skyptB

Zasada Szufladkowa Dirichleta – podsumowanie kółka
1) Definicje:
 Jeżeli mamy n+1 przedmiotów i n szufladek to 2 przedmioty muszą trafić do jednej z szuflad;
n
 Jeśli mamy n przedmiotów i k szuflad to   przedmiotów musi trafić do jednej z szuflad;
k 
2) Wyjaśnienia symboli:
 Kwantyfikator ogólny („dla każdego”):
własność;
-> dla każdego x zachodzi dana

Kwantyfikator szczegółowy („istnieje jakiś element”):
zachodzi dana własność;

Sufit (zaokrąglenie w górę) : np.:    1, (6)  2 ;
3

Zbiór reszt z dzielenia przez n zazwyczaj oznacza się przez :  n  {0,1,2,..., n  1} ;

Gdy zachodzi potrzeba użycia więcej niż kilku (np. trzech) zmiennych (literek) to warto
posługiwać się indeksami, np.: zamiast pisać : a, b, c często wygodniej jest zapisać: a1, a2, a3;
W szczególności, gdy mamy do czynienia z nieznaną ilością elementów, przykładowo:
Zbiór A złożony z n nieznanych elementów zapiszemy następująco: A = { a1,a2,a3,…, an } ;
Gdy liczby a i b dają taką samą resztę z dzielenia przez n zapisujemy: a  b (mod n)

-> istnieje taki x, dla którego
5
3) Zadania przerobione w trakcie zajęć z rozwiązaniami:
 Wykaż, że wśród pięciu liczb naturalnych, pewne dwie dają taką samą resztę z dzielenia
przez 4;
A  {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 : x1 , x2 , x3 , x4 , x5  }   y1 , y2  A, że y1  y2 (mod 4)

(Słownie: zbiór A składa się z dowolnych 5 liczb (x1,…,x5) naturalnych takich, że istnieją pewne
dwie (dlatego y1, y2) spośród tych pięciu dających taką samą resztę z dzielenia (po lewej str.
strzałki założenie, po prawej teza)
Dowód:
Niech Z4 oznacza zbiór reszt z dzielenia przez 4 , wtedy : Z4 = {0,1,2,3}.
(Każda z podanych wyżej reszt (elementów zbioru Z4 ) to nasza „szufladka”.)
Co oczywiste, każda liczba naturalna daje pewną resztę z dzielenia przez 4.
Niech zmienne s1,s2,s3,s4 oznaczają nasze szufladki.
Przypiszmy liczbę x1 do szufladki s1 (nie znamy wartości liczby x1 , zatem nie możemy
stwierdzić, czy jej reszta z dzielenia przez 4 wynosi 0,1,2 czy 3, ale na pewno jakąś daje,
dlatego oznaczamy szufladki jak wyżej) .
Jeśli liczba x2 będzie dawać taką samą resztę z dzielenia co x1 to spełniona będzie teza,
dlatego załóżmy, że x2 w wyniku dzielenia przez 4 daje inną resztę niż x1 i dlatego
przypisujemy ją do szufladki s2.
Postępując analogicznie dla liczb x3 i x4 zauważymy, że każda z szufladek (s1,s2,s3,s4) ma już po
jednym elemencie, a musimy przyporządkować do którejkolwiek element x5, zatem będzie
istnieć pewna szufladka, w której będą 2 elementy. C.N.D.
* Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. Wykaż, że spośród nich można wybrać 11
takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.
Z: A={ a1,a2,…,a111: a1,a2,…,a111 C } ->zbiór 111 dodatnich liczb całkowitych;
Koło Matematyczne III LO w Białymstoku
Zasada Szufladkowa Dirichleta – podsumowanie kółka
T:  b1 , b2 ,..., b11  A , że 11 | (b1 + b2 + … + b11) (słownie: istnieje 11 liczb (spośród tych 111)
takich, że ich suma jest podzielna przez 11);
Dowód:
Niech Z11 oznacza zbiór reszt z dzielenia przez 11: Z11 = {0,1,…,10} ; (Każda z tych reszt z
dzielenia to nasza „szufladka”, „przedmioty” to dane 111 liczb )
111
Zgodnie z Z.S.D. do jednej z szuflad trafi : 
 10 r.1  11 przedmiotów.
 11 
Zatem widzimy, że istnieje 11 liczb dających tą samą resztę z dzielenia, nazwijmy ją r; r  Z11
Oznaczmy elementy tej szuflady: b1,b2,…,b11 i zauważmy, że:
b1 = 11k1 + r , b2 = 11k2 + r ,… , b11 = 11k11 + r , przy założeniu, że : k1 , k2 , … , k11  
Ponadto definiujemy S = b1 + b2 + … + b11 , jako sumę elementów tej szuflady.
Dla tak przyjętych oznaczeń mamy: S = b1 + b2 + … + b11 -> S = (11k1 + r) + (11k2 + r) + … +
(11k11 + r) -> S = 11(k1+ k2 + … + k11) + 11r -> S = 11(k1+ k2 + … + k11 + r) -> 11 | S
C.N.D.
Koło Matematyczne III LO w Białymstoku