Refleksywnosc i tranzytywnosc podprzestrzeni operatorów Toeplitza

Refleksywność i tranzytywność
podprzestrzeni operatorów Toeplitza
na przestrzeni Hardy’ego dla
jednospójnych obszarów Jordana –
projekt badawczy BM-4321
Wojciech Młocek
Kraków, 2013
Wojciech Młocek
1 / 17
Plan prezentacji
1
Cele projektu badawczego
2
Podstawowe pojęcia i fakty
3
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
4
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
5
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na
przestrzeni H 2 (Ω)
6
Bibliografia
Wojciech Młocek
2 / 17
Cele projektu badawczego
Celem projektu badawczego BM-4321 była charakteryzacja –
z punktu widzenia refleksywności i tranzytywności – przestrzeni
operatorów Toeplitza na przestrzeni Hardy’ego dla jednospójnych
obszarów Jordana.
Wojciech Młocek
3 / 17
Cele projektu badawczego
Celem projektu badawczego BM-4321 była charakteryzacja –
z punktu widzenia refleksywności i tranzytywności – przestrzeni
operatorów Toeplitza na przestrzeni Hardy’ego dla jednospójnych
obszarów Jordana.
W szczególności odpowiedź na następujące pytania:
1
Czy przestrzeń T (Ω) jest tranzytywna?
Wojciech Młocek
3 / 17
Cele projektu badawczego
Celem projektu badawczego BM-4321 była charakteryzacja –
z punktu widzenia refleksywności i tranzytywności – przestrzeni
operatorów Toeplitza na przestrzeni Hardy’ego dla jednospójnych
obszarów Jordana.
W szczególności odpowiedź na następujące pytania:
1
Czy przestrzeń T (Ω) jest tranzytywna?
2
Czy przestrzeń A(Ω) jest refleksywna?
Wojciech Młocek
3 / 17
Cele projektu badawczego
Celem projektu badawczego BM-4321 była charakteryzacja –
z punktu widzenia refleksywności i tranzytywności – przestrzeni
operatorów Toeplitza na przestrzeni Hardy’ego dla jednospójnych
obszarów Jordana.
W szczególności odpowiedź na następujące pytania:
1
Czy przestrzeń T (Ω) jest tranzytywna?
2
Czy przestrzeń A(Ω) jest refleksywna?
3
Czy każda ∗ słabo domknięta podprzestrzeń przestrzeni T (Ω)
jest albo refleksywna albo tranzytywna?
Wojciech Młocek
3 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Oznaczenia
D := {z ∈ C : |z| < 1}, T := {z ∈ C : |z| = 1},
m – unormowana miara Lebesgue’a na T,
Lp (T) := Lp ([0, 2π], dm) (p > 1),
H p (D) – przestrzeń Hardy’ego na D (p > 1).
Wojciech Młocek
4 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Oznaczenia
D := {z ∈ C : |z| < 1}, T := {z ∈ C : |z| = 1},
m – unormowana miara Lebesgue’a na T,
Lp (T) := Lp ([0, 2π], dm) (p > 1),
H p (D) – przestrzeń Hardy’ego na D (p > 1).
Niech X będzie przestrzenią Banacha.
Oznaczenia
B(X) – zbiór wszystkich ograniczonych operatorów liniowych
z X w X,
X ∗ (X∗ ) – przestrzeń dualna (predualna) do X,
h·, ·i – odwzorowanie (pre)dualne.
Wojciech Młocek
4 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Topologia ∗ słaba (w ∗ topologia) na X ∗ jest zadana poprzez
rodzinę półnorm {px : x ∈ X}, gdzie px (x∗ ) = |hx, x∗ i|.
Wojciech Młocek
5 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Topologia ∗ słaba (w ∗ topologia) na X ∗ jest zadana poprzez
rodzinę półnorm {px : x ∈ X}, gdzie px (x∗ ) = |hx, x∗ i|.
Niech ϕ ∈ L∞ (T) oraz PH 2 (D) będzie projekcią ortogonalną
przestrzeni L2 (T) na H 2 (D).
