duC t  
R
LC
  RC  
  1  uC t   ut 
dt
Ro  dt
Ro 


Oczywiście, dla t>0
u Ro t   uC t 
Potrzebne warunki początkowe
uC 0
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

?
duC 0  
?
dt
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
79
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Ponieważ napięcie na kondensatorze nie może się „nagle” zmienić
uC 0    uC 0  
Z stanu ustalonego przed załączeniem wynika
uC 0    E  uC 0    E
Dla znalezienia drugiego warunku początkowego
duC 0   1
 iC 0  
dt
C
Z równania dla węzła
it   iC t   iRo t 
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
80
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Prąd w cewce nie może zmienić się skokowo, więc
i0    i0    0
Stąd
iC 0

  i 0 

Ro
E
 iRo 0  
Ro

Zatem
duC 0   1
1

 iC 0   
E
dt
C
RoC
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
81
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
Technologie modelowania - linearyzacja
Systemy hydrauliczne – przykładowe modele
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
82
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
83
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
84
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
85
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
86
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
87
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
88
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015
 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Technologie modelowania - linearyzacja
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
89