Wojciech Młocek
5 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Topologia ∗ słaba (w ∗ topologia) na X ∗ jest zadana poprzez
rodzinę półnorm {px : x ∈ X}, gdzie px (x∗ ) = |hx, x∗ i|.
Niech ϕ ∈ L∞ (T) oraz PH 2 (D) będzie projekcią ortogonalną
przestrzeni L2 (T) na H 2 (D).
Definicja
Operator Tϕ dany wzorem
Tϕ f = PH 2 (D) (ϕf ),
f ∈ H 2 (D)
nazywamy operatorem Toeplitza z symbolem ϕ na przestrzeni
H 2 (D).
Wojciech Młocek
5 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Topologia ∗ słaba (w ∗ topologia) na X ∗ jest zadana poprzez
rodzinę półnorm {px : x ∈ X}, gdzie px (x∗ ) = |hx, x∗ i|.
Niech ϕ ∈ L∞ (T) oraz PH 2 (D) będzie projekcią ortogonalną
przestrzeni L2 (T) na H 2 (D).
Definicja
Operator Tϕ dany wzorem
Tϕ f = PH 2 (D) (ϕf ),
f ∈ H 2 (D)
nazywamy operatorem Toeplitza z symbolem ϕ na przestrzeni
H 2 (D).
Jeżeli ϕ ∈ H ∞ (D), to Tϕ nazywamy analitycznym operatorem
Toeplitza oraz Tϕ f = ϕf .
Wojciech Młocek
5 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Oznaczenia
T (D) – przestrzeń wszystkich operatorów Toeplitza na H 2 (D),
A(D) – algebra analitycznych operatorów Toeplitza na H 2 (D).
Wojciech Młocek
6 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Oznaczenia
T (D) – przestrzeń wszystkich operatorów Toeplitza na H 2 (D),
A(D) – algebra analitycznych operatorów Toeplitza na H 2 (D).
Definicja
Odwzorowanie ξ : L∞ (T) → T (D) ⊂ B(H 2 (D)) dane wzorem
ξ(ϕ) = Tϕ nazywamy odwzorowaniem symbolu operatora
Toeplitza na H 2 (D).
Wojciech Młocek
6 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Definicja
Domknięciem refleksywnym podprzestrzeni S ⊂ B(H) nazywamy
zbiór
ref S = {B ∈ B(H) : Bh ∈ Sh dla wszystkich h ∈ H}.
Wojciech Młocek
7 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Definicja
Domknięciem refleksywnym podprzestrzeni S ⊂ B(H) nazywamy
zbiór
ref S = {B ∈ B(H) : Bh ∈ Sh dla wszystkich h ∈ H}.
Definicja
Podprzestrzeń S jest refleksywna, jeżeli ref S = S.
Podprzestrzeń S jest tranzytywna, jeżeli ref S = B(H).
Wojciech Młocek
7 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Twierdzenie (Sarason, 1966)
A(D) jest refleksywna.
Wojciech Młocek
8 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Twierdzenie (Sarason, 1966)
A(D) jest refleksywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
T (D) jest tranzytywna.
Wojciech Młocek
8 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Twierdzenie (Sarason, 1966)
A(D) jest refleksywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
T (D) jest tranzytywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
Niech podprzestrzeń B ⊂ T (D) będzie ∗ słabo domknięta. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
Wojciech Młocek
8 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Twierdzenie (Sarason, 1966)
A(D) jest refleksywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
T (D) jest tranzytywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
Niech podprzestrzeń B ⊂ T (D) będzie ∗ słabo domknięta. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
(1) B nie jest tranzytywna.
Wojciech Młocek
8 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Twierdzenie (Sarason, 1966)
A(D) jest refleksywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
T (D) jest tranzytywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
Niech podprzestrzeń B ⊂ T (D) będzie ∗ słabo domknięta. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
(1) B nie jest tranzytywna.
(3) B jest refleksywna.
Wojciech Młocek
8 / 17
Podstawowe pojęcia i fakty
Twierdzenie (Sarason, 1966)
A(D) jest refleksywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
T (D) jest tranzytywna.
Twierdzenie (Azoff, Ptak, 1998)
Niech podprzestrzeń B ⊂ T (D) będzie ∗ słabo domknięta. Wtedy
następujące warunki są równoważne:
(1) B nie jest tranzytywna.
1
1
(2) Istnieje
Z funkcja f : T → C taka, że f ∈ L (T), log |f | ∈ L (T)
ϕf dm = 0 dla wszystkich Tϕ ∈ B.
oraz
T
(3) B jest refleksywna.
Wojciech Młocek
8 / 17
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
Funkcję ciągłą g : [a, b] → C nazywamy krzywą. Jeżeli krzywa nie
ma punktów wielokrotnych, poza początkiem i końcem, to
nazywamy ją krzywą Jordana.
Wojciech Młocek
9 / 17
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
Funkcję ciągłą g : [a, b] → C nazywamy krzywą. Jeżeli krzywa nie
ma punktów wielokrotnych, poza początkiem i końcem, to
nazywamy ją krzywą Jordana.
Definicja
Obszar otwarty na płaszczyźnie, którego brzeg jest analityczną
krzywą Jordana nazywamy jednospójnym obszarem Jordana.
Wojciech Młocek
9 / 17
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
Funkcję ciągłą g : [a, b] → C nazywamy krzywą. Jeżeli krzywa nie
ma punktów wielokrotnych, poza początkiem i końcem, to
nazywamy ją krzywą Jordana.
Definicja
Obszar otwarty na płaszczyźnie, którego brzeg jest analityczną
krzywą Jordana nazywamy jednospójnym obszarem Jordana.
Definicja
Przestrzenią Hardy’ego H p (Ω), 1 6 p < ∞, na jednospójnym
obszarze Jordana Ω ⊂ C nazywamy przestrzeń funkcji
holomorficznych F : Ω → C takich, że funkcja |F (z)|p ma
majorantę harmoniczną na Ω.
Przestrzeń H ∞ (Ω) jest zbiorem funkcji holomorficznych
i ograniczonych na Ω.
Wojciech Młocek
9 / 17
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
Przestrzeń H p (Ω) jest przestrzenią Banacha z normą określoną
wzorem


(uF (a))1/p , dla 1 6 p < ∞,
kF kH p (Ω) :=  sup |F (z)|, dla p = ∞,
z∈Ω
gdzie uF jest najmniejszą majorantą harmoniczną dla |F |p na Ω.
Wojciech Młocek
10 / 17
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
Przestrzeń H p (Ω) jest przestrzenią Banacha z normą określoną
wzorem


(uF (a))1/p , dla 1 6 p < ∞,
kF kH p (Ω) :=  sup |F (z)|, dla p = ∞,
z∈Ω
gdzie uF jest najmniejszą majorantą harmoniczną dla |F |p na Ω.
Przestrzeń H 2 (Ω) jest przestrzenią Hilberta z jądrem
reprodukującym.
Wojciech Młocek
10 / 17
Przestrzeń Hardy’ego dla jednospójnych obszarów Jordana
Twierdzenie (zob. [1])
Załóżmy, że Ω ⊂ C jest jednospójnym obszarem Jordana, a ∈ Ω
oraz m jest unormowaną miarą Lebesgue’a na T. Wówczas
istnieje funkcja γ : Ω → D taka, że
(a) γ jest homeomorfizmem,
(b) γ : Ω → D jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem
konforemnym,
(c) γ(a) = 0 oraz γ 0 (a) > 0,
(d) ωa := m ◦ γ jest miarą harmoniczną na ∂Ω dla punktu
a = γ −1 (0),
(e) dla 1 6 p 6 ∞ operator Up : Lp (T) → Lp (∂Ω, ωa ) dany wzorem
Up (f ) := f ◦ γ, f ∈ Lp (T)
(1)
jest izometrycznym izomorfizmem oraz Up (H p (D)) = H p (Ω).
Wojciech Młocek
11 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Niech PH 2 (Ω) będzie projekcią ortogonalną przestrzeni L2 (∂Ω) na
H 2 (Ω).
Wojciech Młocek
12 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Niech PH 2 (Ω) będzie projekcią ortogonalną przestrzeni L2 (∂Ω) na
H 2 (Ω).
Definicja
Jeśli Φ ∈ L∞ (∂Ω), to operator TΦ : H 2 (Ω) → H 2 (Ω) dany wzorem
TΦ F := PH 2 (Ω) (ΦF ), F ∈ H 2 (Ω)
nazywamy operatorem Toeplitza z symbolem Φ na przestrzeni
Hardy’ego H 2 (Ω). Jeśli Φ ∈ H ∞ (Ω), to TΦ nazywamy
analitycznym operatorem Toeplitza.
Wojciech Młocek
12 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Niech PH 2 (Ω) będzie projekcią ortogonalną przestrzeni L2 (∂Ω) na
H 2 (Ω).
Definicja
Jeśli Φ ∈ L∞ (∂Ω), to operator TΦ : H 2 (Ω) → H 2 (Ω) dany wzorem
TΦ F := PH 2 (Ω) (ΦF ), F ∈ H 2 (Ω)
nazywamy operatorem Toeplitza z symbolem Φ na przestrzeni
Hardy’ego H 2 (Ω). Jeśli Φ ∈ H ∞ (Ω), to TΦ nazywamy
analitycznym operatorem Toeplitza.
Oznaczenia
T (Ω) – przestrzeń wszystkich operatorów Toeplitza na H 2 (Ω),
A(Ω) – algebra analitycznych operatorów Toeplitza na H 2 (Ω).
Wojciech Młocek
12 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Definicja
Odwzorowanie η : L∞ (∂Ω) → T (Ω) ⊂ B(H 2 (Ω)) określone wzorem
η(Φ) := TΦ nazywamy odwzorowaniem symbolu operatora
Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω).
Wojciech Młocek
13 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech ξ oraz η będą odwzorowaniami symbolu operatorów Toeplitza
na przestrzeniach odpowiednio H 2 (D) oraz H 2 (Ω). Jeśli operator
U2 : H 2 (D) → H 2 (Ω) jest dany wzorem U2 f := f ◦ γ oraz
(2)
Ue2 (A) := U2 AU2−1 , A ∈ B(H 2 (D)),
to wówczas
Wojciech Młocek
14 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech ξ oraz η będą odwzorowaniami symbolu operatorów Toeplitza
na przestrzeniach odpowiednio H 2 (D) oraz H 2 (Ω). Jeśli operator
U2 : H 2 (D) → H 2 (Ω) jest dany wzorem U2 f := f ◦ γ oraz
(2)
Ue2 (A) := U2 AU2−1 , A ∈ B(H 2 (D)),
to wówczas
(a) Ue2 : B(H 2 (D)) → B(H 2 (Ω)) jest ∗ słabym homeomorfizmem,
Wojciech Młocek
14 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech ξ oraz η będą odwzorowaniami symbolu operatorów Toeplitza
na przestrzeniach odpowiednio H 2 (D) oraz H 2 (Ω). Jeśli operator
U2 : H 2 (D) → H 2 (Ω) jest dany wzorem U2 f := f ◦ γ oraz
(2)
Ue2 (A) := U2 AU2−1 , A ∈ B(H 2 (D)),
to wówczas
(a) Ue2 : B(H 2 (D)) → B(H 2 (Ω)) jest ∗ słabym homeomorfizmem,
(b) U2 Tϕ U2−1 = Tϕ◦γ dla wszystkich ϕ ∈ L∞ (T),
Wojciech Młocek
14 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech ξ oraz η będą odwzorowaniami symbolu operatorów Toeplitza
na przestrzeniach odpowiednio H 2 (D) oraz H 2 (Ω). Jeśli operator
U2 : H 2 (D) → H 2 (Ω) jest dany wzorem U2 f := f ◦ γ oraz
(2)
Ue2 (A) := U2 AU2−1 , A ∈ B(H 2 (D)),
to wówczas
(a) Ue2 : B(H 2 (D)) → B(H 2 (Ω)) jest ∗ słabym homeomorfizmem,
(b) U2 Tϕ U2−1 = Tϕ◦γ dla wszystkich ϕ ∈ L∞ (T),
(c) U2 (T (D))U2−1 = T (Ω) oraz U2 (A(D))U2−1 = A(Ω),
Wojciech Młocek
14 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech ξ oraz η będą odwzorowaniami symbolu operatorów Toeplitza
na przestrzeniach odpowiednio H 2 (D) oraz H 2 (Ω). Jeśli operator
U2 : H 2 (D) → H 2 (Ω) jest dany wzorem U2 f := f ◦ γ oraz
(2)
Ue2 (A) := U2 AU2−1 , A ∈ B(H 2 (D)),
to wówczas
(a) Ue2 : B(H 2 (D)) → B(H 2 (Ω)) jest ∗ słabym homeomorfizmem,
(b) U2 Tϕ U2−1 = Tϕ◦γ dla wszystkich ϕ ∈ L∞ (T),
(c) U2 (T (D))U2−1 = T (Ω) oraz U2 (A(D))U2−1 = A(Ω),
(d) następujący diagram jest przemienny
L∞ (T)
U∞
L∞ (∂Ω)
Wojciech Młocek
ξ
η
/
T (D)
/T
e2
U
(3)
(Ω),
14 / 17
Operatory Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech ξ oraz η będą odwzorowaniami symbolu operatorów Toeplitza
na przestrzeniach odpowiednio H 2 (D) oraz H 2 (Ω). Jeśli operator
U2 : H 2 (D) → H 2 (Ω) jest dany wzorem U2 f := f ◦ γ oraz
(2)
Ue2 (A) := U2 AU2−1 , A ∈ B(H 2 (D)),
to wówczas
(a) Ue2 : B(H 2 (D)) → B(H 2 (Ω)) jest ∗ słabym homeomorfizmem,
(b) U2 Tϕ U2−1 = Tϕ◦γ dla wszystkich ϕ ∈ L∞ (T),
(c) U2 (T (D))U2−1 = T (Ω) oraz U2 (A(D))U2−1 = A(Ω),
(d) następujący diagram jest przemienny
L∞ (T)
U∞
ξ
L∞ (∂Ω)
η
/
T (D)
/T
e2
U
(3)
(Ω),
(e) η : L∞ (∂Ω) → T (Ω) jest ∗ słabym homeomorfizmem.
Wojciech Młocek
14 / 17
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Algebra A(Ω) jest refleksywna, zaś przestrzeń T (Ω) jest
tranzytywna.
Wojciech Młocek
15 / 17
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Algebra A(Ω) jest refleksywna, zaś przestrzeń T (Ω) jest
tranzytywna.
Twierdzenie
(a) Jeśli F jest ∗ słabo domkniętą podprzestrzenią A(Ω), to F jest
refleksywna.
(b) Jeśli A(Ω) ⊂ F ( T (Ω) oraz F jest ∗ słabo domknięta, to F
jest refleksywna.
Wojciech Młocek
15 / 17
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech Ω ⊂ C będzie jednospójnym obszarem Jordana oraz a ∈ Ω
dowolnym, lecz ustalonym punktem. Niech γ : Ω → D będzie
odwzorowaniem konforemnym takim, że γ(a) = 0 oraz γ 0 (a) > 0.
Ponadto, niech ωa := m ◦ γ będzie miarą harmoniczną na ∂Ω dla
punktu a. Jeśli F jest ∗ słabo domkniętą podprzestrzenią T (Ω), to
poniższe warunki są równoważne:
Wojciech Młocek
16 / 17
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech Ω ⊂ C będzie jednospójnym obszarem Jordana oraz a ∈ Ω
dowolnym, lecz ustalonym punktem. Niech γ : Ω → D będzie
odwzorowaniem konforemnym takim, że γ(a) = 0 oraz γ 0 (a) > 0.
Ponadto, niech ωa := m ◦ γ będzie miarą harmoniczną na ∂Ω dla
punktu a. Jeśli F jest ∗ słabo domkniętą podprzestrzenią T (Ω), to
poniższe warunki są równoważne:
(1) F nie jest tranzytywna.
Wojciech Młocek
16 / 17
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech Ω ⊂ C będzie jednospójnym obszarem Jordana oraz a ∈ Ω
dowolnym, lecz ustalonym punktem. Niech γ : Ω → D będzie
odwzorowaniem konforemnym takim, że γ(a) = 0 oraz γ 0 (a) > 0.
Ponadto, niech ωa := m ◦ γ będzie miarą harmoniczną na ∂Ω dla
punktu a. Jeśli F jest ∗ słabo domkniętą podprzestrzenią T (Ω), to
poniższe warunki są równoważne:
(1) F nie jest tranzytywna.
(3) F jest refleksywna.
Wojciech Młocek
16 / 17
Refleksywność i tranzytywność operatorów Toeplitza na przestrzeni H 2 (Ω)
Twierdzenie
Niech Ω ⊂ C będzie jednospójnym obszarem Jordana oraz a ∈ Ω
dowolnym, lecz ustalonym punktem. Niech γ : Ω → D będzie
odwzorowaniem konforemnym takim, że γ(a) = 0 oraz γ 0 (a) > 0.
Ponadto, niech ωa := m ◦ γ będzie miarą harmoniczną na ∂Ω dla
punktu a. Jeśli F jest ∗ słabo domkniętą podprzestrzenią T (Ω), to
poniższe warunki są równoważne:
(1) F nie jest tranzytywna.
(2) Istnieje funkcja F : ∂ΩZ→ C taka, że F ∈ L1 (∂Ω),
log |F | ∈ L1 (∂Ω) oraz
(3) F jest refleksywna.
Wojciech Młocek
∂Ω
ΦF dωa = 0 dla wszystkich TΦ ∈ F.
16 / 17
Bibliografia
[1]
M. B. Abrahamse, Toeplitz Operators in Multiply Connected Regions, American
Journal of Mathematics, Vol. 96, No. 2, pp. 261-297 (1974).
[2] M.B. Abrahamse and R. G. Douglas, A class of subnormal operators related to
multiply-connected domains, Advances in Math. 19 (1976), 106-147.
[3] E. A. Azoff, M. Ptak, A Dichotomy for Linear Spaces of Toeplitz Operators, J. Funct.
Anal. 156, 411-428 (1998).
[4] H. Bercovici, C. Foias and C. Pearcy, Dual algebras with applications to invariant
subspaces and dilation theory, CBMS Regional Conf. Ser. in Math., No. 56, Amer.
Math. Soc., Providence, R.I., 1985.
[5] S. Brown, B. Chevreau and C. Pearcy, Contractions with rich spectrum have invariant
subspaces, J. Operator Theory, 1 (1979), 123-136.
[6] J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, New York, 1990.
[7] J. B. Conway, A Course in Operator Theory, AMS, 2000.
[8] R. G. Douglas, Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Academic Press, New
York, 1972.
[9] S. Fisher, Function Theory on Planar Domains, A Second Course in Complex
Analysis, Wiley, New York 1983.
[10] W. Młocek, M. Ptak, On the reflexivity of subspaces of Toeplitz operators on the
Hardy space on the upper half–plane, Czechoslovak Math. J., to appear.
[11] W. Rudin, Analytic functions of class H p , Transactions, American Mathematical
Society, 78 (1955), pp. 46-66.
[12] D. Sarason, Invariant subspaces and unstarred operator algebras, Pacific J. Math. 17
(1966), 511–517.
Wojciech Młocek
17 / 17